文档内容
第二讲 电场能的性质
知识梳理
一、静电力做功和电势能
1．静电力做功
(1)特点：静电力做的功与电荷经过的路径无关，只与电荷量和电荷移动的初末位置有关。
(2)计算方法
①W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为带电体沿电场方向的位移。
②W ＝qU ，适用于任何电场。
AB AB
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能。
(2)说明：电势能具有相对性，通常把电荷在离场源无限远处或把电荷在大地表面的电势能规定为0。
3．二者关系
(1)静电力做的功等于电荷电势能的减少量，即W ＝E －E 。
AB pA pB
(2)通过W ＝E －E 可知：静电力对电荷做多少正功，电荷的电势能就减少多少；静电力对电荷做多少负
AB pA pB
功，电荷的电势能就增加多少。
二、电势和等势面
1．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比。
(2)定义式：φ＝（计算时注意φ、q、E 都要带正负号）。
p
(3)矢标性：电势是标量，有正负之分，正(负)号表示该点电势比零电势高(低)。
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同。
2．等势面
(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面。
(2)四个特点
①在同一等势面上移动电荷时电场力不做功。
②电场线一定与等势面垂直，并且从电势高的等势面指向电势低的等势面。
③等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小。
④任意两个等势面都不相交。
三、电势差
1．定义：在电场中，两点之间电势的差值。2．定义式：U ＝φ －φ 。
AB A B
3．与静电力做功的关系
(1)静电力做的功W 等于电荷在A、B两点的电势能之差。
AB
(2)电势差U 由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及电场力做的功W 无关，与零电势点的选取无
AB AB
关。
4．电势差与电场强度
(1)电势差与电场强度的关系式：U ＝Ed，其中d为电场中两点间沿电场方向的距离。
AB
(2)电场强度的方向和大小与电势差的关系：电场中，电场强度方向指向电势降低最快的方向。
知识训练
考点一、电场力做功、电势和电势能
1．判断电场力做功的正负：
(1)根据电场力与速度夹角：夹角是锐角，电场力做正功．夹角是钝角，电场力做负功．
(2)根据W ＝qU ：由q和U 的正负，判断W 的正负．
AB AB AB AB
2．判断电势能的变化：
(1)根据电场力做功：电场力做正功，电势能减少，电场力做负功，电势能增加．
(2)根据E＝φq：正电荷在电势越高处电势能越大；负电荷在电势越高处电势能越小．
p
3．判断电势高低：
(1)根据电场线：沿电场线的方向电势降低．
(2)根据U ＝ ：判断U 正负，确定φ 和φ 的高低．
AB AB A B
例1、电荷量为q的电荷在电场中由A点移到B点时，电场力做功W，由此可算出两点间的电势差为U，
若让电荷量为2q的电荷在电场中由A点移到B点，则( )
A．电场力做功仍为W B．电场力做功为
C．两点间的电势差仍为U D．两点间的电势差为
【答案】C
【解析】两点间电势差与移动的电荷无关，电场力做功变为W′＝2qU＝2W，只有C正确。
例2、(2019·江苏高考)(多选)如图所示，ABC为等边三角形，电荷量为＋q的点电荷固定在A点。先将一电
荷量也为＋q的点电荷Q 从无穷远处(电势为0)移到C点，此过程中，电场力做功为－W。再将Q 从C点
1 1
沿CB移到B点并固定。最后将一电荷量为－2q的点电荷Q 从无穷远处移到C点。下列说法正确的有(
2
)A．Q 移入之前，C点的电势为
1
B．Q 从C点移到B点的过程中，所受电场力做的功为0
1
C．Q 从无穷远处移到C点的过程中，所受电场力做的功为2W
2
D．Q 在移到C点后的电势能为－4W
2
【答案】ABD
【解析】根据电场力做功与电势能变化的关系知Q 在C点的电势能E＝W，根据电势的定义式知C点电势
1 p
φ＝＝，A正确；在A点的点电荷产生的电场中，B、C两点处在同一等势面上，Q 从C点移到B点的过程
1
中，电场力做功为0，B正确；将Q 移到B点固定后，再将Q 从无穷远处移到C点，两固定点电荷对Q
1 2 2
的库仑力做的功均为2W，则电场力对Q 做的总功为4W，C错误；因为无穷远处电势为0，则Q 移到C点
2 2
后的电势能为－4W，D正确。
例3、如图所示，A点与B点间距离为2l，OCD是以B为圆心，以l为半径的半圆路径．A、B两处各放有
一点电荷，电荷量分别为＋q和－q.下列说法正确的是( )
A．单位正电荷在O点所受的静电力与在D点所受的静电力大小相等、方向相反
B．单位正电荷从D点沿任意路径移到无限远，静电力做正功，电势能减小
C．单位正电荷从D点沿DCO移到O点，电势能增大
D．单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电势能增大
【答案】C
【解析】电荷量为＋q的电荷在O点产生的电场强度大小为：E ＝k，方向向右；电荷量为－q的电荷在O
1
点产生的电场强度大小为E ＝k，方向向右，所以O点的合场强为E＝2k，方向向右，单位正电荷在O点
