FY25暑假预初A03B03分数的意义、性质及乘除法教师版4.0_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_预初_志高_教师版PDF

A03/B03 分数的意义、性质及乘除法 考情链接 1. 本次任务由三个部分构成 （1）分数与除法的关系 （2）分数的基本性质 （3）分数的大小比较 （4）分数的乘除法 2. 考情分析 （1）分数的意义和性质、分数乘除法属于数与运算部分，属于解释性水平； （2）主要考查分数的基本性质，分数的约分、通分，分数的大小比较及分数的乘除法，以 填空题解答题为主，占中考总分值的5%； （3）通过本讲的学习，我们需要根据具体的情境理解分数的意义，从而掌握分数的表达方 式及分数与除法的关系，进而根据除法的基本性质理解并掌握分数的基本性质，另外我们通 过学习约分化简分数并理解最简分数的概念，利用通分的方法将异分母的分数化为同分母 的分数，从而进行大小比较，为分数加减法的学习做好准备．同时要理解倒数的意义，掌握 分数的乘法和分数的除法的运算法则，熟练分数乘除法的运算，并学会简单的分数乘除法的 应用，难点是相关的简便运算． 环节 需要时间 作业讲解及复习 10分钟 切片1：分数与除法的关系 20分钟 切片 2：分数的基本性质 25分钟 切片 3：分数的比较大小 25分钟 切片 4：分数的乘除法 25分钟 出门测 15分钟 1知识加油站 1——分数与除法的关系【建议时长：20分钟】 考点一：分数与除法 注意：加“*”的考点和题目老师可根据班级程度/课上时间选讲．加“*”题目未加入到学习 机课包中 知识笔记 1 分数与除法的关系 （1）用文字表示是： 被除数÷除数=_______； （2）用字母表示是： 两个正整数p、q相除，可以用分数_____表示，读作q分之p． p 即 pq= ，其中p为分子，q为分母． q 特别地，当q =1时， 2 p q = p ，例如3÷1= 3 1 =3． 【填空答案】：（1） 被 除 除 数 数 p ；（2） q 例题1: （★☆☆☆☆）用分数表示下列除法的商． ①56； ②74； ③12； ④35． （2）（★★☆☆☆）若铺设一条长为10千米的天然气管道要一个星期完成，则平均每天铺设 的天然气管道长度为 ( ) 1 10 A． 千米 B． 千米 C． 7 7 1 1 0 千米 D． 1 7 0 千米 【配题说明】本题主要考查分数与除法的关系． 【常规讲解】 （1）分数与除法的关系：被除数 ÷ 除数 = 被 除 除 数 数 ， 5 7 1 3 故答案是： ， ， ， ． 6 4 2 510 （2）解：107= （千米）， 7 故选：B． 练习1:【学习框8】 （★☆☆☆☆）把下列分数写成两个数相除的式子． 5 ① ； ② 4 3 3 5 ； ③ 1 1 5 9 4 ； ④ ． 2 （2）（★★☆☆☆）如果5千克煤可发电9度，那么发一度电需要煤( ) 1 1 9 5 A． 千克 B． 千克 C． 千克 D． 千克 9 5 5 9 【配题说明】本题主要考查分数与除法的关系． 【常规讲解】 （1）除法与分数的关系：被除数 ÷ 除数 = 被 除 除 数 数 ， 故答案是：（1）5÷4；（2）3÷5；（3）15÷19；（4）4÷2． 5 （2）解：59= （千克）， 9 故选D． 例题2: （1）（★★☆☆☆）（2018•普陀区期中）如图，阴影部分的面积是整个长方形面积的( ) A． 1 5 2 1 1 2 B． C． D． 2 3 3 （2）（★★☆☆☆）（2020•浦东新区期中）一根绳子对折3次，每段长是全长的( ) 1 1 1 1 A． B． C． D． 2 4 6 8（3）（★★☆☆☆）（2022•青浦区期中）一条公路长 20千米，已修了5千米，没修的占全长 的________（填几分之几）． （4）（★★☆☆☆）在数轴下方的空格里填上适当的分数． 【配题说明】本题主要考查占比问题及分数在数轴上的表示． 【常规讲解】 （1）解：设正方形的边长为1， 1 1 1 1 阴影部分的面积= 22+ 22+ 11+ 11=5， 2 2 2 2 整个长方形面积 4 = 4  3 = 1 2 ， 阴影部分的面积是整个长方形面积的 1 5 2 ， 故选：A． （2）解：第一次对折后，分成2份， 第三次对折后，变成了4份， 第三次对折后，分成8份， 1 其中每一分占全长的：18= ， 8 故选：D． （3）解： ( 2 0 − 5 )  2 0 0 1 2 =1520 3 = ． 4 3 答：没修的占全长的 ． 4 3 故答案为： ． 4 1 2 （4）把单位“1“平均分三份，每一份是 ，第一个数取2份，是 ，第二个数取4 3 34 份，是 ． 3 练习2: 【学习框10】 （1）（★★☆☆☆）（2022•徐汇区校级期中）下列各图，用分数表示图中阴影部分与整体的关 系，正确的个数有 5 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （2）（★★☆☆☆）（2019•嘉定区期中）一根绳子长5米，对折3次，每段长是全长的________． （3）（★★☆☆☆）（2022•嘉定区期中）把一筐重5千克的苹果平均分成8份，那么每份是总 体的______． （4）（★★☆☆☆）在数轴上画出分数 2 5 8 、 所对应的点． 5 【配题说明】本题主要考查占比问题及分数在数轴上的表示． 【常规讲解】 （1）解：左起第一个图阴影部分占整体的 1 7 0 0 1 2 ，正确； 2 第二个图因为没有把整体平均分成5份，属于图阴影部分占整体的 的说法是错误的； 5 1 左起第三个图阴影部分占整体的 ，正确； 4 1 左起第四个图阴影部分占整体的 ，原说法错误； 2 所以正确的个数有2个． 故选：B． （2）解：第一次对折后，分成2份， 第三次对折后，变成了4份，第三次对折后，分成8份， 1 其中每一分占全长的：18= ， 8 1 故答案为： ． 8 （3）解： 6 1  8 = 1  1 8 = 1 8 ， 1 每份是总体的 ． 8 1 故答案为： ． 