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热点 01 匀变速直线运动和非匀变速直线运动模型
1.命题情境源自生产生活中的与直线运动相关的情境，对生活生产中与直线运动有关的问题平衡
问题，要能从情境中抽象出物理模型，正确画运动过程示意图，正确利用运动学解决问题。
2.命题中经常各种运动学图像，正确理解各种直线图像的斜率、截距、面积表示的物理意义。
3.命题较高的考查了运算能力和数形结合能力。
4.命题中经常出现非匀变速直线的运动的问题，结合动能定理、动量定理和图像解决问题。
一、匀变速直线运动模型
1.基本公式的选用技巧
题目涉及的物理量(已知量、待求
不涉及的物理量 适宜选用公式
量)
v，v，a，t x v＝v＋at
0 0
v，a，t，x v x＝vt＋at2
0 0
v，v，a，x t v2－v2＝2ax
0 0
运动学公式中正、负号的规定及意义：
直线运动用正、负号表示矢量的方向，一般情况下，规定初速度v 的方向为正方
0
向，与初速度同向的物理量取正值，反向的物理量取负值；当v＝0时，一般以
0
加速度a的方向为正方向。
2.匀变速直线运动推论的应用
①．平均速度公式：v＝v ＝ ，即一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，也
\f(t,2
等于这段时间初、末时刻速度矢量和的一半。
②．逐差相等公式：任意两个连续相等时间间隔(T)内的位移之差相等，即Δx＝x －x ＝x －x ＝…＝x
2 1 3 2 n
－x ＝aT2。
n－1
注意：对于不相邻的两段位移：x －x＝(m－n)aT2，纸带或频闪照片类问题中常应用逐差法求加速度。
m n
③．位移中点的速度公式：v ＝ 。
\f(x,2
④．初速度为零的匀加速直线运动的比例式：
(1)1T末，2T末，3T末，…，nT末的瞬时速度之比：
v∶v∶v∶…∶v＝1∶2∶3∶…∶n。
1 2 3 n
(2)第 1 个 T 内，第 2 个 T 内，第 3 个 T 内，…，第 n 个 T 内的位移之比：x∶x∶x∶…∶x ＝
1 2 3 n1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
(3)通过连续相等的位移所用时间之比：t∶t∶t∶…∶t＝1∶( －1)∶(－ )∶…∶( － )。
1 2 3 n
3、追及、相遇问题
①．追及相遇问题中的一个条件和两个关系
(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析
判断的切入点．
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到．
②．追及相遇问题常见的情况
假设物体A追物体B(两物体做匀速或匀变速运动)，开始时两个物体相距x，有三种常见情况：
0
(1)A追上B时，必有x －x ＝x，且v ≥v .
A B 0 A B
(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有x －x ＝x，v ＝v .
A B 0 A B
(3)若使两物体保证不相撞，则要求当v ＝v 时，x －x ＜x，且之后v ≤v .
A B A B 0 A B
③．解题思路和方法
⇒⇒⇒
二、非匀变速直线运动模型
1.“f=kv”运动模型
高中物理中有这样一类问题：物体受到一个与物体的运动速度 v成正比变化的外力而做复杂的变速运动
我们不妨称之为“f= kv”问题。
2.机车启动模型
（1）以恒定功率启动，这一过程的P－t图象、v－t图象和F－t图象如图所示：
（2）以恒定加速度启动，这一过程的P－t图象、v－t图象和F－t图象如图所示：
（建议用时：30分钟）
一、单选题
1．某新能源汽车配备了自动驾驶系统，该车在红绿灯启停、无保护左转、避让路口车辆、礼让行人、变
道等情形下都能无干预自动驾驶。某次试验时，a、b两车（均可视为质点）从不同地点由静止开始沿同一
