文档内容
2024 年江苏省南通市中考数学试题
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一
并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题
卡上指定的位置．
3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位
置上）
1. 如果零上 记作 ，那么零下 记作（）
A. B. C. D.
2. 2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村
的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
3. 计算 的结果是（）
A. 9 B. 3 C. D.
4. 如图是一个几何体的三视图，该几何体是（）
A. 球 B. 棱柱 C. 圆柱 D. 圆锥
5. 如图，直线 ，矩形 的顶点A在直线b上，若 ，则 的度数为（）
1A. B. C. D.
6. 红星村种的水稻2021年平均每公顷产 ，2023年平均每公顷产 ．求水稻每
公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（）
A. B.
C. D.
7. 将抛物线 向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（）
A. B. C. D.
8. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全
等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别
为m， ．若小正方形面积为5， ，则大正方形面积为（）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
9. 甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为 ．两人前进路程s
（单位： ）与甲的前进时间（t 单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法
正确的是（）
.
A甲比乙晚出发1h B. 乙全程共用2h
2C. 乙比甲早到B地3h D. 甲的速度是
10. 在 中， ， ，垂足为H，D是线段 上 的
动点（不与点H，C重合），将线段 绕点D顺时针旋转 得到线段 ．两位同学经过
深入研究，小明发现：当点E落在边 上时，点D为 的中点；小丽发现：连接 ，当
的长最小时， ．请对两位同学的发现作出评判（）
A. 小明正确，小丽错误 B. 小明错误，小丽正确
C. 小明、小丽都正确 D. 小明、小丽都错误
二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共
30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 分解因式： _________．
12. 已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则该圆锥的侧面积为______ ．
13. 已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．请写出一个满足题
意的k的值：______．
14. 社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A
的仰角为 ， ，则旗杆 的高度为______m．
15. 若菱形的周长为 ，且有一个内角为 ，则该菱形的高为______ ．
16. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（I 单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例
函数关系，它的图象如图所示，如果以此器电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，
那么用电器可变电阻R应控制的范围是______．
317. 如图，在 中， ， ．正方形 的边长为 ，它
的顶点D，E，G分别在 的边上，则 的长为______．
18. 平面直角坐标系 中，已知 ， ．直线 （k，b为常数，且 ）
经过点 ，并把 分成两部分，其中靠近原点部分的面积为 ，则k的值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写
出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算： ；
（2）解方程 ．
20. 我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机
调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），绘制出如下未完成的统计图表．
50个家庭去年月均用水量频数分布表
组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数
A 7
B m
4C n
D 6
E 2
合计 50
根据上述信息，解答下列问题：
（1） ______， ______；
（2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在______组；
（3）若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少个？
21. 如图，点 D 在 的边 上， 经过边 的中点 E，且 ．求证
．
22. 南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两
位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．
（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为______；
（2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．
23. 如图， 中， ， ， ， 与 相切于点D．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）设 上有一动点P，连接 ， ．当 的长最大时，求 的长．
24. 某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．
相关信息如下：
信息一
5A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择
哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多?
