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第 03 讲 函数与实际问题
（限时90分钟，满分120分）
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（22-23九年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，曲线表示一只风筝离地面的高度h(m)随飞行时间t(min)变
化而变化的情况，则下列说法错误的是（ ）
A．风筝最初的高度为30m
B．1min时风筝的高度和5min时风筝的高度相同
C．3min时风筝的高度最高，为60m
D．2min到4min之间，风筝的高度持续上升
【答案】D
【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象逐项判断即可得．
【详解】解：根据函数图象逐项判断如下：
A、风筝最初的高度为30m，正确，不符合题意；
B、1min时风筝的高度和5min时风筝的高度相同，均为45m，正确，不符合题意；
C、3min时风筝达到最高高度为60m，正确，不符合题意；
D、2min到4min之间，风筝飞行高度h(m)先上升后下降，故原说法错误，符合题意；
故选：D．
2．（2025·辽宁抚顺·一模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主
干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支：设每个支干长出x小分支，那么根据题意可
以列方程为（ ）
A．1+x+x2=91 B．1+x+x(1+x)=91
C．1+x+(1+x) 2=91 D．1+(1+x)+(1+x) 2=91
【答案】A
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，可以列出相应的方程：主干+支干+小分支
=91，进而得出答案．
【详解】解：依题意得支干的数量为x个，
小分支的数量为x⋅x=x2个，
那么根据题意可列出方程为：1+x+x2=91．
故选：A．
3．（2025·湖北十堰·模拟预测）小明参加了一场2000米的跑步比赛，他以4米/秒的速度跑了一段路程后，
又以3米/秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了10分钟，设小明以4米/秒的速度跑了x米，则列方程为
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（ ）
x 2000−x
A．4x=3(x+10) B． + =10
4 3
x 2000−x x 2000−x
C． + =60×10 D． + =60×10
3 4 4 3
【答案】D
【分析】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．根据“以4米/秒的速度
跑了x米的时间+以3米/秒的速度跑了(2000−x)米的时间=60×10秒”建立方程即可得．
x 2000−x
【详解】解：由题意，可列方程为 + =60×10，
4 3
故选：D．
4．（2022·四川成都·中考真题）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，
甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共
买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？
设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【答案】A
【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【详解】解：设苦果有x个，甜果有y个，由题意可得，
¿
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的有关知识，正确找到相等关系是解决本题的关键．
5．（2024·山西晋城·二模）杆秤是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来测定物体
质量的简易衡器．如图1所示是兴趣小组自制的一个无刻度简易杆秤，其使用原理：将待测物挂于秤钩A
处，提起提纽B，在秤杆上移动金属秤锤C（质量为1.5kg），当秤杆水平时，金属秤锤C所在的位置对应
的刻度就是待测物的质量（量程范围内）．为了给秤杆标上刻度，兴趣小组做了如下试验，用m（单位：
kg）表示待测物的质量，l（单位：cm）表示秤杆水平时秤锤C与提纽B之间的水平距离，则水平距离l与
待测物质量m之间的关系如图2所示．
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根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．待测物的质量越大（量程范围内），秤杆水平时秤锤C与提纽B之间的水平距离越小
B．当待测物的质量3kg时，测得的距离l为8cm
C．若秤锤C在水平距离l为15cm的位置，则秤杆在此处的刻度应为5kg
D．若秤杆长为80cm，则杆秤的最大称重质量为40kg
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意，即可判断A不正确；由待测物体质量为3kg，秤杆水平时
秤锤C与提纽B之间的水平距离l为8cm，即可判断B正确；金属秤锤C移动到l为15cm，则秤杆D处的刻
45
度应为 kg，判断C错误；若l=80cm，则待测物体的质量为30kg，判断D错误，不符合题意．
8