直线运动的v－t图像如图所示，已知两车在运动过程中不会相遇，图线均为直线，关于两车在 时间
内的运动，下列说法正确的是（ ）A． 车在前， 车在后 B．在 时刻两车间的距离最近
C．在 时刻 车的速度大小为 D．出发时两车间的距离可能为
【答案】B
【解析】A．a车在 后做匀速直线运动，而b车一直做匀加速直线运动，要使两车不会相遇应为b车在前，
a车在后，A错误；
B． 前a车速度较大， 后b车速度较大，在 时刻两车速度相等距离最近，B正确；
C．在 时刻 车的速度大小为 ，C错误；
D．要使两车不会相遇就要保证 时刻a未追上b，出发时两车距离至少为
D错误。
故选B。
2．（2024·浙江嘉兴·统考一模）杭州亚运会 跳台的跳水决赛中，中国运动员全红婵完美一跳后裁判全
给10分并获得冠军。从全红婵离开跳板开始计时，跳水过程中重心的 图像如图所示。则全红婵的重
心（ ）
A．在 过程中作自由落体运动
B．在 过程中速度方向发生改变
C．在 过程中加速度逐渐减小
D．在 时刻上浮至水面
【答案】C
【解析】A．在 过程中初速度不是零，不是自由落体运动，故A错误；
B．在 过程中速度始终为正值，方向不变，故B错误；C．在 过程中，图像斜率变小，斜率代表加速度，加速度逐渐减小，故C正确；
D．根据图像可知， 过程竖直向上运动， 过程中竖直向下运动，在 时刻下降到最低点，故D
错误。
故选C。
3．（2023·江苏·模拟预测）如图所示为质点在某段时间内运动的 图像。关于 段时间内的运动，
下列说法正确的是（ ）
A． 内位移先减小后增大 B． 内位移逐渐减小
C．在 内平均速度小于 D．在 内平均速度等于
【答案】C
【解析】AB．根据 图像与时间轴围成的面积表示位移可知， 内位移逐渐增大，AB错误；
CD．因为t 到t 时间内，图像若是直线与时间轴所围面积大于曲线与时间轴所围面积，根据平均速度的定
1 2
义可知，在 内平均速度小于 ，C正确，D错误。
故选C。
4．（2023·湖南长沙·校联考二模）图像法、微元累积法是常用的物理研究方法。如图所示某质点沿直线运
动，运动速率的倒数 与位移 的关系（ 与 距离相等），关于质点的运动，下列说法正确的是（
）
A．质点做匀变速直线运动
B． 图线斜率等于质点运动的加速度C． 图线与轴围成的面积没有实际的物理意义
D．质点从 运动到 所用的运动时间是从 运动到 所用时间的3倍
【答案】D
【解析】B．图像的斜率的斜率
根据单位运算可知，斜率的单位为 ，而加速度的单位为 ，可知， 图线斜率不等于质点运
动的加速度，B错误；
A． 图像是一条过原点的倾斜直线，可知， 与x成正比，根据上述有
假设质点做匀变速运动，则有
解得
可知，如果质点做匀变速运动，加速度一定，则 为一个定值，即速度v一定，而实际上，根据图像
可知，随质点位移的增大，质点的速度减小，质点做减速直线运动，可知假设不成立，质点做的是加速度
变化的变速直线运动，A错误；
C．根据微元法可知，图像与横轴所围图形的面积表示时间，C错误；
D．由于三角形OBC的面积
根据上述，该面积体现了从O到C所用的时间，同理，从O到 所用的时间
根据题意有
， ，
解得
D正确.
故选D。
二、多项选择题
5．在同一平直公路上行驶的a车和b车其位移—时间图如图所示，已知b车加速度恒定且初速度大小为v=8m/s，方向沿x轴正方向，t=3s时，直线a和曲线b刚好相切，下列说法正确的是（ ）
0
A．a车的速度大小为
B．b车的加速度为-2m/s2
C．t=0时，a车和b车相距15m
D．t=2s时，a车在b车前方1m
【答案】BD
【解析】AB．由图可知，t=3s时，b车速度为曲线上该点的切线斜率，也是a车的速度即
由匀变速直线运动公式，可得
解得
故A错误；B正确；
C．0~3s内，b车位移为
由图可知3s末，b车位置坐标为8m，则t=0时，b车的位置坐标是-7m，此时a车位置坐标为2m,所以t=0
时，a车和b车相距9m。故C错误；
D．t=2s时，a车的位置坐标为
