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2022 徐州市初中学业水平考试
数学试题
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只
有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1. ﹣3的绝对值是（ ）
A. ﹣3 B. 3 C. - D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案．
【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3．
故选B．
【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
2. 下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如
果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进
行逐一判断即可．
【详解】解：A、是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项不合题意；
B、是中心对称图形，是轴对称图形，故B选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．
3. 要使得式子 有意义，则 的取值范围是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于 ，列不等式求解．
【详解】解：根据题意，得
，
解得 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考虑： 当代数
式是整式时，字母可取全体实数； 当代数式是分式时，分式的分母不能为 ； 当代数式是二次根式
时，被开方数为非负数．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，正确的计算是解题的关
键．
5. 如图，已知骰子相对两面的点数之和为7，下列图形为该骰子表面展开图的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据骰子表面展开后，其相对面的点数之和是7，逐项判断即可作答．
【详解】A项，2的对面是4，点数之和不为7，故A项错误；
B项，2的对面是6，点数之和不为7，故B项错误；
C项，2的对面是6，点数之和不为7，故C项错误；
D项，1的对面是6，2的对面是5，3的对面是4，相对面的点数之和都为7，故D项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了立体图形的侧面展开图的知识，解答时，找准相对面是解答本题的关键．没有共
同边的两个面即为相对的面．
6. 我国近十年的人口出生率及人口死亡率如图所示．
已知人口自然增长率=人口出生率—人口死亡率，下列判断错误的是（ ）
A. 与2012年相比，2021年的人口出生率下降了近一半
B. 近十年的人口死亡率基本稳定
C. 近五年的人口总数持续下降
D. 近五年的人口自然增长率持续下降
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据折线统计图逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 与2012年相比，2021年的人口出生率下降了近一半，故该选项正确，不符合题意；
B. 近十年的人口死亡率基本稳定，故该选项正确，不符合题意；
C. 近五年的人口总数持续上升，只是自然增长率在变小，故该选项不正确，符合题意；
D. 近五年的人口自然增长率持续下降，故该选项正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了折线统计图，从统计图获取信息是解题的关键．
7. 将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴
影区域的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，将阴影部分分割成图形中的小三角形，令小三角形的面积为a，分别表示出阴影部分的面
积和正六边形的面积，根据概率公式求解即可．
【详解】解：如图，
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学科网（北京）股份有限公司根据题意得：图中每个小三角形的面积都相等，
设每个小三角形的面积为a，则阴影的面积为6a，正六边形的面积为18a，
∴将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为 ．
故选：B
【点睛】本题主要考查几何概率，根据正六边形的性质得到图中每个小三角形的面积都相等是解题的关键．
8. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）
A. 5 B. 6 C. D.
【答案】C
【解析】
的
【分析】证明 ABE∽△CDE，求得AE：CE，再根据三角形 面积关系求得结果．
△
【详解】解：∵CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴ =2，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程， 请将答案
直接填写在答题卡相应位置）
9. 因式分解： ______．
【答案】 ##（x-1）（x+1）
【解析】
【分析】平方差公式： 直接利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“平方差公式： ”是解本
题的关键．
10. 正十二边形每个内角的度数为 ．
【答案】
【解析】
【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．
【详解】试题分析：正十二边形的每个外角的度数是： =30°，
则每一个内角的度数是：180°﹣30°=150°．
故答案为150°．
11. 方程 的解是x=__．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】6
【解析】
【详解】试题分析：两边同乘以x(x-2)可得：3(x-2)=2x，解得：x=6，经检验：x=6是方程的根.