25. 已知函数 （a，b为常数）．设自变量x取 时，y取得最小值．
（1）若 ， ，求 的值；
（2）在平面直角坐标系 中，点 在双曲线 上，且 ．求点P到y轴的
距离；
（3）当 ，且 时，分析并确定整数a的个数．
26. 综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．
【特例探究】
（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之
积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
图序 角平分线 的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积
图① 1 2 4 4
6图② 1 2 2
图③ 1 ______ ______ ______
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知 的角平分线 ， ， ，用含 的等式写出两腰之和
与两腰之积 之间的数量关系：______．
【变式思考】
（2）已知 的角平分线 ， ，用等式写出两边之和 与两边之
积 之间的数量关系，并证明．
【拓展运用】
（3）如图④， 中， ，点D在边 上， ．以点C为圆心，
长为半径作弧与线段 相交于点E，过点E作任意直线与边 ， 分别交于M，N
两点．请补全图形，并分析 的值是否变化？
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位
置上）
1. 如果零上 记作 ，那么零下 记作（）
7A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么
是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就
用负表示．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【详解】解∶∵零上 记作 ，
∴零下 记作 ，
故选∶ A．
2. 2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村
的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．确定 的值时，要看把原
数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大
于10时， 是正数；当原数的绝对值小于1时， 是负数．
【详解】解：1582亿 ．
故选：C．
3. 计算 的结果是（）
A. 9 B. 3 C. D.
【答案】B
【解析】
8【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可．
【详解】解： ，
故选B．
4. 如图是一个几何体的三视图，该几何体是（）
A. 球 B. 棱柱 C. 圆柱 D. 圆锥
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，结合三视图与原几何体的关系即可解决问题
【详解】解：由所给三视图可知，该几何体为圆锥，
故选：D
5. 如图，直线 ，矩形 的顶点A在直线b上，若 ，则 的度数为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点 作 ，得到 ，
推出 ，进行求解即可．
9【详解】解：∵矩形 ，
∴ ，
过点 作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选C．
6. 红星村种的水稻2021年平均每公顷产 ，2023年平均每公顷产 ．求水稻每
公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则
2022年平均每公顷 ，则2023年平均每公顷产 ，根据题意列
出一元二次方程即可．
【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产 ，
10则2023年平均每公顷产 ，
根据题意有： ，
故选：A．
7. 将抛物线 向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根
据平移规律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式．
【详解】解∶抛物线 向右平移3个单位后得到新抛物为
，
∴新抛物线的顶点坐标为 ，
故选∶D．
8. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全
等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别
为m， ．若小正方形面积为5， ，则大正方形面积为（）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题
11属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为 ，根据勾股定理以及题目给出的已
知数据即可求出大正方形的面积为 ．
【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为 ，
∴ ，即 ①，
∵ ，
∴ ②，
① ②得 ，
∴大正方形的面积 ，
故选：B．
9. 甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为 ．两人前进路程s
（单位： ）与甲的前进时间（t 单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法
正确的是（）
A. 甲比乙晚出发1h B. 乙全程共用2h
C. 乙比甲早到B地3h D. 甲的速度是
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图形获取信息，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、乙比甲晚出发1h，原说法错误，不符合题意；
B、乙全程共用 ，原说法错误，不符合题意；
C、乙比甲早到B地 ，原说法错误，不符合题意；
12D、甲的速度是 ，原说法正确，符合题意；
故选D．
10. 在 中， ， ，垂足为H，D是线段 上的
动点（不与点H，C重合），将线段 绕点D顺时针旋转 得到线段 ．两位同学经过
深入研究，小明发现：当点E落在边 上时，点D为 的中点；小丽发现：连接 ，当
的长最小时， ．请对两位同学的发现作出评判（）
A. 小明正确，小丽错误 B. 小明错误，小丽正确
C. 小明、小丽都正确 D. 小明、小丽都错误
【答案】C
【解析】
【分析】旋转得到 ，当点E落在边 上时，利用三角形的外角推出
，进而得到 ，推出 ，判断小明的说法，连接 ，
等边对等角，求出 ，进而求出
，推出点 在射线 上运动，根据垂线段最短，得到
时， 的长最小，进而推出 ，判断小丽的说法即可．
【详解】解：∵将线段 绕点D顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ，
当点E落在边 上时，如图：
13∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为 的中点，故小明的说法是正确的；
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在射线 上运动，
∴当 时， 的长最小，
∴当 的长最小时， ，
又∵ ，
∴ ，
14∴ ，
∴ ；故小丽的说法正确；
故选C．
【点睛】本题考查旋转的性质，三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，相似三
角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，根据题意，正确的作图，确定点 的轨迹，是解题
的关键．
二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共
30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 分解因式： _________．
【答案】
【解析】
【详解】此题考查因式分解知识点，考查提取公因式法、公式法的因式分解的方法；首先看是
否有公因式，如果有先提取公因式，然后利用公式法进行分解，要分解到不能再分解为止；
解：原式= ；
12. 已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则该圆锥的侧面积为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可．
【详解】解：圆锥的侧面积为 ；
故答案为： ．
13. 已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．请写出一个满足题
意的k的值：______．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】
15【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有
如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；
当 时，方程无实数根．先根据判别式的意义得到 ，解不等式得到
的范围，然后在此范围内取一个值即可．
【详解】解∶∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得 ，