b车的位置坐标为
可知，t=2s时，a车在b车前方1m。故D正确。
故选BD。6．宇航员的训练、竞技体育的指导、汽车的设计等多种工作都会用到急动度的概念。急动度j是加速度变
化量 与发生这一变化所用时间 的比值，即 ，它的方向与物体加速度变化量的方向相同。一物
体从静止开始做直线运动，其加速度a随时间t的变化关系如图，则该物体在（ ）
A． s时急动度是1 B． s时和 s时急动度等大反向
C．3s~5s内做加速运动 D．0~5s内速度方向不变
【答案】AD
【解析】A．a-t的图像斜率表示急动度， s时急动度与0~1s时间内的急动度相等，由图像可得斜率
为1 ，所以A正确；
B． s时和 s时，斜率相同，故急动度相同，所以B错误；
C．3s~5s内加速度为负值，则物体做加速度反向增大的减速运动，所以C错误；
D．与时间轴所围面积为物体的速度变化量，故0~5s内始终为正值，故速度方向不变，所以D正确；
故选AD。
三、解答题
7． ETC是高速公路上不停车电子收费系统的简称。甲、乙两辆汽车分别通过ETC通道和人工收费通道
（MTC）驶离高速公路，流程如图所示。假设减速带离收费岛口 ，收费岛总长度 ，两辆汽
车同时以相同的速度 经过减速带后，一起以相同的加速度做匀减速运动。甲车减速至
后，匀速行驶到中心线即可完成缴费，自动栏杆打开放行；乙车刚好到收费岛中心线收费窗
口停下，经过 的时间缴费成功，人工栏杆打开放行。随后两辆汽车匀加速到 速度后沿
直线匀速行驶，设两车加速过程和减速过程中的加速度大小相等，求：
（1）此次人工收费通道和ETC通道打开栏杆的时间差；
（2）两辆汽车驶离收费站后相距的最远距离。【答案】（1）16s ；（2）445m
【解析】（1）由题意可知
，
乙车减速过程中，根据
可得，减速时的加速度大小为
甲车减速度到 所用时间 ，则有
这段时间的位移为
接下来匀速运动的时间为
甲车从减速到栏杆打开的总时间为
乙减速度时间为
乙车从减速到打开栏杆的总时间为
人工收费通道和ETC通道打开栏杆放行的时间差
（2）乙车与甲车达到共同速度，此时两车相距最远。乙车通过中心线后加速时间
加速度的距离为甲车加速度的时间
加速的距离为
接下来甲匀速的时间为
甲匀速的位移为
因此，两车最远距离为
8．（2023·安徽·校联考二模）为了确保汽车每次能安全顺利地通过一段陡峭的上坡路，小明通过观察汽车
在上坡时的加速度情况对其进行分析。已知汽车总质量 ，汽车发动机的额定功率 ，
坡面与水平面夹角为 ，汽车在坡面受到的阻力恒为车重的0.4倍，坡面足够长。某次该汽车以加速
度 启动沿坡向上做匀加速直线运动，当功率达到额定功率后保持功率不变直到汽车获得最大速度
时，汽车总位移为 。重力加速度 ， ，求：
（1）汽车保持匀加速直线运动的最长时间；
（2）汽车从开始启动到速度达到最大值所用的时间（结果保留整数）。
【答案】（1）8s；（2）9s
【解析】（1）设汽车的牵引力为 ，根据牛顿第二定律可得
解得
能够匀加速的最大速度为
故能够保持匀加速直线运动的最长时间为（2）匀加速的位移为
故保持恒定功率加速阶段的位移为
由
解得汽车最大速度为
根据动能定理可得
解得
故总时间为
（建议用时：30分钟）
一、单选题
1．（2023·安徽淮北·统考一模）车辆超载严重影响行车安全，己知一辆执勤的警车停在公路边，交警发现
从旁边驶过的货车严重超载，决定发动汽车追赶，从货车经过警车开始计时，两车的 图像如图所示，
则（ ）
A．警车的加速度大小为 B． 时警车能追上货车
C．追赶过程中两车的最大距离是 D．追上货车时警车的位移是
【答案】B
【解析】A．根据 图像的斜率可得，警车的加速度大小为故A错误；
BD．警车加速到最高速度的时间为
所以警车在 时的位移为
而货车在 时的位移为
可知 ，说明在 时警车恰好能追上货车，故B正确，D错误；
C．在警车速度小于货车时，两车距离变大，在警车速度大于货车后，两车距离变小，所以在警车速度等
于货车速度时，两车距离最大，即 两车距离最大，则追赶过程中两车的最大距离是
