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专题 05 立体几何（选填题）（理科专用）
1．【2022年新高考1卷】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部
分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148．5m时，相应水面的面积为140．0km2；水
位为海拔157．5m时，相应水面的面积为180．0km2，将该水库在这两个水位间的形状
看作一个棱台，则该水库水位从海拔148．5m上升到157．5m时，增加的水量约为（
√7≈2.65）（ ）
A．1.0×109m3 B．1.2×109m3 C．1.4×109m3 D．1.6×109m3
2．【2022年新高考1卷】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的
体积为36π，且3≤l≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
[ 81] [27 81] [27 64]
A． 18, B． , C． , D．[18,27]
4 4 4 4 3
3．【2022年新高考2卷】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3√3和4√3，其
顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．100π B．128π C．144π D．192π
4．【2021年甲卷理科】2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为
8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法
的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影 满足
， ．由C点测得B点的仰角为 ， 与 的差为100；由
B点测得A点的仰角为 ，则A，C两点到水平面 的高度差 约为（
）（ ）A．346 B．373 C．446 D．473
5．【2021年甲卷理科】已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且
，则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．【2021年新高考1卷】已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆
锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．
7．【2021年新高考2卷】正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体
积为（ ）
A． B． C． D．
8．【2020年新课标1卷理科】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视
为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面
积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A． B． C． D．
9．【2020年新课标1卷理科】已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外
接圆，若⊙ 的面积为 ， ，则球 的表面积为
（ ）
A． B． C． D．
10．【2020年新课标2卷理科】如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端
点在正视图中对应的点为 ，在俯视图中对应的点为 ，则该端点在侧视图中对应的点为
（ ）
A． B． C． D．
11．【2020年新课标2卷理科】已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球
O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
12．【2020年新课标3卷理科】下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（
）A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2
13．【2020年新高考1卷（山东卷）】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面
垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A
的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平
面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷
针与点A处的水平面所成角为（ ）
A．20° B．40°
C．50° D．90°
14．【2019年新课标1卷理科】已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，
PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，
则球O的体积为
A． B． C． D．
15．【2019年新课标2卷理科】设 ， 为两个平面，则 的充要条件是
A． 内有无数条直线与 平行B． 内有两条相交直线与 平行
C． ， 平行于同一条直线
D． ， 垂直于同一平面
16．【2019年新课标3卷理科】如图，点 为正方形 的中心， 为正三角形，
平面 平面 是线段 的中点，则
A． ，且直线 是相交直线
B． ，且直线 是相交直线
C． ，且直线 是异面直线
D． ，且直线 是异面直线
17．【2018年新课标1卷理科】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆
柱表面上的点 在正视图上的对应点为 ，圆柱表面上的点 在左视图上的对应点为 ，
则在此圆柱侧面上，从 到 的路径中，最短路径的长度为
A． B． C． D．218．【2018年新课标1卷理科】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面 所成的
角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为
A． B． C． D．
19．【2018年新课标2卷理科】在长方体 中， ， ，
则异面直线 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
20．【2018年新课标3卷理科】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分
叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某
一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
A． B． C．
D．
21．【2018年新课标3卷理科】设 是同一个半径为4的球的球面上四点，
为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为
A． B． C． D．
22．【2022年新高考1卷】已知正方体ABCD−A B C D ，则（ ）
1 1 1 1A．直线BC 与DA 所成的角为90° B．直线BC 与C A 所成的角为90°
1 1 1 1
C．直线BC 与平面BB D D所成的角为45° D．直线BC 与平面ABCD所成的角为
1 1 1 1
45°
23．【2022年新高考2卷】如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，
FB∥ED,AB=ED=2FB，记三棱锥E−ACD，F−ABC，F−ACE的体积分别为
V ,V ,V ，则（ ）
1 2 3
A．V =2V B．V =V
3 2 3 1
C．V =V +V D．2V =3V
3 1 2 3 1
24．【2021年新高考1卷】在正三棱柱 中， ，点 满足
，其中 ， ，则（ ）
A．当 时， 的周长为定值
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
25．【2021年新高考2卷】如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，
M，N为正方体的顶点．则满足 的是（ ）A． B．
C． D．
26．【2020年新课标3卷理科】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最
大的球的体积为_________．
27．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知直四棱柱ABCD–ABC D 的棱长均为2，
1 1 1 1
∠BAD=60°．以 为球心， 为半径的球面与侧面BCC B 的交线长为________．
1 1
28．【2020年新高考2卷（海南卷）】已知正方体ABCD-ABC D 的棱长为2，M、N分别
1 1 1 1
为BB、AB的中点，则三棱锥A-NMD 的体积为____________
1 1
29．【2019年新课标2卷理科】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印
信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正
多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体
现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体
的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为
_________．
30．【2019年新课标3卷理科】学生到工厂劳动实践，利用 打印技术制作模型.如图，
该模型为长方体 挖去四棱锥 后所得的几何体，其中 为长方体的中心， 分别为所在棱的中点， ， 打印所用原料
密度为 ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________ .
31．【2018年新课标2卷理科】已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的余弦值为 ，
与圆锥底面所成角为45°，若 的面积为 ，则该圆锥的侧面积为__________．
