文档内容
第 5 课时 功能关系 能量守恒定律
目标要求 1.熟练掌握几种常见的功能关系，并会用于解决实际问题。2.掌握一对摩擦力做
功与能量转化的关系。3.会应用能量守恒观点解决综合问题。
考点一 常见的功能关系的理解和应用
1．对功能关系的理解
(1)做功的过程就是能量转化的过程，不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。
(2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转
化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
2．常见的功能关系
能量 功能关系 表达式
重力做的功等于重力势能减少量
势能 弹力做的功等于弹性势能减少量 W＝E －E ＝－ΔE
p1 p2 p
静电力做的功等于电势能减少量
动能 合外力做的功等于物体动能变化量 W＝E －E ＝mv2－mv2
k2 k1 0
除重力和弹力之外的其他力做的功等于
机械能 W ＝E－E＝ΔE
其他 2 1
机械能变化量
摩擦产生 一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的
Q＝F·x
f 相对
的内能 绝对值等于产生的内能
电能 克服安培力做的功等于电能增加量 W ＝E－E＝ΔE
克安 2 1 电
1．一个物体的能量增加，必定有其他物体的能量减少。( √ )
2．合力做的功等于物体机械能的改变量。( × )
3．克服与势能有关的力(重力、弹簧弹力、静电力等)做的功等于对应势能的增加量。( √
)
4．滑动摩擦力做功时，一定会引起机械能的转化。( √ )
例1 (多选)(2023·四川广安市二模)滑沙运动是继滑冰、滑水、滑雪和滑草之后又一新兴运
动，它使户外运动爱好者在运动的同时又能领略到沙漠的绮丽风光。如图所示，质量为 50
kg的人坐在滑沙板上从沙坡的顶端由静止沿直线匀加速下滑，经过10 s到达坡底，速度大
小为20 m/s。已知沙坡的倾角为30°，重力加速度g取10 m/s2，下列关于此过程的说法中正确的是( )
A．人的重力势能减少5.0×104 J
B．人的动能增加1.0×104 J
C．人的机械能减少1.5×104 J
D．人克服阻力做功4.0×104 J
答案 BC
解析 人沿沙坡下滑的距离l＝vt＝100 m，重力势能减少ΔE ＝mglsin 30°＝2.5×104 J，故
p
A错误；人的动能增加ΔE＝mv2＝1.0×104 J，故B正确；
k
人的机械能减少ΔE＝ΔE－ΔE＝1.5×104 J，故C正确；
p k
人克服阻力做功W ＝ΔE＝1.5×104 J，故D错误。
克f
例2 (多选)(2020·全国卷Ⅰ·20)一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面
下滑，其重力势能和动能随下滑距离 s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10
m/s2，则( )
A．物块下滑过程中机械能不守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C．物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2
D．当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
答案 AB
解析 由E－s图像知，物块动能与重力势能的和减小，则物块下滑过程中机械能不守恒，
故A正确；由E－s图像知，整个下滑过程中，物块机械能的减少量为ΔE＝30 J－10 J＝20
J，重力势能的减少量ΔE ＝mgh＝30 J，又ΔE＝μmgcos α·s，其中cos α＝＝0.8，h＝3.0
p
m，g＝10 m/s2，则可得m＝1 kg，μ＝0.5，故B正确；物块下滑时加速度的大小a＝gsin α－
μgcos α＝2.0 m/s2，故C错误；物块下滑2.0 m时损失的机械能为ΔE′＝μmgcos α·s′＝8
J，故D错误。考点二 摩擦力做功与能量转化
两种摩擦力做功特点的比较
类型
静摩擦力做功 滑动摩擦力做功
比较
只有机械能从一个物 (1)一部分机械能从一个物体转移到另
体转移到另一个物 一个物体
能量的转化
体，而没有机械能转 (2)一部分机械能转化为内能，此部分
不同点 化为其他形式的能 能量就是系统机械能的损失量
一对滑动摩擦力做功的代数和总是负
一对摩擦力 一对静摩擦力所做功
值，总功W＝－Fx ，即发生相对
f 相对
做的总功 的代数和总等于零
滑动时产生的热量
相同点 做功情况 两种摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功
例3 (多选)如图所示，一个长为L、质量为M的木板，静止在光滑水平面上，一个质量为
m的物块(可视为质点)以水平初速度v 从木板的左端滑向另一端，设物块与木板间的动摩擦