2
受到的静电力大小为：F＝2ek，方向向右．电荷量为＋q的电荷在D点产生的电场强度大小为：E ＝k，方
2
向向右；电荷量为－q的电荷在D点产生的电场强度大小为E ＝k，方向向左，所以D点的合场强为E′＝
3
k，方向向左，单位正电荷在D点受到的静电力大小为：F′＝ke，方向向左，A错误；因为D点靠近负电
荷，远离正电荷，所以D点的电势为负，无限远处电势为零，而正电荷从低电势向高电势处运动静电力做负功，电势能增大，B错误；等量异种电荷连线的中点处电势为零，故O点电势比D点电势高，正电荷在
电势高处电势能大，则在O点电势能比在D点电势能大，C正确，D错误．
例4、(多选)(2020·山东卷·10)真空中有两个固定的带正电的点电荷，电荷量不相等．一个带负电的试探电
荷置于二者连线上的O点时，仅在电场力的作用下恰好保持静止状态．过 O点作两正电荷连线的垂线，以
O点为圆心的圆与连线和垂线分别交于a、c和b、d，如图所示．以下说法正确的是( )
A．a点电势低于O点
B．b点电势低于c点
C．该试探电荷在a点的电势能大于在b点的电势能
D．该试探电荷在c点的电势能小于在d点的电势能
【答案】BD
【解析】作出两个固定点电荷分别在O点附近的电场线，由题意知，O点的场强E ＝0，则两点电荷分别
O
在O点处产生电场的电场线疏密相同，进而推知O点左侧的电场方向向右，O点右侧的电场方向向左．可
以判定：a点电势高于O点，b点电势低于c点，故A错误，B正确；由E ＝φq可知，a点的电势高于b
p
点，试探电荷(带负电)在a点的电势能比b点小，故C错误；c点电势高于d点，试探电荷(带负电)在c点
的电势能小于d点，故D正确．
课堂随练
训练1、(2021·高考广东卷，T6)图是某种静电推进装置的原理图，发射极与吸极接在高压电源两端，两极
间产生强电场，虚线为等势面，在强电场作用下，一带电液滴从发射极加速飞向吸极，a、b是其路径上的
两点，不计液滴重力，下列说法正确的是( )
A．a点的电势比b点的低
B．a点的电场强度比b点的小C．液滴在a点的加速度比在b点的小
D．液滴在a点的电势能比在b点的大
【答案】D
【解析】高压电源左为正极，则所加强电场的场强向右，而沿着电场线电势逐渐降低，可知φ>φ ，故A
a b
错误；等差等势线的疏密反映场强的大小，由题图可知a处的等势线较密，则E>E ，故B错误；液滴的
a b
重力不计，根据牛顿第二定律可知，液滴的加速度为 a＝，因E>E ，可得a>a ，故C错误；液滴在电场
a b a b
力作用下向右加速，则电场力做正功，动能增大，电势能减小，即E >E ，故D正确。
pa pb
训练2、(多选)(2022·沈阳5月第三次教学质检)如图所示，正六边形的两个顶点 F、D上固定等量异种电
荷，则下列说法正确的是( )
A．C点电场强度大于B点电场强度
B．若带正电的粒子仅在电场力作用下沿直线从F运动到D，其加速度先变大后变小
C．将一个正电荷从A点移到C点电场力做功等于将其从A点移到E点电场力做功的2倍
D．将一个正电荷从B点移到O点电场力做功小于将其从B点移到E点电场力做的功
【答案】AC
【解析】等量异种电荷电场线如图，由图可知越靠近电荷的地方电场线越密，场强越大，离电荷越远的地
方，电场线越疏，场强越小。由图可知，C点到电荷的距离小于B点到电荷的距离，故C点电场强度大于
B点电场强度，故A正确；若带正电的粒子仅在电场力作用下沿直线从 F运动到D，由图可知，电场线先
变疏后变密，所以场强先减小后增大，故加速度先变小后变大，故B错误；连接BE、AC，因为BE为等势
面，A、C点关于BE对称，则有U ＝2U ，根据W＝qU可知，将一个正电荷从A点移到C点电场力做功
AC AE
等于将其从A点移到E点电场力做功的2倍，故C正确；因为B、O、E三点均在同一等势面上，根据W＝
qU可知，将一个正电荷从B点移到O点电场力做功等于将其从B点移到E点电场力做的功，且做的功均为零，故D错误。
训练3、(多选)(2020·全国卷Ⅱ)如图，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷。
a、b为圆环水平直径上的两个点，c、d为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等。则( )
A．a、b两点的场强相等 B．a、b两点的电势相等
C．c、d两点的场强相等 D．c、d两点的电势相等
【答案】ABC
【解析】沿竖直方向将圆环分割成无穷个小段，关于水平直径对称的两小段构成等量异种点电荷模型，在
等量异种点电荷的垂直平分线上各点场强方向由正点电荷指向负点电荷，根据对称性可知a、b两点的场强
相等，A项正确；取无穷远处电势为零，在等量异种点电荷的垂直平分线上各点电势均为零，故 a、b两点
的电势相等，B项正确；沿水平方向将圆环分割成无穷个小段，关于竖直直径对称的两小段构成等量同种
点电荷模型，在等量同种点电荷的垂直平分线上各点场强方向垂直于连线，根据对称性可知c、d两点的场
强相等，C项正确；在等量异种点电荷模型中，距离正点电荷近的点电势高，故φ>φ，D项错误。
c d
训练4、(多选)如图所示，四个带电荷量绝对值相等的点电荷分别固定在竖直平面内某一正方形的四个顶点
上，A、B、C、D四个点分别为对应的四条边的中点，现有某一带正电的试探电荷在四个电荷产生的电场
中运动，下列说法正确的是( )
A．D点的电势小于A点的电势
B．D点的电势小于C点的电势
C．试探电荷仅在静电力作用下从A点沿AC运动到C点，其加速度逐渐增大