【详解】解：根据题意，重物的质量越大，则金属秤锥C与提纽B的水平距离越大，故A正确，符合题意；
由图2可知，待测物体质量为3kg，则秤杆水平时秤锤C与提纽B之间的水平距离l为8cm，故B正确，符
合题意；
3 45
若金属秤锤C移动到D处时，测得距离l为15cm，则秤杆D处的刻度应为15× = kg，故C错误，不符
8 8
合题意；
3
若l=80cm，则待测物体的质量为80× =30kg，故D错误，不符合题意；
8
故选：B．
6．（2024·贵州·模拟预测）2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工
作报告中一个新关键词“人工智能+”引发热议，随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图
①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保
持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为x(s)，聪聪和慧慧行走的路
程分别为y (cm)、y (cm)，y ，y 与x的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（ ）
1 2 1 2
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A．客人距离厨房门口450cm； B．慧慧比聪聪晚出发15s；
C．聪聪的速度为10cm/s； D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大
值为140cm；
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，一次函数图象的性质是解题
的关键．根据图象分别求出聪聪的解析式，结合图象的性质，即可求解．
【详解】解：聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，
∴OD表示的是聪聪行走的时间与路程的关系，
设OD的解析式为y =k x(k ≠0)，图象经过点(45,450)，
1 1 1
∴450=45k ，
1
解得，k =10，
1
∴OD的解析式为y =10x，
1
由图象知，慧慧从出发到送餐结束用时为31−15=16(s)，
∴A、客人距离厨房门口450cm，正确，不符合题意；
B、慧慧比聪聪晚出发15s，正确，不符合题意；
C、∵k =10，
1
∴聪聪的速度为10cm/s，正确，不符合题意；
D、当0≤x≤15时，聪聪与慧慧的距离逐渐增大，
∴当x=15(s)时，y =10×15=150(cm)，
1
当15140,
∴D选项不正确，符合题意 ；
故选：D ．
7．（2023·江西吉安·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20°C，加热到100°C，
停止加热，水温开始下降，此时水温y(°C)与通电时间x(min)成反比例关系．当水温降至20°C时，饮水
机再自动加热，若水温在20°C时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误
的是（ ）
A．水温从20°C加热到100°C，需要4min
400
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=
x
C．在一个加热周期内水温不低于40°C的时间为7min
D．上午10点接通电源，可以保证当天10:30能喝到不低于38°C的水
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问
题是解题的关键．根据题意和图象，先求得函数的解析式，进而反比例函数的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、∵开机加热时每分钟上升20°C，
100−20
∴水温从20°C加热到100°C，所需时间为： =4min，故A选项说法正确，不合题意；
20
B、由题可得，(4，100)在反比例函数图象上，
k
设反比例函数解析式为y= ，
x
代入点(4，100)可得，k=400，
400
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y= ，故B选项说法正确，不合题意；
x
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40−20
C、当水温升至40°C时，用时 =1min，
20
400
当水温降至40°C时，40= ，解得：x=10，
x
∴在一个加热周期内水温不低于40°C的时间为10−1=9min，故C选项说法错误，符合题意；
400
D、在y= 中，令y=20，则x=20，
x
即：每20分钟，饮水机重新加热，
∴上午10点接通电源，当天10:20时饮水机是第二次加热，
400
把x=10代入y= ，得：y=40，
x
即：10:30时的水温为40°C，不低于38°C，故D选项说法正确，不合题意；
故选：C．
8．（2024·安徽·三模）一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD为某一抛物线的一部分，
杯口AB=8cm，杯底CD=4cm，且AB∥CD，杯深12cm，如图2若盛有部分水的水杯倾斜45°（即
∠ABP=45°），水面正好经过点B，则此时点P到杯口AB的距离为（ ）
A．5cm B．6cm C．5√2cm D．7cm
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，先以AB的中点为原点建立平面直角坐标系，求解抛物线为
y=x2−16，再进一步的解答即可．
