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徐州市 2024 年初中学业水平考试
数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项符
合要求）
1. 古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是（）
.
A B. C. D.
3. 若 有意义，则x的取值范围是（）
A. B. C. D.
4. 由8个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（）
A. B. C. D.
5. 铜桐收藏有 枚南宋铁钱“庆元通宝”（如图所示），测得它们的质量（单位： ）分别为 、 、 、
、 、 、 ．这组数据的中位数为（）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
6. 观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（）
A. 48、58、68 B. 58、78、98 C. 76、156、316 D. 78、158、318
7. 如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘 内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影
区域的概率为（）
A. B. C. D.
8. 小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（）
A. 小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩
B. 小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息
C. 小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间
D. 小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9. 2024年“五一”假期，我市实现旅游总收入51.46亿元．将5146000000用科学记数法表示为______．
10. 正十二边形的每一个外角等于______度．
11. 若 ， ，则代数式 的值是________．
12. 如图， 是 的直径，点 在 的延长线上， 与 相切于点 ，若 ，则
______°．
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学科网（北京）股份有限公司13. 如图，将矩形纸片 沿边 折叠，使点 在边 中点 处．若 ，则
______．
14. 分式方程 的解为______．
15. 若点 、 、 都在反比例函数 的图象上，则a、b、c的大小关系为______．
16. 关于x的方程 有两个相等的实数根，则k值为______．
17. 在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向下平移5个单位长度，所得抛
物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ______．
18. 将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为 ，圆心角θ为 ，圆锥的底面圆的半
径为______．
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答时应可出必要的文字说明、证明过程及演算步
骤．）
19. 计算：
（1） ；
（2） ．
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学科网（北京）股份有限公司20. （1）解方程： ；
（2）解不等式组 ．
21. 不透明的袋子中装有2个红球与2个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）甲从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为______；
（2）甲、乙两人分别从袋子中随机摸出1个球（不放回），用列表或画树状图的方法，求两人摸到相同颜色球
的概率．
22. 中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱
五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此
时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币
数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题．
23. 已知：如图，四边形 为正方形，点E在 的延长线上，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： ．
的
24. 参加初中学业水平考试 人数简称“中考人数”．如图，某市根据2016﹣2024年中考人数及2024年上
半年小学、初中各年级在校学生人数，绘制出2016﹣2032年中考人数（含预估）统计图如图：
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学科网（北京）股份有限公司根据以上信息，解决下列问题．
（1）下列结论中，所有正确结论的序号是______．
①2016﹣2031年中考人数呈现先升后降的趋势；
②与上一年相比，中考人数增加最多的年份是2021年；
③2016﹣2024年中考人数的波动比2024﹣2032年中考人数的波动大．
（2）为促进人口长期均衡发展，有效提高人口出生率，我国于2013﹣2021年先后实施了三项鼓励生育的政策，
其中导致该市2032年中考人数较2031年增加的最主要原因是______．
A．2013年单独两孩政策
B．2015年全面两孩政策
C．2021年三孩生育政策
（3）2024年上半年，该市小学 在校学生共有多少人？
25. 如图，在徐州云龙湖旅游景区，点 为“彭城风华”观演场地，点 为“水族展览馆”，点 为“徐州汉
画像石艺术馆”．已知 ， ， ．求“彭城风华”观演场地与“水族展
览馆”之间的距离 （精确到 ）．（参考数据： ， ）
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学科网（北京）股份有限公司26. 如图，A、B为一次函数 的图像与二次函数 的图像的公共点，点A、B的横坐标
