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2023年高考押题预测卷03
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B A C D C B C A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．AC 10．BD 11．AC 12．AD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．81 14．
15． ， 16． ；
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
【解答】解：（1）因为 ，
， ………(1分)
因为 ，
所以 ，………(2分)
由 为三角形内角得 ；………(3分)
（2）若 ，则 ，………(4分)
所以 ，所以 ， ………(6分)
因为 ，
所以 ，即 ，………(8分)
所以 ，
故 ， ． ………(9分)
故 周长的最大值为 ．………(10分)
18．（12分）
【解答】解：（1） ①，
当 时， ， ，则 ，………(1分)
当 时， ②，
由① ②得 ， ………(3分)
又 ，则 ，
数列 是首项为1，公差为1的等差数列，………(4分)
；………(5分)
（2）证明：由（1）得 ，则 ，………(7分)
，
故 成立．………(12分)19．（12分）
【解答】证明：（1） 平面 ， 平面 ，
， ………(1分)
， ，
则 ，
则 ，………(3分)
又 ， ， 平面 ，
平面 ； ………(5分)
解：（2）由题意可知， 平面 ， ，以点 为坐标原点， 、 、 所在
直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
， ， ， ，………(6分)
则 ，0， 、 ，0， 、 、 ，1， 、 ，0， ，
， ， ， ，………(8分)
设平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，得 ，取 ，解得 ，即 ，
由 ，得 ，取 ，解得 ，即 ，………(11分)
因为 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．………(12分)20．（12分）
【解答】解：（Ⅰ）设事件 为“一天中甲员工午餐和晚餐都选择 餐厅就餐”，
事件 为“乙员工午餐和晚餐都选择 餐厅就餐”，
因为100个工作日中甲员工午餐和晚餐都选择 餐厅就餐的天数为30，
乙员工午餐和晚餐都选择 餐厅就餐的天数为40，………(1分)
所以 ， ．………(3分)
（Ⅱ）由题意知，甲员工午餐和晚餐都选择 餐厅就餐的概率为0.1，
乙员工午餐和晚餐都选择 餐厅就餐的概率为0.2，
记 为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，则 的所有可能取值为1、2，………(4分)
所以 ， ，
所以 的分布列为：
1 2
0.1 0.9
………(6分)
所以 的数学期望 ．………(7分)
（Ⅲ）证明：由题知 ，
即 ，即 ，………(9分)
即 ，
即 ，即 ，即 ．………(12分)
21．（12分）
【解析】 设 关于 的对称点为 ，
则 且 解得 即 ，………(1分)
易得直线 方程为 ，
由 解得 ．………(3分)
因为 ，根据椭圆定义，
得 ………(5分)
所以 ．又 ，
所以 ．所以椭圆 的方程为 ．………(7分)
假设存在两定点为 ，
则 ………(8分)
又 ，若要 是定值，则要满足 ，
解得 或 ， ………(11分)
所以有且只有两定点 ，
使得 为定值 ． …(12分)
22．（12分）
【解答】解：（1）因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ， ………(1分)
当 时，即 时， ，
则 在 ， 上单调递增； ………(2分)
当 ，即 时， ， ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
则 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增；………(3分)
综上：当 时， 在 ， 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增．………(4分)
（2）因为 ，
所以 ，
因为 有两个极值点 ， ，所以 有两个零点 ， ，
即方程 有两个根 ， ， ………(5分)令 ，则 的图像与 的图像有两个交点，
又 ，令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，
又当 时， ，则 ；当 时， ，则 ；
当 趋于无穷大时， 的增长速率远远小于 的增长速率，所以 趋于0，
由此作出 的图像如下：
所以 ，则 ， ………(7分)
又 ，则 ，
故 ，
因为 ，令 ，则 ，
令 ，
则 ， ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，则 （1） ，即 ，
所以 在 上单调递增，则 （1） ，………(10分)
故当 时， ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，
又 ，则 ，即 ，所以 （2） ，
故 ，即 ，
又 ，所以 ．………(12分)
