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第 42 讲 动量守恒的判定及某一方向上的动量守恒问题
1．（2022•浙江）如图所示，在竖直面内，一质量 m的物块a静置于悬点O正下方的A点，以速
度v逆时针转动的传送带MN与直轨道AB、CD、FG处于同一水平面上，AB、MN、CD的长
度均为l。圆弧形细管道DE半径为R，EF在竖直直径上，E点高度为H。开始时，与物块a相
同的物块b悬挂于O点，并向左拉开一定的高度h由静止下摆，细线始终张紧，摆到最低点时
恰好与a发生弹性正碰。已知m＝2kg，l＝1m，R＝0.4m，H＝0.2m，v＝2m/s，物块与MN、
CD之间的动摩擦因数 ＝0.5，轨道AB和管道DE均光滑，物块a落到FG时不反弹且静止。忽
略M、B和N、C之间的μ 空隙，CD与DE平滑连接，物块可视为质点。
（1）若h＝1.25m，求a、b碰撞后瞬时物块a的速度v 的大小；
0
（2）物块a在DE最高点时，求管道对物块的作用力F 与h间满足的关系；
N
（3）若物块b释放高度0.9m＜h＜1.65m，求物块a最终静止的位置x值的范围（以A点为坐标
原点，水平向右为正，建立x轴）。
一.知识回顾
1．几个相关概念
(1)系统：两个(或多个)相互作用的物体构成的整体叫作一个力学系统，简称系统。
(2)内力：系统中物体间的作用力。
(3)外力：系统以外的物体施加给系统内物体的力。
2．动量守恒定律
(1)内容：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0，这个系统的总动量保持不变。
这就是动量守恒定律。
(2)表达式
①p＝p′，系统相互作用前的总动量p等于相互作用后的总动量p′。
②mv＋mv＝mv′＋mv′，相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作用后
1 1 2 2 1 1 2 2的动量和。
③Δp＝－Δp，相互作用的两个物体动量的增量等大反向。
1 2
④Δp＝0，系统总动量的增量为零。
(3)适用条件
①理想守恒：系统不受外力或所受外力的合力为零，则系统动量守恒。
②近似守恒：系统受到的合力不为零，但当内力远大于外力时，系统的动量可近似看成守恒。
③某方向守恒：系统在某个方向上所受合力为零时，系统在该方向上动量守恒。
3.动量守恒定律的“六性”
(1)系统性：研究对象是相互作用的两个或多个物体组成的系统。
(2)条件性：必须满足动量守恒定律的适用条件。
(3)矢量性：表达式中初、末动量都是矢量，首先需要选取正方向，分清各物体初、末动量的
正、负。
(4)瞬时性：动量是状态量，动量守恒指对应每一时刻的总动量都和初时刻的总动量相等。
(5)相对性：动量守恒定律方程中的动量必须是相对于同一惯性参考系。一般选地面为参考系。
(6)普适性：不仅适用于宏观低速物体组成的系统，也适用于微观高速粒子组成的系统。
4．应用动量守恒定律解题的步骤
二.典型例题精讲：
题型一： 对系统、内力和外力的理解
例1．关于系统内力做功的问题，下列说法正确的是（ ）
A．系统内力是作用力与反作用力，做功必定正负相反且代数和为零
B．物体和地球构成的系统中，万有引力是内力，做功的代数和为零
C．系统内一对相互作用的静摩擦力做功的代数和不一定为零
D．系统内一对相互作用的滑动摩擦力做功的代数和一定为负值
题型\s\up7() 对动量守恒定律适用条件的理解
例2．如图所示，A、B两物体质量之比m ：m ＝3：2，原来静止在平板小车C上，A、B间有一
A B
根被压缩的弹簧，地面光滑，当弹簧突然释放后，则（ ）A．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B组成系统的动量守恒
B．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数不同，A、B、C组成系统的动量不守恒
