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专题 05 立体几何（选填题）（文科专用）
1．【2022年全国甲卷】如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的
边长为1，则该多面体的体积为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】B
【解析】
【分析】
由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.
【详解】
由三视图还原几何体，如图，
2+4
则该直四棱柱的体积V = ×2×2=12.
2
故选：B.
2．【2022年全国甲卷】在长方体ABCD−A B C D 中，已知B D与平面ABCD和平面
1 1 1 1 1
A A B B所成的角均为30°，则（ ）
1 1
A．AB=2AD B．AB与平面AB C D所成的角为30°
1 1
C．AC=CB D．B D与平面BB C C所成的角为45°
1 1 1 1【答案】D
【解析】
【分析】
根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．
【详解】
如图所示：
不妨设AB=a,AD=b,A A =c，依题以及长方体的结构特征可知，B D与平面ABCD所
1 1
c b
成角为∠B DB，B D与平面A A B B所成角为∠DB A，所以sin30∘= = ，
1 1 1 1 1 B D B D
1 1
即b=c，B D=2c=√a2+b2+c2，解得a=√2c．
1
对于A，AB=a，AD=b，AB=√2AD，A错误；
对于B，过B作BE⊥AB 于E，易知BE⊥平面AB C D，所以AB与平面AB C D所
1 1 1 1 1
c √2
成角为∠BAE，因为tan∠BAE= = ，所以∠BAE≠30∘，B错误；
a 2
对于C，AC=√a2+b2=√3c，CB =√b2+c2=√2c，AC≠CB ，C错误；
1 1
CD a √2
对于D，B D与平面BB C C所成角为∠DB C，sin∠DB C= = = ，而
1 1 1 1 1 B D 2c 2
1
0<∠DB C<90∘，所以∠DB C=45∘．D正确．
1 1
故选：D．
3．【2022年全国甲卷】甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，S V
侧面积分别为S 和S ，体积分别为V 和V ．若 甲=2，则 甲=（ ）
甲 乙 甲 乙 S V
乙 乙
5√10
A．√5 B．2√2 C．√10 D．
4
【答案】C
【解析】
【分析】
设母线长为l，甲圆锥底面半径为r ，乙圆锥底面圆半径为r ，根据圆锥的侧面积公式可得
1 2
r =2r ，再结合圆心角之和可将r ,r 分别用l表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，
1 2 1 2
再根据圆锥的体积公式即可得解.
【详解】
解：设母线长为l，甲圆锥底面半径为r ，乙圆锥底面圆半径为r ，
1 2
S πr l r
则 甲= 1 = 1=2，
S πr l r
乙 2 2
所以r =2r ，
1 2
2πr 2πr
又 1+ 2=2π，
l l
r +r
则 1 2=1，
l
2 1
所以r = l,r = l，
1 3 2 3
√ 4 √5
所以甲圆锥的高ℎ = l2− l2= l，
1 9 3
√ 1 2√2
乙圆锥的高ℎ = l2− l2= l，
2 9 3
1 4 √5
πr ❑ 2 ℎ l2× l
V 3 1 1 9 3
所以 甲= = =√10.
V 1 1 2√2
乙 πr ❑ 2 ℎ l2× l
3 2 2 9 3
故选：C.
4．【2022年全国乙卷】在正方体ABCD−A B C D 中，E，F分别为AB,BC的中点，
1 1 1 1
则（ ）
A．平面B EF⊥平面BDD B．平面B EF⊥平面A BD
1 1 1 1C．平面B EF//平面A AC D．平面B EF//平面A C D
1 1 1 1 1
【答案】A
【解析】
【分析】
证明EF⊥平面BDD ，即可判断A；如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设
1
AB=2，分别求出平面B EF，A BD，A C D的法向量，根据法向量的位置关系，即可
1 1 1 1
判断BCD.
【详解】
解：在正方体ABCD−A B C D 中，
1 1 1 1
AC⊥BD且DD ⊥平面ABCD，
1
又EF⊂平面ABCD，所以EF⊥DD ，
1
因为E,F分别为AB,BC的中点，
所以EF∥AC，所以EF⊥BD，
又BD∩DD =D，
1
所以EF⊥平面BDD ，
1
又EF⊂平面B EF，
1
所以平面B EF⊥平面BDD ，故A正确；
1 1
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2，
则B (2,2,2),E(2,1,0),F(1,2,0),B(2,2,0),A (2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0)，
1 1
C (0,2,2)，
1
则⃑EF=(−1,1,0),⃑EB =(0,1,2)，⃑DB=(2,2,0),⃑DA =(2,0,2)，
1 1
⃑A A =(0,0,2),⃑AC=(−2,2,0),⃑A C =(−2,2,0),
1 1 1
设平面B EF的法向量为⃑m=(x ,y ,z )，
1 1 1 1
则有¿，可取⃑m=(2,2,−1)，
同理可得平面A BD的法向量为⃑n =(1,−1,−1)，
1 1
平面A AC的法向量为⃑n =(1,1,0)，
1 2平面A C D的法向量为⃑n =(1,1,−1)，
1 1 3
则⃑m⋅⃑n =2−2+1=1≠0，
1
所以平面B EF与平面A BD不垂直，故B错误；
1 1
因为⃑m与⃑n 不平行，
2
所以平面B EF与平面A AC不平行，故C错误；
1 1
因为⃑m与⃑n 不平行，
3
所以平面B EF与平面A C D不平行，故D错误，
1 1 1
故选：A.