∴当k取0时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为：0（答案不唯一）．
14. 社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A
的仰角为 ， ，则旗杆 的高度为______m．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数，求出 的值即可．
【详解】解：由题意： ，
∴ ；
故答案为： ．
1615. 若菱形的周长为 ，且有一个内角为 ，则该菱形的高为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是菱形的性质，锐角的正弦的含义，先画图，求解 ，过
作 于 ，结合 可得答案．
【详解】解：如图，菱形 的周长为 ，
∴ ，
过 作 于 ，而 ，
∴ ，
故答案为：
16. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（I 单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例
函数关系，它的图象如图所示，如果以此器电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，
那么用电器可变电阻R应控制的范围是______．
【答案】
17【解析】
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据图象求出反比例函数的解析式，进而求出
时，电阻R的值，根据增减性，求出电阻R应控制的范围即可．
【详解】解：由图象，设 ，
把 代入，得： ，
∴ ，
当 时， ，
∵ 随着 的增大而减小，
∴如果以此器电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A时， ；
故答案为： ．
17. 如图，在 中， ， ．正方形 的边长为 ，它
的顶点D，E，G分别在 的边上，则 的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】过点 作 ，易得 为等腰直角三角形，设 ，得到
，证明 ，得到 ，进而得到 ，
18，在 中，利用勾股定理求出 的值，根据平行线分线段成比例，求出
的长即可．
【详解】解：过点 作 ，则： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则： ，
∵正方形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理，得： ，
19∴ ，解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的
性质，平行线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形．
18. 平面直角坐标系 中，已知 ， ．直线 （k，b为常数，且 ）
经过点 ，并把 分成两部分，其中靠近原点部分的面积为 ，则k的值为______．
【答案】 ##0.6
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，根据题意画出图形，求待定系数法求出 的
解析式，再根据直线 经过点 ，求出 ，联立两直线求出点D的坐标，
再根据靠近原点部分的面积为 为等量关系列出关于k的等式，求解即可得出答案．
【详解】解：根据题意画出图形如下，
20设直线 的解析式为： ，
把 ， 代入，
可得出： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
∵直线 经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 ，
联立两直线方程： ，
解得： ，
∴
∵ ， ，
21∴ ， ，
根据题意有： ，
即 ，
，
解得： ,
故答案为： ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写
出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算： ；
（2）解方程 ．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】本题考查了单项式乘多项式，解分式方程，掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可得到答案；
（2）根据解分式方程的步骤进行计算即可．
详解】解：（1）
【
22；
（2）
，
，
∴
检验，当 时， ，
所以，原分式方程的解为
20. 我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机
调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），绘制出如下未完成的统计图表．
50个家庭去年月均用水量频数分布表
组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数
A 7
B m
C n
D 6
E 2
合计 50
23根据上述信息，解答下列问题：
（1） ______， ______；
（2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在______组；
（3）若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少个？
【答案】（1）20，15
（2）B（3）648个
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图，中位数的定义，以及用样本估计总体等知识．
（1）根据C组的扇形统计图的度数即可求出n的值，再用50减去其他组别的频数，即可求出
m的值．
（2）根据中位数的定义即可得出答案．
（3）用样本估计总体即可．
【小问1详解】
解：根据题意可知： ，
解得： ，
∴ ，
故答案为：20，15；
【小问2详解】
解：∵一共有50组用水量数据，
∴50组数据从小到大排列，中位数为第25位和26位的平均数，即中位数在B组．
∴这50个家庭去年月均用水量的中位数落在B组，
故答案为：B；
【小问3详解】
解： （个），
故去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有648个．
21. 如图，点 D 在 的边 上， 经过边 的中点 E，且 ．求证
．
24【答案】见详解
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，根据题意得 ，
即可证明 ，有 成立，根据平行线的判定即可证明结论．
【详解】证明： 点E为边 的中点，
∵
，
∴
， ，
∵
，
∴
，
∴
．
∴
22. 南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两
位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．
（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为______；
（2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果
数m，再找出某事件所占有的可能数n，然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率 ．
25（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案．
【小问1详解】
解：∵有标识为1、2、3、4的四个出入口，
∴甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有16种等可能结果，其中甲、乙两人 在同一出入口开展志愿服务活动有4种结果，
∴甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率为 ．
23. 如图， 中， ， ， ， 与 相切于点D．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）设 上有一动点P，连接 ， ．当 的长最大时，求 的长．
【答案】（1）
（2）
26【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是：
（1）连接 ，利用勾股定理的逆定理判定得出 ，利用切线的性质得出
，利用等面积法求出 ，然后利用 求解即可；
（2）延长 交 于P，连接 ，则 最大，然后在 中，利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解∶连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 相切于D，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
27【
小问2详解】
解∶延长 交 于P，连接 ，此时 最大，
由（1）知： ， ，
∴ ．
24. 某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．
相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择
哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多?