【详解】解：以AB的中点为原点建立平面直角坐标系，
∴A(−4,0)，B(4,0)，C(−2,−12)，D(2,−12)，
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设轮廓线AC，BD所在抛物线的解析式为y=ax2+k，记BP与y轴的交点为E，
把A(−4,0)、C(−2,−12)代入得
¿，解得：¿，
∴y=x2−16
∵∠ABP=45°，
∴OB=OE，
∴E(0,−4)
设直线PB的解析式为y=mx+n
把B(4,0)、E(0,−4)代入得：
¿，解得：¿，
∴直线PB：y=x−4
由x2−16=x−4，解得x =−3，x =4（舍）
1 2
当x=−3，y=−3−4=−7，
∴P(−3,−7)，
此时点P到杯口AB的距离为7cm，
故选：D．
9．（2024·河南开封·二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AB=5cm，点 P 从点A 出发，
沿AC向点C 以1cm/s的速度运动，同时点 Q从点C 出发，沿CB向点B 以2cm/s的速度运动（当点 Q
运动到点 B 时，点 P，Q 同时停止运动）．在运动过程中，四边形PABQ的面积最小为（ ）
15 9 15 9
A．
cm2
B．
cm2
C．
cm2
D．
cm2
2 2 4 4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用，勾股定理，列函数关系是解题的关键．
先根据勾股定理求出AC的长，再设点 P 运动时间为t，四边形PABQ的面积为y，根据题意表示出y与t
的函数关系式，进一步利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：由题可知，△ABC是直角三角形，
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∴AC=√AB2−BC2=3，
设点 P 运动时间为t，四边形PABQ的面积为y，
1 1
则y= ⋅AC⋅BC− ⋅CQ⋅CP，
2 2
1 1 ( 3) 2 15
∴y= ×3×4− ⋅2t⋅(3−t)= t− + ，
2 2 2 4
3 15
则当t= 时，y最小为 ．
2 4
故选：C．
10．（2024·天津和平·三模）用一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的菜园．
方案一：如图①，围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，其
中AD≥AB；
方案二：如图②，围成一个扇形菜园，一条半径EF是墙，其余用篱笆．
有下列结论：
①AB的长可以是13m；
②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为160m2；
③矩形菜园ABCD的面积的最大值为162m2；
④方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．l B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的应用，准确列出方程和函数解析式是解答本题的关键．①
设AB边长为xm，则AD边长为(36−2x)m，当AB=13时，求出AD是10，不符合题意，即可判断正误；
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②列出一元二次方程x⋅(36−2x)=160，求出x值即可判断正误；③列出二次函数解析式
1
S=−2(x−9) 2+162，根据最值求法即可判断正误；④列出二次函数解析式S =− (r−18) 2+162，求
扇形 2
得扇形面积的最大值，即可判断正误．
【详解】解：如图①，设AB边长为xm，则AD边长为(36−2x)m，
当AB=13时，AD=36−26=10(m)，
∴AD＜AB，
∵AD≥AB，
故①不正确；
∵菜园ABCD面积为160m2，
∴x(36−2x)=160，
整理得：x2−18x+80=0，
解得：x=10或x=8，
∴AB=10m或AB=8m，
∵AB=10m时，AD=16m，满足AD≥AB，
故②正确；
设矩形菜园的面积为Sm2，
根据题意得：S=x⋅(36−2x)=−2(x2−18x)=−2(x−9) 2+162，
∵−2<0，
∴当x=9时，S有最大值，最大值为162，
故③正确；
如图②，设EF=rm，则弧长l=(36−r)m，
1 1 1
∴S = lr= (36−r)r=− (r−18) 2+162，
扇形 2 2 2
1
∵− <0，
2
∴当r=18时，S有最大值，最大值为162，
∴方案二围成扇形菜园的最大面积等于方案一围成矩形菜园的最大面积．
故④不正确．
∴正确结论是②③2个．
故选：B．
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
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11．（2025·陕西西安·一模）在A地植树1000棵，B地植树1250棵，甲、乙、丙每天分别能植树28、32、
30棵，甲在A地，乙在B地，丙在A与B两地之间来回帮忙，同时开始，同时结束，丙在A地植树
棵．
【答案】300
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设丙在A地植树x棵，根据题意得到方程，解方程即可得到答
案．
【详解】解：设丙在A地植树x棵，
1000−x (1000−x x )
由题意可得，32× +30 − =1250，
28 28 30
解得，x=300，
即丙在A地植树300棵．
故答案为：300.
