文档内容
第 12 讲 功 功率 动能定律
1.会判断功的正负，会计算恒力的功和变力的功.
2.理解功率的两个公式P＝和P＝Fv，能利用P＝Fv计算瞬时功率.
3.会分析机车的两种启动方式.
4.掌握动能定理，能运用动能定理解答实际问题．考点一 功的分析与计算
1．功的正负
(1)0≤α<90°，力对物体做正功．
(2)90°<α≤180°，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功．
(3)α＝90°，力对物体不做功．
2．功的计算：W＝ Fl cos _α
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体对地的位移．
(2)该公式只适用于恒力做功．
(3)功是标(填“标”或“矢”)量．
[例题1] （2024•重庆模拟）关于摩擦力做功，下列说法中正确的是（ ）
A．静摩擦力一定不做功
B．滑动摩擦力一定做负功
C．相互作用的一对静摩擦力做功的代数和可能不为0
D．静摩擦力和滑动摩擦力都可做正功
[例题2] （2024•顺庆区校级一模）如图所示，有一条宽度为800m的小河自西向东流淌，
水流速度为v ，各点到较近河岸的距离为x，v 与x之间的关系为v ＝0.0075x（均采用国际单
0 0 0
位）。让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船相对于河水的速度恒为 v ＝4m/s，下列说法正
1
确的选项是（ ）
A．小船在水中做类平抛运动
B．小船到达北岸时位移大小为100√73m
C．小船刚到达北岸时，相对于河岸的速度大小为5m/s
D．小船在行驶过程中，水流一直对小船做正功
[例题3] （2024•天河区一模）图甲中的辘轳是古代民间提水设施，由辘轳头、支架、井
绳、水桶等部分构成。图乙为工作原理简化图，辘轳绕绳轮轴半径 r＝0.1m，水桶的质量M＝
0.5kg，井足够深，忽略井绳质量和因绳子缠绕导致轮轴的半径变化。某次从井中汲取m＝2kg的水，轮轴由静止开始绕中心轴转动从而竖直向上提水桶，其角速度随时间变化规律如图丙所
示，重力加速度g＝10m/s2，则（ ）
A．10s末水桶的速度大小为20m/s
B．水桶的速度大小随时间变化规律为v＝2t
C．0～10s内水柚上升的高度为20m
D．0～10s内井绳拉力所做的功为255J
考点二 功率的计算
1．公式P＝和P＝Fv的区别
P＝是功率的定义式，P＝Fv 是功率的计算式．
2．平均功率的计算方法
(1)利用＝.
(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度．
3．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度．
(2)P＝F·v ，其中v 为物体的速度v在力F方向上的分速度．
F F
(3)P＝F·v，其中F 为物体受到的外力F在速度v方向上的分力．
v v
[例题4] （2024•海口一模）如图所示，杂技演员从某高度水平抛出小球 A的同时，从相
同高度由静止释放小球B。已知两小球完全相同，运动过程中空气阻力大小与速率成正比。下
列判断错误的是（ ）A．.两球同时落地
B．.两球落地时的速率可能相等
C．.运动全过程中，合外力做功相等
D．.运动全过程中，A球重力的功率时刻与B球的相等
[例题5] （2024•乌鲁木齐模拟）我国无人机技术发展迅猛，应用也越来越广泛，无人机
配送快递就是一种全新的配送方式。如图所示，一架配送包裹的无人机从地面起飞后竖直上升
的过程中，升力的功率恒为P 。已知无人机的质量与包裹的质量的比值为k，忽略空气阻力的
0
影响，则该过程中悬吊包裹的轻绳（不可伸长）对包裹做功的功率为（ ）
P P P kP
A． 0 B． 0 C． 0 D． 0
k k+1 k−1 k+1
[例题6] （2024•西城区校级开学）电动平衡车作为一种电力驱动的运输载具，被广泛应
用在娱乐、代步、安保巡逻等领域。某人站在平衡车上以初速度v 在水平地面上沿直线做加
0
速运动，经历时间t达到最大速度v ，此过程电动机的输出功率恒为额定功率P。已知人与车
m
整体的质量为m，所受阻力的大小恒为f。则（ ）
P
A．v =v +
m 0 f
P
B．车速为v 时的加速度大小为
0 mv
0
1 P
C．人与车在时间t内的位移大小等于 (v + )t
2 0 f
1 1
D．在时间t内阻力做的功为 mv2− mv2−Pt
2 m 2 0考点三 动能定理及其应用
1．表达式：W＝mv－mv＝E － E .