分别为0、4．P为二次函数 的图像上的动点，且位于直线 的下方，连接 、 ．
（1）求b、c的值；
（2）求 的面积的最大值．
27. 在 中，点 在边 上，若 ，则称点 是点 的“关联点”．
的
（1）如图（1），在 中，若 ， 于点 ．试说明：点 是点 “关联点”．
（2）如图（2），已知点 在线段 上，用无刻度的直尺和圆规作一个 ，使其同时满足下列条件：①点
为点 的“关联点”；② 是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．
（3）若 为锐角三角形，且点 为点 的“关联点”．设 ， ，用含 、 的代数式表示
的取值范围（直接写出结果）．
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学科网（北京）股份有限公司28. 如图，在▱ 中， ， ， ， 为边 上的动点．连接 ，将 绕点
逆时针旋转 得到 ，过点 作 ， 交直线 于点 ．连接 、 ，分别取 、 的中点
、 ，连接 ，交 于点 ．
（1）若点 与点 重合，则线段 的长度为______．
（2）随着点 的运动， 与 的长度是否发生变化？若不变，求出 与 的长度；若改变，请说明
理由．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项符
合要求）
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学科网（北京）股份有限公司1. 古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿
一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2. 下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解
题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底
数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、 ，故此选项不符合题意；
B、 ，故此选项不符合题意；
C、 ，故此选项不符合题意；
D、 ，故此选项符合题意；
故选：D．
3. 若 有意义，则x的取值范围是（）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条
件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解： 二次根式 有意义，
，解得 ．
故选：A．
4. 由8个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等；据此即可求得答案．
本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握其定义及画图方法是解题的关键．
【详解】解：由题干中的几何体可得其左视图为 ，
故选：A．
5. 铜桐收藏有 枚南宋铁钱“庆元通宝”（如图所示），测得它们的质量（单位： ）分别为 、 、 、
、 、 、 ．这组数据的中位数为（）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中位数，解题的关键是根据数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．将数据从小到大重
新排列，再根据中位数的概念求解即可．
【
详解】解：将这组数据重新排列得： ， ， ， ， ， ， ，
∵数据有奇数个，最中间的数据为： ，
∴这组数据的中位数为 ．
故选：B．
6. 观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（）
A. 48、58、68 B. 58、78、98 C. 76、156、316 D. 78、158、318
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发
现的规律解决问题是解答该题的关键．根据题意得出已知数组的规律得出结果即可
【详解】解：∵ ，
，
，
∴第5个数为 ，
第6个数为 ，
第7个数为 ，
故选：D．
7. 如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘 内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影
区域的概率为（）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设 ，则圆的直径为 ，求出小正方
形的面积，即可求出几何概率．
【详解】解：如图：连接 ， ，设 ，则圆的直径为 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴小正方形的面积为： ，
则飞镖落在阴影区域的概率为： ．
故选：C．
8. 小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（）
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学科网（北京）股份有限公司A. 小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩
B. 小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息
C. 小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间
D. 小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．
根据函数图象分析即可．
【详解】解：由图象可知速度先随时间的增大而增大，然后直接降为0，过段时间速度增大，然后匀速运动，
则小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间，符合题意．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9. 2024年“五一”假期，我市实现旅游总收入51.46亿元．将5146000000用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其
中 ，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：将5146000000用科学记数法表示为 ．
