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专题 08 平面解析几何（解答题）
1．【2022年全国甲卷】设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直
线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3．
(1)求C的方程；
(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β．
当α−β取得最大值时，求直线AB的方程．
2．【2022年全国乙卷】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
(3 )
A(0,−2),B ,−1 两点．
2
(1)求E的方程；
(2)设过点P(1,−2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点
T，点H满足⃑MT=⃑TH．证明：直线HN过定点．
x2 y2
3．【2022年新高考1卷】已知点A(2,1)在双曲线C: − =1(a>1)上，直线l交C
a2 a2−1
于P，Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积．
x2 y2
4．【2022年新高考2卷】已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐
a2 b2
近线方程为y=±√3x．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x ,y ),Q(x ,y )在C上，且
1 1 2 2
x >x >0,y >0．过P且斜率为−√3的直线与过Q且斜率为√3的直线交于点M.从下面
1 2 1
①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
5．【2021年甲卷文科】抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： 交C于P，Q两点，且 ．已知点 ，且 与l相切．
（1）求C， 的方程；
（2）设 是C上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与
的位置关系，并说明理由．
6．【2021年乙卷文科】已知抛物线 的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线 斜率的最大值.
7．【2021年乙卷理科】已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆
上点的距离的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．
8．【2021年新高考1卷】在平面直角坐标系 中，已知点 、
，点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两点和 ， 两点，且
，求直线 的斜率与直线 的斜率之和.
9．【2021年新高考2卷】已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，
且离心率为 ．（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，
N，F三点共线的充要条件是 ．
10．【2020年新课标1卷理科】已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶
点，G为E的上顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB
与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
11．【2020年新课标2卷理科】已知椭圆C ： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C
1 2
的焦点重合，C 的中心与C 的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C 于A，B两点，交C
1 2 1 2
于C，D两点，且|CD|= |AB|.
（1）求C 的离心率；
1
（2）设M是C 与C 的公共点，若|MF|=5，求C 与C 的标准方程.
1 2 1 2
12．【2020年新课标2卷文科】已知椭圆C ： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C
1 2
的焦点重合，C 的中心与C 的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C 于A，B两点，交
1 2 1
C 于C，D两点，且|CD|= |AB|．
2
（1）求C 的离心率；
1
（2）若C 的四个顶点到C 的准线距离之和为12，求C 与C 的标准方程．
1 2 1 2
13．【2020年新课标3卷理科】已知椭圆 的离心率为 ， ，
分别为 的左、右顶点．（1）求 的方程；
（2）若点 在 上，点 在直线 上，且 ， ，求 的面积．
14．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知椭圆C： 的离心率为 ，
且过点 ．
（1）求 的方程：
（2）点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足．证明：存在定点 ，使得
为定值．
15．【2020年新高考2卷（海南卷）】已知椭圆C： 过点M（2，3）,
点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
16．【2019年新课标1卷理科】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C
的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若 ，求|AB|．
17．【2019年新课标1卷文科】已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点
A，B且与直线x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．
18．【2019年新课标2卷理科】已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的
斜率之积为− .记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结
QE并延长交C于点G.
（i）证明： 是直角三角形；
（ii）求 面积的最大值.
19．【2019年新课标2卷文科】已知 是椭圆 的两个焦点，P
为C上一点，O为坐标原点．
（1）若 为等边三角形，求C的离心率；
（2)如果存在点P，使得 ，且 的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
20．【2019年新课标3卷理科】已知曲线C：y= ，D为直线y= 上的动点，过D作C
的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0， )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE
的面积.
21．【2018年新课标1卷理科】设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于
两点，点 的坐标为 .
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）设 为坐标原点，证明： .
22．【2018年新课标1卷文科】设抛物线 ，点 ， ，过点 的
直线 与 交于 ， 两点．
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）证明： ．23．【2018年新课标2卷理科】设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为
的直线 与 交于 ， 两点， ．
（1）求 的方程；
（2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程．
24．【2018年新课标3卷理科】已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，
线段 的中点为 ．
（1）证明： ；
（2）设 为 的右焦点， 为 上一点,且 ．证明： ， ， 成
等差数列，并求该数列的公差．
25．【2018年新课标3卷文科】已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点．
线段 的中点为 ．
（1）证明： ；
（2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ．证明： ．