k2 k1
2．理解：动能定理公式中等号表明了合外力做功与物体动能的变化具有等量代换关系．合外力做
功是引起物体动能变化的原因．
3．适用条件
(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动．
(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功．
(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用．
4．应用技巧：若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可以分段考虑，也可以整个过程考虑．
[例题7] （2024•南昌二模）如图所示，半径为R的半圆形光滑管道ACB固定在竖直平面
内。在一平行于纸面的恒力F（未画出）作用下，质量为m的小球从A端静止释放后，恰能到
达最低点C；从B端静止释放后，到达C点时，管道受到的压力为10mg。则F的大小为（
）
A．mg B．√2mg C．√3mg D．√5mg
[例题8] （2024•江苏模拟）如图所示，足够大的粗糙斜面倾角为 ，小滑块以大小为v
0
的水平初速度开始沿斜面运动，经过一段时间后，小滑块速度大小为v、θ方向与初速度垂直。
此过程小滑块加速度的最大值为a 、最小值为a 。已知小滑块与斜面动摩擦因数 ＝tan ，则
1 2
（ ） μ θ
A．v＝v B．v＞v
0 0
C． D．
a =√2gsinθ a =√2gsinθ
2 1
[例题9] （2024•江苏模拟）如图所示，倾角为37°的粗糙斜面AB底端与半径R＝0.4m的光滑半圆轨道BC平滑相连，O为轨道圆心，BC为圆轨道直径且处于竖直方向，A、C两点等
高．质量m＝1kg的滑块从A点由静止开始下滑，恰能滑到与O等高的D点，g取10m/s2，
sin37°＝0.6，cos37°＝0.
（1）求滑块与斜面间的动摩擦因数 ．
（2）若使滑块能到达C点，求滑块从μ A点沿斜面滑下时的初速度v
0
的最小值．
（3）若滑块离开C处的速度大小为4m/s，求滑块从C点飞出至落到斜面上的时间t．
[例题10]（2024•吉林一模）我国航天员翟志刚、王亚平、叶光富于2022年4月16日9时
56分搭乘神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆。返回舱在离地面约6000m的高
空打开主伞（降落伞），在主伞的作用下返回舱速度从 80m/s降至10m/s，此后可视为匀速下
降，当返回舱在距离地面1m时启动反推发动机，速度减至0后恰落到地面上。设主伞所受的
空气阻力为f＝kv，其中k为定值，v为速率，其余阻力不计。已知返回舱（含宇航员）总质
量为3000kg，主伞的质量忽略不计，忽略返回舱质量的变化，重力加速度g取10m/s2，设全过
程为竖直方向的运动。求：
（1）在主伞打开后的瞬间，返回舱的加速度大小；
（2）若在反推发动机工作时主伞与返回舱之间的绳索处于松弛状态，则反推发动机在该过程中
对返回舱做的功。考点四 用动能定理巧解多过程问题
[例题11] （2023春•和平区校级期中）在冰雪冲浪项目中，安全员将小朋友（可视为质
点）从A点沿左侧圆弧切线方向推入滑道，小朋友获得v ＝15m/s的初速度，圆弧所在圆的半
0
径R＝100m，圆弧AB所对应的圆心角 ＝37°，B为轨道最低点，冰滑道视为光滑。小朋友和
滑板总质量为m＝40kg，右侧平台比左侧θ 平台高9.45m。小朋友冲上右侧平台后做减速运动，
滑板与平台间动摩擦因数为 ＝0.2，重力加速度g＝10m/s2。求：
（1）小朋友和滑板在圆弧形冰μ滑道最低点B时的速率v及其对冰道的压力F ；
N