故答案为： ．
10. 正十二边形的每一个外角等于______度．
【答案】30
【解析】
【分析】主要考查了多边形的外角和定理．根据多边形的外角和为360度，再用360度除以边数即可得到每一
个外角的度数．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵多边形的外角和为360度，
∴正十二边形的每个外角度数为： ．
故答案为：30．
11. 若 ， ，则代数式 的值是________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值．
【详解】解：∵ ， ，
，
故答案为：2．
12. 如图， 是 的直径，点 在 的延长线上， 与 相切于点 ，若 ，则
______°．
【答案】35
【解析】
【分析】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．连接 ，构造直角三角形，
利用 ，从而得出 的度数．
【详解】解：连接 ，
与 相切于点 ，
，
，
；
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学科网（北京）股份有限公司，
，
故答案为：35
13. 如图，将矩形纸片 沿边 折叠，使点 在边 中点 处．若 ，则
______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是由勾股定理列出关于 的方程．由矩形的性质
推出 ，由线段中点定义得到 ，由折叠的性质得到： ，
设 ，由勾股定理得到 ，求出 ，得到 的值．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 是 中点，
∴ ，
由折叠的性质得到： ，
设 ，
第14页/共35页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
14. 分式方程 的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解
得x的值后进行检验即可．
【详解】解：原方程去分母得： ，即
解得： ，
检验：当 时， ，
故原方程的解为 ，
故答案为： ．
15. 若点 、 、 都在反比例函数 的图象上，则a、b、c的大小关系为______．
【答案】
第15页/共35页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据解析式得到反比例函数
的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标判断A，B，C
三点的位置，从而根据增减性判断a，b，c的大小即可．
【详解】解：∵在反比例函数 中， ，
∴反比例函数 的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵ 、 、 ，
∴A在第二象限，B，C在第四象限，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
16. 关于x的方程 有两个相等的实数根，则k值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程 ，当 时，一元二
次方程有两个不相等的实数根；当 时，一元二次方程有两个相等的实数根；当 时，一元二次方程
没有实数根．
【详解】解：∵方程 有两个相等的实数根，
∴ ，即 ，
第16页/共35页
学科网（北京）股份有限公司解得： ，
故答案为： ．
17. 在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向下平移5个单位长度，所得抛
物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握
二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后
令 ，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可．
【详解】解：将二次函数 的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式
为：
，
令 ，则 ，
或 ，
解得： 或 ，
，
故答案为：1．
18. 将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为 ，圆心角θ为 ，圆锥的底面圆的半
径为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是圆锥的计算、扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解题的关键．先根据扇形面积公式求
出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出弧长，最后根据圆的周长公式计算即可．
第17页/共35页
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：设扇形的半径为 ，弧长为 ，
由题意得： ，
解得： （负值舍去），
则 ，
解得： ，
∴圆锥的底面圆的半径为： ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答时应可出必要的文字说明、证明过程及演算步
骤．）
19. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）2（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、立方根的运算法则计算，再根据有理数的加减运算法则计算即
可；
（2）先计算括号里的，再把除法运算化为乘法运算，最后约分即可．
【小问1详解】
解：
；
第18页/共35页
学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
解：
．
20. （1）解方程： ；
（2）解不等式组 ．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，解一元一次不等式组，熟练掌握解法是解题的关键．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）分别解不等式①、②，然后找出它们的公共部分即可求出不等式组的解集．
【详解】解：（1） ，
，
，
，
，
∴ ， ；
第19页/共35页