【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元
（2）选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台
28【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，
一元一次不等式的应用是解题的关键．
（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程
组，计算结果即可；
（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人 台，先求出a的取值范围，
再得出每天分拣快递的件数 当a取得最大值时，每天分拣快
递的件数最多．
【小问1详解】
解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
解得 ，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
【小问2详解】
解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人 台，
∴ ，
∴ ，
∵每天分拣快递的件数 ，
的
∴当 时，每天分拣快递 件数最多为 万件，
∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台．
25. 已知函数 （a，b为常数）．设自变量x取 时，y取得最小值．
（1）若 ， ，求 的值；
29（2）在平面直角坐标系 中，点 在双曲线 上，且 ．求点P到y轴的
距离；
（3）当 ，且 时，分析并确定整数a的个数．
【答案】（1）
（2）2或1（3）整数a有4个
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质和点到坐标轴的距离，以及解不等式方程．
根据题意代入化简得 ，结合二次函数得性质得取最小值时x的取值即
可；
结合题意得到 ，代入二次函数中化简得 ，利用
二次函数的性质求得a的值，进一步求得点P，即可知点P到y轴的距离；
结合已知得等式化简得 ，结合 的范围求得a的可能值，
即可得到整数a的个数．
【小问1详解】
解：有题意知
，
当 时，y取得最小值8；
【小问2详解】
解： 点 在双曲线 上，
∵
，
∴
30∴
，
，
∵
，化解得 ，解得 或 ，
∴
则点 或 ，
点P到y轴的距离为2或1；
∴【小问3详解】
解：
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，化简得 ，
∴
31，
∴
则整数a有4个．
26. 综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．
【特例探究】
（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之
积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
图序 角平分线 的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积
图① 1 2 4 4
图② 1 2 2
图③ 1 ______ ______ ______
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知 的角平分线 ， ， ，用含 的等式写出两腰之和
与两腰之积 之间的数量关系：______．
【变式思考】
（2）已知 的角平分线 ， ，用等式写出两边之和 与两边之
积 之间的数量关系，并证明．
【拓展运用】
（3）如图④， 中， ，点D在边 上， ．以点C为圆心，
长为半径作弧与线段 相交于点E，过点E作任意直线与边 ， 分别交于M，N
32两点．请补全图形，并分析 的值是否变化？
【答案】（1）见解析； ，（2） ，证明见解析；（3）
是定值
【解析】
【 分 析 】（ 1 ） 根 据 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 分 别 计 算 ， 再 填 表 即 可 ； 再 由
可得结论；
（2）如图，延长 至 使 ，连接 ，过 作 于 ，延长 交 于
，证明 为等边三角形， ， ，设
， ，利用相似三角形的性质求解 ，再进一步
可得 ；
（3）根据题目要求画图，设 ，运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得
，过点 作 于 ， 于 ，过点 作 于 ，利用
33，即可求得答案．
【详解】解：（1）∵ ， 是 的角平分线， ，
∴ ，
∴ ；
∴ ， ；
图序 角平分线 的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积
图① 1 2 4 4
图② 1 2 2
图③ 1
如图，由（1）可得： ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）猜想： ，理由如下：
如图，延长 至 使 ，连接 ，过 作 于 ，延长 交 于 ，
34∵ ， 平分 ，
∴ 为等边三角形， ， ，
设 ， ，
∴ ， ，而 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ；
，
∴ ；
（3）补全图形如图所示：
35设 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得： ，
，
如图，过点 作 于 ， 于 ，过点 作 于 ，
，
36，
， ， ，
，
在 中， ，
，
，
，
，
，
由 是确定的，由作图可得 为定长，而 和 为定值，
为定值，
即 为定值．
【点睛】本题属于实际探究题，考查了类比方法的应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判
定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的灵活应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
37