C．若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B、C组成系统的动量守恒
D．若A、B所受的摩擦力大小不相等，A、B、C组成系统的动量不守恒
题型\s\up7() 动量守恒定律的应用
例3．悬绳下吊着一个质量为M＝9.99kg的沙袋，构成一个单摆，摆长L＝1m。一颗质量m＝10g
的子弹以v ＝500m/s的水平速度射入沙袋，瞬间与沙袋达到共同速度（不计悬绳质量，g取
0
10m/s2），则此时悬绳的拉力为（ ）
A．35N B．100N C．102.5N D．350N
题型\s\up7() 沿某一方向动量守恒问题
例4．质量为M的砂车，沿光滑水平面以速度v 做匀速直线运动，此时从砂车上方落入一个质量为
0
m的大铁球，如图所示，则铁球落入砂车后，砂车将（ ）
A．立即停止运动
B．仍匀速运动，速度仍为v
0
C．仍匀速运动，速度小于v
0
D．做变速运动，速度不能确定
三.举一反三，巩固练习
1. 如图所示，在足够大的光滑水平面上停放着装有光滑弧形槽的小车，弧形槽的底端切
线水平，一小球以大小为v 的水平速度从小车弧形槽的底端沿弧形槽上滑，恰好不从弧形槽的
0
顶端离开。小车与小球的质量分别为2m、m，以弧形槽底端所在的水平面为参考平面。小球
的最大重力势能为（ ）1 1 1 1
A． mv2 B． mv2 C． mv2 D． mv2
3 0 4 0 5 0 6 0
2. 如图所示，质量为0.1kg的小圆环A穿在光滑的水平直杆上。用长为L＝0.8m的细线
拴着质量为0.2kg的小球B，B悬挂在A下方并处于静止状态。t＝0时刻，小圆环获得沿杆向
左的冲量0.6N•s，g取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．小球B做圆周运动
B．小球B第一次运动到A的正下方时A的速度最小
C．从小球B开始运动到第一次回到A的正下方的过程中，细线对A先做负功再做正功
D．从小球B开始运动到第一次回到的正下方的过程中，合力对B的冲量为0.6N•s
3. 如图所示，质量为2m的小球A与质量为m的小球B固定在轻杆两端，初始时刻轻杆
紧靠光滑墙壁，竖直立于光滑地板上，如图所示。突然发生微小的扰动使小球B绕A球在垂直
于墙壁的竖直平面内无初速度倒下，下落过程中，轻杆与竖直方向的夹角为 ，直到B球第一
次落地，以下说法正确的是（ ） α
A．A球不动，B球做圆周运动
2
B．当cos = 时，轻杆的弹力为零
3
α
2
C．当cos ＜ 时，A球与B球系统的动量守恒
3
α
2
D．当cos ＞ 时，轻杆的弹力为F ＝mg（3cos ﹣2）
N
3
α α
4. 如图所示，质量为m的光滑圆弧形槽静止在光滑水平面上，质量也为m的小钢球从槽的顶端A处由静止释放，关于小球和凹槽在以后的运动过程中，以下说法正确的是（ ）
A．小球的机械能守恒
B．小球和槽组成的系统动量守恒
C．小球一定可以到达与A等高的C点
D．经过一段时间后小球和槽以相同的速度向右运动
5. 如图所示，质量为m、内壁光滑、半径为R的半圆形容器静止在足够长的光滑水平地
面上，左侧紧靠竖壁但不粘连，质量也为 m的小球从半圆形容器内壁A点静止开始下滑，下
列说法中正确的是（ ）
π √R
A．从A点下滑到半圆形轨道最底点B点过程中，运动时间为
2 g
R
B．小球过最底点B后，能上升的最大高度点为D点，B、D两点高度差为
2
C．从A点运动到D点过程中，半圆形容器对小球的弹力对小球始终不做功
D．半圆形容器在一段时间内将不断重复做往复运动
6. 2022年2月，北京市和张家口市联合举办了第24届冬季奥林匹克运动会，让世界瞩
目。某次冰壶比赛中，黄色冰壶静止在圆形区域内，运动员用质量相等的红色冰壶撞击黄色冰
壶，红、黄两只冰壶发生正碰，如图甲所示。若碰撞前后两壶的 v﹣t图像如图乙所示，则（
）A．两只冰壶发生碰撞过程中机械能守恒
B．碰撞后，黄色冰壶受到的滑动摩擦力较大
