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人教A版数学--概率专题一
知识点一 由递推关系证明等比数列,写出简单离散型随机变量分布列,求离散型随机变
量的均值,
利用等比数列的通项公式求数列中的项
典例1、足球运动被誉为“世界第一运动”.为推广足球运动，某学校成立了足球社团
由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：
（1）下表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢
进的概率.为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，
将他在测试中所踢的点球次数记为 ，求 ；
点球数 20 30 30 25 20 25
进球数 10 17 20 16 13 14
（2）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两
人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，
且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，接到第n次传球的人即
为第 次触球者 ，第n次触球者是甲的概率记为 .
（1）求 ， ， （直接写出结果即可）；
（2）证明：数列 为等比数列.随堂练习：雅礼中学是三湘名校，学校每年一届的社团节是雅礼很有特色的学生活动，
几十个社团在一个月内先后开展丰富多彩的社团活动，充分体现了雅礼中学为学生终身
发展奠基的育人理念.2022年雅礼文学社举办了诗词大会，在选拔赛阶段，共设两轮比
赛.第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令.第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，
选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手正确回答出下句可得10分，
若不能正确回答出下可得0分.
（1）已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
（2）已知恰有甲､乙､丙､丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一
个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团体
有相同的机会抢答下一问题.记第 次回答的是甲的概率是 ，若 .
①求 和 ；
②证明：数列 为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的
可能性的大小.
典例2、现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给
乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给
另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误．
（1）设乙接到球的次数为 ，通过三次传球，求 的分布列与期望；
（2）设第 次传球后，甲接到球的概率为 ，（i）试证明数列 为等比数列；
（ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．
随堂练习：为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的
科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，
答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答
对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率
为 ，各次答题结果互不影响.
（1）求甲前3次答题得分之和为40分的概率；
（2）记甲第i次答题所得分数 的数学期望为 .
①写出 与 满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：
②若 ，求i的最小值.
典例3、某校班主任利用周末时间对该班级2019年最后一次月考的语文作文分数进行了
一次统计，发现分数都位于20﹣55之间，现将所有分数情况分为[20，25），[25，
30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）七组，其频率分布
直方图如图所示，已知m＝2n，[30，35）这组的参加者是12人．（1）根据此频率分布直方图求图中m，n的值，并求该班级这次月考作文分数的中位数；
（2）组织者从[35，40）这组的参加者（其中共有5名女学生，其余为男学生）中随机
选出1人（为公平起见，把每个人编号，通过号码确定），如果选到男学生，则该
学生留在本组，如果选到女生，则该女生交换一个男生到该组中去（已知本班男生
人数多于女生人数），重复上述过程n次后，该组中的男生人数为X．
n
①求随机变量X的概率分布及数学期望E（X）；
1 1
②求随机变量X的数学期望E（X）关于n的表达式．
n n
随堂练习：中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神.女排精神
的具体表现为：扎扎实实，勤学苦练，无所畏惧，顽强拼搏，同甘共苦，团结战斗，刻
苦钻研，勇攀高峰.女排精神对各行各业的劳动者起到了激励、感召和促进作用，给予
全国人民巨大的鼓舞.
（1）看过中国女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度
主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数
进行统计，得到如下表格：
月份x 1 2 3 4 5
体重超重的人数y 640 540 420 300 200
若该大学体重超重人数y与月份变量x（月份变量x依次为1，2，3，4，5…）具有线
性相关关系，请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下？
（2）在某次排球训练课上，球恰由A队员控制，此后排球仅在A队员、B队员和C队员三人中传递，已知每当球由A队员控制时，传给B队员的概率为 ，传给C队员的概率
为 ；每当球由B队员控制时，传给A队员的概率为 ，传给C队员的概率为 ；每当球
由C队员控制时，传给A队员的概率为 ，传给B队员的概率为 .记 ， ， 为经过
n次传球后球分别恰由A队员、B队员、C队员控制的概率.
（i）若 ，B队员控制球的次数为X，求 ；
（ii）若 ， ， ， ， ，证明：
为等比数列，并判断经过200次传球后A队员控制球的概率与 的大小.
附1：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
； . 附2：参考数据： ，
.知识点二 概率综合,写出简单离散型随机变量分布列
典例4、某智能共享单车备有 、 两种车型，采用分段计费的方式营用， 型单车每
30分钟收费0.5元（不足30分钟的部分按30分钟计算）， 型单车每30分钟收费1元
（不足30分钟的部分按30分钟计算），现有甲、乙、丙三人，分别相互独立地到租车
点租车骑行（各租一车一次），设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为 ， ，
，并且三个人每人租车都不会超过60分钟，甲、乙均租用 型单车，丙租用 型单车.
（1）求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；
（2）设甲、乙、丙三人所付费用之和为随机变量 ，求 的分布列和数学期望.
