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9.5 构造函数常见的方法（精练）（基础版）
题组一 直接型
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 是函数 的导数，且 ，当 时， ，则
不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 ，
因为当 时， ，所以当 时， ，
即 在 上单调递增，
因为 ，所以 为偶函数，则 也是偶函数,所以 在 上单调递减.
因为 ,所以 ,
即 ,
则 ，解得 ，
故选：D.
2．（2022·全国·高二单元测试）已知定义在 上的函数 满足 ，且 的导函数 在 上
恒有 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 可化为 ，令 ，则 ，
因为 ，
所以 ，所以 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即不等式 的解集为 ．故选：A．
3．（2022·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）设函数 在 上存在导数 ，对于任意的实数x，
有 ，当 时， ，若 ，则实数m的取值范
围是（ ）
A．[1，2） B．
C．[ ，2） D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，令 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 为奇函数；
，当 时， 单调递减，因此 在R上单调递减；
当 ，即 时， ；则：
所以： ，
即 ，所以 ，由于 递减，所以 ，解之得 ；所以AC错误；
当 ，即 时， ，
同理可得： ，
所以 ，解之得： ；
综上， ，
故选：B
4．（2022·辽宁·沈阳二中 ）（多选）已知函数 的定义域为 ，且 ， ，则下列结论
中正确的有（ ）
A． 为增函数 B． 为增函数
C． 的解集为 D． 的解集为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为 ，所以 为增函数，故A正确；
对于B，由 ， ，所以 为增函数，故B正确；
对于C， ，则 等价于 ，又 为增函数，
所以 ，解得 ，所以 的解集为 ，故C错误；
对于D， 等价于 ，
即 ，又 为增函数，
所以 ，解得 ，所以 的解集为 ，故D正确；
故选：ABD.
5．（2022·黑龙江）已知 是定义在 上的奇函数，当 时， 且，则不等式 的解集是______．
【答案】
【解析】设 ，则
因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，
所以 是 上的偶函数，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 在 上单调递减．因为 ，所以 ，
所以 ．
对于不等式 ，
当 时， ，即 ，解得 ；
当 时， ，即 ，解得 ，
所以不等式 的解集是 ．
故答案为：
题组二 加乘型
1．（2022·山东）已知奇函数 是定义在R上的可导函数，其导函数为 ，当 时，有
，则不等式 的解集为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】令 ，则 ，
因为当 时，有 ，
所以当 时， ，
所以 在 上为增函数，
因为 为奇函数，所以 ，
所以 ，
所以 为R上的奇函数，
所以 在R上为增函数，
由 ，得
，
，
所以 ，
因为 为奇函数，所以 ，
所以 ，得 ，
所以不等式的解集为 ，故选：C
2．（2022·山西太原·高三阶段练习）定义在 上的函数 满足 ，则不等
式 的解集为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，
则 ，由于 ,
故 ,故 在 单调递增，
而 ，
由 ，得 ，
∴ ，即 ,
∴不等式 的解集为 ,
故选：D．
3．（2022·陕西渭南）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，对任意 满足 ，
则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】构造函数 ,则 ,因为 ,故 ,因此可得
在 上单调递减，由于 ，故 ，
故选：A
4．（2022·广东·高三阶段练习）（多选）已知定义在 上的函数满足 ，
则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】AD
【解析】由 ，得 ，
设 ，则 ,
设 ，则 在 上为增函数,且 ，
则当 时， ，此时 ，此时函数 为增函数；
当 时， ，此时 ，此时函数 为减函数，
故由 ，即 ，A正确；
由 ，得 ，即 ，B错误；
与 不在一个单调区间上，C中算式无法比较大小，C错误；
由 ，得 ，即 ，D正确．
故选：AD
5．（2022·重庆·高三阶段练习）（多选）已知函数 是定义在 上的函数， 是 的导函
数，若 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 在定义域上单调递增
B．函数 在定义域上有极小值
C．函数 的单调递增区间为D．不等式 的解集为
【答案】AC
【解析】令 ，则 ，
因为 ，可得 ，
又由 ，可得 ，
令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ，
即 ，所以 单调递增，所以A正确，B不正确；
由函数 ，可得 ，
令 ，即 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，所以C正确；
设 ，则 ，则
因为 ，所以 ，
所以 ，
令 ，
则注意到 时， ，进而 单减，
知 时“ ，即 .”
时 单减，而 ，所以D错误.
故选：AC.
6（2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，记 为函数
的导函数，且满足 ，则不等式 的解集为__________.
【答案】
【解析】因为 是定义在 上的偶函数，所以 ，故 ，
又 ，所以 ，即 ，
所以 是定义在 上的奇函数；
又因为 ，所以 ，即
，
两式相加，再整理得： ，
所以由 得 ，即 ，令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ，所以在 上，由 ，解得 ；
又当 时， ，即 ，故 ，即 ，
综上： 的解集为 ，
故 的解集为 .
故答案为： .
题组三 减除型
1（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）已知定义在 上的函数 满足
为 的导函数，当 时， ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，所以 ，因为 ，所以
，化简得 ，所以 是 上的奇函数；
，
因为当 时， ，所以当 时， ，从而 在 上单调递增，又 是 上的奇函数，所以 在
上单调递增；
考虑到 ，由 ，
得 ，即 ，
由 在 上单调递增，得 解得 ，
所以不等式 的解集为 ，
故选：B.