12．（2025·广西·模拟预测）根据以下对话，
给出下列三个结论：
①1班学生的最高身高为180cm；
②1班学生的最低身高小于150cm；
③2班学生的最高身高大于或等于170cm．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【分析】本题考查了二元一次方程、不等式的应用，设1班同学的最高身高为xcm，最低身高为ycm，2
班同学的最高身高为acm，最低身高为bcm，根据1班班长的对话，得x≤180，x+a=350，然后利用不
等式性质可求出a≥170，即可判断①，③；根据2班班长的对话，得b>140，y+b=290，然后利用不等
式性质可求出y<150，即可判断②．
【详解】解：设1班同学的最高身高为xcm，最低身高为ycm，2班同学的最高身高为acm，最低身高为
bcm，
根据1班班长的对话，得x≤180，x+a=350，
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∴x=350−a，
∴350−a≤180，
解得a≥170，故③正确；
1班学生的身高不超过180cm，最高未必是180cm，故无法判断①；
根据2班班长的对话，得b>140，y+b=290，
∴b=290−y，
∴290−y>140，
∴y<150，
故②正确，
所以，正确的结论是②③，
故答案为：②③．
13．（2024·湖南·模拟预测）我们经常在一些古装电视剧中看到送信员说这样的一句话：“六百里加
急！”．在我们的古代数学名著《九章算术》中有一道关于驿站送信的题目，其大意是：一份重要的文件，
若用慢马送到600里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少
3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．若设规定时间为x天，则根据题意可列出的方程为
．
600 600
【答案】 =2×
x−3 x+2
【分析】设规定时间为x天，则快马的时间为(x−3)天，慢马的时间为(x+2)天，再根据快马的速度是慢
马的2倍列出方程即可．
本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．
【详解】解：设规定时间为x天，则快马的时间为(x−3)天，慢马的时间为(x+2)天，
600 600
根据题意，得 =2× ，
x−3 x+2
600 600
故答案为： =2× ．
x−3 x+2
14．（23-24九年级上·山东德州·期末）验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）
成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到
0.5米，则近视眼镜的度数减少了 度．
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【答案】200
【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据自变量求函数值的方法是解题
的关键．
k
根据题意，设反比例函数解析式为y= (k≠0)，再根据图示，把(0.2,500)代入解析式，求出k的值，最后
x
把x=0.25和x=0.5代入计算即可求解．
k
【详解】解：根据题意，设反比例函数解析式为y= (x≠0)，由图示可知点(0.2,500)在反比例函数图象
x
上，
∴k=xy=0.2×500=100，
100
∴反比例函数解析式为：y= ，
x
100 100 100 100
∴当x=0.25时，y= = =400；当x=0.5时，y= = =200；
x 0.25 x 0.5
∴镜片焦距由0.25米调整到0.5米，近视眼镜的度数减少了400−200=200度，
故答案为：200．
15．（2024·全国·模拟预测）如图，某工厂有一块形如四边形ABCD的铁皮，其中∠A=∠B=90°，
AD=8dm，AB=20dm，BC=24dm．为节约资源，现要从这块铁皮上截取矩形铁皮BEFG（阴影部分）
备用，点E、F、G分别在AB、CD、BC上，设矩形铁皮的边FG=x(dm)，矩形BEFG的面积为S，
要使矩形BEFG面积的最大．则x的取值为 ．
【答案】15
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【分析】过点D作DH⊥BC于点H，交EF于点M，设EF= ydm，证明△DMF∽△DHC，得到
4
y=− x+24，根据矩形面积公式即可得到S与x之间的函数关系式，再根据函数的性质即可求出面积的最
5
大值．
【详解】过点D作DH⊥BC于点H，交EF于点M，则MH=FG=x，AD=EM=BH=8dm，
DH=AB=20dm，
∴DM=DH−MH=(20−x)dm，CH=BC−BH=24−8=16dm，
设EF= ydm，则MF=EF−EM=(y−8)dm，
∵矩形BEFG，
∴EF∥BC，
∴△DMF∽△DHC，
DM MF
∴ = ，
DH HC
20−x y−8
即 = ，
20 16
4
∴y=− x+24，
5
∴S=xy=x ( − 4 x+24 ) =− 4 x2+24x=− 4 (x−15) 2+180，
5 5 5
∴当x=15时，矩形BEFG面积最大，最大值为180．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，二次函数的最值等，掌握相似三角形
的判定和性质是解题的关键．
16．（23-24八年级上·甘肃张掖·阶段练习）2023年杭州亚运会竞赛项目中，有一个中华民族传统运动项目