故C错误。
故选B。
2．（2023·四川泸州·统考一模）可视为质点的甲、乙两辆小车分别处于两条平直的平行车道上。 时，
乙车在前，甲车在后，两车间距 ，此后两车运动的v-t图像如图所示。关于两车在0~11s时间内
的运动，下列说法中正确的是（ ）
A． 时，两车第一次并排行驶 B．两车全程会有三次并排行驶的机会
C． 时，两车在全程中相距最远 D．0~7s内，甲车的平均速度大小为10m/s
【答案】A
【解析】A．由图可知，甲加速阶段加速度为
乙加速阶段加速度为时，甲物体运动位移为
乙物体运动位移为
由于
故A正确；
C． 后的运动过程中，当二者速度相同时，相距最远，故 时，两车在全程中相距最远，最远距
离为
由于
故C错误；
B．由A项可知，第一次相遇在 时，此后甲车做匀速直线运动， 时，两车在全程中相距最远，
此后乙的速度大于甲的速度，故后再相遇一次后再无法相遇，故可相遇两次，故B错误；
D．0~7s内，甲车的平均速度大小为
故D错误。
故选A。
3．（2023·江西鹰潭·统考一模）利用图像法研究物理量之间的关系是常用的一种数学物理方法。如图所示，
为物体做直线运动时各物理量之间的关系图像，x、v、a、t分别表示物体的位移、速度、加速度和时间。
下列说法中正确的是（ ）
A．根据甲图可求出物体的加速度大小为1m/s2
B．根据乙图可求出物体的加速度大小为10m/s2
C．根据丙图可求出物体的加速度大小为4m/s2
D．根据丁图可求出物体在前2s内的速度变化量大小为6m/s
【答案】C【解析】A．根据
得
加速度为
A错误；
B．根据
得
加速度为
B错误；
C．根据
得
则
加速度大小为
C正确；
D．a-t图线与坐标轴围成的面积等于速度变化量，所以有
D错误。
故选C。
4．在以速度 匀速上升的电梯里，一小球从电梯地板以速度 （ ）被竖直向上弹出后又落回到电梯
地板，这一过程中小球没有触碰电梯天花板，不计空气阻力，重力加速度为g。则（ ）A．小球在空中运动的位移大小一定等于路程
B．小球在空中运动的平均速度大于电梯的速度
C．小球在空中运动的平均速度小于电梯的速度
D．小球从抛出到离电梯天花板最近时，电梯的位移为
【答案】D
【解析】A．根据题意可知，小球向上做初速度 的匀减速直线运动，电梯做向上的匀速运动，当小球的
速度未减小到0，电梯追上小球，此时小球在空中运动的位移大小等于路程，当小球的速度减小到0时，
电梯未追上小球，则小球将下降，此时小球在空中运动的位移大小小于路程，故A错误；
BC．整个运动过程，小球与电梯的位移相同，运动时间相同，所以小球的平均速度一定与电梯的速度大小
相同，故BC错误；
D．根据题意可知，小球抛出后，当小球速度与电梯速度相等时，小球离电梯天花板最近，则有
解得运动时间为
则电梯的位移为
故D正确。
故选D。
二、多选题
5．（2023·海南·统考一模）甲、乙两个质点同时同地向同一方向做直线运动，它们的 （位移-时间）图
像如图所示，甲图线为过坐标原点的倾斜直线，乙图线的抛物线方程为 ，则（ ）
A．在前5s内，甲、乙之间的距离先增大后减小B．乙运动的加速度大小为
C．在0~5s内，甲、乙在 时相距最远
D．在0~5s内，甲、乙之间的最大距离为2m
【答案】AC
【解析】A．由图像可知，在前5s内，甲、乙之间的距离先增大后减小，在5s时刻甲、乙之间距离为零，
A项正确；
B．由
可知
乙的加速度大小为 ，B项错误；
CD．甲运动的速度大小为2m/s，在0~5s内，当两者运动的速度大小相等时，它们相距最远，这时乙运动
的时间
这时甲的位移
乙的位移
这时甲、乙之间的距离
C项正确、D项错误。
故选AC。
6．某同学跑步过程中的 —x图像如图所示，为一条不过坐标原点的直线，假定该同学沿水平直线道路前
进，下列说法正确的是（ ）A．运动到x 的时间为
1
B．运动到x 的时间为
1
C．运动的速度与位移成线性规律变化
D．运动的加速度在逐渐变小
【答案】AD
【解析】AB．根据位移公式可知x=vt，则有
则可知，图象的面积可以表示运动的时间，因此时间