0
因数为μ，当物块与木板相对静止时，物块仍在长木板上，物块相对木板的位移为 d，木板
相对地面的位移为s，重力加速度为g。则在此过程中( )
A．摩擦力对物块做的功为－μmg(s＋d)
B．摩擦力对木板做的功为μmgs
C．木板动能的增量为μmgd
D．由于摩擦而产生的热量为μmgs
答案 AB
解析 根据功的定义W＝Flcos θ，其中l指物体的位移，而θ指力与位移之间的夹角，可知
摩擦力对物块做的功W ＝－μmg(s＋d)，摩擦力对木板做的功W ＝μmgs，A、B正确；根据
1 2
动能定理可知木板动能的增量ΔE＝W＝μmgs，C错误；由于摩擦而产生的热量Q＝F·Δx＝
k 2 f
μmgd，D错误。
例4 (多选)(2023·河南省南阳中学检测)如图所示，与水平面成θ角的传送带，在电动机的
带动下以恒定的速率v顺时针运行。现将质量为m的小物块从传送带下端A点无初速度地
放到传送带上，经时间t 物块与传送带达到共同速度，再经时间t 物块到达传送带的上端B
1 2
点，已知A、B间的距离为L，重力加速度为g，则在物块从A运动到B的过程中，以下说
法正确的是( )A．在t 时间内摩擦力对物块做的功等于mv2
1
B．在t 时间内物块和传送带间因摩擦而产生的内能等于物块机械能的增加量
1
C．在t＋t 时间内传送带对物块做的功等于mgLsin θ＋mv2
1 2
D．在t＋t 时间内因运送物块，电动机至少多消耗 mgLsin θ＋mv2的电能
1 2
答案 BC
解析 由动能定理可知，在t 时间内摩擦力和重力对物块做的功之和等于mv2，选项A错误；
1
在t 时间内，物块相对传送带的位移Δx＝vt－t＝t，则物块和传送带间因摩擦而产生的内
1 1 1 1
能为Q＝FΔx＝Fvt ；物块机械能的增加量等于摩擦力做的功，即ΔE＝F·t ＝Fvt ，即在t
f f 1 f 1 f 1 1
时间内物块和传送带间因摩擦而产生的内能等于物块机械能的增加量，选项B正确； 由功
能关系可知，在t ＋t 时间内传送带对物块做的功等于物块机械能的增加量，即mgLsin θ＋
1 2
mv2，选项C正确；在t 时间内因运送物块，电动机至少多消耗mgL sin θ＋mv2＋Q，由选
1 1
项B可知mgL sin θ＋mv2＝Q，则在t 时间内因运送物块电动机至少多消耗 2mgL sin θ＋
1 1 1
mv2；在t 时间内因运送物块电动机至少多消耗mgL sin θ；则在t ＋t 时间内因运送物块，
2 2 1 2
电动机至少多消耗2mgL sin θ＋mv2＋mgL sin θ＝mg(L＋L)sin θ＋mv2的电能，选项D错误。
1 2 1
考点三 能量守恒定律的理解和应用
1．内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或
者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。
2．表达式：
(1)E ＝E ，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
初 末
(2)ΔE ＝ΔE ，增加的能量总和等于减少的能量总和。
增 减
3．理解
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等；
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
思考 现在市场上有一种手表叫自动机械手表，只要每天有一定时间把表戴在手上，不用手
动上发条，表针便可走动计时，自动手表的工作运行，是否违背能量守恒定律？
答案 不违背能量守恒定律。自动手表的运行是把人运动的机械能转化为发条的弹性势能，
然后再转化为表针的动能，同样遵守能量守恒定律。
例5 (2024·辽宁沈阳市第五十六中学开学考)如图所示，固定斜面的倾角θ＝30°，物体A
与斜面之间的动摩擦因数μ＝，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C点，用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A和B，滑轮右侧绳子始终与斜面平
行，A的质量为2m＝4 kg，B的质量为m＝2 kg，初始时物体A到C点的距离L＝1 m，现
给A、B一初速度大小v ＝3 m/s，使A开始沿斜面向下运动，B向上运动，物体A将弹簧
0
压缩到最短后又恰好能弹回到C点。已知重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力，整个
过程中轻绳始终处于伸直状态。求在此过程中：
(1)物体A向下运动到刚到C点时的速度大小；
(2)弹簧的最大压缩量；
(3)弹簧的最大弹性势能。
答案 (1)2 m/s (2)0.4 m (3)6 J
解析 (1)在物体A向下运动到刚到C点的过程中，对A、B组成的系统应用能量守恒定律
可得μ·2mgcos θ·L＝×3mv2－×3mv2＋2mgLsin θ－mgL，解得v＝2 m/s。