8 2 （4）把单位“1”平均分成五份，从原点向右取2份，这个点表示 ，从原点向右 5 取8份，这个点表示 8 5 ． *例题3: （1）（★★★☆☆）小张5个小时加工了7个零件，那么他每小时加工几个零件？他加工一 个零件需要多少小时？ （2）（★★★☆☆）把9米长的绳子平均分成11段，每段长多少米？每段绳子长是这段绳子 长的几分之几？ 【配题说明】本题考查除法与占比的应用题，要注意除法与占比的区别与联系，这是学生的 易错点，要引起重视． 【常规讲解】 7 （1）解：他每小时加工的零件个数：75= （个）； 5 5 加工一个零件需要的小时数：57= （小时）； 7 7 答：他每小时加工 个零件，加工一个零件需要 5 5 7 0 1 2 小时． 9 （2）求每段绳长用总长度除以份数：911= 米； 11求每段绳长的占比，把整段绳长看做单位“1“： 7 1  1 1 = 1 1 1 ． 答：每段长 9 1 1 米，每段绳子长是这段绳子长的 1 1 1 ． *练习3: （1）（★★☆☆☆）小杰做 12 道习题用去 19 分钟，那么他平均多少分钟可以完成 1道题？ 平均1分钟完成多少道题？（用分数表示） （2）（★★☆☆☆）一根绳子长50米，平均分成7段，每段占这根绳子的几分之几？每段 长多少米？ 【配题说明】本题考查除法与占比的应用题，要注意除法与占比的区别与联系，这是学生的 易错点，要引起重视． 【常规讲解】 （1）解：他完成1道题平均需要： 1 9  1 2 = 1 1 9 2 （分钟）， 平均1分钟可完成： 1 2  1 9 = 1 1 2 9 （道）， 19 12 答：他平均 分钟可以完成1道题，平均1分钟完成 道题． 12 19 （2）解：结合题意，每段占这根绳子的比例为： 1  7 = 1 7 50 每段长=507= 米 7 1 50 答：每段占这根绳子的 ，每段长 米． 7 7知识加油站 2——分数的基本性质【建议时长：25 分钟】 考点二：分数的基本性质 知识笔记 2 分数的基本性质 分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相等．即： __________________（b0， 8 k  0 ， n  0 ） a ak an 【填空答案】： = = b bk bn 例题4: （1）（★★☆☆☆）在括号内填上适当的数使等式成立： ① 1 6 5 = 2 5   (( )) ； ② 2 7   (( )) = ( 8 ) ； ③ 3 2   (( )) = ( 1 2 ) 30( ) ( ) ； ④ = ． 20( ) 4 （2）（★★★☆☆）在括号内填上适当的数使等式成立： ① 4 7 = 4 7 +  ( 2 ) = (( )) ； ② 1 1 2 8 = 1 1 8 2 − − ( 6 ) = (( )) ； 15 15( ) ( ) ③ = = ； ④ 36 36−24 ( ) 2 3 = 2 + 9 ( ) = 3 2 + + ( 8 ) ． a （3）（★★★☆☆）（2022•嘉定区期中）把分数 的分子扩大为原来的4倍，分母缩小为原来 b 1 的 ，所得的分数比原来（ ） 3 A．扩大到原来的7倍 B．缩小到原来的12倍 C．不变 D．扩大到原来的12倍 【常规讲解】 （1）分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相 6 2（3） 2（4） 8 3（6） 18 30（5） 6 等．① = ；② = ；③ = ；④ = ． 15 5(3) 7（4） 28 2（6） 12 20（5） 44 4+(4) 8 （2）① = = ；② 7 72 14 9 1 1 2 8 = 1 1 8 2 − − ( 6 9 ) = (( 6 9 )) ；③ 1 3 5 6 = 1 3 5 6  − ( 3 2 ) 4 = (( 1 5 2 )) ； 2 2+(4) 2+8 ④ = = ． 3 9 3+(12) （3）解：把分数 a b 1 的分子扩大为原来的4倍，分母缩小为原来的 ，分数值就扩大为原来 3 的43=12倍，故选： D ． 练习4: 【学习框12】 （1）（★★☆☆☆）在括号中填上适当的数： 1 ( ) 4 ( ) 33 3 ① = ； ② = ； ③ = ； ④ 3 12 7 28 22 ( ) 1( 5 ) = 3 2 ． （2）（★★★☆☆）在括号内填上适当的数使等式成立： 9 9−6 ( ) 6 6−( ) ( ) ① = = ； ② = = ； 15 15−( ) ( ) 12 123 ( ) 7 7+14 ( ) ③ = = ； ④ 10 10( ) ( ) 1 5 0 5 = 5 1 5 0  − ( 8 ) = (( )) ． （3）（★★★☆☆）（2020•松江区期中）如果一个分数的分子扩大为原来的2倍，分母缩小为 1 原来的 ，那么结果是（ ） 2 1 1 A．原分数的 B．原分数的 2 4 C．原分数的2倍 D．原分数的4倍 【常规讲解】 （1）（1）分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的 大小相等． 故答案是：（1）4； （2）16； （3）2； （4）10． 9 9−6 (3) （2）① = = ；② 15 15−(10) (5) 1 6 2 = 6 1 − 2 (  4 3 ) = (( 2 4 )) 7 7+14 (21) ；③ = = ； 10 10(3) (30) 10 10−8 (2) ④ = = ． 55 55(5) (11)1 （3）解：因为一个分数的分子扩大为原来的2倍，分母缩小为原来的 ， 2 1 所以结果是原分数的2 =22=4倍． 2 故选：D． 考点三：约分及最简分数 知识笔记 3 1．约分 把一个分数的分子与分母的_________约去的过程，称为约分． 2．最简分数 分子和分母________的分数，叫做最简分数． 将分数化为最简分数，可以将分子、分母分别除以它们的最大公因数，也可以不断地约分， 直到分子、分母互素为止． 【填空答案】：1．