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人教A版数学--解三角形专题八
知识点 三角恒等变换的化简问题,正弦定理边角互化的应用,余弦定理边角互化的应用
典例1、在 中，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
（1）求 ； （2）若 的面积为 ，求 的周长．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
随堂练习：在① ；② ；③
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．在 中，角
A、B、C所对的边分别是a、b、c，____________．
（1）求角A； （2）若 ， 的面积为 ，求 的周长．典例2、已知 内角 所对的边分别为 ，面积为 ，再从条件①、条件②
这两个条件中选择一个作为已知条件（若两个都选，以第一个评分），
求：（1）求角 的大小；（2）求 边中线 长的最小值.
条件①： ;
条件②： .
随堂练习：下面给出有关 的四个论断：① ；② ；③
或 ；④ . 以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正
确的命题：若______，则_______（用序号表示）并给出证明过程：典例3、在△ 中，内角 对应的边分别为 ，请在①
；
② ；③ 这三个条件中任选一个，完成下列问
题：
（1）求角 的大小；
（2）已知 ， ，设 为 边上一点，且 为角 的平分线，求△ 的面
积.
随堂练习：设 的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有（1）求角 的大小；
（2）从下列条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使 唯一确定，并求
的面积．
条件①： 边上的高为 ； 条件②： ， ； 条件③： ，
．
人教A版数学--解三角形专题八答案
典例1、答案： （1） ； （2） .
解：（1）选①：
，
因为 ，所以 ，因此有 ，
因为 ，所以 ；
选②：由，
因为 ， 所以 ；
（2）因为 的面积为 ，
所以有 ，而 ，解得：
，
由余弦定理可知： ，
所以 的周长为 .
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）若选①，
因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 .
因为 ，所以 . 又因为 ，所以 .
若选②，因为 ，
所以 ，即 ，
所以 . 因为 ，所以 .
若选③，
因为 ，所以 ，
所以 ， 所以 .
因为 ，所以 . 又因为 ，所以 .
（2）因为 ，所以 .
因为 ，
所以 ，即 ， 所以 ，即 的周长为 .
典例2、答案： （1） （2）
解：（1）选条件①： ,
因为 中 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，
即 ， ， 又 ,所以 .
选条件②：由余弦定理可得 即 ，
由正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
又 ,所以 .
（2）由（1）知， 的面积为 ，所以 ，解得 ，
由平面向量可知 ，
所以
，
当且仅当 时取等号， 故 边中线 的最小值为 .
随堂练习：答案： 见解析
解: 方案一：如果①②③，则④；
证明：由②得 ，得 ，即 ；
由① ，得 ，且 ，得 ；由③ 或 ，不仿取 ，联立 ，得 ， ；
余弦定理： ，得 ，④成立；
方案二：如果①②④，则③；
证明：由②得 ，得 ，即 ；
由① ，得 ，且 ，得 ；
由④ ，且 ，得 ；
从而 ， ；
得 或 ，得 或 ，③成立；
方案三：如果①③④，则②；
证明：由① ，得 ，
由③ 或 ，不仿取 ，得 ，即 ；
由④ ，且 ， ，得 ，
从而 ；
同时 ，得 ，得 或 ，当 时，得 ，由余弦定理得： ，且 ，得
，
即 ；即 ，②成立；
当 时，得 ，由余弦定理得： ，
且 ，得 ，
即 不成立；即 不成立，②不成立；
方案四：如果②③④，则①；
证明：由②得 ，得 ，即 ；
由④ ，且 ，得 ；
由③ 或 ，不妨取 ，代入 ， 即 ，得 ， ；
从而得 ， ，①成立；
典例3、答案： （1） ； （2） .
解：（1）选①，因为 ，所以 ，得 ，
即 ，
由正弦定理得： ，
因为 ，所以 ( )，所以 ．
选②，因为 ，所以 ，( )
得 ，
即 ，
，
所以 ( )，所以 ．
选③，因为 ，所以 ，
，
，
， ，
，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ．（2）在△ 中，由余弦定理 ，则 ，那么 ；
由角平分线定理 ,则 ,
那么 .
随堂练习：答案： （1） （2）答案见解析.
解：（1）由题 ，因 .
则 ，因A为三角形内角，所以A .
（2）若选择①，设 边上的高为 ，
则 ，得 .因题目条件不足，故 无法唯一确定.
若选择②，由正弦定理 及（1），
有 .因 ，
又题目条件不足，故无法判断B为钝角还是锐角，则 无法唯一确定.
若选择③，由正弦定理 ，及 ，
则 .又由余弦定理及（1），
有 ， 得 ， .此时 唯一确定， .
综上选择③时， 唯一确定，此时 的面积为