（2）小朋友和滑板在右侧雪道滑行的距离d。
[例题12]（2023•浙江模拟）如图为某游戏装置的示意图。AB、CD均为四分之一圆弧，E
为圆弧DEG的最高点，各圆弧轨道与直轨道相接处均相切。GH与水平夹角为 ＝37°，底端
H有一弹簧，A、O 、O 、D、O 、H在同一水平直线上。一质量为0.01kg的小θ钢球（其直径
1 2 3
稍小于圆管内径，可视作质点）从距A点高为h处的O点静止释放，从A点沿切线进入轨道，
B处有一装置，小钢球向右能无能量损失的通过，向左则不能通过且小钢球被吸在 B点。若小
钢球能够运动到H点，则被等速反弹。各圆轨道半径均为R＝0.6m，BC长L＝2m，水平直轨
道BC和GH的动摩擦因数 ＝0.5，其余轨道均光滑，小钢球通过各圆弧轨道与直轨道相接处
均无能量损失。某次游戏时μ，小钢球从O点出发恰能第一次通过圆弧的最高点E。（sin37°＝
0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2）求：
（1）小钢球第一次经过C点时的速度大小v ；
C
（2）小钢球第一次经过圆弧轨道最低点B时对轨道的压力大小F （保留两位小数）；
B
（3）若改变小钢球的释放高度h，求出小钢球在斜面轨道上运动的总路程s与h的函数关系。题型1恒力做功
1. （多选）（2024春•西湖区校级期中）如图所示，质量为 m的小物块（可视为质点）
从斜坡坡顶B处由静止下滑，到达坡底A处被截停，在水平恒力F的作用下，小物块从斜坡
底部A处缓慢运动至坡顶。已知A、B之间的水平距离为s、高度为h，重力加速度为g。则下
列说法正确的是（ ）
A．下滑过程中，小物块重力做的功是mgh
B．推力F对小物块做的功大于Fs
C．上滑过程中，小物块克服摩擦力做功为Fs﹣mgh
D．无论是上滑还是下滑，小物块在这两个阶段克服摩擦力做的功相等
2. （2023秋•东城区期末）如图1所示，质量m＝10kg的物块静止在光滑水平面上A点，
在水平外力F作用下，10s末到达B点，外力F随时间变化的规律如图2所示，取向右为正方
向。
（1）求前10s内物块的位移大小x 和在B点速度的大小v ；
1 1（2）请在图3中画出物体在前20s内的速度—时间（v﹣t）图像；
（3）求在10s到20s这段时间内外力F所做的功W。
题型2变力做功
3. （多选）（2024•乌鲁木齐模拟）如图所示，乌鲁木齐机场在传输旅客行李的过程中，
行李从一个斜面滑下。为防止行李下滑时速度过大，斜面上设置了一段“减速带”（行李与
“减速带”间动摩擦因数较大）。小梁的行李箱质量为m、长度为L，“减速带”的长度为
2L，该行李箱与“减速带”间的动摩擦因数为 ，斜面与水平面间的夹角为 ，重力加速度的
大小为g，行李箱滑过“减速带”的过程中，不μ会发生转动且箱内物品相对行θ李箱静止。设该
行李箱质量分布均匀和不均匀的两种情况下滑过“减速带”的过程中，克服“减速带”的摩擦
力做的功分别为W 和W 。则（ ）
1 2
A．W 一定等于2 mgLcos
1
B．W 一定大于2μmgLcosθ
1
C．W 一定等于Wμ θ
2 1
D．W 可能大于W
2 1
4. （2024•淄博一模）为了节能环保，地铁站的进出轨道通常设计成不是水平的，列车
进站时就可以借助上坡减速，而出站时借助下坡加速。如图所示，为某地铁两个站点之间节能
坡的简化示意图（左右两边对称，每小段坡面都是直线）。在一次模拟实验中，一滑块（可视
为质点）以初速度v 从A站M处出发沿着轨道运动，恰能到达N处。滑块在两段直线轨道交
0
接处平稳过渡，能量损失忽略不计，滑块与各段轨道之间的动摩擦因数均相同，不计空气阻力。
重力加速度为g，则根据图中相关信息，若要使滑块恰能到达B站P处，该滑块初速度的大小
