9.5构造函数常见的方法（精练）（基础版）（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习（基础版）（新高考地区专用）

9.5 构造函数常见的方法（精练）（基础版） 题组一 直接型 1．（2023·全国·高三专题练习）已知 是函数 的导数，且 ，当 时， ，则 不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设 ，则 ， 因为当 时， ，所以当 时， ， 即 在 上单调递增， 因为 ，所以 为偶函数，则 也是偶函数,所以 在 上单调递减. 因为 ,所以 , 即 , 则 ，解得 ， 故选：D. 2．（2022·全国·高二单元测试）已知定义在 上的函数 满足 ，且 的导函数 在 上 恒有 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 可化为 ，令 ，则 ， 因为 ， 所以 ，所以 在 上单调递减， 因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ，即不等式 的解集为 ．故选：A． 3．（2022·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）设函数 在 上存在导数 ，对于任意的实数x， 有 ，当 时， ，若 ，则实数m的取值范 围是（ ） A．[1，2） B． C．[ ，2） D． 【答案】B 【解析】因为 ，所以 ，令 ， 所以 ， 因为 ，所以 ，所以 为奇函数； ，当 时， 单调递减，因此 在R上单调递减； 当 ，即 时， ；则： 所以： ， 即 ，所以 ，由于 递减，所以 ，解之得 ；所以AC错误； 当 ，即 时， ， 同理可得： ， 所以 ，解之得： ； 综上， ， 故选：B 4．（2022·辽宁·沈阳二中 ）（多选）已知函数 的定义域为 ，且 ， ，则下列结论 中正确的有（ ） A． 为增函数 B． 为增函数 C． 的解集为 D． 的解集为 【答案】ABD 【解析】对于A，因为 ，所以 为增函数，故A正确； 对于B，由 ， ，所以 为增函数，故B正确； 对于C， ，则 等价于 ，又 为增函数， 所以 ，解得 ，所以 的解集为 ，故C错误； 对于D， 等价于 ， 即 ，又 为增函数， 所以 ，解得 ，所以 的解集为 ，故D正确； 故选：ABD. 5．（2022·黑龙江）已知 是定义在 上的奇函数，当 时， 且，则不等式 的解集是______． 【答案】 【解析】设 ，则 因为 是定义在 上的奇函数， 所以 ， 所以 是 上的偶函数， 当 时， ，所以 在 上单调递增， 所以 在 上单调递减．因为 ，所以 ， 所以 ． 对于不等式 ， 当 时， ，即 ，解得 ； 当 时， ，即 ，解得 ， 所以不等式 的解集是 ． 故答案为： 题组二 加乘型 1．（2022·山东）已知奇函数 是定义在R上的可导函数，其导函数为 ，当 时，有 ，则不等式 的解集为（ ） A． B．C． D． 【答案】C 【解析】令 ，则 ， 因为当 时，有 ， 所以当 时， ， 所以 在 上为增函数， 因为 为奇函数，所以 ， 所以 ， 所以 为R上的奇函数， 所以 在R上为增函数， 由 ，得 ， ， 所以 ， 因为 为奇函数，所以 ， 所以 ，得 ， 所以不等式的解集为 ，故选：C 2．（2022·山西太原·高三阶段练习）定义在 上的函数 满足 ，则不等 式 的解集为（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令 ， 则 ，由于 , 故 ,故 在 单调递增， 而 ， 由 ，得 ， ∴ ，即 , ∴不等式 的解集为 , 故选：D． 3．（2022·陕西渭南）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，对任意 满足 ， 则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造函数 ,则 ,因为 ,故 ,因此可得 在 上单调递减，由于 ，故 ， 故选：A 4．（2022·广东·高三阶段练习）（多选）已知定义在 上的函数满足 ， 则下列不等式一定正确的是（ ） A． B．C． D． 【答案】AD 【解析】由 ，得 ， 设 ，则 , 设 ，则 在 上为增函数,且 ， 则当 时， ，此时 ，此时函数 为增函数； 当 时， ，此时 ，此时函数 为减函数， 故由 ，即 ，A正确； 由 ，得 ，即 ，B错误； 与 不在一个单调区间上，C中算式无法比较大小，C错误； 由 ，得 ，即 ，D正确． 故选：AD 5．