公因数；2．互素 例题5: （1）（★★☆☆☆）将分数 10 1 2 6 4 105 、 、 180 1 5 6 6 5 、 2 8 8 4 约分，并化为最简分数． （2）（★★☆☆☆）用最简分数表示： 7 2 分钟 = 小时； 1 2 5 0 米 = _________千米； 3 2 5 0 克 = 千克；80小时 = 天 2 （3）（★★★☆☆）一个分数的分子比分母小4，约分后得到 ，则原分数为_______． 3 【配题说明】本题考查约分、最简分数的概念及其在填空题中的应用． 【常规讲解】 16 2 （1） 的分子分母同时除以它们的最大公因数是8，得： ； 24 3 1 1 0 8 5 0 的分子分母同时除以它们的最大公因数是15，得： 1 7 2 ； 156 12 的分子分母同时除以它们的最大公因数是13，得： ； 65 528 1 的分子分母同时除以它们的最大公因数是28，得： ． 84 3 72 6 （2）解：7260= = ， 60 5 11 7 2 6 分钟= 小时， 5 1250 5 12501000= = ，1250米 1000 4 = 5 4 千米， 3 2 5 0  1 0 0 0 = 3 1 2 0 5 0 0 0 = 1 3 4 13 ，3250克= 千克， 4 80 10 8024= = ， 24 3 8 0 小时 = 1 0 3 天． 故答案为： 6 5 ； 5 4 ； 1 3 4 ； 1 0 3 ． （3）解：设这个分数的分子是x，则分母是x+4， x 2 所以 = ， x+4 3 则有：3x 2 x 4 3 x 2 x 8 ， 3 x 2 x 2 x 8 2 x 解得：x=8 8+4=12 所以这个分数是 1 8 2 ． 练习5:【学习框14】 （1）（★★☆☆☆）把以下分数化为最简分数： 36 22 20 42 39 19 27 ， ， ， ， ， ， ． 45 55 35 70 52 95 36 （2）（★★☆☆☆）24分钟是 1 .2 小时的 ， 1 0 小时是一昼夜的 （填最简分数） 3 （3）（★★★☆☆）一个分数的分子比分母小4，约分后得到 ，这个分数 5 是 ． 【配题说明】本题考查约分、最简分数的概念及其在填空题中的应用． 【常规讲解】 （1）非最简分数可以通过分子、分母同时约去最大公因数的方法约分，故答案是 12 4 5 ， 2 5 ， 4 7 ， 3 5 ， 3 4 ， 1 5 ， 3 4 ． （2）解： 1 .2 小时是 7 2 24 1 分钟， = ， 72 3 一昼夜是24小时， 1 2 0 4 = 1 5 2 ， 1 5 故答案为： ； ． 3 12 （3）解：设这个分数的分子是 x ，则分母是 x + 4 ， x 3 所以 = ， x+4 5 则有：5x 3 x 4 ， 5x 3x 12， 解得： x = 6 ， 6+4=10， 所以这个分数是： 1 6 0 ．知识加油站 3——分数的大小比较【建议时长：25 分钟】 考点四：通分 知识笔记 4 1．公分母 两个异分母的分数 13 b a 、 d c （ a 、 c 为常数，且ac、 a  0 、c0）要化成同分母的分数， 分母必须是a和c的__________，这个分母叫做公分母． 其中a和c的最小公倍数，称为______________． 2．通分 将异分母的分数分别化成与原分数大小相等的同分母的分数，这个过程叫做通分． 【填空答案】：1．公倍数、最小公分母 例题6: （1）（★☆☆☆☆）写出三个 2 3 3 2 和 的公分母______、______和______； 和 4 3 3 4 的最小公分 母是______． （2）（★★☆☆☆）将下列各组分数通分： 3 2 7 9 2 3 7 ① 和 ； ② 和 ； ③ ， ， . 5 3 24 16 3 4 12 【常规讲解】 （1）两个分数的公分母指他们分母的公倍数，其中最小公倍数即是最小公分母；所以 2 3 和 3 4 的公分母有无数个，写出三个即可，12，24，36等；12最小公分母是12． 3 2 9 10 （2）① 和 的最小公分母是15，故通分后是： 和 ； 5 3 15 15 7 9 14 27 ② 和 的最小公分母是48，故通分后是： 和 ； 24 16 48 48 2 3 7 8 9 7 ③ ， ， 的最小公分母是12，故通分后是： ， ， ． 3 4 12 12 12 12练习6: 【学习框16】 （1）（★☆☆☆☆）写出三个 14 3 4 、 2 5 1 3 2 和 的公分母______、______和______； 、 和 6 4 5 1 6 的 最简公分母是______． （2）（★★☆☆☆）将下列各组分数通分： 5 ① 和 7 1 7 0 1 ； ② ， 4 3 5 ， 1 5 2 ； ③ 5 8 ， 2 2 3 5 ， 1 9 0 ． 【常规讲解】 3 （1）几个分数的公分母指他们分母的公倍数，其中最小公倍数即是最小公分母；所以 、 4 2 5 和 1 6 的公分母有无数个，写出三个即可，60,120,180；最小公分母是60． 5 （2）① 和 7 1 7 0 50 49 的最小公分母是70，故通分后是： 和 ； 70 70 1 ② ， 4 3 5 ， 1 5 2 的最小公分母是60，故通分后是： 1 6 5 0 ， 3 6 6 0 ， 2 6 5 0 ； 5 ③ ， 8 2 2 3 5 ， 1 9 0 的最小公分母是200，故通分后是： 1 2 2 0 5 0 ， 1 2 8 0 4 0 ， 1 2 8 0 0 0 ． 考点五：分数的大小比较 知识笔记 5 分数的大小比较 （1）分母相同而分子不同的分数 分母相同的分数，分子大的分数_________． （2）分子相同而分母不同的分数 分子相同的分数，分母小的分数_________． （3）分母不同且分子也不同的分数 ①利用通分的方法，将异分母的分数化为同分母的分数，再比较大小； ②应用分数的基本性质，将各个分数的分子化为相同的，再比较大小． 【填空答案】（1）较大；（2）较大例题7: （1）（★★☆☆☆）比较下列分数的大小： 7 ① 和 9 15 8 9 5 ； ② 和 6 5 7 3 ； ③ ， 4 4 2 0 5 ， ． 