应调整为（ ）A．√4(v2+2gℎ )(l +l +l ) B．√2(v2+2gℎ )(l +l +l )
0 1 1 2 3 0 1 1 2 3
2(l +l )+l 2(l +l )+l
1 2 3 1 2 3
C．√4[v2+2g(ℎ + ℎ )](l +l +l ) D．√2[v2+2g(ℎ + ℎ )](l +l +l )
0 2 3 1 2 3 0 2 3 1 2 3
2(l +l )+l 2(l +l )+l
1 2 3 1 2 3
题型3平均功率与瞬时功率
5. （2024•绵阳模拟）如图所示，从斜面顶端A和斜面中点B分别以初速度v 、v 水平
1 2
抛出两个相同小球，都直接落在了斜面底端C，落地时重力的功率分别为P 、P 。则v 与v 、
1 2 1 2
P 与P 的大小关系正确的是（ ）
1 2
A．v ＝2v B． C．P ＝4P D．P ＝2P
1 2 v =√2v 1 2 1 2
1 2
6. （2023秋•石家庄期末）张三参加车模大赛，操纵小火车在平直轨道上从静止开始匀
加速运动2m达到额定功率，随后以额定功率继续行驶。如图所示为小火车匀加速阶段的动量
平方一位移（p2﹣x）图像，已知小火车的质量为1.0kg，阻力是小火车重力的0.2倍，重力加
速度取10m/s2。下列说法正确的是（ ）A．小火车在匀加速阶段的牵引力大小为1N
B．小火车的额定功率为4W
C．小火车在0～2m的位移内用时为1s
D．小火车在随后的运动过程中能达到的最大速度为3m/s
题型4两种机车启动方式及图像分析
7. （2024•天心区校级模拟）一辆汽车在水平路面上由静止启动，在前5s内做匀加速直
线运动，5s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v﹣t图像如图所示。已知汽车的质
1
量为m＝2×103kg，汽车受到的阻力大小恒为车重力的 ，g取10m/s2，则（ ）
10
A．汽车在前5s内受到的阻力大小为200N
B．前5s内的牵引力大小为6×103N
C．汽车的额定功率为40kW
D．汽车的最大速度为20m/s
8. （2024•二模拟）某实验兴趣小组对新能源车的加速性能进行探究。他们根据自制的
电动模型车模拟汽车启动状态，并且通过传感器，绘制了模型车从开始运动到刚获得最大速度
1 1
过程中速度的倒数 和牵引力F之间的关系图像( −F)，如图所示。已知模型车的质量m＝
v v1kg，行驶过程中受到的阻力恒定，整个过程时间持续5s，获得最大速度为4m/s，则下列说法
正确的是（ ）
A．模型车受到的阻力大小为1N
B．模型车匀加速运动的时间为2s
C．模型车牵引力的最大功率为6W
D．模型车运动的总位移为14m
9. （2024•天津模拟）2019年10月1日，在庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式上，
习近平主席乘“红旗”牌国产轿车依次检阅15个徒步方队和32个装备方队。检阅车在水平路
面上的启动过程如图所示，其中Oa为过原点的倾斜直线，ab段表示以额定功率P行驶时的加
速阶段，bc段是与ab段相切的水平直线，若检阅车的质量为m，行驶过程中所受阻力恒为f，
则下列说法正确的是（ ）
A．检阅车在t 时刻的牵引力和功率都是最大值，t ～t 时间内其牵引力大于f
1 2 3
B．0～t 时间内检阅车做变加速运动
1
v
C．0～t 时间内的平均速度等于 2
2
2
D．t ～t 时间内检阅车牵引力所做功为P（t ﹣t ）
1 2 2 1
10. （2024•成都模拟）同一赛车分别在干燥路面及湿滑路面以恒定加速度a干燥 和a湿滑 启
动达到最大速度。已知a干燥 ＞a湿滑 ，赛车两次启动过程中阻力大小相等且不变，能达到的额
定功率相同。则赛车速度v随时间t变化的图像正确的是（图中OA、OB为直线）（ ）