－赛龙舟，此项比赛共分为六个小项目，中国健儿成绩骄人，共获得五金一银．在500米直道竞速赛道上，
甲、乙两队所划行的路程y（单位：米）与时间t（单位：分）之间的函数关系如图所示，根据图中提供的
信息，有下列说法：①甲队比乙队提前0.5分钟到达终点；②当划行1分钟时，甲队比乙队落后50米；③
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5
当划行 分钟时，甲队追上乙队；④当甲队追上乙队时，两队划行的路程都是300米．其中正确的是
3
．
【答案】①②③
【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法等知识．由图可判断①；设y =kt，利用待定系数法求得，
甲
y =200t，根据图象当t=1时，y =200，y =250，进而可判断②，当1≤t时，可设y =k t+b，利
甲 甲 乙 乙 1
用待定系数法求得y =125k+125(1≤t)，与y =200t联立方程组，解方程组即可判断③④，解题的关
乙 甲
键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
【详解】解：观察图象可知：甲队比乙队提前0.5分到达终点，故①正确；
设y =kt，由图得：当t=2.5时，y=500，
甲
则500=2.5k，
解得：k=200，
∴y =200t，
甲
当t=1时，y =200，y =250，
甲 乙
250−200=50（米），
∴当划行1分钟时，甲队比乙队落后50米，故②正确；
当1≤t时，可设y =k t+b，由图得，y 直线经过(1,250)和(3,500)，
乙 1 乙
则¿，
解得：¿，
∴y =125k+125(1≤t)，
乙
5
∵ >1，
3
∴¿，
解得：¿，
5 1000
∴当划行 分钟时，甲队追上乙队，两队划行的路程都是 米，故③正确，故④错误；
3 3
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其中错误的是④，
故答案为：①②③．
三、解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23
题9分，24题10分，25题13分）
1
17．（2025·陕西西安·一模）甲、乙、丙三队完成A、B两项工程，B工程的工作量比A工程的工作量多 ，
4
已知甲单独完成A工程要40天，乙、丙两队各自单独完成B工程分别需要60天、75天．开始时甲队做A
工程，乙、丙两队共同做B工程．几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程，剩下的乙队单独做B工程，
结果两个工程同时完成，请问丙队与乙队合作了多少天？
【答案】30
【分析】本题主要考查了一元一次方程的工程问题，根据“工作总量=工作时间×工作效率”来列方程是解
题的关键．
1 5
设A的工程量为1，则B的工程量1+ = ，再分别表示出甲乙丙的工作效率，然后根据题意列出方程可
4 4
算出两项工程总用时，进而求出丙队和乙队合作的天数．
1 5
【详解】解：设A的工程量为1，则B的工程量为1+ = ，
4 4
1
由题意得：甲的工作效率为： ，
40
5
乙的工作效率： 4 1 ，
=
60 48
5
丙的工作效率： 4 1 ，
=
75 60
设甲乙丙三队完成A、B两项工程用了x天，
( 1 1 1 ) 1
根据题意得 + + x=1+1+ ，
40 48 60 4
解得：x=36，
( 1 1 ) 1
∴丙队和乙队合作了 1+ − ×36 ÷ =30（天）．
4 48 60
答：丙队和乙队合作了30天．
18．（2025·陕西西安·一模）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，我
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市参加健身运动的人数逐年增多，为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司后买某种套装健身器材，
该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元，若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40
元，但最低售价不得少于1000元，已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
【答案】购买的这种健身器材的套数为200套．
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设购买
的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题
意的值即可．
【详解】解：∵1600×100=160000<240000元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为m套，
( m−100 )
由题意得：m 1600− ×40 =240000，
10
整理得：m2−500m+60000=0，
解得：m =200,m =300，
1 2
300−100
当m=300时，售价=1600− ×40=800<1000元（不符合题意，故舍去），
10
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
19．（2025·湖南娄底·模拟预测）吃月饼是中秋节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种月饼是五仁馅月饼