（2022·重庆·高三阶段练习）（多选）已知函数 是定义在 上的函数， 是 的导函 数，若 ，且 ，则下列结论正确的是（ ） A．函数 在定义域上单调递增 B．函数 在定义域上有极小值 C．函数 的单调递增区间为D．不等式 的解集为 【答案】AC 【解析】令 ，则 ， 因为 ，可得 ， 又由 ，可得 ， 令 ，可得 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 所以 ， 即 ，所以 单调递增，所以A正确，B不正确； 由函数 ，可得 ， 令 ，即 ，解得 ， 所以函数 的单调递增区间为 ，所以C正确； 设 ，则 ，则 因为 ，所以 ， 所以 ， 令 ， 则注意到 时， ，进而 单减， 知 时“ ，即 .” 时 单减，而 ，所以D错误. 故选：AC. 6（2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，记 为函数 的导函数，且满足 ，则不等式 的解集为__________. 【答案】 【解析】因为 是定义在 上的偶函数，所以 ，故 ， 又 ，所以 ，即 ， 所以 是定义在 上的奇函数； 又因为 ，所以 ，即 ， 两式相加，再整理得： ， 所以由 得 ，即 ，令 ，则 ， 当 时， ；当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 又因为 ，所以在 上，由 ，解得 ； 又当 时， ，即 ，故 ，即 ， 综上： 的解集为 ， 故 的解集为 . 故答案为： . 题组三 减除型 1（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）已知定义在 上的函数 满足 为 的导函数，当 时， ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令 ，所以 ，因为 ，所以 ，化简得 ，所以 是 上的奇函数； ， 因为当 时， ，所以当 时， ，从而 在 上单调递增，又 是 上的奇函数，所以 在 上单调递增； 考虑到 ，由 ， 得 ，即 ， 由 在 上单调递增，得 解得 ， 所以不等式 的解集为 ， 故选：B. 2．（2022·安徽·歙县教研室高二期末）定义在 上的函数 的导数为 ，若对任意实数 都有 ，且函数 为奇函数，则不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数 为 上的奇函数，则 ，所以 . 原不等式 可化为 ，即 . 令 ，则 ， 故 在 上单调递减，且 由 所以 . 故选：B. 3．（2022·四川省仁寿县文宫中学高三阶段练习（文））已知函数 的定义域为R，且对任意 ， 恒成立，则 解集为（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 得 ， 记 ，则 在R上单调递增. 由 得 ， 即 ， ∴ ， ∴ .故选：B. 4．（2022·山东 ）已知函数 是定义在R上的奇函数，且 ，当 时，有 ， 则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵ 是定义在R上的奇函数，则 ， 令 ，则 ， ∴ 为 上的偶函数， 又当 时， ，∴ ， ∴ 在 上是增函数，在 上是减函数； 又 ，∴ ， ， ，当 时，不等式 即为 ，即 ， ∴ ， 当 时，不等式 即 ，即 ， ∴ ， 当 时， ，不等式 不成立； 综上，不等式 的解集是 ， 故选：D. 5．（2021·陕西宝鸡市·高三一模）若定义在 上的函数 满足 ， ，则不 等式 (其中 为自然对数的底数)的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令 ， 则 ， 所以 在 上单调递增， 又因为 ， 所以 ， 即不等式的解集是 ， 故选：C题组四 三角函数型 1．（2021·全国高三专题练习）已知奇函数 的导函数为 ，且 在 上恒有 成立，则下列不等式成立的（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数 ，由 在 上恒有 ， ， 在 上为增函数， 又由 ， 为偶函数， ， ， ， ，故A错误. 偶函数 在 上为增函数， 在 上为减函数，， ， ， ，故B正确； ， ， ， ，故C错误； ， ， ， ，故D错误. 故选：B. 2．（2021·全国高三专题练习）已知定义R在上的函数 ，其导函数为 ，若 ，且当 时， ，则不等式 的 解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令 ，则 ， 又由 ，所以 .