5．【2022年全国乙卷】已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球
O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
1 1 √3 √2
A． B． C． D．
3 2 3 2
【答案】C
【解析】
【分析】
先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
2r2，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到
当该四棱锥的体积最大时其高的值.
【详解】
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为α，1 1 1
则S = ⋅AC⋅BD⋅sinα≤ ⋅AC⋅BD≤ ⋅2r⋅2r=2r2
ABCD 2 2 2
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2r2
又r2+
ℎ
2=1
则V =
1
⋅2r2 ⋅ℎ =
√2
√r2 ⋅r2 ⋅2ℎ 2≤
√2√ (r2+r2+2ℎ 2 ) 3
=
4√3
O−ABCD 3 3 3 3 27
√3
当且仅当r2=2ℎ 2即ℎ = 时等号成立，
3
故选：C
6．【2021年甲卷文科】在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该
正方体截去三棱锥 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视
图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.【详解】
由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，
所以其侧视图为
故选：D
7．【2021年乙卷文科】在正方体 中，P为 的中点，则直线 与
所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
平移直线 至 ，将直线 与 所成的角转化为 与 所成的角，解三角形即可.
【详解】如图，连接 ，因为 ∥ ，
所以 或其补角为直线 与 所成的角，
A B C D
因为 平面 1 1 1 1，所以 ，又 ， ，
所以 平面 ，所以 ，
设正方体棱长为2，则 ，
，所以 .
故选：D
8．【2018年新课标1卷文科】已知圆柱的上、下底面的中心分别为 ， ，过直线
的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆
柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.
详解：根据题意，可得截面是边长为 的正方形，
结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是 的圆，且高为 ，
所以其表面积为 ，故选B.
点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件
确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一
定要注意是两个底面圆与侧面积的和.9．【2018年新课标1卷文科】在长方体 中， ， 与平面
所成的角为 ，则该长方体的体积为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先画出长方体 ，利用题中条件，得到 ，根据 ，求得
，可以确定 ，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.
【详解】
在长方体 中，连接 ，
根据线面角的定义可知 ，
因为 ，所以 ，从而求得 ，
所以该长方体的体积为 ，故选C.
【点睛】
该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为
长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.
10．【2018年新课标2卷文科】在正方体 中， 为棱 的中点，则异面
直线 与 所成角的正切值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正方体 中， ，将问题转化为求共面直线 与 所成角的正
切值，在 中进行计算即可.
【详解】
在正方体 中， ，所以异面直线 与 所成角为 ，
设正方体边长为 ，则由 为棱 的中点，可得 ，所以 ，
则 .故选C.
【点睛】
求异面直线所成角主要有以下两种方法：
（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或
构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；
（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，
所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.11．【2021年甲卷文科】已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为 则该圆锥的侧面积
为________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.
【详解】
∵
∴
∴
∴ .
故答案为： .
12．【2021年乙卷文科】以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视
图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合
要求的一组答案即可）．【答案】③④（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.
【详解】
选择侧视图为③，俯视图为④，
如图所示，长方体 中， ，
分别为棱 的中点，
则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥 .故答案为：③④.
【点睛】
三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和
数量关系.
13．【2019年新课标1卷文科】已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到
∠ACB两边AC，BC的距离均为 ，那么P到平面ABC的距离为___________．
【答案】 .
【解析】
【分析】
本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到 在底面上的射影，使用线面
垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决．
【详解】
作 分别垂直于 ， 平面 ，连 ，
知 ， ，
平面 ， 平面 ，
， ． ，
，
， 为 平分线，
，又 ，
．【点睛】
画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很难解决，
将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事
半功倍．
14．【2018年新课标2卷文科】已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 互相垂直， 与圆锥
底面所成角为 ，若 的面积为 ，则该圆锥的体积为__________．
【答案】8π
【解析】
【详解】
分析：作出示意图，根据条件分别求出圆锥的母线 ，高 ，底面圆半径 的长，代
入公式计算即可.
详解：如下图所示，
又 ，
解得 ，所以 ，
所以该圆锥的体积为 .点睛：此题为填空题的压轴题，实际上并不难，关键在于根据题意作出相应图形，利用平
面几何知识求解相应线段长，代入圆锥体积公式即可.