D．直线BD所在的水平面为等势面
【答案】AD
【解析】取无穷远处为零电势点，A点在两个正电荷电场中电势为2φ ，在两个负电荷电场中电势为－
1
2φ ，因φ>φ ，故A点的电势为(2φ －2φ)>0；同理C点的电势为(－2φ ＋2φ)<0.D点在左上正电荷、左下
2 1 2 1 2 1 2
负电荷的电场中电势为0，同理，在右上正电荷、右下负电荷的电场中电势也为0，故D点电势为零，有φ >φ ，φ >φ ，A正确，B错误．由场强叠加原理可知，A、C两点的场强相同，故试探电荷在这两点的加
A D D C
速度也相同，所以试探电荷仅在静电力作用下从 A点沿AC运动到C点，加速度并不是一直增大，故C错
误；B、D所在的水平面上任意一点的场强方向均竖直向下，故在这个水平面内移动电荷时，静电力不做
功，所以此面一定为等势面，故D正确．
训练5、(2020·全国卷Ⅲ)(多选) 如图，∠M是锐角三角形PMN最大的内角，电荷量为q(q>0)的点电荷固定
在P点。下列说法正确的是( )
A．沿MN边，从M点到N点，电场强度的大小逐渐增大
B．沿MN边，从M点到N点，电势先增大后减小
C．正电荷在M点的电势能比其在N点的电势能大
D．将正电荷从M点移动到N点，电场力所做的总功为负
【答案】BC
【解析】∠M是锐角三角形PMN最大的内角，所以PN>PM，又因为固定在P点的点电荷的电荷量q>0，
据此可作出过M、N两点的电场线和等势线，如图所示。
根据点电荷的场强公式E＝k可知，沿MN边，从M点到N点，距P点处点电荷的距离r先减小后增大，
故电场强度的大小先增大后减小，A错误；根据离正点电荷越近电势越大可知，沿 MN边，从M点到N
点，距P点处点电荷的距离先减小后增大，故电势先增大后减小，B正确；由图可知，φ >φ ，结合电势能
M N
公式E ＝qφ可知，正电荷在M点的电势能大于其在N点的电势能，C正确；由C项分析可知，将正电荷
p
从M点移动到N点，电势能减小，故电场力所做的总功为正，D错误。
考点二、电场线、等势面与粒子运动轨迹问题
1．判断速度方向
带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
2．判断电场力(或电场强度)的方向仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断电场强度的方
向。
3．判断电场力做功及电势能的增减
若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负
功，电势能增加。
4．几种常见等势面的比较
电场 等势面(虚线)图样 特点
匀强电场 垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场 以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场 两电荷连线的中垂面为等势面
在电荷连线上，中点电势最
等量同种正点电荷的电场 低；在中垂线上，中点电势最
高
例1、如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动
轨迹，设M点和N点的电势分别为φ 、φ ，粒子在M和N时加速度大小分别为a 、a ，速度大小分别为
M N M N
v 、v ，电势能分别为E 、E 。下列判断正确的是( )
M N pM pN
A．v ＜v ，a ＜a B．v ＜v ，φ ＜φ
M N M N M N M N
C．φ ＜φ ，E ＜E D．a ＜a ，E ＜E
M N pM pN M N pM pN
【答案】D
【解析】电场线密的地方场强大，粒子受到的电场力大，所以a φ ，故B、C错误。又由E ＝qφ和能量守恒知，带负电的粒子在电势越低的位置，具有的电势
M N p
能越大，而动能越小，即E v ，故A错误，D正确。
pM pN M N
例2、(2021·6月浙江选考，T6)某书中有如图所示的图，用来表示横截面是“<”形导体右侧的电场线和等
势面，其中a、b是同一条实线上的两点，c是另一条实线上的一点，d是导体尖角右侧表面附近的一点。
下列说法正确的是( )
A．实线表示电场线
B．离d点最近的导体表面电荷密度最大
C．“<”形导体右侧表面附近电场强度方向均相同
D．电荷从a点到c点再到b点电场力做功一定为零
【答案】D
【解析】处于静电平衡的导体，是个等势体，则整个导体为等势体，由于电场线方向总是与等势面垂直，
所以实线不是电场线，是等势面，所以 A错误；等势面的疏密表示电场强度的强弱，则 d点的电场强度较
弱，并且电场强度越大的地方电荷密度越大，所以 B错误；在“<”形导体右侧表面上下部分附近电场强度
方向不相同，所以C错误；由于a、b在同一等势面上，则电荷从a点到c点再到b点电场力做功一定为
零，所以D正确。
例3、(多选)(2021·高考全国卷甲，T18)某电场的等势面如图所示，图中a、b、c、d、e为电场中的5个
点，则( )
A．一正电荷从b点运动到e点，电场力做正功
B．一电子从a点运动到d点，电场力做功为4 eV
C．b点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向右D．a、b、c、d四个点中，b点的电场强度大小最大
【答案】BD
【解析】由题图可知φ ＝φ，则正电荷从b点运动到e点，电场力不做功，A错误；由题图可知φ ＝3 V，
b e a
φ ＝7 V，根据电场力做功与电势能的变化关系有W ＝E －E ＝(φ －φ)·(－e)＝4 eV，B正确；沿电场线