8 （2）（★★☆☆☆）写出所有分母为16且比 3 4 小的最简分数． 1 （3）（★★★☆☆）若将分数 ， 5 3 8 0 0 和 1 x 2 1 x 30 的分子都化为3后，得到的结果是：   ， 5 12 80 求x的取值． 【配题说明】本题主要考查分数比较大小的直接应用． 【常规讲解】 （1）分母相同的分数，分子大的分数较大；分子相同的分数，分母小的分数较大．故答案 是： 7 8 ①  ；② 9 9 5 6  5 7 3 30 4 8 5 25 4 5 3 ；③ = ， = ， = ，   ； 4 40 20 40 8 40 20 8 4 （2）通分， 3 4 = 1 1 2 6 ，所以符合题意的分数分子<12，且为最简分数，分子与16互素，不能 1 3 5 7 9 11 是偶数，所以答案是： ， ， ， ， ， ． 16 16 16 16 16 16 （3）将 1 5 和 3 8 0 0 分子都化为3后得： 1 3 5 ， 3 8 ；故在 1 5 和 3 8 0 0 之间的分数有： 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 3 1 ， ， ， ， ， ；化简得： ， ，， ， ，；且 14 13 12 11 10 9 14 13 4 11 10 3 1 4 = 1 3 2 ， 1 3 = 1 4 2 . 所以 x 是3或4． 练习7: 【学习框18】 （1）（★★☆☆☆）比较下列分数的大小： 6 5 13 13 7 13 19 ① 和 ； ② 和 ； ③ ， ， ． 7 7 5 12 12 18 24 1 1 （2）（★★☆☆☆）（2019•奉贤期中）请写出一个大于 ，小于 且分母小于15的最简分数： 3 2 ________．（3）（★★★☆☆） 16 a b 是最简分数，且2a10， 8  b  1 9 ．写出满足条件的最大和最小的 分数． 【配题说明】本题主要考查分数比较大小的直接应用． 【常规讲解】 （1）分母相同的分数，分子大的分数较大；分子相同的分数，分母小的分数较大，故答案 是： 6 5 13 13 ①  ；②  ；③ 7 7 5 12 1 7 2 = 4 7 2 2 ， 1 1 3 8 = 5 7 2 2 ， 1 2 9 4 = 5 7 7 2 ，  1 7 2  1 1 3 8  1 2 9 4 ． （2）设所求最简分数为a，则 1 4 2  a  1 6 2 ，故a可取 1 5 2 ． （3）最大分数的取法：分子取最大，分母取最小，得到： 9 9 不是最简， 退而求其次： 8 9 ， 1 9 0 ，比较大小得；最大分数： 1 9 0 ； 最小分数的取法：分子取最小，分母取最大，得到： 1 3 8 不是最简， 退而求其次： 1 3 7 ， 1 4 8 ，比较大小得；最小分数： 1 3 7 ．知识加油站 4——分数的乘除法【建议时长：25 分钟】 考点六：分数的乘法 知识笔记 6 1．分数与分数相乘 两个分数相乘，将分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母．即： ____________________． 2．整数与分数相乘 整数与分数相乘，整数与分数分子的积作积的分子，分母不变．即： ____________________． 【填空答案】：1、 17 p q  m n = p q   m n （q0，n0）；2、 a  m n = a  n m （n0） 例题8: （1）（★☆☆☆☆）计算： 3 3 4 5 ①  ②  ③ 5 4 7 8 1 5 2  6 11 2 3 ④3 ⑤ 3 ⑥ 6 5 4 4 2 3  6 7 （2）（★★☆☆☆）计算： ① 2 3 5  1 2 5 6  3 1 1 8 4 8 1 ②  2 ③ 5 9 2 1 2 2 5  1 1 2  5 6 8 5 3 ④2 1  15 6 22 （3）（★★☆☆☆）计算：  7 4  3  3 1 5 3 5 3 1 ① −  ②162 −1 +  ③  +  24 15 2  4 2 8 4 6 4 6 【常规讲解】 （1）① 9 2 0 ；② 1 5 4 ；③ 1 5 2  6 = 5 ；④ 2 3  1 1 6 = 1 1 2 ；⑤ 2 5  3 3 4 = 2 5  1 5 4 = 3 ； 2 2 6 14 6 ⑥4  =  = 3 7 3 7 4 ．3 15 1 13 15 55 （2）①2  3 =   = 5 26 18 5 26 18 18 5 1 5 2 ； ② 4 5  8 9  2 1 2 = 4 5  8 9  5 2 = 1 6 9 ； ③ 1 2 2 5  1 1 2  5 6 = 1 2 2 5  3 2  5 6 18 5 3 =  = ； 25 6 5 ④ 2 8 1 5  1 5 6  3 2 2 = 3 1 8 5  1 1 6  3 2 2 = 1 3 9 0 ． （3）①  7 2 4 − 1 4 5   3 2 = 7 2 4  3 2 − 1 4 5  3 2 = 3 8 0 ； ② 1 6 （ 2 3 4 − 1 1 2 + 5 8 ） 11 3 5 =16 −16 +16 =44−24+10= 4 2 8 3 0 ； 3 5 3 1 3 5 1 ③  +  =  +  4 6 4 6 4 6 6 = 3 4  1 = 3 ． 4 练习8: 【学习框20】 （1）（★☆☆☆☆）计算： 3 9 2 9 5 2 1 ①  ②  ③3 2 ④42 5 4 3 4 7 13 2 （2）（★★☆☆☆）计算： ① 3  2 2 5  1 4  1 2 1 1 1 ②3 2 1 3 4 3 ③ 4 1 1  5 6  3 3 ④ 1 5 2  3 6  2 3 （3）（★★☆☆☆）计算：  5 11 5 7 13 ①141 −  ②( − + )12 ③  7 14 4 6 12 8 9   3 4 −  1 7 6 − 1 4   【常规讲解】 （1）① 3 5  9 4 = 27 ；② 20 2 3  9 4 = 3 5 2 26 28 ；③3 2 =  = 8；④ 2 7 13 7 13 4  2 1 2 = 4  5 2 = 10． 