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3.1 三角函数的定义（精练）（基础版）
题组一 扇形的弧长与面积
1．（2022·全国·高三专题练习）将手表的分针拨快 分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将手表的分针拨快 分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是 .故选：D.
2．（2021·安徽黄山市）若一扇形的圆心角为144°，半径为 cm，则扇形的面积为______cm2．
【答案】 ．
【解析】扇形的圆心角为144°，半径为 ，所以扇形的面积为 ．
故答案为： ．
3．（2022·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.
从半径为 的圆面中剪下扇形 ，使剪下扇形 后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为 ，再从扇
形 中剪下扇环形 制作扇面，使扇环形 的面积与扇形 的面积比值为 .则一个按
上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】记扇形 的圆心角为 ，扇形 的面积为 ，扇环形 的面积为 ，圆的面积为 ，
由题意可得， ， ， ，
所以 ，
因为剪下扇形 后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为 ，
所以 ，则 ，
所以 .
故选：D.
4．（2022·广东·一模）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距
离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线
前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地
面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂
直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为（ ）（参考数值： ）
A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m
【答案】D
【解析】由题意，前轮转动了 圈，所以A，B两点之间的距离约为 ，故选：D.
5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》方田篇记载“宛田面积术曰：以径乘周，
四而一”（注：宛田，扇形形状的田地：径，扇形所在圆的直径；周，扇形的弧长），即古人计算扇形面
积的公式为：扇形面 ．现有一宛田的面积为 ，周为 ，则径是__________．
【答案】
【解析】根据题意，因为扇形面 ，且宛田的面积为 ，周为 ，所以 ，解得径是： .
故答案为： .
6．（2022·安徽·高三阶段练习（文））折扇最早出现于公元五世纪的中国南北朝时代，《南齐书》上说：
“褚渊以腰扇障日．”，据《通鉴注》上的解释，“腰扇”即折扇．一般情况下，折扇可以看作从一个圆
面中剪下的扇形制作而成，设扇形的弧长为l，扇形所在的圆的半径为r，当l与r的比值约为2.4时，折扇
看上去的形状比较美观.若一把折扇所在扇形的半径为30cm，在保证美观的前提下，此折扇所在扇形的面
积是_______ ．
【答案】1080【解析】依题意 ， ，所以 ，所以 ；
故答案为：
7．（2022·浙江绍兴·高三期末）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，
扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是折扇 的示意图，已
知 为 的中点， ，则此扇面（扇环）部分的面积是__________.
【答案】
【解析】由题意得此扇面（扇环）部分的面积是 ，
故答案为：
8．（2022·江苏·高三专题练习）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总
结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围
成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积= （弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，
“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.
现有圆心角为 ，弦长为 的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为
_____________平方米.（其中 ， ）
【答案】16
【解析】因为圆心角为 ，弦长为 ，所以圆心到弦的距离为20m，半径为40m，
因此根据经验公式计算出弧田的面积为 平方米，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为 平方米，
因此两者之差为 平方米.故答案为：16.
9．（2022·全国·高三专题练习）若一个扇形的周长是4为定值，则当该扇形面积最大时，其圆心角的弧度
数是__.
【答案】2
【解析】解：设扇形的圆心角弧度数为 ，半径为 ，则 ， ，
当且仅当 ，解得 时，扇形面积最大.
此时 .故答案为：2.
题组二 三角函数的定义
1．（2022·山东·滕州市第一中学新校高三开学考试）已知角 的终边上一点P的坐标为 ，
则角 的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ，所以角 的终边在第四象限，
根据三角函数的定义，可知 ，故角 的最小正值为 ．故选：D．
2．（2022·江西·高三）设 是第二象限角，P（－4，y）为其终边上的一点，且 ，则 等于
（ ）
A．－ B．－ C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，解得 ，又 是第二象限角，所以 ，所以 ．故选：A．
3．（2022·北京密云·高三期末）如图所示，角 的终边与单位圆在第一象限交于点 ．且点 的横坐标为
，若角 的终边与角 的终边关于 轴对称，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】显然 ， ， 的终边与角 的终边关于 轴对称，故
， ，所以 ，所以C正确故选：C
4．（2022·山西临汾·一模（文））已知 角的终边过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，点的坐标为 ，则 .故选：C.5．（2022·全国·高三专题练习）若角 的终边上一点的坐标为 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵角 的终边上一点的坐标为 ，它与原点的距离 ，
∴ ，故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知角 的终边经过点 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，可得 ，
根据三角函数的定义，可得 且 ，解得 .故选：A
7．（2022·全国·高三专题练习）设 ，角 的终边与圆 的交点为 ，那么
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】画图，角 的终边与圆 的交点为 ，
设 ，则 ， ，代入得 ，解得 ，∵ ，∴ ，∴ ，
又∵在单位圆中， ， ，∴ ， ，∴ ，故选：D
8．（2022·山东潍坊·高三期末）如图，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边为x轴正半轴，点P是角α
终边上的一点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得： ,故 ，
则 ，故选：C
9．（2022·山西临汾·一模（理））已知角 的终边过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 .故选：D
10．（2022·四川绵阳·二模（文））已知角 的终边过点 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因角 的终边过点 ，则 ，因此， ， ，
所以 .故选：A
11（2022·重庆八中高三阶段练习）已知角 的顶点在原点，始边与 轴的正半轴重合，终边经过点
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 , ,
即 ，则 ，故选：D.