学科网（北京）股份有限公司（2） ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
所以不等式组的解集是 ．
21. 不透明的袋子中装有2个红球与2个白球，这些球除颜色外无其他差别．
的
（1）甲从袋子中随机摸出1个球，摸到红球 概率为______；
（2）甲、乙两人分别从袋子中随机摸出1个球（不放回），用列表或画树状图的方法，求两人摸到相同颜色球
的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了列表法与树状图法，熟练掌握概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出两人都摸到相同颜色的小球的情况数，即可求出所求的概率．
【小问1详解】
解：摸到红球的概率为： ；
【小问2详解】
解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两人都摸到相同颜色的小球的有4种情况，
∴两人都摸到相同颜色的小球的概率为： ．
第20页/共35页
学科网（北京）股份有限公司答：两人摸到相同颜色球的概率为 ．
22. 中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱
五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此
时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币
数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题．
【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键．
设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解即可．
【详解】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得
，
解这个方程组，得 ．
答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币．
23. 已知：如图，四边形 为正方形，点E在 的延长线上，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： ．
【答案】（1）详见解析
（2）详见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之
间的关系，熟练找出 和 的全等条件．
第21页/共35页
学科网（北京）股份有限公司（1）根据正方形的性质证明 ，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可；
（2）根据正方形的性质和全等三角形的性质，求出 和 ，然后进行证明即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形 为正方形，
，
在 和 中，
，
；
【小问2详解】
∵四边形 为正方形，
，
，
，
，
，
，
．
24. 参加初中学业水平考试的人数简称“中考人数”．如图，某市根据2016﹣2024年中考人数及2024年上
半年小学、初中各年级在校学生人数，绘制出2016﹣2032年中考人数（含预估）统计图如图：
第22页/共35页
学科网（北京）股份有限公司根据以上信息，解决下列问题．
（1）下列结论中，所有正确结论的序号是______．
①2016﹣2031年中考人数呈现先升后降的趋势；
②与上一年相比，中考人数增加最多的年份是2021年；
③2016﹣2024年中考人数的波动比2024﹣2032年中考人数的波动大．
（2）为促进人口长期均衡发展，有效提高人口出生率，我国于2013﹣2021年先后实施了三项鼓励生育的政策，
其中导致该市2032年中考人数较2031年增加的最主要原因是______．
A．2013年单独两孩政策
B．2015年全面两孩政策
C．2021年三孩生育政策
（3）2024年上半年，该市小学在校学生共有多少人？
【答案】（1）①③（2）B
（3）2024年上半年，该市小学在校学生共有81.6万人
【解析】
【分析】该题考查了条形统计图及其特征，结合实际根据统计图逐个判断是解题的关键．
（1）观察统计图逐个判断即可；
（2）根据中考时间即可推测当时政策时间；
（3）由中考学生时间段推测小学六年的年龄段，继而计算所有人数即可得解．
【小问1详解】
解：由统计图可知：2016﹣2031年中考人数呈现的是先升后降的趋势，故①正确；
， ，
与上一年相比，中考人数增加最多的年份是2020年，故②不正确；
2016﹣2024年中考人数的波动比2024﹣2032年中考人数的波动大，故③不正确；
第23页/共35页
学科网（北京）股份有限公司故答案为：①③；
【小问2详解】
解：导致该市2032年中考人数较2031年增加的主要原因是2015年全面两孩政策的实施，
故选：B；
【小问3详解】
解：由统计图可知：2024年上半年，该市六年级至一年级小学生将是在2027﹣2032年参加中考的考生，
该市小学在校学生人数共有： （万人），
答：2024年上半年，该市小学在校学生共有81.6万人．
25. 如图，在徐州云龙湖旅游景区，点 为“彭城风华”观演场地，点 为“水族展览馆”，点 为“徐州汉
画像石艺术馆”．已知 ， ， ．求“彭城风华”观演场地与“水族展
览馆”之间的距离 （精确到 ）．（参考数据： ， ）
【答案】“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离 约是
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，关键是过 作 于 ，构造包含特殊角的直角三角形，用解
直角三角形的方法来解决问题．
过 作 于 ，设 ，由含 度角的直角三角形的性质得到 ，由锐角的
正切定义得到 ，判定 是等腰直角三角形，因此 ，得到
，求出 ，即可得到 的长．
【详解】解：过 作 于 ，
第24页/共35页
学科网（北京）股份有限公司设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离 约是 ．
26. 如图，A、B为一次函数 的图像与二次函数 的图像的公共点，点A、B的横坐标
分别为0、4．P为二次函数 的图像上的动点，且位于直线 的下方，连接 、 ．
第25页/共35页
学科网（北京）股份有限公司（1）求b、c的值；
（2）求 的面积的最大值．
【答案】（1）
（2）最大值为8