2 1 1 12 1 1 9 10 9 4 （2）①32   =3   = ；②原式=   =10； 5 4 2 5 4 2 10 3 4 3 4 5 4 5 ③  33= 33 11 6 11 6 = 1 2  5 6 = 10；④ 1 5 2  3 6  2 3 = 1 5  2 3 = 10．  5 11 12 11 （3）①141 −  =14 −14 =24−11=13；  7 14 7 14②原式 19 = ( 5 4 − 7 6 + 1 1 3 2 )  1 2 = 5 4  1 2 − 7 6  1 2 + 1 1 3 2  1 2 =15−14+13= 1 4 ； 8 3  7 1 8 3 7 1 8 9 ③   − −  = ( − + )=  = 9 4 16 4 9 4 16 4 9 16 1 2 ． *考点七：分数乘法的应用【本考点题目未加入到学习机课包中】 知识笔记 7 分数乘法的运用 m 整数a的 可列式为：____________________． n p m 分数 的 可列式为：____________________． q n 【填空答案】： a  m n （n0）； p q  m n （ q  0 ，n0） 例题9: 2 5 （1）（★★☆☆☆）5米的 和2米的 （ ） 9 9 2 5 A．一样长 B．5米的 长 C．2米的 长 D．无法比较 9 9 （2）（★★★☆☆）1吨甘蔗可制糖 1 4 5 吨，125吨甘蔗可制糖______吨；要制糖160吨，需要 ______吨甘蔗． （3）（★★★☆☆）一根电线长24米，截去 1 3 ，再接上 1 3 米，这时的电线长______米． 【配题说明】本题主要考查分数乘法在填选中的应用． 【常规讲解】 （1）5米的 2 9 5 2 5 10 和2米的 一样长，因为5 =2 = ，故选A． 9 9 9 9 4 4 100 （2）每吨甘蔗可制糖 吨，125吨甘蔗可制糖125 = 吨；制糖1吨需要 15 15 3 1 5 4 吨甘蔗， 15 制糖160吨需要160 =600吨甘蔗． 41 1 1 （3）列式为24−24 + =16 米． 3 3 3 练习9: 2 （1）（★★☆☆☆）小智每天早上起床后，用 小时晨练，那么一周小智用______小时晨练． 5 3 1 （2）（★★☆☆☆）1小时的 是______分钟；5吨大米的 是______千克． 4 25 【配题说明】本题主要考查分数乘法在填选中的应用． 【常规讲解】 （1）一周按7天计算，7个 20 2 5 14 4 4 是 即2 ，所以一周用于晨练的时间是2 小时． 5 5 5 （2） 1 小 时 = 6 0 分 钟 3 ，60 =45分钟； 4 5 吨 = 5 0 0 0 千 克 1 ，5000 =200千克． 25 例题10: 1 （1）（★★★☆☆）（2021•浦东新区期末）现有1800个零件待加工，第一天加工了总量的 ， 4 第二天加工了剩余的 2 5 ，请问这批零件还剩多少个？ （2）（★★★☆☆）（2022•松江区校级月考）饭店买来面粉 7 8 吨，第一天用去这批面粉的 1 3 4 ， 3 第二天又用去 吨，两天共用去面粉多少吨？ 16 （3）（★★★☆☆）（2022•静安区期末）小杰去药房买消毒用品，共带了60元，他先买了一 1 瓶洗手液，恰好花了他所带钱数的 ，接着他又用剩下钱数的 3 2 5 买一次性口罩，那么最后 小杰还剩下多少钱？ 【配题说明】本题主要考查分数乘法在解答题中的应用． 【常规讲解】 （1）解：根据题意得：第一天加工了 1 8 0 0  1 4 = 4 5 0 个，剩余 1 8 0 0 − 4 5 0 = 1 3 5 0 个，第二天加 2 工1350 =540个，1350−540=810个， 5 答：还剩810个零件．（2）解：设两天共用去面粉x吨，依题意有： 21 x − 1 3 6 = 7 8  1 3 4 ， 3 解得x= ． 8 3 故两天共用去面粉 吨． 8 （3）解： 6 0 − 6 0  1 3 = 4 0 （元） 2 40 =16（元）． 5 4 0 − 1 6 = 2 4 （元） 答：小杰还剩24元． 练习10: 2 2 （1）（★★★☆☆）100米长的绳子，先剪去它的 还多5米，再剪去余下的 ，还剩下绳子 5 5 多少米？ （2）（★★★☆☆）地球上1千克的物体，在月球上只有 1 6 千克；小智的体重是38千克，如 果到了月球上，他的体重比在地球上轻了多少千克？ 1 （3）（★★★☆☆）小华读一本300页的故事书，第一天读了全书的 ，第二天读了余下的 3 1 4 ． ①第一天读了多少页？ ②还剩多少页没有读？ 【配题说明】本题主要考查分数乘法在解答题中的应用． 【常规讲解】 2 （1）100米长的绳子，先剪去它的 还多5米，剩下 5 1 0 0 − (1 0 0  2 5 + 5 ) = 5 5 米，再剪去 2 余下的 ，剩下 5 5 5 − 5 5  2 5 = 3 3 米． 1 1 （2）1千克的物体在月球上只有 千克，38千克的物体在月球上应该有38 千克，比 6 61 5 他在地球上轻了38−38 =38 = 6 6 22 9 5 3 千克． 1 （3）①解：300 =100（页）， 3 答：第一天读了100页； ②第二天读了： ( 3 0 0 − 1 0 0 )  1 4 = 5 0 （页）， 300−100−50=150（页）， 答：还剩150页没有读． 考点八：倒数 知识笔记 8 倒数 1除以一个不为零的数得到的商，叫做这个数的倒数． a的倒数是______（ a  0 ）， p q 的倒数是______（ p  0 ， q  0 ）． 互为倒数的两个数的乘积是1． 1 【填空答案】： ； a q p 例题11: （1）（★★☆☆☆）下列说法正确的是（ ） A．任何数都有倒数 B．一个数的倒数一定比原数小 C．