d ad pa pd a d
方向电势逐渐降低，则b点处的场强方向向左，C错误；由于电场线与等势面处处垂直，则可画出电场线
分布如图所示，由图可看出，b点电场线最密集，则b点处的场强最大，D正确。
例4、如图所示，虚线为某静电场中的等差等势线(相邻两虚线间的电势差相等)，实线为某带电粒子在该静
电场中运动的轨迹，a、b、c、d为粒子的运动轨迹与等势线的交点，除静电力外，粒子受到的其他力均可
不计。下列说法正确的是( )
A．粒子在a、c两点的加速度大小一定相等
B．粒子在b、c两点的速度大小一定相等
C．粒子运动过程中速度一定先减小后增大
D．粒子在b点时的电势能一定比在d点时的电势能大
【答案】B
【解析】因a点处的等差等势线比c点处的密集，故a点处的电场强度大于c点处的电场强度，故电荷在a
点受到的静电力大于在c点受到的静电力，结合牛顿第二定律可知，粒子在a点的加速度比在c点的加速
度大，故A错误；b、c两点的电势相等，则粒子在b、c两点的电势能相等，由能量守恒定律可知，粒子
在b、c两点的动能相等，速度大小相等，故B正确；由粒子运动的轨迹弯曲的方向及等势线与电场线垂直
可知，粒子受到的静电力指向轨迹曲线内侧且垂直于电场线，则粒子从a运动到b静电力做正功，粒子速
度增大，从c运动到d静电力做负功，速度减小，故粒子在由a到d的运动过程中的速度先增大后减小，
同理，粒子在由d到a的运动过程中的速度也先增大后减小，故 C错误；因粒子由c到d的过程中静电力做负功，动能减小，电势能增大，即粒子在d点的电势能大于在c点的电势能，由于c点电势与b点电势
相等，粒子在c点与b点电势能相等，故粒子在d点的电势能大于在b点的电势能，D错误。
课堂随练
训练1、(多选)如图所示，在点电荷Q产生的电场中，实线MN是一条方向未标出的电场线，虚线AB是一
个电子只在静电力作用下的运动轨迹。设电子在A、B两点的加速度大小分别为a 、a ，电势能分别为
A B
E 、E 。下列说法正确的是( )
pA pB
A．电子一定从A向B运动
B．若a >a ，则Q靠近M端且为正电荷
A B
C．无论Q为正电荷还是负电荷一定有E E ，F>F ，a >a ，φ >φ ，E r ，故φ >φ ，E q ，A错误；由电场线的方
1 2
向可知，A为负电荷，B为正电荷，在负电荷A的电场中，Q点的电势等于P点的电势，在正电荷B的电
场中，Q点的电势小于P点的电势，故φ ＜φ ，B错误；因为A、B为异种电荷，且q>q，所以A、B连线
Q P 1 2
的延长线上电场强度为零的点在B的右侧，C错误；根据带电粒子的运动轨迹可知，该粒子所受电场力的
方向与电场方向相反，故带负电，电场力先做负功后做正功，故它的电势能先变大后变小，D正确。
训练4、(2021·高考全国卷乙，T15)如图(a)，在一块很大的接地金属平板的上方固定一负电荷。由于静电感
应，在金属平板上表面产生感应电荷，金属板上方电场的等势面如图(b)中虚线所示，相邻等势面间的电势
差都相等。若将一正试探电荷先后放于M和N处，该试探电荷受到的电场力大小分别为F 和F ，相应的
M N
电势能分别为E 和E ，则( )
pM pN
A．F E B．F >F ，E >E
M N pM pN M N pM pN
C．F F ，E E 。
pM pN
训练5、(2022·南京、盐城第二次模拟)2020年2月，中国科学家通过冷冻电镜捕捉到新冠病毒表面S蛋白
与人体细胞表面ACE2蛋白的结合过程，首次揭开了新冠病毒入侵人体的神秘面纱。电子显微镜是冷冻电
镜中的关键部分，其中的一种电子透镜的电场分布如图所示，虚线为等差等势面，一电子在其中运动的轨
迹如图中实线所示，a、b是轨迹上的两点，则( )
A．a点的电场强度大于b点的电场强度
B．b点电场强度的方向水平向右
C．a点的电势高于b点的电势
D．电子在a点的电势能大于在b点的电势能
【答案】C
【解析】等差等势面的疏密可表示场强强弱，由于 a点等差等势面比b点稀疏，则a点的电场强度小于b
点的电场强度，故A错误；由于电场线垂直于等势面，则 b点电场强度垂直等势面沿水平方向，又因为电
子轨迹为曲线，所受电场力指向轨迹凹侧，即水平向右，又电子带负电，则 b点电场强度的方向水平向
左，故B错误；顺着电场线方向，电势逐渐降低，电场线由高等势面指向低等势面，故 a点电势高于b
点，故C正确；因为φ>φ，电子在电势低的地方电势能大，在电势高的地方电势能小，故电子在a点的电
a b
势能小于在b点的电势能，故D错误。
考点三、电势差与电场强度的关系
1．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)U ＝Ed，d为A、B两点沿电场方向的距离。
AB
(2)沿电场强度方向电势降落得最快。
2．两个推论
(1)如图甲所示，C点为线段AB的中点，则有φ ＝。
C
(2)如图乙所示，AB∥CD，且AB＝CD，则U ＝U 。
AB CD3．E＝在非匀强电场中的两点妙用
(1)判断电场强度的大小：等差等势面越密，电场强度越大。
(2)判断电势差的大小：距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小。
4．解题思路
例1、如图所示，在纸面内有一直角三角形ABC，P 为AB的中点，P 为AP 的中点，BC＝2 cm，∠A＝
1 2 1
30°。纸面内有一匀强电场，电子在A点的电势能为－5 eV，在C点的电势能为19 eV，在P 点的电势能为
2
3 eV。下列说法正确的是( )
A．A点的电势为－5 V