和蛋黄馅月饼．某超市购买45个蛋黄馅月饼和50个五仁馅月饼需要520元，购买50个蛋黄馅月饼和45
个五仁馅月饼需要525元．
(1)求蛋黄馅月饼和五仁馅月饼每个的单价；
(2)超市将蛋黄馅月饼的售价定为8元，五仁馅月饼的售价定为6元．根据市场需求，超市计划再用不超过
1050元的总费用购进这两种月饼共200个进行销售，怎样进货才能使售完后获得的利润最大，最大利润是
多少元？
【答案】(1)蛋黄馅月饼每个6元，则五仁馅月饼每个5元；
(2)购进蛋黄馅月饼50个，则购进五仁馅月饼150个，最大利润为250元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用．
（1）设蛋黄馅月饼每个x元，则五仁馅月饼每个y元，根据题意，列出二元一次方程组即可求解；
（2）设购进蛋黄馅月饼m个，则购进五仁馅月饼(200−m)个，总利润为w，利用一次一次不等式求出m
的取值范围，再根据题意求出w与x的一次函数，根据一次函数的性质解答即可求解．
【详解】（1）解：设蛋黄馅月饼每个x元，则五仁馅月饼每个y元，
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根据题意得，¿，
解得¿，
答：蛋黄馅月饼每个6元，则五仁馅月饼每个5元；
（2）解：设购进蛋黄馅月饼m个，则购进五仁馅月饼(200−m)个，总利润为w，
根据题意得，6m+5(200−m)≤1050，
解得m≤50，
又由题意得，w=(8−6)m+(6−5)(200−m)=m+200，
∵k=1>0，w随x的增大而增大，
∴当m=50时，利润最大，最大值为w=50+200=250，
200−m=150，
答：购进蛋黄馅月饼50个，则购进五仁馅月饼150个，最大利润为250元．
20．（2024·山西大同·模拟预测）“植”此青绿，共赴青山．2024年植树节，某学校计划采购一批银杏树
苗和白杨树苗，经了解，每棵银杏树苗比每棵白杨树苗贵10元，用400元购买银杏树苗的棵数与用300元
购买白杨树苗的棵数相同．
(1)分别求每棵银杏树苗、白杨树苗的价格．
(2)学校最终决定购买银杏树苗、白杨树苗共100棵，若用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，那么
最多可购买多少棵银杏树苗？
【答案】(1)每棵银杏树苗的价格是40元，每棵白杨树苗的价格是30元
(2)最多可购买20棵银杏树苗
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，弄清等量关系和不等关系并
列出分式方程和不等式成为解题的关键．
（1）设每棵银杏树苗的价格是x元，则每棵白杨树苗的价格是(x−10)元．
根据等量关系“用400元购买银杏树苗的棵数与用300元购买白杨树苗的棵数相同”列出分式方程求解即
可；
（2）设购买m棵银杏树苗，则购买(100−m)棵白杨树苗，根据用于购买两种树苗的总费用不超过3200元
列出一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每棵银杏树苗的价格是x元，则每棵白杨树苗的价格是(x−10)元．
400 300
根据题意得 = ．解得x=40．
x x−10
经检验，x=40是原方程的解．
∴x−10=40−10=30．
答：每棵银杏树苗的价格是40元，每棵白杨树苗的价格是30元．
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（2）解：设购买m棵银杏树苗．则购买(100−m)棵白杨树苗，
根据题意，得40m+30×(100−m)≤3200．
解得m≤20．
答：最多可购买20棵银杏树苗．
21．（2025·陕西·一模）放学后小明和小亮兄弟两人都从学校（同一学校）回家，已知学校到家的距离为
3000米，由于小亮要值日，因此在小明先出发1000米后，小亮再出发．小明在回家途中速度保持不变，
小亮在出发5分钟后加快自己的速度，如图是小明、小亮两人离学校的距离y（米）与小亮出发的时间x
（分）之间的函数图象．
(1)求CD段的函数表达式；
(2)当小亮回到家时，小明距离家还有多远？
【答案】(1)y=270x−1050
(2)800米
【分析】本题考查了一次函数的应用．
（1）设CD段的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，将点C(5,300),D(15,3000)代入求解即可；
（2）先求出小明离学校的距离y的函数表达式y =80x+1000，将x=15代入求出与学校的距离，进而
小明
可求出小明距离家还有多远．
【详解】（1）解：设CD段的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，
将点C(5,300),D(15,3000)代入，
得¿
解得¿
∴CD段的函数表达式为y=270x−1050．
（2）解：设小明离学校的距离y的函数表达式为y =mx+1000(m≠0)，
小明
将(25,3000)代入，得25m+1000=3000，
解得m=80，
∴y =80x+1000，
小明
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当x=15时，80x+1000=80×15+1000=2200，
3000−2200=800（米），
∴当小亮回到家时，小明距离家还有800米．
22．（2024·湖南郴州·模拟预测）某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒
