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2025年高考一轮复习第一次月考卷01（测试范围：集合+不等式+函数）
（满分150分，考试用时120分钟）
一、选择题
1．已知集合 ， ，且 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据补集运算求出 ，然后利用数轴分析可得.
【解析】因为 ，所以 或 ，
又 ，所以 .
故选：A
2．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【解析】因为函数 在定义域 上单调递增，
所以由 推得出 ，故充分性成立；
由 推得出 ，故必要性成立，
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
3．下列不等式恒成立的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案.
【解析】解：对于A选项，当 时，不等式显然不成立，故错误；
对于B选项， 成立的条件为 ，故错误；
对于C选项，当 时，不等式显然不成立，故错误；
对于D选项，由于 ，故 ，正确.
故选：D
4．已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得 ，再由 ，进而求得 的取值范
围.
【解析】由函数 的对称轴是 ，
因为函数在区间 上是增函数，所以 ，解得 ，
又因为 ，因此 ，所以 的取值范围是 .
故选：A．
5．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】由幂函数和对数函数的单调性即可得出答案.
【解析】因为 ，
， ，
因为 在 上单调递增，
所以 ，所以 .
故选：B.
6．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定： 血液中酒精含
量达到 的驾驶员即为酒后驾车， 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，
其血液中的酒精含量上升到了 ．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 的速度
减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，参考数据： ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】设经过 个小时才能驾驶，则 ，再根据指数函数的性质及对数的运算计
算可得.
【解析】设经过 个小时才能驾驶，则 即 .
由于 在定义域上单调递减， .
他至少经过4小时才能驾驶.
故选：D.
7．已知 ， ，若 时，关于 的不等式 恒成立，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】注意到原题条件等价于当 时， 恒成立，当 时， 恒成立，
故当 时， ，从而得 ，由此结合基本不等式即可求解.
【解析】设 ， ，
因为 ，所以当 时， ；
当 时， ；
时， ；
由不等式 恒成立，得 或 ，
即当 时， 恒成立，
当 时， 恒成立，
所以当 时， ，
则 ，即 ，
则当 时， ，当且仅当 ，即 时等号成立，
故 的最小值为 ．
故选：C．
8．已知函数 的图象在区间 内恰好有 对关于 轴对称的点，则 的值
可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C
【分析】令 ， ，根据对称性，问题可以转化为 与 的图象在
内有 个不同的交点，画出函数图象，数形结合即可判断.
【解析】令 ， ，
因为 与 的图象关于 轴对称，
因为函数 的图象在区间 内恰好有 对关于 轴对称的点，
所以问题转化为 与 的图象在 内有 个不同的交点，
在同一平面直角坐标系中画出 与 的图象如下所示：
因为 ，当 时 ， ，
结合图象及选项可得 的值可以是 ，其他值均不符合要求,.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题关键是转化为 与 的图象在 内有
个不同的交点.
二、多选题9．下列选项正确的是（ ）
A．命题“ ”的否定是
B．满足 的集合 的个数为4
C．已知 ，则
D．已知指数函数 （ 且 ）的图象过点 ，则
【答案】BC
【分析】利用特称命题的否定形式可判定A；利用集合的基本关系可判定B；利用对数的运算可判定C；利
用指数函数的性质可判定D.
【解析】对于A，根据特称命题的否定形式可知命题“ ”的否定
是“ ”，故A错误；
对于B，由集合的基本关系可知满足 的集合 可以
为 ，故B正确；
对于C，由 ，故C正确；
对于D，由题意可知 ，所以 ，故D错误.
故选：BC
10．已知 ，则（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为
C． 的最大值为2 D． 的最小值为
【答案】AC
【分析】借助基本不等式逐项判断即可得.
【解析】对A：由 ，得 ，所以 ，当且仅当 时取等号，故A正确；
对B：由 ，得 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，故B错误；
对C：由 ，得 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，故C正确；
对D：由 ，得 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，故D错误.
故选：AC.
11．若函数 是定义域为 的奇函数，且 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 的图象关于点 中心对称
C． 的图象关于直线 对称 D．
【答案】ABC
【分析】对于A：根据 ，赋值令 ，即可得结果；对于C：根据 结合
奇函数定义可得 ，即可得结果；对于B：根据选项B中结论分析可得
，即可得结果；对于D：分析可知：4为 的周期，结合周期性分析求解.
【解析】因为 ， ，
对于选项A：令 ，可得 ，故A正确；
对于选项C：因为函数 是定义域为 的奇函数，则 ，则 ，所以 的图象关于直线 对称，故C正确；
对于选项B：因为 ，可得 ，
则 ，
即 ，所以 的图象关于点 中心对称，故B正确；
对于选项D：因为 ，
令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
又因为 ，则 ，
可知4为 的周期，可得 ，即 ，
因为 ，所以 ，故D错误；
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中
根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
三、填空题
12．函数 的定义域是 .