1除以一个数所得的商叫做这个数的倒数 D．互为倒数的两个数的乘积为1 （2）（★☆☆☆☆）写出以下各数的倒数： 2 、 3 1 2 5 1 、7、2 、 3 n （n0）． 【常规讲解】 （1）解：A．0无倒数，故本选项错误； B．一个数的倒数不一定比原数小（例如1的倒数是1），故本选项错误； C．1除以一个数（不．为． 0 ．）所得的商叫做这个数的倒数，缺少条件，故本选项错误； D．互为倒数的两个数的乘积为1，故本选项正确．故选D； （2） 23 3 2 ； 1 5 2 ； 1 7 ； 3 7 ； 1 n ； 练习11:【学习框22】 （1）（★☆☆☆☆）因为 1 7 2  1 2 7 = 1 ，所以（ ） A． 1 7 2 是倒数 B． 1 2 7 是倒数 7 12 7 12 C． 和 没有关系 D． 和 互为倒数 12 7 12 7 1 11 （2）（★☆☆☆☆）4 的倒数是______；3 是______的倒数． 4 14 【常规讲解】 （1）因为 1 7 2  1 2 7 = 1 ，所以 1 7 2 和 1 2 7 互为倒数， 故选D． （2） 1 4 7 ； 1 5 4 3 ． 考点九：分数除法的运算 知识笔记 9 分数除法的运算法则 甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数．用字母表示就是： _____________________（n0， p0，q0） m p m q 【填空答案】：  =  n q n p 例题12: （1）（★★☆☆☆）计算： 5 4 5 11 ①  ； ②10 5； ③181 ． 4 5 9 18（2）（★★☆☆☆）解方程： 5 7 9 ① x=15； ② x= ． 7 18 14 （3）（★★☆☆☆）计算： ① 24 2 1 3  1 1 4 5  1 3 5 3  1 3 ； ②2 1 2 ； ③ 5  5 5 1 2 2 5  2 3  6 5 ． 【常规讲解】 5 4 5 5 25 5 95 1 19 11 18 324 （1）①  =  = ；②10 5=  = ；③181 =18 = ． 4 5 4 4 16 9 9 5 9 18 29 29 5 （2）① x=15， 7 x = 1 5  5 7 = 1 5  7 5 = 2 1 ； 7 9 ② x= ， 18 14 x = 1 9 4  7 1 8 = 1 9 4  1 8 7 = 8 4 1 9 ． （3）① 2 1 3  1 1 4 5  1 3 5 = 7 3  1 1 5 4  8 5 = 4 ； 3  1 3 13 6 5 13 13 169 ②2 1 2 = (  ）=  = ； 5  5 5 5 5 13 5 6 30 12 2 6 ③   25 3 5 = 1 2 2 5  3 2  5 6 3 = ． 5 练习12:【学习框24】 （1）（★★☆☆☆）计算： 5 3 2 1 1 ① 7； ②2  ； ③3 1 ． 28 7 3 4 6 （2）（★★☆☆☆）解方程： 2 7 14 ① x=12； ② x= ． 3 16 25 （3）（★★☆☆☆）计算： 1 3 1  5 ①85  ； ②1 141 ； ③ 3 16 4  9 4  3 1 1  3 5 ． 【常规讲解】 5 5 1 5 3 2 17 3 51 1 1 13 6 39 （1）① 7=  = ；②2  =  = ；③3 1 =  = ． 28 28 7 196 7 3 7 2 14 4 6 4 7 142 2 3 （2）① x=12，x=12 =12 =18； 3 3 2 7 14 14 7 14 16 32 ② x= ，x=  =  = ． 16 25 25 16 25 7 25 （3）① 25 8  5 1 3  1 3 6 = 8  1 3 6  1 3 6 = 9 3 2 ； 1  5 5 9 5 1 5 ②1 141 = (14 )=  = ； 4  9 4 14 4 9 36 3 3 ③4  11 5 = 4  1 1 3  5 3 = 2 2 9 0 ． *考点十：分数除法的应用【本考点题目未加入到学习机课包中】 知识笔记 10 分数除法的运用 已知某数的 m n 等于 a ，则：某数 = a  m n ． 例题13: （1）（★★☆☆☆） 1 4 1 中包含______个 ； 100 3 3 4 由______个 3 8 组成； （2）（★★☆☆☆）如果8是某数的 1 5 ，那么某数是______． （3）（★★★☆☆）一台榨油机 3 4 小时榨油6吨．那么1小时榨油 吨，榨1吨油需 小时． 【配题说明】本题主要考查分数除法在填选中的应用． 【常规讲解】 1 （1） 中包含几个 4 1 1 0 0 3 ；3 由几个 4 3 8 1 1 3 3 组成，列式都是除法运算，  =25；3  =10． 4 100 4 8 b （2）文字题的解答，主要是判断用乘法还是除法，某数的 是 a x ，求某数： x  b a ，所以 1 8 =40． 53 1 （3）解：6 =8吨，18= 小时， 4 8 所以，1小时榨油8吨，榨1吨油需 26 1 8 小时． 1 故答案为：8， ． 8 练习13: 3 （1）（★★☆☆☆）如果一节课的时间是 个小时，那么______节课的时间是6小时． 4 （2）（★★★☆☆）绳子剪去 1 1 0 6 后，剩下 1 1 6 0 米，原本绳子长______米． 3 （3）（★★★☆☆）一辆汽车行驶 6 千米用 升汽油，行驶 1 千米用汽油 升，1 升汽 5 油可以行驶 千米． 【配题说明】本题主要考查分数除法在填选中的应用． 【常规讲解】 3 （1）6 =8． 4 （2）一根绳子剪去 1 1 0 6 ，还剩下全长的 1 6 6 3 3 ，即 ，全长的 是 8 8 1 1 6 0 米，所以原长为 1 1 6 0  3 8 = 6 1 4 5 米． 3 3 1 1 （3）解： 6=  = 升 5 5 6 10 3 5 6 =6 =10千米， 5 3 故答案为： 1 1 0 ， 1 0 ． 