故 ，即 为定义在R上的偶函数； 当 时， ， 所以 在 上单调递增， 由 ， 即 ， 所以 ， 解得 ， 所以不等式 的解集为 . 故选：D. 3．（2021·全国高三专题练习（理））定义在 上的函数 的导函数为 ，当 时， 且 ， .则下列说法一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令 ， ， ， 所以，， ，所以，函数 为 上的奇函数， ， 当 时， ，即 ， ， 所以， 在 上单调递增， 由奇函数的性质可知，函数 在 上单调递增， 所以，函数 在 上单调递增. 对于A选项， ，则 ，即 ，A选项错 误； 对于B选项， ， ，即 ，B选项正确； 对于C选项， ， ，即 ，C选项错误； 对于D选项， ， ，即 ，D选项错误. 故选：B. 4．（2021·全国高三专题练习（理））设函数 是定义在 上的函数 的导函数，有 ，若 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D．【答案】A 【解析】设函数 ，则 ， 因为 ，所以 ， 所以 在 上是增函数， ， ， ， 所以 ， 故选：A 5．（2021·浙江高三专题练习）定义域为 的函数 满足 ，其导函数为 ，当 时，有 成立，则关于x的不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵ 且 ，∴ 是奇函数， 设 ，则 时， ，∴ 在 是减函数．又 是奇函数，∴ 也是奇函数，因此 在 是递减， 从而 在 上是减函数， 不等式 为 ，即 ，∴ ． 故选：B． 题组五 题意型 1（2022·天津外国语大学附属外国语学校高三阶段练习）设 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令 ，则 ，所以当 时 ，当 时 ， 所以 在 上单调递增， 上单调递减，又 ，所以 ， ，即 ， ， 又 ，所以 ， 所以 ； 故选：A 2．（2022·福建省福州第一中学高三开学考试）已知 ， ， ， ，则a，b，c，d的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 设 ，则 ， 所以 在 上单调递增. 所以 ，即 ， 于是有 ，所以 ，即 ， 所以 . 故选：B. 3．（2022·四川·高三阶段练习（理））已知 为自然对数的底数，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， ， ，令 ，则 ， ， . ，易知 在 上单调递增． 又 ，而 ，所以 ． 故选：A. 4．（2022·四川巴中·模拟预测（理））已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 ， ，可得 ，则 ，令 ，则 ， 令 ，则 ， 所以 在 上单调递减，又 ， 所以当 时， ， 所以 ，所以 在 上单调递减，从而 ， 所以 ，即 ，从而可知 . 由 ， ,可得 ，则 ， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 所以 在 上单调递减，又 ， 所以当 时， ， 所以 ，所以 在 上单调递减，从而 ， 所以 ，即 ，从而可知 . 综上可得 . 故选：C 5．（2022·湖北·高三开学考试）已知 是自然对数的底数，若 ， 则有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ， 令 ，则 ， 当 时， ，当 时， ， 又因为 ， 所以 ， 即 ， 又因为 ，且 递减， 所以 ， 故选：A 6．（2022·浙江省淳安中学高三开学考试）已知 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当 时， 令 ， ，所以 为单调递增函数， 且 ，所以 ， 所以 ，即 ，所以 ， 设 ， ， 所以 单调递减，得 ， 可得 ， 所以 ，即. 故选：A. 7．（2022·全国· 课时练习）已知 且 ， ， ，则a，b，c的大 小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】构造函数 ，则 ， ， ． 因为 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递减. 又因为 ，所以 ，且 ，故 . 故选：C． 8．（2022·江苏南通·模拟预测）设 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由不等式 可得 ，即 ； ， 设 ， 因为 ，所以 在 上单调递增，所以当 ，所以 ，即 . 所以 . 故选：C