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第20课 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象（分层专项精练）
【一层练基础】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列结论错误的是（ ）
A．函数 的最小正周期是
B．函数 在区间 上单调递减
C．函数 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位长度，再向下平移1个单位长度得
到
D．函数 的图象关于 对称
【答案】C
【分析】A选项，利用三角恒等变换得到 ，从而求出最小正周期；B选项，整体
代入检验是否是单调递减区间；C选项，利用函数平移左加右减，上加下减进行平移，求出平移后的解析
式；D选项，代入检验是否是对称中心.
【详解】 ，
所以函数 的最小正周期是 ，A正确；
当 时， ，所以 单调递减，故B正确；
函数 的图象向左平移 个单位长度，再向下平移1个单位长度得到 ，
故C错误；
当 时， ，所以 ，所以 的图象关于 中心对称，D正确.
故选：C
2．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）函数 的图像向左平移 个单位得到函数
的图像，若函数 是偶函数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图像平移得函数 的解析式，由函数 是偶函数，解出 ，可得 .
【详解】函数 的图像向左平移 个单位，得 的图像，
又函数 是偶函数，则有 ， ，解得 ， ；
所以 .
故选：C．
3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数 ，将函数 的图象
向左平移 个单位长度，得到函数 的部分图象如图所示，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据平移后得到函数 的解析式，再根据图象求函数的解析式，即可求值.
【详解】平移不改变振幅和周期，所以由图象可知 ，
，解得： ,
函数 的图象向左平移 个单位长度，得
当 时， ，且 ，
得
所以 ， .
故选：A
4．（2022秋·全国·高一期末）已知函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函
数 的图象关于y轴对称，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】D
【分析】根据辅助角公式，结合正弦型函数的奇偶性进行求解即可.
【详解】 ，
因为该函数的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，
所以 ，因为 的图象关于y轴对称，
所以 是偶函数，
因此有 ，
因为 ，所以当 时， 有最小值，最小值为5，
故选：D
二、多选题
5．（2023秋·广西贵港·高三平南县中学校考阶段练习）已知函数
的部分图象如图所示，则（ ）
A． 的最小正周期为
B．当 时， 的值域为
C．将函数 的图象向右平移 个单位长度可得函数 的图象
D．将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点
对称
【答案】ACD【分析】先根据 中 ， ， 的几何意义，求得 的解析式，再结合正弦函数的图象与性
质，函数图象的变换，逐一分析选项即可．
【详解】由图可知， ，函数 的最小正周期 ，故A正确；
由 ，知 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，即 ， ，
又 ，所以 ，所以 ，
对于B，当 时， ，所以 ，
所以 的值域为 ，故B错误；
对于C，将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到 的图象，故C正确；
对于D，将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象，
因为当 时， ，所以得到的函数图象关于点 对称，故D正确．
故选：ACD．
6．（2023春·浙江金华·高一浙江省东阳中学校联考阶段练习）已知函数 的
图象关于直线 对称，那么（ ）
A．函数 为奇函数B．函数 在 上单调递增
C．若 ，则 的最小值为
D．函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象
【答案】AC
【分析】利用 的图象关于直线 对称，即可求出 的值，从而得出 的解析式，再
利用三角函数的性质逐一判断四个选项即可．
【详解】因为 的图象关于直线 对称，
所以 ，
得 ， ，因为 ，所以 ，
所以 ，
对于A： ，所以 为奇函数成立，故选项A正确；
对于B： 时， ，函数 在 上不是单调函数；故选项B不正确；
对于C：因为 ， ，又因为 ，所以 的最小值为半个周期，即
，故选项C正确；
对于D：函数 的图象向右平移 个单位长度得到
，故选项D不正确；
故选：AC7．（2023·全国·高一期中）已知函数 ，则下列说法正确的有（ ）
A． 的图象关于点 中心对称
B． 的图象关于直线 对称
C． 在 上单调递减
D．将 的图象向左平移 个单位，可以得到 的图象
【答案】AC
【分析】用余弦函数的图像与性质，采用整体代入的思想对选项逐一判断即可.