0
(2)对A、B组成的系统分析，在物体A从C点压缩弹簧至最短后恰好返回到C点的过程中，
系统动能的减少量等于因摩擦产生的热量，即×3mv2－0＝μ·2mgcos θ·2x，其中x为弹簧的
最大压缩量，解得x＝0.4 m。
(3)设弹簧的最大弹性势能为E ，从C点到弹簧被压缩至最短过程中由能量守恒定律可得
pm
×3mv2＋2mgxsin θ－mgx＝μ·2mgcos θ·x＋E ，解得E ＝6 J。
pm pm
例6 (2021·江苏卷·14)如图所示的离心装置中，光滑水平轻杆固定在竖直转轴的O点，小
圆环A和轻质弹簧套在轻杆上，长为2L的细线和弹簧两端分别固定于O和A，质量为m的
小球B固定在细线的中点，装置静止时，细线与竖直方向的夹角为37°，现将装置由静止缓
慢加速转动，当细线与竖直方向的夹角增大到53°时，A、B间细线的拉力恰好减小到零，
弹簧弹力与静止时大小相等、方向相反，重力加速度为 g，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，
求：
(1)装置静止时，弹簧弹力的大小F；
(2)环A的质量M；
(3)上述过程中装置对A、B所做的总功W。
答案 (1) (2)m (3)mgL
解析 (1)装置静止时，设AB、OB的张力分别为F、F，
1 2
对A受力分析，由平衡条件得F＝Fsin 37°
1对B受力分析，由平衡条件得
Fcos 37°＋Fcos 37°＝mg，Fsin 37°＝Fsin 37°
1 2 1 2
联立解得F＝
(2)细线与竖直方向夹角为53°时，设装置转动的角速度为ω，A、B的转动半径分别为r 、
A
r ，由几何关系知r ＝L，r ＝L。
B A B
由题知环A的向心力F′＝F
对A，F′＝Mω2·L
对B，mgtan 53°＝mω2·L
解得M＝m。
(3)B上升的高度h＝L，A、B的动能分别为
E ＝M(ω·L)2
kA
E ＝m(ω·L)2
kB
根据能量守恒定律可知，
W＝(E －0)＋(E －0)＋mgh
kA kB
解得W＝mgL。
(1)首先确定初、末状态，分清有几种形式的能在变化，如动能、势能(包括重力势能、弹性
势能、电势能)、内能等。
(2)明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量 ΔE 和增加的能
减
量ΔE 的表达式。
增
课时精练
1.(多选)如图所示，在粗糙的桌面上有一个质量为M的物块，通过轻绳跨过定滑轮与质量为
m的小球相连，不计轻绳与滑轮间的摩擦，在小球下落的过程中，下列说法正确的是( )
A．小球的机械能守恒
B．物块与小球组成的系统机械能守恒
C．若小球匀速下降，小球减少的重力势能等于物块与桌面间摩擦产生的热量
D．若小球加速下降，小球减少的机械能大于物块与桌面间摩擦产生的热量
答案 CD解析 在小球下落的过程中，绳子的拉力对小球做负功，小球的机械能减少，故 A错误；
由于物块要克服摩擦力做功，物块与小球组成的系统机械能不守恒，故B错误；若小球匀
速下降，系统的动能不变，则根据能量守恒可知，小球减少的重力势能等于物块与桌面间摩
擦产生的热量，故C正确；若小球加速下降，则根据能量守恒可知，小球减少的机械能等
于物块与桌面间摩擦产生的热量及小球和物块增加的动能之和，所以小球减少的机械能大于
物块与桌面间摩擦产生的热量，故D正确。
2.如图，一质量为m、长度为L的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地
竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距，重力加速度大小为g。在此过程中，外力做
的功为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由题知PM段绳的机械能不变，MQ段绳的重心升高了Δh＝，则重力势能的增加量为
ΔE ＝mg·＝，根据功能关系，在此过程中，外力做的功等于MQ段系统重力势能的增加量，
p
则W＝，故A正确，B、C、D错误。
3.(多选)如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab与水平面的夹角为60°，光
滑斜面bc与水平面的夹角为30°，顶角b处安装一定滑轮。质量分别为M、m(M>m)的两滑
块A和B，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行。两滑块由静止释放后，
沿斜面做匀加速运动，A、B不会与定滑轮碰撞。若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜
面运动的过程中( )
A．轻绳对滑轮作用力的方向竖直向下
B．拉力和重力对A做功之和大于A动能的增加量
C．拉力对A做的功等于A机械能的增加量
D．两滑块组成系统的机械能损失等于A克服摩擦力做的功
答案 BD
解析 根据题意可知，两段轻绳的夹角为90°，轻绳拉力的大小相等，根据平行四边形定则