2．（2022·安徽·歙县教研室高二期末）定义在 上的函数 的导数为 ，若对任意实数 都有
，且函数 为奇函数，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 为 上的奇函数，则 ，所以 .
原不等式 可化为 ，即 .
令 ，则 ，
故 在 上单调递减，且 由 所以 .
故选：B.
3．（2022·四川省仁寿县文宫中学高三阶段练习（文））已知函数 的定义域为R，且对任意 ，
恒成立，则 解集为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 得 ，
记 ，则 在R上单调递增.
由 得 ，
即 ，
∴ ，
∴ .故选：B.
4．（2022·山东 ）已知函数 是定义在R上的奇函数，且 ，当 时，有 ，
则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵ 是定义在R上的奇函数，则 ，
令 ，则 ，
∴ 为 上的偶函数，
又当 时， ，∴ ，
∴ 在 上是增函数，在 上是减函数；
又 ，∴ ， ， ，当 时，不等式 即为 ，即 ，
∴ ，
当 时，不等式 即 ，即 ，
∴ ，
当 时， ，不等式 不成立；
综上，不等式 的解集是 ，
故选：D.
5．（2021·陕西宝鸡市·高三一模）若定义在 上的函数 满足 ， ，则不
等式 (其中 为自然对数的底数)的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
又因为 ，
所以 ，
即不等式的解集是 ，
故选：C题组四 三角函数型
1．（2021·全国高三专题练习）已知奇函数 的导函数为 ，且 在 上恒有
成立，则下列不等式成立的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】构造函数 ，由 在 上恒有 ，
，
在 上为增函数，
又由 ， 为偶函数，
， ， ，
，故A错误.
偶函数 在 上为增函数， 在 上为减函数，， ，
， ，故B正确；
， ， ，
，故C错误；
， ， ， ，故D错误.
故选：B.
2．（2021·全国高三专题练习）已知定义R在上的函数 ，其导函数为 ，若
，且当 时， ，则不等式 的
解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则 ，
又由 ，所以 .故 ，即 为定义在R上的偶函数；
当 时， ，
所以 在 上单调递增，
由 ，
即 ，
所以 ，
解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：D.
3．（2021·全国高三专题练习（理））定义在 上的函数 的导函数为 ，当 时，
且 ， .则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令 ， ， ，
所以，，
，所以，函数 为 上的奇函数，
，
当 时， ，即 ， ，
所以， 在 上单调递增，
由奇函数的性质可知，函数 在 上单调递增，
所以，函数 在 上单调递增.
对于A选项， ，则 ，即 ，A选项错
误；
对于B选项， ， ，即 ，B选项正确；
对于C选项， ， ，即 ，C选项错误；
对于D选项， ， ，即 ，D选项错误.
故选：B.
4．（2021·全国高三专题练习（理））设函数 是定义在 上的函数 的导函数，有
，若 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（
）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】设函数 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 在 上是增函数，
， ，
，
所以 ，
故选：A
5．（2021·浙江高三专题练习）定义域为 的函数 满足 ，其导函数为
，当 时，有 成立，则关于x的不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵ 且 ，∴ 是奇函数，
设 ，则 时， ，∴ 在 是减函数．又 是奇函数，∴ 也是奇函数，因此 在 是递减，
从而 在 上是减函数，
不等式 为 ，即 ，∴ ．
故选：B．
题组五 题意型
1（2022·天津外国语大学附属外国语学校高三阶段练习）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，则 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增， 上单调递减，又 ，所以 ， ，即
， ，
又 ，所以 ，
所以 ；
故选：A
2．（2022·福建省福州第一中学高三开学考试）已知 ， ， ，
，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增.
所以 ，即 ，
于是有 ，所以 ，即 ，
所以 .
故选：B.
3．（2022·四川·高三阶段练习（理））已知 为自然对数的底数，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ， ，令 ，则 ， ， .
，易知 在 上单调递增．
又 ，而 ，所以 ．
故选：A.
4．（2022·四川巴中·模拟预测（理））已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ， ，可得 ，则 ，令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，又 ，
所以当 时， ，
所以 ，所以 在 上单调递减，从而 ，
所以 ，即 ，从而可知 .
由 ， ,可得 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，又 ，
所以当 时， ，
所以 ，所以 在 上单调递减，从而 ，
所以 ，即 ，从而可知 .
综上可得 .
故选：C
5．（2022·湖北·高三开学考试）已知 是自然对数的底数，若 ，
则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
又因为 ，
所以 ，
即 ，
又因为 ，且 递减，
所以 ，
故选：A
6．（2022·浙江省淳安中学高三开学考试）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当 时，
令 ， ，所以 为单调递增函数，
且 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
设 ， ，
所以 单调递减，得 ，
可得 ，
所以 ，即.
故选：A.
7．（2022·全国· 课时练习）已知 且 ， ， ，则a，b，c的大
小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】构造函数 ，则 ， ，
．
因为 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递减.
又因为 ，所以 ，且 ，故 .
故选：C．
8．（2022·江苏南通·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由不等式 可得 ，即 ； ，
设 ，
因为 ，所以 在 上单调递增，所以当 ，所以 ，即 .
所以 .
故选：C
