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7.1 空间几何中的平行（精练）（基础版）
题组一 三角形中位线
1．（2022·云南丽江）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 与 交于点O，E为
的中点，求证： 平面
2（2022·四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，G，F分别是EC，BD的中点，求证： 平面
ABC
3．（2022·浙江·瑞安市第六中学高一阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 为
中点，证明： 平面4．（2022·河北唐山）如图，在直三棱柱 中， 为 的中点，求证： 平面
5．（2022·吉林·长春市实验中学）已知直三棱柱 中，D为AB中点，求证： 平面
题组二 构造平行四边形
1．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期末）四棱锥 底面 为直角梯形，
， ， 为 的中点，求证： 平面2．（2022·辽宁朝阳）如图，在直三棱柱 中，分别是 ， 的中点，求证： 平面
3．（2022·吉林·长春市第五中学）如图，已知四棱锥 的底面是直角梯形， ，
， 为侧棱 的中点，求证： 平面
4．（2022·辽宁抚顺·高一期末）在正方体 中， 分别是 和 的中点.求证：(1) 平面 .
(2)平面 平面 .
5．（2022·辽宁抚顺·高一期末）直四棱柱 ，底面 是平行四边 分别是棱
的中点，求证： 平面
6．（2022·湖南衡阳）如图，四棱柱 的底面ABCD为正方形，O为BD的中点，
，求证：平面 ∥平面7．（2022·福建·厦门市湖滨中学）如图，在正方体 中， 为 的中点， 为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ．
题组三 等比例
1．（2022·江西南昌）两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB， ， ，且
，过M作 于H，求证：(1)平面 平面BCE；
(2) 平面BCE.
2．（2022·安徽安庆市）如图，四棱锥 中，底面 为直角梯形，且
，点M在棱 上，若直线 平面 ，求 的值
3．（2021·全国高三）如图，三棱柱 在圆柱中，等腰直角三角形 ， 分别为上、
下底面的内接三角形，点 ， 分别在棱 和 上， ， ， 平面
，求 的值4．（2022·福建省）如图，在三棱柱 中，侧面 是菱形， 是棱 的中点，
， 在线段 上，且 ，证明： 平面
5（2022·安徽）如图，多面体 中，底面 为等腰梯形， ， ，
， ，且 ，求证： 平面6．（2022福建）如图，在四棱锥 中，四边形 是梯形， .
，证明: 平面
题组四 线面平行的性质
1．（2022·北京市第十三中学）如图，已知在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 为的中点，在 上任取一点 ，过 和 作平面 交平面 于 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 ；
(3)求证： .
2．（2022·山东·济南市章丘区第四中学）如图，四边形ABCD为长方形， 平面ABCD，
， ，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面 平面 ．
(1)证明： 平面PBE；
(2)证明： ；
3．（2022云南）如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面
ABFE∩平面CDEF=EF(1)证明:AF//平面BDG
(2)证明:AB//EF
4．（2022·北京海淀·高三期末）如图，已知长方体 中， 为 的中点，平面 交棱
于点F，求证：
5．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在长方体 中，点 是 的中点， 在上，若过 的平面 交 于 ，交 于 ，求证： 平面
6．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知正方体 的棱长为2， 是 的中点．设平面
与平面 的交线为l，求证： 平面
7．（2022·全国·高三专题练习）如图， 平面 ， 平面 ， ，求证：8．（2022·全国·高三专题练习）在三棱柱 中，
（1）若 分别是 的中点，求证：平面 平面 .
（2）若点 分别是 上的点，且平面 平面 ，试求 的值．
题组五 面面平行的性质1．（2022·四川成都）如图，四边形ABCD为长方形， ， ，点E、F分别为AD、PC的
中点．设平面 平面 ．
(1)证明： 平面PBE；
(2)证明： ．
2．（2022·山东淄博·高一期末）如图，已知正方体 的棱长为 ， 、 分别为棱 、
的中点，证明：直线 平面
3．（2022·江苏省镇江第一中学）如图，三棱柱 中侧棱与底面垂直，M，N，P，D分别为CC ，BC，AB， 的中点，求证：PN∥面ACC A
1 1 1
4．（2022·河南驻马店）如图所示，在直角梯形BCEF中， ，A，D分别是BF，CE上
的点，且 ， ，将四边形ADEF沿AD折起，连接BE，BF，CE，AC，
证明： 面BEF
5．（2022·湖南）如图，在长方体 中， ， 分别是线段 ， 的中点.证明：平面
6．（2022·重庆八中高三阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 与 相交
于点O，F点是 的中点，E点在线段 上，且 ．求证：直线 ∥平面
题组六 线面垂直的性质
1．（2022·河南南阳）如图，已知 是正三角形， 、 都垂直于平面 ，且， 为 的中点．求证： 平面
2．（2022·广东揭阳）圆柱 如图所示， 为下底面圆的直径， 为上底面圆的直径， 底面
， ， ， .证明： 面
3．（2022·山西临汾）如图（1），在梯形 中， 且 ，线段 上有一点E，满足
， ，现将 分别沿 折起，使 ，得到如图（2）
所示的几何体．求证：4．（2022·河南·三模）多面体ABCDE中， 与 均为边长为2的等边三角形， 为腰长为
的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点.求证： 平面ECD
5．（2022·全国·高三专题练习）如图，在多面体 中四边形 是正方形， 平面 ，
平面 ， .证明：平面 平面 .6．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的多面体 中，四边形 为矩形，
， 平面 ，求证： 平面 .
7．（2022·全国·课时练习）如图， 是正三角形， 和 都垂直于平面 ，且 ，
， 是 的中点，求证： 平面 ．