【答案】
【分析】根据已知，可得 ，解出不等式即可得到结果.
【解析】要使函数 有意义，则应满足 ，即
该不等式等价于 ，解得 .所以，函数 的定义域是 .
故答案为： .
13．已知集合 ， ，若 ，则 的子集的个数为
．
【答案】8
【分析】由 求得 ，求得集合 ，进而求得 ，结合元素个数可得结果.
【解析】由 可知，则 ，可得 ，解得： ，
所以 ，即 .
,
所以 ，则 的子集的个数为 .
故答案为：8
14．已知函数 ， .给出下列四个结论：
① ；
②存在 ，使得 ；
③对于任意的 ，都有 ；
④ .
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】②③④
【分析】
构造函数，根据函数的单调性可判断各选项.
【解析】对于①， ，而 ，
，故 ，故 ，
故 .
，而 ，
而 ，故 ，故 ，
故①错误.
对于②，设 ，
因为 在 均为减函数，故 为 上的减函数，
而 ， ，故 为 上存在唯一零点 ，
且 即 即 ，
故 ，所以 ，
故存在 ，使得 .故②正确.
对于③，由②的分析可得 在 上为减函数，
故 即 恒成立.
设 ，
同理可得 为 上的增函数，故 ，故 ，对于④，由 ， ，
所以 ，④正确；
故答案为：②③④.
【点睛】
函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看
似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能
起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，
这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许
多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
四、解答题
15．计算：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数幂的运算法则直接化简求解即可；
（2）根据对数运算法则直接化简求解即可.
【解析】（1）
.
（2）
.16．已知集合 .
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）依题先求出A集合，再判断A、B集合的包含关系，即可得
（2）先判断出 是A的真子集，再考虑B是否为空集两种情况考虑
【解析】（1）由题意知 ，
因为 ，所以 ，
则 ，解得 ，则实数 的取值范围是 ；
（2）因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以 是A的真子集，
当 时， 解得 ；
当 时， （等号不能同时取得），解得 ，
综上， .
17．已知函数 ，且 .
(1)求a的值；
(2)当 时， 恒成立，求m的取值范围.
【答案】(1)1(2)
【分析】（1）根据 ，即可由对数运算代入求解.
（2）根据一元二次不等式与二次函数的性质即可求解.
【解析】（1）因为 ，
所以 ,
因为 ，所以 ，
则 .
（2）由（1）可知， 等价于 .
令 ，则 ，
原不等式等价于 在 上恒成立，
则 ，解得 ，
故m的取值范围为 .
18．随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，
医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.宁波医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术
生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产 台，需另投入成本
万元，且 ，由市场调研知，该产品的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润 万元关于年产量 台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1) ；
(2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1680万元.
【分析】（1）根据 的解析式，结合已知条件，根据利润的计算公式，直接求解即可；
（2）根据（1）中所求的函数解析式，结合函数单调性和基本不等式，即可直接求得结果.
【解析】（1）由该产品的年固定成本为300万元，投入成本 万元，
且 ，
当 时， ，
当 时，
所以利润 万元关于年产量 台的函数解析式 .
（2）当 时， 最大，最大值为1500；
当 时， ，
当且仅当 时，即 时等号成立，
综上可得，年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1680万元.
19．已知函数 和 的定义域分别为 和 ，若对任意的 都存在 个不同的实数，使得 （其中 ），则称 为 的“ 重覆盖函数”．
(1)试判断 是否为 的“2重覆盖函数”？请说明理由；
(2)求证： 是 的“4重覆盖函数”；
(3)若 为 的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围．
【答案】(1) 不是 的“2重覆盖函数”理由见解析；
(2)证明见解析；
(3) .
【分析】（1）：根据两个函数的值域，结合偶函数的性质进行判断即；
（2）：可根据两个函数的值域，结合余弦函数的周期性进行判断即可；
（3）：将题转化为对任意 ， 有2个实根，根据 的性质即可求解．
【解析】（1）由 可知： ，函数 的图像如图所示：
当 时， ，
当 时，解得 ，
所以 不是 的“2重覆盖函数”；
（2）证明：因为 ，所以 ，
又因为 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
又因 ，可得 为奇函数且单调递增，
作出两函数的 内的大致图像，如图所示：
，
而函数 在 上单调递增，且 ，所以 ，
由此可知 在 内有4个解．
所以 是 在 的“4重覆盖函数”；
（3）可得 的定义域为 ，
即对任意 ，存在2个不同的实数 ，使得 （其中 ），∵ ，∴ ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
即对任意 ， 有2个实根，
当 时， 已有一个根，故只需 时， 仅有1个根，
当 时， ，符合题意，
当 时，则需满足 ，解得 ，
当 时，抛物线开口向下， 有最大值，不能满足对任意 ， 仅有1个根，故不成立．
综上，实数a的取值范围是 ．
【点睛】在处理两函数图像交点问题时，可通过分离变量交点问题转化为 与 两个函数的图像
交点情况.