12. 我国2021年粮食产量约为13700亿斤，创历史新高，其中13700亿斤用科学记数法表示为________亿
斤．
【答案】
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．
确定 的值时，要看把原来的数，变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数，确定 与 的值是解题的关键．
13. 如图，A、B、C点在圆O上， 若∠ACB=36°， 则∠AOB=________．
【答案】72°##72度
【解析】
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论．
【详解】解：∵∠ACB= ∠AOB，∠ACB=36°，
∴∠AOB=2×∠ACB=72°．
故答案为：72°．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解题的
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学科网（北京）股份有限公司关键．
14. 如图，圆锥的母线AB＝6，底面半径CB＝2，则其侧面展开图扇形的圆心角α＝_______．
【答案】120°．
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的
母线长和弧长公式得到 ＝2π•2，然后解方程即可．
【详解】解：根据题意得 ＝2π•2，
解得α＝120，
即侧面展开图扇形的圆心角为120°．
故答案为120°．
【点睛】本题考查圆的周长公式，弧长公式，方程思想在初中数学的学习中非常重要，是中考的热点，在
各种题型中均有出现，要特别注意．
15. 若一元二次方程x2＋x－c＝0没有实数根，则c的取值范围是________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程x2＋x－c＝0没有实数根，
∴ ，
解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程 ( 为常数)的根的判别式 ，
理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当 时，方程有两个不相等的实数根；当
时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
16. 如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC
＝5，则AE＝________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】由折叠性质可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性质有CD=AB=3，BC=AD=5，勾股定理求得DF，
AF．设BE=EF=x，则AE=AB-BE，在直角三角形AEF中，根据勾股定理，建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：由折叠性质可得CF=BC=5，BE=EF，
由矩形性质有CD=AB=3，BC=AD=5，
∵∠D=90°，
∴ ，
所以 ，
所以 BE=EF=x，则AE=AB-BE=3-x，在直角三角形AEF中:
，
∴ ，
解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故答案 ：为．
【点睛】本题考查了图形折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，在直角三角形AEF中运用勾股定理建立方
程求解是关键．
17. 若一次函数y＝kx＋b的图像如图所示，则关于kx＋ b＞0的不等式的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数图像得出 ，然后解一元一次不等式即可求解．
【详解】解：∵根据图像可知y＝kx＋b与 轴交于点 ，且 ，
∴ ，
解得 ，
，
∴ ，
即 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，解一元一次不等式，求得一次函数与坐标轴的交点是
解题的关键．
18. 若二次函数 的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），由图象上恰好只有三个点到x
轴的距离为m可得m=4．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），
∴顶点到x轴的距离为4，
∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，
∴m=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先用乘方、绝对值、负整数次幂、算术平方根化简，然后再计算即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）按照分式混合运算法则计算即可．
【小问1详解】
解：
=
= ．
【小问2详解】
解：
=
=
= ．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算、分式的混合运算、负整数次幂等知识点，灵活运用相关运算法
则成为解答本题的关键．
20. （1）解方程： ；
（2）解不等式组：
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不
到确定不等式组的解集．
【详解】（1）解： ，
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学科网（北京）股份有限公司，
∴ ，
；
（2）解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．
21. 如图，将下列3张扑克牌洗匀后数字朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为 ；
（2）从中随机抽取2张，用列表或画树状图的方法，求抽得2张扑克牌的数字不同的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
的
（2）列表或画树状图，共有6种等可能 结果，其中抽到2张扑克牌的数字不同的结果有4种，再由概率
公式求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意，3张扑克牌中，数字为2的扑克牌有一张，数字为3的扑克牌有两张，
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学科网（北京）股份有限公司从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
如图，共有6种等可能的结果，其中抽到2张扑克牌的数字不同的结果有4种，
抽得2张扑克牌的数字不同的概率为 ．
【点睛】本题考查用列表或画树状图求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结
果，适合两步或两步以上完成的事件，解题的关键是能准确利用列表法或画树状图法找出总情况数及所求
情况数．
22. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有