B．B点的电势为－19 V
C．该电场的电场强度方向由B点指向A点
D．该电场的电场强度大小为800 V/m
【答案】D
【解析】由公式φ＝可知，φ ＝＝＝5 V，故A错误。φ ＝＝＝－3 V，A、P 间的电势差为U＝φ －φ ＝5
A P2 2 A P2
V－(－3) V＝8 V，φ ＝φ －4U＝5 V－4×8 V＝－27 V，故B错误。A点到B点电势均匀降落，设PB的中
B A 1
点为P ，该点电势为φ ＝φ －3U＝5 V－3×8 V＝－19 V，而φ ＝＝＝－19 V，则P 点与C点为等势点，
3 P3 A C 3
连接两点的直线为等势线，如图虚线PC所示，由几何关系知，PC与AB垂直，所以AB为电场线，又因
3 3
为沿电场线方向电势越来越低，所以该电场的电场强度方向是由A点指向B点，场强大小为E＝＝ V/cm
＝800 V/m，故C错误，D正确。
例2、如图所示，等边△ABC所在平面与匀强电场平行，其中电势 φ ＝φ，φ ＝2φ，φ ＝3φ(φ>0)，保持该
A B C电场的大小和方向不变，让等边三角形以A点为轴在纸面内顺时针转过30°，到△AB′C′位置，则此时的C′
点电势为( )
A．φ B．2φ
C．φ D．(1＋)φ
【答案】D
【解析】利用等分法可确定匀强电场方向从C指向A，设AC长度为L，则E＝，由几何知识得，C′A沿电
场线方向的距离为d ＝Lcos 30°＝L，由电势差与电场强度的关系 U ＝φ －φ ＝Ed ＝·，解得φ ＝(1
C′A C′A C′ A C′A C′
＋)φ，故D正确，A、B、C错误．
例3、(多选) (2021·四川泸州市诊断)如图所示，abcd为匀强电场中的一直角梯形，其平面与场强方向平
行。已知ab＝ad＝2 cm，∠adc＝60°，a、b、d三点的电势分别为0 V、4 V、4 V，则( )
A．c点的电势为10 V
B．匀强电场的场强大小为400 V/m
C．若将电子从a点移到b点，需克服电场力做功4 eV
D．电子和质子分别放在d点时，具有相同的电势能
【答案】AB
【解析】由几何关系可知dc＝1.5ab，则U ＝1.5U ，即φ －φ ＝1.5(φ －φ)，可得φ ＝10 V，选项A正
dc ab d c a b c
确；因bd连线是等势线，则电场强度方向沿着从a点垂直bd连线方向，则电场强度大小E＝＝ V/m＝400
V/m，选项B正确；若将电子从a点移到b点，电场力做正功4 eV，选项C错误；电子和质子分别带等量
异号电荷，则放在d点时，具有的电势能大小相等，符号相反，选项D错误。
例4、(多选)(2017·全国卷Ⅲ)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是( )
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
【答案】ABD
【解析】
如图所示，设a、c之间的d点电势与b点电势相同，则＝＝，所以d点的坐标为(3.5 cm,6 cm)，过c点作
等势线bd的垂线，电场强度的方向由高电势指向低电势。由几何关系可得，ce的长度为3.6 cm，电场强度
的大小E＝＝＝2.5 V/cm，故选项A正确；因为Oacb是矩形，所以有U ＝U ，可知坐标原点O处的电
ac Ob
势为1 V ，故选项B正确；a点电势比b点电势低7 V，电子带负电，所以电子在a点的电势能比在b点的
高7 eV，故选项C错误；b点电势比c点电势低9 V，电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV，故选项
D正确。
课堂随练
训练1、(2022·广东省高三模拟)如图，圆形区域内存在平行于圆面的匀强电场，mn和pq是圆的两条互相
垂直的直径．将一带正电的粒子从另一直径ab的a点移到m点，其电势能增加量为ΔE(ΔE>0)，若将该粒
子从m点移到b点，其电势能减少量也为ΔE，则电场强度的方向( )
A．平行直径ab指向a
B．平行直径ab指向bC．垂直直径ab指向pm弧
D．垂直直径ab指向nq弧
【答案】D
【解析】由于带正电的粒子从直径ab的a点移到m点，其电势能增加量为ΔE(ΔE>0)，根据W＝q(φ －φ )
a m
可知，静电力做负功，且φ<φ ，若将该粒子从m点移到b点，其电势能减少量也为ΔE，根据W＝q(φ －
a m m
φ)可知，静电力做正功，且φ<φ ，由于电势能变化量相同，则可知a点与b点电势相等，故直径ab是一
b b m
条等势线，且m点电势高于a、b点电势，所以电场强度的方向垂直直径ab指向nq弧．
训练2、(多选)(2022·石家庄一模)如图所示，匀强电场的方向平行于xOy平面，cd、cb分别垂直于x轴、y
轴，a、b、c三点的电势分别为4 V、8 V、10 V。现使一电荷量为q＝－2×10－5 C、质量m＝2×10－3 kg的
带电粒子从O点垂直ab斜向上运动恰好通过b点。已知该粒子仅受电场力作用，下列说法正确的是( )
A．坐标原点O的电势为8 V
B．电场强度的大小为100 V/m
C．该粒子从O点运动到b点过程中，电场力做功为4×10－5 J
D．该粒子在O点速度大小为2－ m/s
【答案】BC
【解析】由于是匀强电场，所以沿同一方向前进相同距离，电势差相等 φ －φ＝φ －φ ，代入数据解得φ
b c a O O
＝6 V，故A错误；因为是匀强电场，所以沿同一方向前进相同距离，电势差相等，ab中点e的电势为φ
e
＝6 V，连接Oe，则Oe为等势面，如图所示，由几何关系可知，ab垂直于Oe，则ab为一条电场线，且方