【详解】由 可知， 解得 ，所以函数的对称中心为 ，
故A选项正确；
令 解得 ，所以函数的对称轴为 ， ，故B选项错误；
令 ，解得 ，所以函数的单调递减区间为 ，
故C选项正确；
将 的图象向左平移 个单位得 ，故D选项错误；
故选：AC
三、填空题
8．（2023春·福建福州·高三校考阶段练习）将函数 的图象向左平移 个单
位长度．得到函数g(x)的图象，若g(x)是奇函数，则φ＝ ．
【答案】【分析】首先根据平移规律求函数 的解析式，再根据函数是奇函数，求 的值.
【详解】函数 向左平移 个单位长度，得到函数 ，
函数 是奇函数，所以 ，则 ， ，
则 ， ，因为 ，所以 .
故答案为：
9．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，现将 的图象向左平移 个单位长度，再
向下平移两个单位长度，得到 的图象，则满足 的 的取值集合为 ．
【答案】
【分析】先利用三角函数图象变换规律求出 的解析式，再由 求解即可.
【详解】解：由题意可知， ．
令 ，则 ，
即 ， ，得 ， ，
故取值集合为 ．
故答案为：
四、解答题
10．（2023秋·天津蓟州·高三校考阶段练习）已知函数 的部分图象如图所示.
(1)求 的最小正周期及解析式；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，求函数 在区间 上的最
大值和最小值.
【答案】(1) ，
(2) .
【分析】（1）由图象可知 ，相邻的对称中心和对称轴距离相差 ，再代入关键点可得解析式；
（2）根据图象的变换得到 解析式，再根据正弦函数的图象与性质可得其在区间上 最值.
【详解】（1）由图象可知 的最大值为1，最小值-1，故 ；
又 ∴ ，
将点 代入 ，
∴ ，
∵ ∴
故答案为： ， .
（2）由 的图象向右平移 个单位长度得到函数∵
∴
∴当 时，即 ， ；
当 时，即 ，
故答案为：
【二层练综合】
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）函数 的图象由函数 的图象向左平移 个单位长度
得到，则 的图象与直线 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得 ，再作出 与 的部分大致图像，考
虑特殊点处 与 的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为 向左平移 个单位所得函数为 ，
所以 ，
而 显然过 与 两点，
作出 与 的部分大致图像如下，考虑 ，即 处 与 的大小关系，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
所以由图可知， 与 的交点个数为 .
故选：C.
二、多选题
2．（2023春·河南南阳·高一河南省桐柏县第一高级中学校考阶段练习）函数 （其中
A， ， 是常数， ， ， ）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． 的值域为
B． 的最小正周期为πC．
D．将函数f（x）的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象
【答案】AB
【分析】对A、B、C：根据函数图象求 ，即可分析判断；对D：根据图象变换结合诱导公式求解析
式，即可得结果.
【详解】对A：由图可知： ，即 ，
∵ ，则 ，
故 的值域为 ，A正确；
对B：由图可得： ，则 ，B正确；
对C：∵ ，且 ，可得 ，
∴ ，
由图可得： 的图象过点 ，
即 ，则 ，
且 ，可得 ，
可得 ，则 ，C错误；
对D：可得： ，
将函数f（x）的图象向左平移 个单位，得到，
D错误；
故选：AB.
三、填空题
3．（2023春·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）已知函数
的部分图象如图所示，将 的图象向左平移 个单位得到 的图象，若不等式
在 ，上恒成立，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先根据图象的变换规律求出 的解析式，进而求出 在 上的值域 ，再利用换元法，
结合函数性质，求出最值解决问题．
【详解】解：依题意有 ，
，
所以 ，所以 ，
由图知，函数 的最小正周期 满足： ，所以 ，则 ，令 得 ，
所以 ，
所以 ，
当 时， ，
故 ，所以 ，
令 ，
原不等式即化为 在 ， 上恒成立，
令 ，该二次函数开口向上，要使上式恒成立，只需：
，解得 ，
故 的范围是 ．
故答案为： ．
四、解答题
4．（2023春·四川眉山·高一统考期中）已知数 的相邻两
对称轴间的距离为 .
(1)求 的解析式；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函
数 的图象，当 时，求函数 的值域；(3)对于第（2）问中的函数 ，记方程 在 上的根从小到大依次为 ，若
，试求 与 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先整理化简得 ，利用周期求得 ，即可得到 ；
（2）利用图像变换得到 ，用换元法求出函数 的值域；
（3）由方程 ，得到 ，借助于正弦函数 的图象，求出 与 的值.