例题14: 4 4 （1）（★★★☆☆）小智想去看电影《功夫熊猫》，他家距离电影院3 千米，他计划用 个 7 7 小时骑自行车到达电影院．那么小智骑自行车的平均速度是每小时多少千米？（2）（★★★☆☆）小方在做分数除法练习时，把“除以 27 2 3 ”错写成“除以 3 2 ”，得到的答案是 1 5 2 ， 你能告诉小方这道题的正确答案吗？ 【配题说明】本题主要考查分数除法在解答题中的应用． 【常规讲解】 （1）速度＝路程÷时间， 3 4 7  4 7 = 2 5 4 25 ，所以平均速度是每小时 千米． 4 （2）先按照小方的理解计算出被除数， 1 5 2  3 2 = 5 8 5 2 5 3 15 ，再计算正确答案，  =  = ． 8 3 8 2 16 练习14: 4 4 1 （1）（★★★☆☆）小智用 小时可以走 千米的路程，小智现在要走去2 千米外的书店， 15 9 3 那么他要用多长时间？ （2）（★★★☆☆）一根竹竿长 3 1 2 米，垂直插入河底泥中 3 4 5 米，露出水面 米，那么这条河 8 的水的深度是这根竹竿长的几分之几？ 【配题说明】本题主要考查分数除法在解答题中的应用． 【常规讲解】 （1）首先求小智的速度， 4 9  1 4 5 = 5 3 千米每时，现在要走 2 1 3 千米，需要的时间是 2 1 3  5 3 = 7 5 小时． 1 3 5 17 （2）竹竿长被分成三部分，插入泥底部分、水深、露出水面部分，所以水深为3 − − = 2 4 8 8 17 1 17 米，占竹竿长的几分之几， 3 = ． 8 2 28全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成 关卡一 练习1: （★★☆☆☆）（2019•奉贤期中）把一根3米长的绳子平均分成5段，那么下列说法正确的是 （ ） 1 1 A．每段是 B．每段是全长的 C．每段长为 5 5 28 1 5 米 D．每段是全长的 1 5 米 【常规讲解】 1 把一3米长的绳子平均分成5段，则每段是全长的 ，或者每段的长为 5 3 5 米. 故答案选B． 练习2: 2 3+( ) （1）如果 = ，那么括号内应填的数字为________． 5 25 （2）（★★☆☆☆）一个分数的分子乘以8，要使其大小不变，分母应________． 2 （3）（★★☆☆☆）（2023•普陀区期中） 的分子增加 6，要使分数大小不变，分母应增加 3 ________． 【常规讲解】 分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相等． 2 10 3+7 （1）解： = = ， 5 25 27 所以括号内的数字为7， 故答案为：7； （2）乘以8； （3）解： 分子增加6后变为8，即变为原来的4倍， 要使分数大小不变，分母应变为原来的4倍，即分母变为12， 分母应增加9，故答案为：9． 练习3: （★★☆☆☆）在括号里填上合适的数． （1） 29 2 5 = ( 2 0 ) = ( 1 2 ) ； （2） 1 2 6 4 = ( 4 ) = ( 3 ) ； （3） 1 6 2 = ( 6 ) = ( 1 8 ) 15 ( ) 3 ；（4） = = ； 20 40 ( ) （5） 1 2 = ( 1 6 ) = ( 1 2 ) = ( 4 0 ) = ( 9 6 ) = ( 4 ) ； （6） ( 1 2 ) = ( 8 ) = 4 5 = ( 1 6 ) = ( 2 5 ) ． 【常规讲解】 （1） 2 5 = 8 2 0 = 1 3 2 0 ； （2） 1 2 6 4 = 4 6 = 2 3 ； （3） 1 6 2 = 3 6 = 1 3 8 6 ； 15 30 3 （4） = = ； 20 40 4 （5） 1 2 = 1 8 6 = 1 2 2 4 = 4 8 0 0 = 4 9 8 6 = 2 4 ； （6） （ 1 1 2 5 ） = （ 1 8 0 ） = 4 5 = （ 1 2 6 0 ） = （ 2 2 0 5 ） ． 练习4: （1）（★★☆☆☆）（2019•虹口区期末） 1 3 8 化为最简分数是______． 3 （2）（★★☆☆☆）如果一个分数的分子是15，经过约分得 ，那么这个分数是_______． 4 4 5 （3）（★★☆☆☆）（2019•建平西校月考）比较大小: _______ ． 7 11 2 1 3 （4）（★★★☆☆）（2019•曹杨二附月考）若   ，则括号内可以填的所有整数是 7 ( ) 4 _________． 【常规讲解】（1）分子分母约去公因数3，得 30 1 3 8 = 1 ． 6 （2）根据已知得这个分数分子与分母同时约去5得 3 4 ，所以这个分数的分母为4×5=20，这 15 个分数为 ． 20 4 44 5 35 44 35 （3）因为 = ， = ，  ，所以 7 77 11 77 77 77 4 7  5 1 1 ． 2 1 3 （4）因为   ，所以 7 ( ) 4 1 7 2  ( 1 )  1 4 3 ，可知（ ）内填的整数为3或2． 练习5: （★★☆☆☆）直接写得数： 3 ①1 4 = ② 7 9  2 9 = ③ 3 8  3 8 ④ 11  4 11 = 5 ⑤ 6  1 3 0 = ⑥ 1 7  1 7 = ⑦ 1 8  1 2 8 3 = 【常规讲解】 ①解： 1  3 4 = 1  4 3 = 4 3 ；②解： 7 9  2 9 = 7 9  9 2 = 7 2 3 ；③解： 8  3 = 3 8  1 3 = 1 8 ； ④解： 8 1 1  4 1 1 = 8 1 1  1 1 4 = 2 5 ；⑤解：  6 1 3 0 = 1 4 ；⑥解： 1 7  1 7 = 1 7  7 = 1 ； ⑦解：18 1 2 8 3 23 =18 =23． 18 练习6: （★★★☆☆）计算： 15 7 1 8 （1）4  12； （2）125  ； 18 9 3 9 5 3 2  9 9  4 （3）2 3 1 ； （4）1−   ． 