随堂练习：8月5日晚，2022首届湖南·岳阳“洞庭渔火季”开幕式在洞庭南路历史文
化街区工业遗址公园（岳阳港工业遗址公园）举行，举办2022首届湖南·岳阳“洞庭
渔火季”，是我市深入贯彻落实中央和省委“稳经济、促消费、激活力”要求，推出的
大型文旅活动，旨在进一步深挖岳阳“名楼”底蕴、深耕“江湖”文章，打造“大江大
湖大岳阳”文旅IP，为加快推进文旅融合发展拓展新维度、增添新动力.活动期间，某
小吃店的生意异常火爆，对该店的一个服务窗口的顾客从排队到取到食品的时间进行统
计，结果如下：
取到食品所需的时间（分） 1 2 3 4 5
频率 0.05 0.45 0.35 0.1 0.05
假设每个顾客取到食品所需的时间互相独立，且都是整数分钟.从排队的第一个顾客等
待取食品开始计时.
（1）试估计“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”的概率；
（2）若随机变量X表示“至第2分钟末，已取到食品的顾客人数”，求X的分布列及数学期望.
典例5、为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参
赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游4名，
其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名.从这9名导游中随机选
择4人参加比赛.
（1）设 为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游
协会”，求事件 发生的概率；
（2）设 为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量 的分布列和数学期望.
随堂练习：某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖
项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关
的通过率为0.7，第二关、第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.2，四关全部
通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200
元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加．假设选手是否通过每一关相互独
立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．
（1）求甲获得奖金的期望；
（2）已知甲和乙最后所得奖金之和为900元，求甲获得一等奖的概率．典例6、 年 月 日，郑渝高铁实现全线贯通运营.郑渝高铁北起河南省郑州市，南
至重庆市，途经河南、湖北、重庆三省市，全长 公里，此前，北京到重庆的高铁列
车耗时 小时 分，现在只需 小时 分；石家庄至重庆高铁的耗时由 小时 分缩短
至 小时 分，郑州至重庆的耗时由 小时 分缩短至 小时 分，不仅如此，郑渝高
铁还是一条旅游线，串联起了嵩山少林寺、襄阳古隆中、神农架原始森林、巫山大小三
峡、奉节白帝城等众多著名旅游景点. 现有一列郑渝高铁从重庆北发出，某节车厢内共
有 位旅客，每位旅客等可能地从云阳、奉节、巫山、巴东、神农架、襄阳东共 个车
站中选择一站下车，且彼此独立.
（1）求这 位旅客选择下车的车站互不相同的概率；（2）设这 位旅客选择下车的车站共有 个，求 的分布列和期望.
随堂练习：某银行招聘，设置了A，B，C三组测试题供竞聘人员选择.现有五人参加招
聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加A组测试，丙独自参加B组测试，丁、戊两人
各自独立参加C组测试.若甲、乙两人各自通过A组测试的概率均为 ；丙通过B组测试
的概率为 ；而C组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少答对
3题者就竞聘成功.假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题.
（1）求丁、戊都竞聘成功的概率；
（2）记A、B两组通过测试的总人数为 ，求 的分布列和期望.
人教A版数学--概率专题一答案
典例1、答案：（1） （2）（i） ， ， （ii）证明见解析；
详解:（1）这150个点球中的进球频率为 ，
则该同学踢一次点球命中的概率 ，
由题意， 可能取1，2，3，
则 ， ， ，则 的期望 .
（2）（i）因为从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，
所以第1次触球者是甲的概率 ，显然第2次触球者是甲的概率 ，
第2次传球有两种可能，所以第3次触球者是甲的概率概 ，
（ii）∵第n次触球者是甲的概率为 ，所以当 时，第 次触球者是甲
的概率为 ，第 次触球者不是甲的概率为 ，
则 .
从而 ，又 ，
∴ 是以 为首项，公比为 的等比数列.
随堂练习：答案： （1）12 （2）① ； ②证明见解析，第7次回答的
是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大
解：（1）设该选手答对的题目个数为 ，该选手在第一轮的得分为 ，则 ，
易知 的所有可能取值为 ，
则 ， ， ，
故 的分布列为
0 1 2，则 .
（2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答， ，则
.
②由第 次回答的是甲的概率为 ，得当 时，第 次回答的是甲的概率为
，
第 次回答的不是甲的概率为 ，
则 ，即 ，又 ，
是以 为首项， 为公比的等比数列，则
，
第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大..
典例2、答案： （1）分布列见解析， （2）（i）证明见解析；（ii）答
案见解析.
解：（1）由题意知 的取值为 ，
； ；
；
所以X的分布列为0 1 2
所以 ；
（2）（i）由题意：第一次传球后，球落在乙或丙手中，则 ，
时，第 次传给甲的事件是第 次传球后，球不在甲手上并且第 次必
传给甲的事件，
于是有 ，即 ，
故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列;
（ii） ，所以 ，
当 时， ，
所以当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数 .
随堂练习：答案： （1） ； （2）① ， ，且 ；
②5.