七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽
与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？
根据译文，解决下列问题：
（1）设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为 ；
（2）求兽、鸟各有多少．
【答案】（1）
（2）兽有8只，鸟有7只．
【解析】
【分析】（1）根据“兽与鸟共有76个头与46只脚”，即可得出关于x、y的二元一次方程组；
（2）解方程组，即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵兽与鸟共有76个头，
∴6x+4y=76；
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学科网（北京）股份有限公司∵兽与鸟共有46只脚，
∴4x+2y=46．
∴可列方程组为 ．
故答案为： ；
【小问2详解】
解：原方程组可化简为 ，
由②可得y=23-2x③，
将③代入①得3x+2（23-2x）=38，
解得x=8，
∴y=23-2x=23-2×8=7．
答：兽有8只，鸟有7只．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
23. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 ， ，根据平行线的性质可得
，结合已知条件根据SAS即可证明 ；
（2）根据 可得 ，根据邻补角的意义可得 ，
可得 ，根据一组对边平行且相等即可得出．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司证明：解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ （SAS）；
【小问2详解】
证明：∵ ，
∴
∴ ，
∴四边形AECF是平行四边形
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定
是解题的关键．
24. 如图，如图，点A、B、C在圆O上， ，直线 ， ，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）直线AD与圆O相切，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接OA，根据 和AB=AD，可得∠DBC=∠ABD=∠D=30°，从而得到
∠BAD=120°，再由OA=OB，可得∠BAO=∠ABD=30°，从而得到∠OAD=90°，即可求解；
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学科网（北京）股份有限公司（2）连接OC，作OH⊥BC于H，根据垂径定理可得 ，进而得到 ，再
根据阴影部分的面积为 ，即可求解．
【小问1详解】
解：直线AD与圆O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵ ，
∴∠D=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∵ ，
∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，
∴∠BAD=120°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与园O相切，
【小问2详解】
解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB=OC=6，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOC=120°，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴扇形BOC的面积为 ，
∵ ，
∴阴影部分的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，求扇形面积，垂径定理，熟练掌握切线的判定定理，并根据题意得
到阴影部分的面积为 是解题的关键．
25. 如图，下列装在相同的透明密封盒内的古钱币，其密封盒上分别标有古钱币的尺寸及质量，例如：钱
币“文星高照”密封盒上所标“ ”是指该枚古钱币的直径为 ，厚度为
，质量为 ．已知这些古钱币的材质相同．
根据图中信息，解决下列问题．
（1）这5枚古钱币，所标直径的平均数是 ，所标厚度的众数是 ，所标质量的中
位数是 g；
（2）由于古钱币无法从密封盒内取出，为判断密封盒上所标古钱币的质量是否有错，桐桐用电子秤测得
每枚古钱币与其密封盒的总质量如下：
名称 文星高照 状元及第 鹿鹤同春 顺风大吉 连中三元
总质量/g 58.7 58.1 55.2 54.3 55.8
请你应用所学的统计知识，判断哪枚古钱币所标的质量与实际质量差异较大，并计算该枚古钱币的实际质
量约为多少克．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）45.74，2.3，21.7；
（2）“鹿鹤同春”的实际质量约为21.0克．
【解析】
【分析】（1）根据平均数、众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据题中所给数据求出每一枚古钱币的密封盒质量，即可判断出哪枚古钱币所标的质量与实际质量
差异较大，计算其余四个密封盒的平均数，即可求得所标质量有错的古钱币的实际质量．
【小问1详解】
解：平均数： ；
这5枚古钱币的厚度分别为：2.8mm，2.4mm，2.3mm，2.1mm，2.3mm，
其中2.3mm出现了2次，出现的次数最多，
∴这5枚古钱币的厚度的众数为2.3mm；
将这5枚古钱币的重量按从小到大的顺序排列为：13.0g，20.0g，21.7g，24.0g，24.4g，
∴这5枚古钱币质量的中位数为21.7g；
故答案为：45.74，2.3，21.7；
【小问2详解】
名称 文星高照 状元及第 鹿鹤同春 顺风大吉 连中三元
总质量/g 58.7 58.1 55.2 54.3 55.8
.
盒标质量 24.4 24.0 130 20.0 21.7
盒子质量 34.3 34.1 42.2 34.3 34.1
∴“鹿鹤同春”密封盒的质量异常，故“鹿鹤同春”所标质量与实际质量差异较大．
其余四个盒子质量的平均数为： ，
55.2-34.2=21.0g
故“鹿鹤同春”的实际质量约为21.0克．
【点睛】本题考查了平均数、中位数和众数的求解，平均数的应用，将一组数据按照由小到大（或由大到
小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数
是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据．
一组数据中，众数可能不止一个．
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学科网（北京）股份有限公司26. 如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面 ，坡角 ．在阳光下，
小明观察到在地面上的影长为 ，在坡面上的影长为 ．同一时刻，小明测得直立于地面长