8 4 5  20 10 15 【常规讲解】 （1） 4 1 1 5 8  7 9  1 2 = 8 1 7 8  9 7  1 1 2 = 2 5 9 6 1 8 3 8 ；（2）125  =12  =2； 3 9 16 9 5 3 2 21 4 5 1  9 9  4 1 4 2 （3）2 3 1 =   = ；（4）1−   =(1− ) = ． 8 4 5 8 15 7 2  20 10 15 2 15 15练习7: （★★★☆☆）（2018•松江区期中）某学校图书馆里有90000册书籍，其中25000册是各学科 的参考书，20000册是小说，30000册是科普类书籍，其他书籍15000册．那么这所学校图 书馆每类书各占图书馆藏书的几分之几？ 【常规讲解】 5 解：2500090000= ， 18 2 2000090000= ， 9 1 3000090000= ， 3 1 1500090000= ． 6 答：参考书占 31 1 5 8 ，小说占 2 9 1 ，科普类书籍占 ，其他书籍占 3 1 6 ． 练习8: （★★★☆☆）（2019•浦东南片期中）某校六年级（1）班有女生20人，比男生少8人. 请回 答下列问题： （1）六年级（1）班男生人数占女生人数的几分之几？ 3 （2）若六年级（1）班的总人数占六年级学生总数的 ，求六年级学生总数是多少？ 19 【常规讲解】 （1）20+8=28（人）, 2 8  2 0 = 7 5 7 答：六年级（1）班男生人数占女生人数的 ； 5 （2） ( 2 8 + 2 0 )  1 3 9 = 4 8  1 9 3 =304（人） 答：六年级学生总数是304人．关卡二 练习9: （★★★★☆）如图，用黑白两种大小相等的小立方体堆成一个大立方体，那么在所有的小立 方体中，白色的占总数的几分之几？黑色的占总数的几分之几？ 【常规讲解】 总数是3×3×3=27个， 14 白色立方体：5+4+5=14个，1427= ； 27 黑色立方体： 32 2 7 − 1 4 = 1 3 个， 1 3  2 7 = 1 2 3 7 ． 练习10: （★★★★★）（2019•浦东四署月考）阅读理解题 我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正因数叫做a的真因 数．如10的正因数为1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数a的所有 真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”．如10的“完美指标”是（1+2+5）÷10= 4 5 . 一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是（1+2+4） 7 4 7 4 ÷8= ，10的“完美指标”是 ，因为 比 更接近1，所以我们说8比10更完美． 8 5 8 5 （1）阅读上述材料，分别求12和17的“完美指标”； （2）比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是_______．（只要求写出答案） 【常规讲解】 4 （1）12的真因数是：1，2，3，4，6，故12的完美指标为：（1+2+3+4+6）÷12= ；17的 3 真因数为1， 1 故17的完美指标为1÷17= ； 17（2）比10大，比20小的自然数中，11的完美指标为 33 1 1 1 ，12的完美指标为 4 3 ，13的完美 1 5 3 指标为 ，14的完美指标为 ，15的完美指标为 ，16的完美指标为 13 7 5 1 1 5 6 ，17的完美指标 为 1 1 7 7 ，18的完美指标为 ，19的完美指标为 6 1 1 9 ，故以上完美指标中 1 1 5 6 与1更接近， 故最“完美”的数是16． 练习11: 4567 9876 （★★★★☆）比较 和 的大小． 4587 9896 【配题说明】本题考查利用倒数法比较两分数的大小． 【常规讲解】 4587 4567+20 20 解： = =1+ ， 4567 4567 4567 9 9 8 8 9 7 6 6 = 9 8 7 6 + 9 8 7 6 2 0 = 1 + 9 2 8 0 7 6 ， 20 20  ， 4567 9876  4 4 5 5 8 6 7 7 > 9 9 8 8 9 7 6 6 ，  4 4 5 5 6 8 7 7 < 9 9 8 8 7 9 6 6 ． 练习12: （★★★★☆）（2022•徐汇区期末）计算： 531 579 753 579 753 135 531 579 753 135 579 753 ( + + )( + + )−( + + + )( + )． 135 357 975 357 975 531 135 357 975 531 357 975 【常规讲解】 解：设 5 1 3 3 1 5 + 5 3 7 5 9 7 + 7 9 5 7 3 5 + 1 5 3 3 5 1 = a 531 579 753 135 597 753 135 531 ，则 + + =a− ， + + =a− ， 135 357 975 531 357 975 531 135 原式 = ( a − 1 5 3 3 5 1 ) ( a − 5 1 3 3 1 5 ) − a  ( 5 3 7 5 9 7 + 7 9 5 7 3 5 ) = a 2 − ( 1 5 3 3 5 1 + 5 1 3 3 1 5 ) a + 1 − a  ( 5 3 7 5 9 7 + 7 9 5 7 3 5 ) 531 579 753 135 =a2 −( + + + )a+1 135 357 975 531 = a 2 − a 2 + 1 = 1 ．练习13: （★★★★☆）计算 34 1 2 9 8 1 8 9 2 1 8 9 8  1 9 2 1 8 9 1 1 2 9 8 1 . 【常规讲解】 1910101 1281001 原式＝  2881001 9110101 19 128 ＝  288 91 76 ＝ ． 819