向由b指向a，电场强度为E＝＝ V/m＝100 V/m，故B正确；该点电荷从O点移动到b点电场力做功为
W ＝qU ＝q(φ －φ)＝－2×10－5×(6－8) J＝4×10－5 J，故C正确；从O →b粒子做类平抛运动，有d ＝
Ob Ob O b Oe
vt，d ＝at2，a＝，解得v＝d ·＝0.1×2－ m/s，故D错误。
0 be 0 Oe
训练3、(多选) (2021·四川广安月考)如图所示，在电场中有一等边三角形OPC，O点位于坐标原点，OC与
x轴重合，P点坐标为(2 cm，2 cm)，A、B分别为OP、PC的中点，坐标系处于匀强电场中，且电场方向与坐标平面平行。已知O点电势为6 V，A点电势为3 V，B点电势为0，则下列说法正确的是( )
A．C点电势为3 V
B．C点电势为0
C．该匀强电场的电场强度大小为100 V/m
D．该匀强电场的电场强度大小为100 V/m
【答案】BD
【解析】找OC的中点D，连接AD和BD，如图所示。
由几何知识可知AB∥OD，AB∥DC，且AB＝OD＝DC，故U ＝U ＝U ，即φ －φ ＝φ －φ ＝φ －φ ，故
AB OD DC A B O D D C
φ ＝3 V，φ ＝0，故A错误，B正确；由于φ ＝φ ，故AD为等势线，已知电场线和等势线互相垂直且方
D C A D
向由高电势指向低电势，又OB⊥AD，且φ ＞φ ，故电场强度方向由O指向B，E＝＝ V/m＝100 V/m，故
O B
C错误，D正确。
训练4、(2018·全国卷Ⅱ)(多选)如图，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面
平行，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点。一电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点，其电势
能减小W；若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W，下列说法正确的是( )
1 2
A．此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行
B．若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为
C．若c、d之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为
D．若W＝W，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
1 2【答案】BD
【解析】根据题意无法判断电场方向，故A错误；由于电场为匀强电场，M为a、c连线的中点，N为b、
d连线的中点，所以φ ＝，φ ＝，若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为W＝qU ＝q(φ －φ )
M N MN M N
＝q－q＝＝，故B正确；因为不知道匀强电场方向，所以场强大小不一定是，故C错误；若W ＝W ，说
1 2
明U ＝U ，U －U ＝(φ－φ )－(φ－φ )，又因为φ ＝，φ ＝，解得：U －U ＝0，故D正确。
cd ab aM bN a M b N M N aM bN
训练5、(2021·东北三省四市教研联合体4月模拟(二))空间存在着平行纸面的匀强电场，但电场的具体方向
未知，现在纸面内建立直角坐标系xOy，用仪器沿Ox、Oy两个方向探测该静电场中各点电势，得到各点
电势φ与横、纵坐标的函数关系如图所示。关于该电场的电场强度E，下列说法正确的是( )
A．E＝3 V/m，方向沿x轴正方向
B．E＝5 V/m，方向指向第一象限
C．E＝400 V/m，方向沿y轴负方向
D．E＝500 V/m，方向指向第三象限
【答案】D
【解析】由题分析坐标为和(0,10 cm)的A、B两点为等势点，如答图所示，则电场强度的方向垂直于AB且
指向第三象限，由几何关系可知，CO＝＝＝8 cm，E＝＝＝＝＝500 V/m，故A、B、C错误，D正确。
考点四、电场中的图像问题
1．vt图像：根据电荷在电场中运动的vt图像的速度变化、斜率变化(即加速度变化)，确定电荷所受静电力
的方向与静电力的大小变化情况，进而确定电场强度的方向、电势的高低及电势能的变化。
2．φx图像：(1)电场强度可用φx图线的斜率表示，斜率的绝对值表示电场强度的大小，斜率的正负表示电
场强度的方向。
(2)在φx图像中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系分析电荷移动时电势能的变化。
3．Ex图像：(1)反映了电场强度随位移变化的规律。(2)E>0表示场强沿正方向；E<0表示场强沿负方向。
(3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，“面积”的正负表示始末两点
电势的高低。
4．Ex图像：(1)由Ex图像可以判断某一位置电势能的大小，进而确定电势能的变化情况，根据电势能的
p p
变化可以判断静电力做功情况，结合带电粒子的运动可以确定静电力的方向。
(2)Ex图像的斜率k＝＝＝＝－F ，即图像的斜率绝对值和正负分别表示静电力的大小和方向。
p 静电
例1、反射式速调管是常用的微波器件之一，它利用电子团在电场中的振荡来产生微波，其振荡原理与下