解：（1）甲前3次答题得分之和为40分的事件 是：甲前3次答题中仅只答对一次的
事件，
所以甲前3次答题得分之和为40分的概率 .（2）①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为 ，则 ，
甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为 ，
则 ，
显然 ，
，甲第 次答题所得分数 的数学期望为 ，
因此第 次答对题所得分数为 ，答错题所得分数为10分，其概率分别为
，
于是甲第i次答题所得分数 的数学期望为 ，
所以 与 满足的等量关系式是： ， ，且
；
②由①知， ，当 时， ，而 ，
因此数列 以 为首项， 为公比的等比数列，
，于是 ，由 得： ，显然数列 是递增数
列，
而 ，则有正整数 ，
所以i的最小值是5.
典例 3、答案：（1） ， ，中位数为 ；（2）①分布列见详解，
；② .
解:（1）由题可知：
由 ，所以可知中位数为
（2）由题可知： 这组人数有： ，其中女生5名，男生3名
①随机变量X的所有可能结果为3，4 所以
1
所以 的分布列为
数学期望
②设 ，则， ，
， ，
，
所以 的分布列为
3 4 5 6 7 8
所以
所以
即 则
所以 ，又 所以
随堂练习：答案：（1）可以预测从第7月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下；（2）（i） （ii）证明见解析； .
解:（1）由已知可得： ， ，
又因为 ， ，
所以 ，
所以 ， 所以 ，
当 时， ，
所以，可以预测从第7月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下.
（2）（i）由题知X的可能取值为：0，1，2；
；
；
；
的分布列为：
所以 .（ii）（方法一）由 ， ，
两式相加得： .
因为 ， 所以 ， ，
代入等式得 ，即 所以
，
因为 ， ， 所以 ，所以
，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， 所以
，
即 ，因此经过200次传球后A队员控制球的概率
.
（方法二）由题知： ，所以 ，所以 ，
又因为 ， 所以 ，
所以 ， 所以 ， 所以
，
又因为 ，所以 ， 所以数列 是首项为 ，公比为
的等比数列，
所以 ，即 ，
因此经过200次传球后A队员控制球的概率 .
典例4、答案： （1） （2）分布列见解析，
解：（1）由题意，甲乙丙在3分钟以上且不超过6分钟还车的概率分别为 ， ， ，
设“甲乙两人所付费用之和等于丙所付费用”为事件 ， 则
；
（2）随机变量 所有可能取值有2，2.5，3，3.5，4，
则 ， ，， ，
，
所以，甲乙丙三人所付费用之和的分布列为
2 2.5 3 3.5 4
∴
随堂练习：答案： （1） ； （2）分布列见解析，
解：（1）设Y表示每个顾客取到食品所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如
下:
1 2 3 4 5
0.05 0.45 0.35 0.1 0.05
A表示事件“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”，
则事件A对应三种情形：
①第一个人取到食品所需的时间为1分钟，且第二个人取到食品所需的时间为
3分钟；
②第一人取到食品所需的时间为3分钟，且第二人取到食品所需的时间为1分
钟；
③第一个和第二个人取到食品所需的时间均为2分钟.
所以
.
（2）X所有可能的取值为0，1，2.
对应第一个人取到食品所需的时间超过2分钟， 所以;
对应第一个人取到食品所需的时间为1分钟且第二个人取到食品所需的时
间超过1分钟，或第一个人取到食品所需的时间为2分钟，
所以 ；
对应两个人取到食品所需的时间均为1分钟，
所以 ；
所以X的分布列为：
0 1 2
0.5 0.4975 0.0025
所以
典例5、答案： （1） （2）分布列见解析，
解：（1）由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有 种不同选法；
当两名高级导游来自乙旅游协会时，有 种不同选法，
则 所以事件 发生的概率为 ；
（2）随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3，4.
， ， ，
， ，
所以，随机变量 的分布列为0 1 2 3 4
所以，随机变量 的数学期望为
（人）
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）设甲获得的奖金为 元，则 可能的取值为0，200，700．
， ，
，
所以，甲获得的奖金的概率分布列为：
0 200 700
所以 ．
（2）由（1）可知，获得二等奖的概率为0.14，获得一等奖的概率为0.035．
设事件A：甲和乙最后所得奖金之和为900元，设事件B：甲选手获得一等奖，
由（1）知获得二等奖的概率为 ，获得一等奖的概率为 ，
所以 ，
所以，所求的概率 ．
典例6、答案： （1） （2）分布列答案见解析，解：（1）记事件 这 位旅客选择下车的车站互不相同，则 .
（2）由题意可知，随机变量 的可能取值有： 、 、 、 ，
则 ， ，
， ，
因此，随机变量 的分布列如下表所示：
所以， .
随堂练习：答案： （1） （2）分布列见解析，
解：（1）设参加C组测试的每个人竞聘成功为A事件，则
又两人竞聘成功相互独立，故丁、戊都竞聘成功的概率等于
由题意可知 可取0，1，2，3，又3人竞聘成功相互独立，
则 ，
，，
，
故 的分布列为：
0 1 2 3
所以 .