故A正确，B错误；
C．由图可知，位移随速度的减小而增大，二者不是线性关系，故C错误；
D．图象的面积可以表示运动的时间，由图象可知，相同位移内，速度的倒数越来越大，则速度变小，时
间变长，加速度越来越小，故D正确。
故选AD。
三、解答题
7．一辆汽车以 的速度在平直车道上匀速行驶，驾驶员发现同车道前方 处，有人骑着自行车沿相
同的方向前进，自行车一直以 的速度匀速前进。
（1）若该驾驶员不采取减速措施，求汽车追上自行车所用的时间；
（2）为使汽车不与自行车相撞，驾驶员必须刹车减速行驶。已知该驾驶员的反应时间为 ，汽车刹车过
程的运动可视为匀减速直线运动，求汽车刹车的最小加速度大小。【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）根据题意，设汽车追上自行车所用的时间为 ，则有
解得
（2）根据题意可知，汽车与自行车速度相等时恰好不相撞加速度最小，设加速度大小为 ，则有
解得
8．（2023·江西南昌·统考三模）港珠澳大桥是建筑史上里程最长、投资最多、施工难度最大的跨海大桥。
如图所示的水平路段由一段半径为 的圆弧形弯道和直道组成。现有一总质量为 、额定功率
为 的测试汽车通过该路段，汽车可视为质点，取重力加速度 。
(1)若汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的径向最大静摩擦力是车重的0.675倍，求该汽车安全
通过此弯道的最大速度；
(2)若汽车由静止开始沿直道做加速度大小为 的匀加速运动，在该路段行驶时受到的阻力为车重的0.1
倍，求该汽车运动 末的瞬时功率。
【答案】(1) ；(2)
【解析】(1)径向最大静摩擦力提供向心力时，汽车通过此弯道的速度最大，设最大速度为 ，则有
解得
(2)汽车在匀加速过程中
当功率达到额定功率时代入数据解得：
则 末发动机功率为
9．（2023·山西运城·统考二模）在一条平直公路上，甲、乙两车（看成质点）同时经过某路标并开始计时，
两车运动的v-t图像如图所示，甲以v 做匀速直线运动，乙先做初速度为v 的匀减速直线运动，两车在t 时
1 2 1
刻相遇，相遇后乙接着做匀加速直线运动，且加速度大小是匀减速直线运动的一半，乙车的质量为m，受
到地面摩擦力大小不变，做减速运动时汽车发动机关闭，空气阻力不计，求：
（1）乙车在t 时刻的加速度和匀加速直线运动时牵引力大小；
1
（2）乙车再次与甲车相遇时牵引力的功率。
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】（1）乙车在t 时刻的速度为v，则在0至t 时间内，平均速度为
1 3 1
在t 时刻相遇，则有
1
解得
设乙匀加速直线运动的加速度为a，则匀减速直线运动的加速度大小为 ，由加速度的定义式可得
设乙与地面间的摩擦力大小为f，加速时的牵引力为F，根据牛顿第二定律得
解得
，（2）设乙车t 时刻后运动t时间与甲车再次相遇，则有
1
其中
解得
再次相遇时乙车的速度为
解得
此时乙车牵引力的功率为
10．随着国产汽车的日益崛起，越来越多的人选择购买国产汽车，某国产汽车发动机的额定功率为 ，驾
驶员和汽车的总质量为 ，当汽车在水平路面上行驶时受到的阻力为车对路面压力的0.1倍。若
汽车从静止开始在水平路面上引加速启动， 时，速度 ，功率达到额定功率，此后汽车以额
定功率运行， 时速度达到最大值 ，汽车运动的 图像如图所示，取 ，求：
（1）汽车的额定功率 ；
（2）汽车在0至 期间牵引力的大小 ，汽车在0至 期间牵引力故的功 ；
（3）汽车在 至 期间的位移的 。
【答案】（1） ；（2） ， ；（3）
【解析】（1）汽车受到的阻力为
当牵引力等于阻力时，汽车速度达到最大，则汽车的额定功率为（2）从0到 时间内，汽车做匀加速直线运动，加速度大小为
汽车匀加速直线运动的位移为
根据牛顿第二定律可得
可得
在0至 期间牵引力做的功为
（3）在 至 期间，由动能定理得
解得