述过程类似，已知静电场的方向平行于x轴，其电势φ随x的分布如图所示，一质量m＝1.0×10－20 kg、电
荷量大小为q＝1.0×10－9 C的带负电的粒子从(－1,0)点由静止开始，仅在静电力作用下在 x轴上往返运
动。忽略粒子的重力等因素，则( )
A．x轴上O点左侧的电场场强方向沿x轴正方向同向
B．x轴上O点左侧的电场场强E 和右侧的电场场强E 的大小之比E∶E＝2∶1
1 2 1 2
C．该粒子运动的周期T＝1.5×10－8 s
D．该粒子运动的最大动能E ＝2×10－8 J
km
【答案】D
【解析】沿着电场线方向电势逐渐降低，可知x轴上O点左侧的电场场强方向沿x轴负方向，x轴上O点
右侧的电场场强方向沿x轴正方向，故A错误。根据U＝Ed可知，x轴上O点左侧的电场场强为：E ＝
1
V/m＝2.0×103 V/m；右侧的电场强度为：E ＝ V/m＝4.0×103 V/m；所以x轴上O点左侧电场的场强和O
2
点右侧电场的场强的大小之比 E∶E ＝1∶2，故B错误。设粒子从(－1 cm,0)点静止加速到原点所用时间为
1 2
t ，接着从原点向右减速运动到(0.5 cm,0)点所用时间为t ，在原点时的速度最大，设为v ，由运动学公式
1 2 m
有：v ＝t ，v ＝t ，又E ＝mv＝qU，而周期：T＝2(t ＋t)，联立以上各式并代入相关数据可得：T＝
m 1 m 2 km 1 2
3.0×10－8 s，该粒子运动过程中动能的最大值为：E ＝2×10－8 J，故C错误，D正确。
km
例2、(多选)光滑绝缘水平面上固定两个等量点电荷，它们连线的中垂线上有A、B、C三点，如图甲所
示。一质量m＝1 g的带正电小物块由A点静止释放，并以此时为计时起点，沿光滑水平面经过B、C两
点，其运动过程的vt图像如图乙所示，其中图线在B点位置时斜率最大，根据图线可以确定( )A．中垂线上B点电场强度最大
B．A、B两点之间的位移大小
C．B点是连线中点，C与A点必在连线两侧
D．U ＞U
BC AB
【答案】AD
【解析】vt图像的斜率表示加速度，可知小物块在B点的加速度最大，所受的电场力最大，所以B点的电
场强度最大，A正确；小物块由A运动到B的过程中，由图乙可知A、B两点的速度，已知小物块的质
量，则由动能定理可知qU ＝mv 2－mv 2，由上式可求出小物块由A运动到B的过程中电场力所做的功
AB B A
qU ，因为电场强度的关系未知，则不能求解A、B两点之间的位移大小，B错误；中垂线上电场线分布不
AB
是均匀的，B点不在连线中点，C错误；在小物块由A运动到B的过程中，根据动能定理有qU ＝mv 2－
AB B
mv 2＝ J＝8×10－3 J，同理，在小物块由B运动到C的过程中，有qU ＝mv 2－mv 2＝J＝16.5×10－3 J，对
A BC C B
比可得U ＞U ，D正确。
BC AB
例3、(多选)(2020·湖北省黄冈模拟)一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，其电势能E 随位移
p
x变化的关系如图所示，其中0～x 段是关于直线x＝x 对称的曲线，x～x 段是直线，则下列说法正确的是
2 1 2 3
( )
A．x 处电场强度最小，但不为零
1
B．粒子在0～x 段做匀变速运动，x～x 段做匀速直线运动
2 2 3
C．在0、x、x、x 处电势φ、φ、φ、φ 的关系为φ<φ＝φ<φ
1 2 3 0 1 2 3 3 2 0 1
D．x～x 段的电场强度大小方向均不变，为一定值
2 3
【答案】CD
【解析】根据电势能与电势的关系：E ＝qφ，场强与电势的关系：E＝得：E＝·，由数学知识可知，Ex图
p p
像切线的斜率等于，x 处切线的斜率为零，则知x 处电场强度为零，故A错误；由题图看出在0～x 段图
1 1 1
像切线的斜率不断减小，由上式知场强减小，粒子所受的电场力减小，加速度减小，做非匀变速运动。x
1～x 段图像切线的斜率不断增大，场强增大，粒子所受的电场力增大，做非匀变速运动。x ～x 段斜率不
2 2 3
变，场强不变，即电场强度大小和方向均不变，是匀强电场，粒子所受的电场力不变，做匀变速直线运
动，故B错误，D正确；由题图可知：E ＞E ＝E ＞E ，根据E ＝φq，又粒子带负电，故φ ＜φ ＝φ ＜
p3 p2 p0 p1 p 3 2 0
φ，故C正确。
1
例4、真空中，在x轴上x＝0和x＝8 m处分别固定两个点电荷Q 和Q 。电荷间连线上的电场强度E随x
1 2
变化的图像如图所示(＋x方向为场强正方向)，其中x＝3 m处E＝0。将一个正试探电荷在x＝2 m处由静止
释放(重力不计，取无限远处电势为零)。则( )
A．Q、Q 为等量同种电荷
1 2
B．Q、Q 带电量之比为9∶25
1 2
C．在x＝3 m处电势等于0
D．该试探电荷向x轴正方向运动时，电势能一直减小
【答案】B
【解析】由于x＝3 m处E＝0，可知Q 、Q 带同种电荷，根据场强的叠加原理有：－ ＝0，整理得
1 2
＝，A错误，B正确；根据两个同种点电荷周围的电场分布，可知x＝3 m处的电势不为0，C错误；该试
探电荷向x轴正方向运动时，静电力先做正功，后做负功，电势能先减小后增大，D错误。
课堂随练
训练1、(2021·河北“五个一名校联盟”模拟)如图所示，a、b为等量同种点电荷Q 、Q 连线的三等分点，
1 2
重力不计的带电粒子从a点由静止释放，沿ab方向运动。则带电粒子从a运动到b的过程中，其速度随时
间变化的图像可能正确的是( )【答案】B