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键．
（1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c；
（2）由（1）可得： ，设 ，作 交 于E，则 ，则
，得出面积，即可解答．
【小问1详解】
解：当 时， ；当 时， ，
则 ， ，
则 ，
解得： ；
【小问2详解】
解：由（1）可得： ，设 ，作 交 于E，
则 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
当 时，最大值为8．
27. 在 中，点 在边 上，若 ，则称点 是点 的“关联点”．
（1）如图（1），在 中，若 ， 于点 ．试说明：点 是点 的“关联点”．
的
（2）如图（2），已知点 在线段 上，用无刻度 直尺和圆规作一个 ，使其同时满足下列条件：①点
为点 的“关联点”；② 是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．
（3）若 为锐角三角形，且点 为点 的“关联点”．设 ， ，用含 、 的代数式表示
的取值范围（直接写出结果）．
【答案】（1）证明见解析
（2）图见解析（3） 或
【解析】
【分析】（1）证 ，根据“关联点”的定义即可得结论；
（2）以 为直径作 ，过点 作 的垂线，交 于 ，由圆周角定理可得 ，由（1）可得
，以 为圆心， 为半径作圆，在直线 右侧的 上取点 作 即可得答案；
（3）分类讨论，①当 时，根据第二问可得出锐角三角形时C的位置，再利用勾股定理求出临界值范围
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学科网（北京）股份有限公司即可，②当 时，同①方法．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点D是点C的“关联点”．
【小问2详解】
解：如图，①作线段 的垂直平分线，交 于点 ；
②以 为圆心， 为半径作圆；
③过 作 交 于点 ；
④以 为圆心， 为半径画圆，则点 在 上且在直线 右侧．连接 、 ， 即为所求，
证明：∵ 在以 为直径的圆上运动，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
由（1）可知： ，
∵ ，
∴ ．
【小问3详解】
①当 时，
如图所示，结合第（2）问，我们发现当点C在直线 左侧、A的右侧时， 是锐角三角形，
此时 ，
∵ ，且 ， ，
在 中， ，
在 中， ，
；
②当 时，同理可得： ；
综上所述， 或 ．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关
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学科网（北京）股份有限公司知识和正确理解题意是解题的关键．
28. 如图，在▱ 中， ， ， ， 为边 上的动点．连接 ，将 绕点
逆时针旋转 得到 ，过点 作 ， 交直线 于点 ．连接 、 ，分别取 、 的中点
、 ，连接 ，交 于点 ．
（1）若点 与点 重合，则线段 的长度为______．
（2）随着点 的运动， 与 的长度是否发生变化？若不变，求出 与 的长度；若改变，请说明
理由．
【答案】（1）
（2）不变， ，
【解析】
【分析】（1）当点 与点 重合时， 、 、 、 、 共线， ， 为 的中位线，即
可求出 的长度．
（2）构造 ，使 为 的中位线，再构造 ，进而证得 是等边三角形，得出
．然后由 和 为等边三角形，推导出 ，然后再由
，最后得出 和 的长度不变．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：当点 与点 重合时，如图①，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ， ．
∵将 绕点 逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ． ，
∴ 、 、 三点共线，
∵ ， ，
∴ 、 、 、 共线，
∵点 、 分别是 ， 的中点，
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
【小问2详解】
解：结论：不变．
如解图②，连接 并延长到点 ，使得 ，连接 ， ，延长 ， 交于 点，连接 ．延
长 至点 ，使得 ，连接 ， ，设 与 交于 点，
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学科网（北京）股份有限公司∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ， ．
∵点 为 中点，
∴ ．
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ， ．
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵
∴ ．
在平行四边形 中，
∵ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ． ，
由旋转得 ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
又 ， ，
∴ （ ）．
∴ ，
∴ 为等边三角形．
∵点 、 为 、 的中点，
∴ 为 的中位线， ．
∵ ．
∴ ．即 的长度不变；
∵ 和 都为等边三角形．
∴ ， ， ， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ （ ）．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形．
同理： 为等边三角形．
∴ ． ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ， ， ，
∴ ．
∵ 为 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ 为 中点，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
故 和 的长度都不变．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形和等边三角形的性质，三角形中位线的性质以及平行线分线段成
比例．本题的难点是构造 得出 ．
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