【详解】（1）由题意，函数
因为函数 图象的相邻两对称轴间的距离为 ，所以 ，可得 .
故
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得 的图象.
再把横坐标缩小为原来的 ，得到函数 的图象.
当 时， ，
当 时，函数 取得最小值，最小值为 ，
当 时，函数 取得最大值，最大值为 ，故函数 的值域 .
（3）由方程 ，即 ，即 ，
因为 ，可得 ，
设 ，其中 ，即 ，结合正弦函数 的图象，
可得方程 在区间 有5个解，即 ，
其中 ，
即
解得
所以 .
综上，
【点睛】（1）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于 或 的性
质解题；
（2）求y=Asin(ωx+φ)+B的值域通常用换元法；
【三层练能力】
一、多选题
1．（2023春·河南焦作·高二博爱县第一中学校考期末）已知函数 （ 为正整数，
）的最小正周期 ，将函数 的图象向右平移 个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数 的说法正确的是（ ）
A． 是函数 的一个零点 B．函数 的图象关于直线 对称
C．方程 在 上有三个解 D．函数 在 上单调递减
【答案】ABD
【分析】先由周期范围及 为正整数求得 ，再由 平移后关于原点对称求得 ，从而得到
，
对于AB，将 与 代入检验即可；
对于C，利用换元法得到 在 内只有两个解，从而可以判断；
对于D，利用整体法及 的单调性即可判断.
【详解】因为 ， ，所以 ，解得 ，
又 为正整数，所以 ，所以 ，
所以函数 的图象向右平移 个单位长度后所得图象对应的函数
，
（点拨：函数 的图象经过平移变换得到 的图象时，不是平移 个单位长度，
而是平移 个单位长度），
由题意知，函数 的图象关于原点对称，故 ，即 ，
又 ，所以 ， ，所以 ，对于A， ，故A正确；
对于B， ，故B正确；
对于A，令 ，因为 ，所以 ，
显然 在 内只有 ， 两个解，即方程 在 上只有两个解，故C错误；
对于A，当 时， ，
因为 在 上单调递减，所以函数 在 上单调递减，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：求解此类问题的关键是会根据三角函数的图象变换法则求出变换后所得图象对应的
函数解析式，注意口诀“左加右减，上加下减，横变 ，纵变A”在解题中的应用.
二、填空题
2．（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）已知曲线 相邻对称轴之间的
距离为 ，且函数 在 处取得最大值，则下列结论正确的序号是 .
①当 时， 的取值范围是 ；
②将 的图象向左平移 个单位后所对应的函数为偶函数；
③函数 的最小正周期为 ；
④函数 在区间 上有且仅有一个零点.【答案】①③
【分析】根据题意确定函数周期，求得 ，先讨论 时情况，对于①，由函数 在 处取得
最大值，可得 ，结合辅助角公式可得 ，解不等式即可得 的取值
范围；对于②，取特殊值 ，求得一个值 ，代入验证，可判断②；对于③，根据函数
的最小正周期即可判断；对于④，根据题意可得当 时， ，可得
，此时 有无数个零点，即可判断④.
【详解】由题意得
其中 ，
由函数 相邻对称轴之间的距离为 ，可得 ，
先讨论 时情况，则 ，
对于①，由函数 在 处取得最大值，则 ，
解得 ， ，又 ，则 ，
故 ，
即 ，
解得 ，故①正确；
对于②，不妨令 ，则 ，由函数 在 处取得最大值，则 ，可解得一个 ，那么将 的图象向
左平移 个单位后得到的函数为 ，该函数为奇函数，故②错误；
对于③，由 的最小正周期为 ，则 的最小正周期为 ，则 也是 的周期，
则函数 的最小正周期为 ,故③正确；
对于④，函数 在 处取得最大值，且最小正周期为 ，
故当 时， ，则 ，此时 有无数个零点，
则函数 在区间 上有无数个零点，
则函数 在区间 上有无数个零点，故④错误；
同理讨论 时情况，①③正确，
故答案为：①③
【点睛】关键点点睛：此题综合考查正弦型函数性质，解答的关键是利用辅助角公式化简，并能结合周期
确定参数 的值，在判断④时，关键点在于要明确 时， ，则有 ，
从而判断函数零点个数.