【解析】因为等量同种电荷的连线中点处电场强度为零，所以带电粒子从a运动到b的过程中，电场力先
减小后增大，对称分布，速度图像的斜率先减小后增大，并且图像对称，故选项B正确。
训练2、q、q 为固定在x轴上的两个点电荷，x轴上部分区域的电势分布如图所示，则( )
1 2
A．q 带负电，q 带正电
1 2
B．q 电荷量小于q 电荷量
1 2
C．a点场强小于c点场强
D．若将电子从a点沿x轴移到c点，其电势能先减小后增大
【答案】D
【解析】φx图像的斜率的绝对值表示场强的大小，由图可知，b点的场强为零，从a到c电势先增大后减
小，根据沿着电场线方向电势逐渐降低，可知a、b之间场强方向向左，b、c之间场强方向向右，则q 带
1
正电，q 带负电，故A错误；由于b点的场强为零，q 到b点的距离大于q 到b点的距离，根据点电荷的
2 1 2
场强公式结合场强的叠加原理可知，q 电荷量大于q 电荷量，故B错误；φx图像的斜率的绝对值表示场强
1 2
的大小，所以a点场强大于c点场强，故C错误；由于电子带负电，且从a点沿x轴到c点电势先增大后减
小，根据电势能与电势的关系式E ＝qφ可知，电子从a点沿x轴移到c点，其电势能先减小后增大，故D
p
正确。
训练3、静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系如图所示，在x轴上有四点：x 、x 、x 、x ，相邻两
1 2 3 4
点间的距离相等，x轴正向为场强正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷( )A．x 和x 两点处电势相等
2 4
B．由x 运动到x 的过程中加速度先增大后减小
1 4
C．由x 运动到x 的过程中电势能先增大再减小
1 4
D．设电荷从x 运动到x，电场力做功W，电荷从x 运动到x，电场力做功W，则W＝W
2 1 1 3 2 2 1 2
【答案】B
【解析】x ～x 处场强为x轴负方向，则从x 到x 处逆着电场线方向移动，电势升高，正电荷在x 处电势
2 4 2 4 4
能较大，故A错误；由x 运动到x 的过程中，由题图可以看出电场强度的绝对值先增大后减小，所以电场
1 4
力先增大后减小，加速度也先增大后减小，故B正确；x ～x 处场强为x轴负方向，则从x 到x 处逆着电
1 4 1 4
场线方向移动，电势升高，正电荷在x 处电势能较大，故C错误；由于每两点间的距离相等，由题图可
4
知，U >U ，所以W>W，故D错误。
32 21 2 1
训练4、一带负电粒子只在电场力作用下沿 x轴正方向运动，其电势能E 随位移x的变化关系如图所示，
p
则粒子在从x 向x 运动的过程中，下列说法中正确的是( )
1 3
A．在x 处粒子速度最大
1
B．在x 处粒子加速度最大
2
C．在x 处电势最高
3
D．在x 处电势为零
2
【答案】C
【解析】带负电粒子只在电场力作用下运动，所以动能与势能之和是恒定的，则粒子在从 x 向x 运动的过
1 3
程中，在x 处的电势能最小，所以速度最大，A错误；根据电场力做功与电势能的关系W＝－ΔE ＝E －
3 p p0
E，解得E＝－W＋E ＝－Fx＋E ，即图像中的斜率表示电场力大小，在x 处图像的斜率为零，所以粒子
p p p0 p0 2
加速度为零，B错误；负电荷在电势低的地方电势能大，在电势高的地方电势能小，在 x 处的电势能最
3
小，所以电势最高，C正确；根据公式φ＝可知在x 处电势不为零，D错误。
2 同步训练
1、(2021·辽宁高考) 等量异号点电荷固定在水平向右的匀强电场中，电场分布如图所示，实线表示电场
线，虚线表示等势线。将同一负电荷先后置于a、b两点，电势能分别为E 和E ，电荷所受电场力大小分
pa pb
别为F 和F，则( )
a b
A．E >E ，F>F B．E >E ，FF D．E φ ，根据E
a b p
＝qφ，电荷为负电荷，则E 0)的点电荷固定在正方体的两个顶点上，a、b
是正方体的另外两个顶点。则( )
A．a点和b点的电势相等
B．a点和b点的电场强度大小相等
C．a点和b点的电场强度方向相同
D．将负电荷从a点移到b点，电势能增加
【答案】BC
【解析】b点距q近，a点距－q近，则b点的电势高于a点的电势，A错。如图所示，a、b两点的电场强
度可视为E 与E 、E 与E 的合场强。其中E∥E ，E∥E ，且知E ＝E ，E ＝E ，故合电场强度E 与E 大
3 4 1 2 1 3 2 4 1 3 2 4 a b
小相等、方向相同，B、C对。由于φ<φ ，负电荷从低电势移至高电势过程中，电场力做正功，电势能减
a b
少，D错。
14、如图所示，空间存在一匀强电场，电场强度方向与水平方向间的夹角为60°，A、B为其中的一条电场线上的两点，一质量为m、电荷量为q的带正电小球，在A点以初速度v 水平向右抛出，经过时间t小球
0
最终落在C点，速度大小仍是v，且AB＝BC，重力加速度为g，求：
0
(1)匀强电场电场强度的大小；
(2)小球下落高度；
(3)此过程小球增加的电势能。
【答案】(1) (2)gt2 (3)mg2t2
【解析】(1)由动能定理有mgABsin60°－qE(AB＋BCcos60°)＝mv－mv
解得E＝。
(2)竖直方向由牛顿第二定律有mg－qEsin60°＝ma
y
又h＝at2
y
联立解得h＝gt2。
(3)小球从A运动到C的过程中静电力做负功，电势能增加，由几何关系知小球沿电场线方向上的位移大小
为
d＝(1＋cos60°)＝gt2
则电势能的增加量ΔE＝qEd＝mg2t2。
p