C．碰撞后，黄色冰壶经过5s停止运动
D．碰撞后，两壶相距的最远距离为1.2m
7. 如图所示，半径分别为3R和R的两光滑半圆轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之
间由一条光滑水平轨道CD相连，在水平轨道CD上有一轻弹簧被a、b两小球夹住，同时释放
两小球，a、b球恰好均能通过各自半圆轨道的最高点，已知a球的质量为m。则（ ）
√3
A．b球质量为 m
3
B．两小球与弹簧分离时，动能相等
C．若m ＝m ＝m要求a、b都能通过各自的最高点，弹簧释放前至少具有的弹性势能为E ＝
a b p
15mgR
D．a球到达圆心等高处时，对轨道压力为9mg
8. 如图所示，在足够大的光滑水平面上停放着装有光滑弧形槽的小车，弧形槽的底端切
线水平，一小球以大小为v 的水平速度从小车弧形槽的底端沿弧形槽上滑，恰好不从弧形槽的
0
顶端离开。小车与小球的质量分别为2m、m，重力加速度大小为g，不计空气阻力，以弧形槽
底端所在的水平面为参考平面。下列说法正确的是（ ）1
A．小球的最大重力势能为 mv2
3 0
B．小球离开小车后，小球做自由落体运动
C．在小球沿小车弧形槽滑行的过程中，小车对小球做的功为0
2
D．在小球沿小车弧形槽滑行的过程中，合力对小车的冲量大小为 mv
3 0
9. 如图甲所示，一光滑圆管轨道由相互连接的两个半圆轨道及一个四分之一圆轨道组成，
圆管轨道竖直固定（管内直径可以忽略），右侧底端与直轨道相切于 M点，直轨道粗糙，圆
管轨道的半径R＝0.2m。质量m ＝0.1kg的物块A，自圆管左端开口的正上方高h＝4.8m处自
1
由下落，沿切线落入圆管轨道，经过竖直圆管轨道后与M点处静止的质量m ＝0.3kg的物块B
2
发生碰撞（碰撞时间极短），碰后物块B在直轨道上滑行过程的x﹣t图像如图乙所示。已知
A、B与直轨道间的动摩擦因数相同，A、B均可视为质点，不计空气阻力，取g＝10m/s2。则
（ ）
A．最终A静止的位置到M点的距离为1m
B．A、B碰后瞬间B的速度大小为2m/s
C．A滑过竖直圆管轨道P、Q两点时受到管壁的弹力大小之差为6N
D．A、B与直轨道间的动摩擦因数为0.15
10. 如图（a），质量分别为m 、m 的A、B两物体用轻弹簧连接构成一个系统，外力F
A B
作用在A上，系统静止在光滑水平面上（B靠墙面），此时弹簧形变量为x。撤去外力并开始计时，A、B两物体运动的a﹣t图像如图（b）所示，S 表示0到t 时间内A的a﹣t图线与坐
1 1
标轴所围面积大小，S 、S 分别表示t 到t 时间内A、B的a﹣t图线与坐标轴所围面积大小。
2 3 1 2
A 在 t 时 刻 的 速 度 为 v 。 下 列 说 法 正 确 的 是 （ ）
1 0
A．m ＜m
A B
B．S +S ＝S
1 2 3
C．0到t 时间内，墙对B的冲量大小等于m v
1 A 0
D．B运动后，弹簧的最大形变量等于x
11. 如图所示，沿水平和竖直方向建立直角坐标系，沿x轴放置一块长为4d的绝缘板，y
轴左侧固定一内壁光滑的半圆管道（内径很小），半圆直径为d，且与y轴重合。第一象限内
mg
绝缘板的上方存在有理想边界的匀强电场和匀强磁场，电场强度 E= ，方向竖直向上；磁
q
场方向垂直于坐标平面向外，磁感应强度为 B，上边界处纵坐标为y。一带电量为q、质量为
m的绝缘小球a（直径略小于管道内径）静止在坐标原点 O处，质量为2m的不带电的小球b
以初速度v （未知）向左运动，与a球发生弹性正碰（假设此后运动过程中两球不再碰撞，重
0
力加速度为g）。
（1）若碰撞后a球恰能通过管道最高点，求v 的大小；
0
3
（2）若场区上边界y = d，a球通过最高点后恰能再次水平向左通过O点，求B 的大小；
1 1
4
7 2√gd
（3）若场区上边界y = d，a球以v = 通过最高点后恰好从坐标为（4d，d）的P点水平
2 2
8 3
射出场区，则磁感应强度应满足什么条件？