12．（2022·全国·高三专题练习（文））若点 是 角的终边上的一点(与原点不重合)，那么
的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由三角函数的定义知tan 240°＝ ，即 ＝ ，
于是 .故选：B13．（2022·全国·高三专题练习）已知点 在角 的终边上，且 ，则角 的
大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 是第二象限角，且 ，又 ，所以
故选：B
14．（2022·山东日照·一模）已知角 的终边经过点 ，则角 可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 角 的终边经过点 ， 是第四象限角，且 ， ，则 ．
故选：D
题组三 象限的判断
1．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（文））若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题设知： 为一、三象限角，∴ 且 k为整数，显然A、B错误；
而 且 k为整数，易知： 恒成立，而 不一定成立，故C错误，D正确.
故选：D.
2．（2022·上海·高三专题练习）已知点 在第三象限，则角 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D【解析】解：∵点 在第三象限，∴ ，∴ 在第四象限.故选：D.
3．（2022·浙江·高三专题练习）“角 是第一或第三象限角”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】角 是第一象限角时， ，则 ；若角 是第三象限角，
，则 .故“角 是第一或第三象限角”是“ ”的充分条件.
若 ，即 或 ，所以角 是第一或第三象限角.故“角 是第一
或第三象限角”是“ ”的必要条件.综上，“角 是第一或第三象限角”是“ ”
的充要条件.
故选:C.
4．（2022·浙江·高三专题练习）若 ，则 所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】∵ ，∴ ，∴点 在第二象限．故选：B．
5．（2022·浙江·高三专题练习）已知 ， ， ，则角 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ，故 为第四象限角，故 ，故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习（理））设 ，若 是角 的终边上一点，则下列各式恒为
负值的是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】由题知， ， ， ， .
其中 为点 到原点 的距离. ，
因为 ，所以 的取值可正可负可为0，故 的取值可正可负可为0.故选项A错误；
， 因为 ， ，所以 恒成立.故选项B正确；
因为 ，当 时，有 .
又 时， ， .故选项C错误；
因为 ， ，所以 .故选项D错误.故选：B.
7．（2022·浙江·高三专题练习）如果 且 ，则 所在的象限是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限
C．第三象限角 D．第四象限
【答案】C
【解析】由 ，可知 所在第三或第四象限或者 轴非正半轴上
由 ，可知 所在第二或第三象限或者 轴非正半轴上所以 在第三象限故选：C
8．（2022·新疆高三）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，则 ，
所以， 的终边在第一、第四象限内或在 轴的正半轴上，所以， ，
、 的符号不确定.故选：D.
题组四 三角函数线
1．（2022·全国·高三专题练习）如果 ，那么下列不等式成立的是A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，在单位圆中分别作出 的正弦线 、余弦线 、正切线 ，
很容易地观察出 ，即 .故选C.
2．（2021·海伦市）已知点 在第三象限，则 的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 在第三象限， ，
， ， ，
．故选：D.
3．（2021·湖南）函数y＝lg(2sinx－1)＋ 的定义域为__________________.
【答案】【解析】要使原函数有意义，必须有 即 ，
如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，
解集为 ,取交集可得
原函数的定义域为
故答案为：
4．（2022·广西）在 内，使 成立的 的取值范围是____
【答案】
【解析】根据三角函数线，角度终边落在直线 右下方时，满足 ，又当 在 时， 成立的 的取值范围是 ，
如下图所示，当角度终边落在阴影部分时（不含边界），满足 ，
又当 在 时， 成立的 的取值范围是
综上所述，所求范围为 .
故答案为： .