100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国
家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线BC的函数表达式；
(2)参照上述数学模型，假设某人晚上20:00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上9:00能否驾车出行？
请说明理由．
270
【答案】(1)y= (x≥3)
x
(2)不能，见解析
【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象、待定系数法的应用是解题
关键．
（1）由待定系数法可以求出OA的函数表达式，从而得到A点坐标，进一步得到B点坐标，然后再利用待
定系数法可以得到部分双曲线BC的函数表达式；
（2）在部分双曲线BC的函数表达式中令y<20，可以得到饮用低度白酒100毫升后完全醒酒的时间范围，
再把题中某人喝酒后到准备驾车的时间间隔进行比较即可得解．
【详解】（1）解：设OA的函数表达式为y=kx，则：
1
k=20，
3
∴k=60，
∴OA的函数表达式为y=60x，
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3
∴当x= 时，y=90，
2
m
可设部分双曲线BC的函数表达式为y= ，
x
由图象可知，当x=3时，y=90，
∴m=270，
270
∴部分双曲线BC的函数表达式为y= (x≥3)；
x
270
（2）解：在y= 中，令y<20，
x
270
可得： <20，
x
解之可得：x>13.5，
∵晚上20:00到第二天早上9:00的时间间隔为9+4=13(h)，13h<13.5h，
∴某人晚上20:00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上9:00时体内的酒精含量高于20（毫克/百毫
升），
∴某人晚上20:00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上9:00不能驾车出行．
23．（2025·陕西西安·二模）慕梓睿学习了二次函数后，在学校的空地上设计了一个花园，它是由两条抛
物线L和L'围成．如图，这两个抛物线都过空地上O、A两点，且它们关于直线OA对称，点D、E 是抛物
线L上关于对称轴对称的两点（点D在点E左侧），DE∥OA，再作点D 、E关于直线AO的对称点D'、
E'，顺次连接D、E、E'、D'，得到矩形DEE'D'．以直线OA为x轴，以过点O且与OA垂直的直线为y
轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知OA=8米，抛物线L的顶点B到OA的距离为6米．
(1)求抛物线L 的表达式；
(2)若沿矩形DEE'D'的边围一圈篱笆，将花园内部分为不同区域种植花卉，慕梓睿通过研究发现，当点D
8
的横坐标为 时，篱笆总长度最小，求篱笆总长度的最小值．
3
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3
【答案】(1)y=− (x−4) 2+6
8
80
(2)
3
【分析】根本主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，二次函数的对称轴是解题的关键．
（1）根据题意得到A(8,0),B(4,6)，设抛物线L为y=a(x−4) 2+6(a≠0)，运用待定系数法即可求解；
8 8 (8 16)
（2）当点D的横坐标为 时，篱笆总长度最小，则当x= 时，可求出D , ，根据对称的性质得到
3 3 3 3
E
(16
,
16) ，D'(8
,−
16)
，所以DD'=
32
，DE=
8
，由周长的计算公式计算即可求解．
3 3 3 3 3 3
【详解】（1）解：已知OA=8米，抛物线L的顶点B到OA的距离为6米，
∴A(8,0),B(4,6)，设抛物线L为y=a(x−4) 2+6(a≠0)，
将(8,0)代入，得16a+6=0，
3
解得 a=−
8
3
∴抛物线L为y=− (x−4) 2+6；
8
8
（2）解：当点D的横坐标为 时，篱笆总长度最小，
3
8 3 16
∴当x= 时，y=− (x−4) 2+6= ，
3 8 3
(8 16)
∴D , ，
3 3
∵点D 和点E 关于对称轴直线x=4对称 ，
(16 16)
∴E , ，
3 3
∵点D和点D'关于x 轴对称，
∴
D'(8
,−
16)
，
3 3
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∴DD'= 16 − ( − 16) = 32 ，DE= 16 − 8 = 8 ，
3 3 3 3 3 3
(32 8) 80
∴ + ×2= ，
3 3 3
80
∴篱笆总长度的最小长为 ．
3
24．（2025·江西景德镇·模拟预测）【发现问题】
在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之队实
现该项目七连冠．两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止．我们把运动员从跳台上
起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线．
【提出问题】
在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点A处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，从起