可知，合力方向与轻绳方向的夹角为45°，所以轻绳对滑轮作用力的方向不是竖直向下的，
故A错误；对A受力分析，受到重力、斜面的支持力、轻绳的拉力以及滑动摩擦力作用，
根据动能定理可知，A动能的增加量等于拉力、重力以及摩擦力做功之和，而摩擦力做负功，则拉力和重力对A做功之和大于A动能的增加量，故B正确；由除重力和弹力之外的力对
物体做的功等于物体机械能的变化量可知，拉力和摩擦力对A做的功之和等于A机械能的
增加量，故C错误；对两滑块组成系统分析可知，除了重力之外只有摩擦力对 A做功，所
以两滑块组成的系统的机械能损失等于A克服摩擦力做的功，故D正确。
4.(多选)如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个
质量为m的小球自A点的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点 B时恰
好对轨道没有压力。已知AP＝2R，重力加速度为g，则小球从P点运动到B点的过程中(
)
A．重力做功2mgR B．机械能减少mgR
C．合外力做功mgR D．克服摩擦力做功mgR
答案 CD
解析 小球从P点运动到B点的过程中，重力做的功W ＝mg(2R－R)＝mgR，故A错误；
G
小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力，则有mg＝m，解得v ＝，则此过程中机
B
械能的减少量为ΔE＝mgR－mv 2＝mgR，故B错误；根据动能定理可知，合外力做功W ＝
B 合
mv 2－0＝mgR，故C正确；根据功能关系可知，小球克服摩擦力做的功等于机械能的减少
B
量，则W ＝ΔE＝mgR，故D正确。
克f
5.如图所示，平直木板AB倾斜放置，小物块与木板间的动摩擦因数由A到B均匀增大，小
物块从A点由静止释放，恰好可以到达B点，小物块的加速度a、动能E 、重力势能E 和
k p
机械能E(取地面为零势能面)随下滑位移x变化的图像可能正确的是( )答案 B
解析 根据题意，小物块从A向B是先加速后减速运动，加速度先向下后向上，方向发生
了变化，所以A错误；设斜面的长度为L，则小物块的重力势能可以表示为E ＝mg(L－
p
x)sin θ，B选项正确；下滑过程中，小物块的动能先增大后减小，但是其图线的斜率表示其
所受的合力，根据题意可以判断合力是变力，与图像不符，所以C错误；根据功能关系，
机械能的减少量等于小物块克服摩擦力所做的功，图像的斜率大小表示摩擦力大小，根据题
意摩擦力逐渐增大，与图像不符，所以D错误。
6.(多选)(2024·福建漳州市第一次质检)为预防电梯缆绳断裂的安全事故，电梯井底和电梯上
分别安装有缓冲弹簧和安全钳，装置简化如图所示。现质量为2 000 kg的电梯，因缆绳断裂
而坠落，刚接触弹簧时的速度为4 m/s，弹簧被压缩了2 m时电梯停止运动，下落过程中安
全钳提供给电梯17 000 N的滑动摩擦力。已知弹簧的弹性势能为E ＝kx2(k为弹簧的劲度系
p
数，x为弹簧的形变量)，不计空气阻力及弹簧自重，g取10 m/s2。则( )
A．整个运动过程中电梯一直处于失重状态
B．整个运动过程电梯刚接触弹簧时速度最大
C．该缓冲弹簧的劲度系数为11 000 N/m
D．停止运动时安全钳提供给电梯的摩擦力为2 000 N
答案 CD
解析 电梯的重力和安全钳提供给电梯的滑动摩擦力的合力F ＝20 000 N－17 000 N＝3
合
000 N，方向向下，则接触弹簧后开始阶段F >F ，电梯加速向下运动；随弹力的增加，
合 弹
当F μmgcos θ，所以A将向下加速运动，设A由最高点向下运动的最大
1
距离为s，由能量守恒定律有：mgs sin θ＋kx2－k(x－s)2＝Mgs ＋μmgscos θ
2 2 1 1 2 2 2
代入数据解得s ＝0.16 m，此时弹簧的伸长量为x ＝x －s ＝0.28 m－0.16 m＝0.12 m，因为
2 2 1 2
有Mg－kx－mgsin θ<μmgcos θ，所以系统将处于静止状态，整个过程中A克服摩擦力做功
2
W＝μmgcos θ(s＋s)，代入数据解得W＝3.36 J。
1 2
11.(多选)(2023·全国乙卷·21)如图，一质量为M、长为l的木板静止在光滑水平桌面上，另一
质量为m的小物块(可视为质点)从木板上的左端以速度v 开始运动。已知物块与木板间的滑
0
动摩擦力大小为f，当物块从木板右端离开时( )A．木板的动能一定等于fl
B．木板的动能一定小于fl
C．物块的动能一定大于mv2－fl
0
D．物块的动能一定小于mv2－fl
0
答案 BD
解析 设物块离开木板时的速度为v ，此时木板的速度为v ，由题意可知v>v ，设物块的
1 2 1 2
对地位移为x ，木板的对地位移为x ，根据能量守恒定律可得mv2＝mv2＋Mv2＋fl，整理
m M 0 1 2
可得mv2＝mv2－fl－Mv2v>v ，可得x >2x ，则x －x ＝l>x ，所以E ＝
m M 0 1 2 m M m M M kM
W＝fx