A． B．C． D．
题型5应用动能定理求变力做功
11. （多选）（2023•青羊区校级模拟）将一小球竖直向上抛出，其动能随时间的变化如
图。已知小球受到的空气阻力与速率成正比。已知小球的质量为m，最终小球的动能为E ，
0
重力加速度为g，若不考虑小球会落地，则小球在整个运动过程中（ ）
A．加速度一直减小至零
B．合外力做功为15E
0
C．最高点的加速度为g
D．从最高点下降至原位置所用时间小于t
1
12. （多选）（2023•株洲一模）在与水平面成 角的固定粗糙斜面上，放着一质量为m
的小滑块，在一个平行于斜面的拉力F （图中未画出θ）作用下，沿着斜面上一段半径为R的圆
周从P点运动到Q点，运动过程中速度大小始终为v，P、Q为四分之一圆周的两个端点，P与
圆心O等高。小滑块与斜面间的动摩擦因数为 ，重力加速度为g，在从P点运动到Q点的过
程中，小滑块（ ） μ
A．所受合力的大小保持不变
B．重力做功的瞬时功率保持不变πμmgRcosθ
C．所受拉力对其做功为 −mgRsin
2
θ
v2
D．运动到Q点时，拉力的大小为m +mgsin
R
θ
题型6在机车启动问题中应用动能定理
13. （2024•香坊区校级二模）2022年8月1日，中国东北地区首条智轨线路哈尔滨新区
智轨有轨电车投入运营。假设有轨电车质量为m，某次测试中有轨电车由静止出发在水平面做
加速度为a的匀加速直线运动，有轨电车所受的阻力恒定为f，达到发动机的额定功率P后，
有轨电车保持额定功率做变加速运动，再经时间t速度达到最大，然后以最大速度匀速运动，
对此下列说法正确的是（ ）
P
A．有轨电车匀速运动的速度为
(ma+f )
P
B．有轨电车做匀加速运动的时间为
(ma+f )a
C．从静止到加速到速度最大的过程牵引力所做的功为Pt
D．有轨电车保持额定功率做变加速运动时间t内的位移为Pt mP2
−
f 2f3
14. （多选）（2024•青羊区校级模拟）某兴趣小组对一辆遥控小车的性能进行研究。他
们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过处理
转化为v﹣t图像，如图所示（除2s～10s时间段图像为曲线外，其余时间段图像均为直线）。
已知在小车运动的过程中，2s～14s时间段内小车的功率保持不变，在14s末停止遥控而让小
车自由滑行，小车的质量为1kg，可认为在整个运动过程中小车所受到的阻力大小不变。则下
列选项正确的是（ ）A．小车在0﹣10s内为恒定功率启动
B．小车所受到的阻力为1.5N
C．小车额定功率为6W
D．小车在变加速运动过程中位移为39m
题型7多过程直线运动问题
15. （2023春•平乐县校级期中）如图所示，倾角为 ＝30°的斜面与足够大的光滑水平面
在D处平滑连接，斜面上有A、B、C三点，AB、BC、CDθ 间距均为20cm，斜面上BC部分粗
糙，其余部分光滑。2块完全相同、质量均匀分布的长方形薄片（厚度忽略不计），紧挨在一
起排在斜面上，从下往上编号依次为1、2，第1块的下边缘恰好在A处，现将2块薄片一起
由静止释放，薄片经过D处时无能量损失且相互之间无碰撞，已知每块薄片质量为 m＝1kg、
√3
长为5cm，薄片与斜面BC间的动摩擦因数 = ，重力加速度为g，求：
3
μ
（1）第1块薄片刚完全进入BC段时两薄片间的作用力大小；
（2）第1块薄片下边缘刚运动到C时的速度大小；
（3）两薄片在水平面上运动时的间距。
16. （2023春•常州月考）水上滑梯可简化成如图所示的模型：倾角为 ＝37°斜滑道AB
和水平滑道BC平滑连接，起点A距水面的高度H＝7.0m，BC长d＝2.0m，θ端点C距水面的
高度h＝1.0m．一质量m＝50kg的运动员从滑道起点A点无初速地自由滑下，运动员与AB、