60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．
【答案】(170+60 )cm
【解析】
【分析】延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，根据直角三角形的性质求出DF，根据余弦的
定义求出CF，根据题意求出EF，再根据题意列出比例式，计算即可．
【详解】解：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，
在Rt CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，
△
则DF= CD=90（cm），CF=CD•cos∠DCF=180× =90 （cm），
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学科网（北京）股份有限公司由题意得： = ，即 = ，
解得：EF=135，
∴BE=BC+CF+EF=120+90 +135=(255+90 )cm，
则 = ，
解得：AB=170+60 ，
答：立柱AB的高度为(170+60 )cm．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、平行投影的应用，解题的关键是数形结合，正确
作出辅助线，利用锐角三角函数和成比例线段计算．
27. 如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ，与 轴交于点 ，
与 轴交于点 ， 轴于点 ， ，点 关于直线 的对称点为点 ．
（1）点 是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；
（2）连接 、 ，若四边形 为正方形．
①求 、 的值；
②若点 在 轴上，当 最大时，求点 的坐标．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）点 在这个反比例函数的图像上，理由见解析
（2）① ， ；②点 的坐标为
【解析】
【分析】（1）设点 的坐标为 ，根据轴对称的性质得到 ， 平分 ，如图，连接
交 于 ，得到 ，再结合等腰三角形三线合一得到 为 边 上的中线，即
，求出 ，进而求得 ，于是得到点 在这个反比例函数的图像上；
（2）①根据正方形的性质得到 ， 垂直平分 ，求得 ，设点 的坐标为
，得到 （负值舍去），求得 ， ，把 ， 代入 得，解方
程组即可得到结论；②延长 交 轴于 ，根据已知条件得到点 与点 关于 轴对称，求得
，则点 即为符合条件的点，求得直线 的解析式为 ，于是得到结论．
【小问1详解】
解：点 在这个反比例函数的图像上．
理由如下：
一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ，
第22页/共29页
学科网（北京）股份有限公司设点 的坐标为 ，
点 关于直线 的对称点为点 ，
， 平分 ，
连接 交 于 ，如图所示：
，
轴于 ，
轴， ，
，
，
，
在Rt 中， ，
，
为 边 上的中线，即 ，
，
第23页/共29页
学科网（北京）股份有限公司，
，
点 在这个反比例函数的图像上；
【小问2详解】
解：① 四边形 为正方形，
， 垂直平分 ，
，
设点 的坐标为 ，
， ，
，
（负值舍去），
， ，
把 ， 代入 得 ，
；
②延长 交 轴于 ，如图所示：
第24页/共29页
学科网（北京）股份有限公司， ，
点 与点 关于 轴对称，
，则点 即为符合条件的点，
由①知， ， ，
， ，
设直线 的解析式为 ，
，解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，即 ，故当 最大时，点 的坐标为 ．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析
式，正确地作出辅助线是解题的关键．
28. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接
DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．
（1）∠EDC的度数为 ；
（2）连接PG，求△APG 的面积的最大值；
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学科网（北京）股份有限公司（3）PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
（4）求 的最大值．
【答案】（1）45° （2）9
（3）PE=DG，理由见解析
（4）
【解析】
【分析】（1）先说明∠B=45°，再说明DE是△CBP的中位线可得DE BP，然后由平行线的性质即可解答；
（2）先说明△EDF和△GFC是等腰直角三角形可得DF=EF= 、GF=CF= ；设AP=x，则
BP=12-x，BP=12-x=2DE，然后通过三角形中位线、勾股定理、线段的和差用x表示出AG，再根据三角形
的面积公式列出表达式，最后运用二次函数求最值即可；
（3）先证明△GFD≌△CFE，可得DG=CE，进而可得PE=DG；由△GFD≌△CFE可得∠ECF=∠DGF，进而得
到∠GHE=∠CFE=90°，即可说明DG、PE的位置关系；
（4）先说明△CEF∽△CDH得到 ，进而得到 ，然后将已经求得的量代入可得
，然后根据 求最值即可．
【小问1详解】
解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12
∴∠B=∠ACB=45°
∵，D、E分别为BC、PC的中点
∴DE BP，DE=
∴∠EDC=∠B=45°．
【小问2详解】
解：如图：连接PG
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学科网（北京）股份有限公司∵∠EDC=∠ACB=45°，GF⊥DC
∴△EDF和△GFC是等腰直角三角形
∴DF=EF= ，GF=CF= ，
设AP=x，则BP=12-x，BP=12-x=2DE
∴DE= ，EF=
∵Rt△APC，
∴PC=
∴CE=
∵Rt△EFC
∴FC=FG=
∴CG= CF=
∴AG=12-CG=12- =
∴S =
APG
△
所以当x=6时，S 有最大值9．
APG
△
【小问3详解】
解：DG=PE，DG⊥PE，理由如下：
∵DF=EF，∠CFE=∠GFD，GF=CF
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学科网（北京）股份有限公司∴△GFD≌△CFE(SAS)
∴DG=CE
∵E是PC的中点
∴PE=CE
∴PE=DG；
∵△GFD≌△CFE
∴∠ECF=∠DGF
∵∠CEF=∠PEG
∴∠GHE=∠EFC=90°，即DG⊥PE．
【小问4详解】
解：∵△GFD≌△CFE
∴∠CEF=∠CDH
又∵∠ECF=∠DCH
∴△CEF∽△CDH
∴ ，即
∴
∵FC= ，CE= ，CD=
∴
∴ 的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线、平行线的性质、二次函数求最值、全等三角形的判定与性质、相
似三角形的判定与性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
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