跳到入水的过程中，运动的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间有怎样的函数关系．
【分析问题】
在某次训练完成一次动作后，记录了全红婵运动时的竖直高度y与水平距离x的几组数据如下：
水平距离x(m) 3 3.5 4 4.5
竖直高度y(m) 10 11.25 10 n
（1）根据表中数据，n=_____，y关于x的函数解析式为_____．
【解决问题】
（2）全红婵和陈芊汐完成了一次双人10米跳台训练，全红婵的数据如上表中所示，陈芋汐的竖直高度y
与水平距离x近似满足函数关系y=−4.5x2+30.6x−40.5．
①用d ，d 分别表示全红婵，陈芋汐入水时入水点距跳台的水平距离，则d _____d ；（填“>”“<”或
1 2 1 2
“=”）
②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误．全红婵在空中调
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整好入水姿势时，水平距离恰好是4.6米，她本次训练是否会失误，请通过计算说明理由．
【答案】（1）6.25，y=−5(x−3.5) 2+11.25；（2）①=；②不会失误，理由见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）根据表中数据求出对称轴，再由顶点式求出函数解析式，即可得到n的值；
（2）①将y=0代入两个函数解析式，求出d ，d 的值即可；
1 2
②将x=4.6代入y=−5(x−3.5) 2+11.25求出y=5.2，即可进行判断．
【详解】解：（1）由表中数据可知，经过(3,10),(4,10)，
3+4
故对称轴x= =3.5
2
∴顶点坐标为(3.5,11.25)
设y关于x的函数解析式为y=a(x−3.5) 2+11.25，
将(3,10)代入，
得10=a(3−3.5) 2+11.25
解得a=−5
故y关于x的函数解析式为y=−5(x−3.5) 2+11.25，
将x=4.5代入，y=−5(4.5−3.5) 2+11.25=6.25，
∴n=6.25，
故答案为：6.25，y=−5(x−3.5) 2+11.25；
（2）①将y=0代入y=−5(x−3.5) 2+11.25，
解得x=2（舍去）或x=5，
∴d =5，
1
将将y=0代入y=−4.5x2+30.6x−40.5，
9
解得x= （舍去）或x=5，
5
∴d =5，
2
∴d =d ，
1 2
故答案为：=．
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②不会失误，理由如下：
将x=4.6代入y=−5(x−3.5) 2+11.25，
即y=−5(4.6−3.5) 2+11.25，
∴y=5.2，
∵5.2>5，
∴全红婵本次训练不会失误．
25．（2025·陕西西安·一模）一座三拱桥横跨于湖面之上，三个桥洞L ,L ,L 均呈抛物线型且抛物线形状
1 2 3
相同，如图所示，以AB中点O 为坐标原点，AB所在直线为x 轴 ，OC所在直线为y 轴建立平面直角坐
标系．已知：桥洞L 的最大高度OC为8米，跨度AB=32米，桥洞L ,L 关于y 轴对称，且最大高度均为
1 2 3
4米．
(1)求桥洞L 所在抛物线的函数表达式；
1
(2)如图所示，现需要在桥洞L ,L 上安装两盏靠近y 轴的照明灯Q，P，且照明灯的高度都是2米，请计算
2 3
照明灯的水平距离PQ的长度．
1
【答案】(1)y=− x2+8
32
(2)照明灯的水平距离PQ的长度(16+16√2)米
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键．
（1）设桥洞L 所在抛物线的函数表达式为y=ax2+c，由题意得：AB=32,AO=BO，C(0,8)，B(16,0)，
1
再运用待定系数法求函数解析式；
1
（2）先求出L 函数表达式为y=− (x−16−8√2) 2+4，当照明灯的高度都是2米时，则
2 32
1
− (x−16−8√2)
2+4=2，解得：x
=8+8√2，x =24+8√2（舍），由于桥洞L ,L 关于y 轴对称，
32 1 2 2 3
则PQ=2×(8+8√2)=16+16√2（米）．
【详解】（1）解：设桥洞L 所在抛物线的函数表达式为y=ax2+c，
1
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由题意得：AB=32,AO=BO，C(0,8)
∴B(16,0)，
将B(16,0),C(0,8)代入y=ax2+c
得：¿，
解得：¿，
1
∴桥洞L 所在抛物线的函数表达式为：y=− x2+8；
1 32
（2）解：∵三个桥洞L ,L ,L 均呈抛物线型且抛物线形状相同，桥洞L ,L 关于y 轴对称，且最大高度
1 2 3 2 3
均为4米，
1
∴设L 函数表达式为：y=− (x−h) 2+4，
2 32
1
将B(16,0)代入得：− (16−h) 2+4=0，
32
解得：h =16+8√2，h =16−8√2（舍），
1 2
1
∴L 函数表达式为：y=− (x−16−8√2) 2+4，
2 32
1
当照明灯的高度都是2米时，则− (x−16−8√2)
2+4=2，
32
解得：x =8+8√2，x =24+8√2（舍），
1 2
∵桥洞L ,L 关于y 轴对称，
2 3
∴PQ=2×(8+8√2)=16+16√2（米），
答：照明灯的水平距离PQ的长度(16+16√2)米．
25