BC间的动摩擦因数均为 ＝0.10。（g＝10m/s2，cos37°＝0.8，sin37°＝0.6）
μ（1）求运动员沿AB下滑时受到的摩擦力大小；
（2）求运动员从A滑到C的过程中克服摩擦力所做的功W；
（3）运动员从滑梯终点C平抛到水面的水平位移．
题型8直线曲线运动相结合的多过程问题
17. （2023•福建学业考试）如图所示为打弹珠的游戏装置，光滑竖直细管 AB位于平台
1
下方，高度为4h，直管底部有一竖直轻弹簧，其长度远小于4h。平台上方BC段为一光滑的
4
圆弧管型轨道，其半径为h，管自身粗细对半径的影响可忽略不计。现拉动拉杆压缩弹簧，再
释放拉杆将一质量为m的小球弹出，小球弹出后从管口C水平飞出，落至平台上，落点距管
口C的水平距离为10h，不计一切阻力，重力加速度为g，试求：
（1）小球从管口C飞出时的速度；
（2）弹簧被压缩后具有的弹性势能；
1
（3）若平台上方 圆弧轨道的半径可调，且保证每次拉动拉杆压缩弹簧的形变量为定值，则当
4
圆弧轨道半径为何值时，小球从管口飞出后距管口C的水平距离最大？最大值是多少？
18. （2023秋•河西区期末）如图所示，水平轨道AB长为2R，其A端有一被锁定的轻质
弹簧，弹簧左端连接在固定的挡板上，圆心在O 半径为R的光滑圆形轨道BC与AB相切于B
1点，并且和圆心在O 半径为2R的光滑细圆管轨道CD平滑对接，O 、C、O 三点在同一条直
2 1 2
1
线上，光滑细圆管轨道CD右侧有一半径为2R，圆心在D点的 圆弧挡板MO 竖直放置，并
2
4
且与地面相切于O 点.质量为m的小球（可视为质点）从轨道上的C点由静止滑下，刚好能运
2
动到A点，触发弹簧，弹簧立即解除锁定，小滑块被弹回，小球在到达 B点之前已经脱离弹
簧，并恰好无挤压通过细圆管轨道最高点D（计算时圆管直径可不计，重力加速度为g）。求：
（1）小滑块与水平轨道AB间的动摩擦因数 ；
（2）弹簧锁定时具有的弹性势能E P ； μ
（3）滑块通过最高点D后落到挡板上时具有的动能E 。
K
题型9动能定理的图像问题
19. （2023秋•石家庄期末）如图甲所示，质量m＝2kg的物体受到水平拉力F的作用，
在水平面上做加速直线运动，其加速度a随位移x的变化规律如图乙所示，物体的初速度v ＝
0
2m/s。已知物体与水平面间的动摩擦因数为0.2，g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．拉力F随时间均匀增大
B．物体发生10m位移时，拉力F变为原来的二倍
C．物体发生10m位移的过程中，拉力F做功为60J
D．物体发生10m位移时，拉力做功的功率为96W
20. （2024•山西模拟）质量为m、电荷量为q的物块处于水平方向的匀强电场E中，在电场力的作用下，由静止开始在水平地面上做直线运动，E与时间t的关系如图所示。已知物
块与地面间的动摩擦因数为0.2，g＝10m/s2，则（ ）
A．t＝3s时，物块的速率为3m/s
B．t＝4s时，物块的动能为零
C．t＝6s时，物块回到初始位置
D．0～6s内，物块平均速度的大小为2m/s
21. （2023春•江都区期中）一质量为2kg的物体，在水平恒定拉力的作用下以某一速度
在粗糙的水平面上做匀速直线运动，当运动一段时间后拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，
物体刚好停止运动。如图所示为拉力F随位移x变化的关系图像，取g＝10m/s2，则据此可以
求得（ ）
A．物体与水平面间的动摩擦因数为 ＝0.25
B．拉力在减速过程中做的功为16J μ
C．物体匀速运动时的速度大小为v＝4√2m/s
D．在整个过程中合外力对物体所做的功为W合 ＝32J
