文档内容
专题 09 数列的通项公式、数列求和及综合应用
【目录】
..............................................................................................................................................1
...............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................6
............................................................................................................................................12
考点一：等差、等比数列的基本量问题...............................................................................................................12
考点二：证明等差等比数列..................................................................................................................................15
考点三：等差等比数列的交汇问题.......................................................................................................................19
考点四：数列的通项公式......................................................................................................................................22
考点五：数列求和.................................................................................................................................................29
考点六：数列性质的综合问题..............................................................................................................................38
考点七：实际应用中的数列问题...........................................................................................................................42
考点八：以数列为载体的情境题...........................................................................................................................44
考点九：数列的递推问题......................................................................................................................................46
数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有．其中，小题重点考查等差数列、等
比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显（特别是与函数、导数的结合问
题），浙江卷小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综
合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度．往往在解决数列基本问题后考查
数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合．在考查等差数列、等比数列的求和基础上，
进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．数列与数学归纳法的结合问题，也应适度关注．
考点要求 考题统计 考情分析
2023年甲卷第5、13题，10分 【命题预测】
2022年乙卷第13题，5分 2024年高考将重点考查：①由递推
等差、等比数列
2021年II卷第17题，10分 公式求通项公式与已知前 项和或
2023年II卷第8题，5分 前 项和与第 项的关系式求通项
2023年乙卷第18题，12分
为重点，特别是数列前 项和 与
2023年II卷第18题，12分
数列通项 关系的应用，难度为中档题，题
2022年I卷第17题，10分
型为选择填空小题或解答题第1小
2022年上海卷第21题，18分
题，同时要注意对数列单调性与周
2023年甲卷第17题，12分
期性问题的复习与训练.②数列求和
部分仍将重点裂项相消法和错位相
2022年甲卷第18题，12分
减法及与不等式恒成立等相关的数
数列求和 2021年I卷第16题，5分
列综合问题，求和问题多为解答题
2021年乙卷第19题，12分
第二问，难度为中档，数列综合问
2021年I卷第17题，10分
题为小题压轴题，为难题．
1、利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列 满足 （常数）（
， ）不能判断数列 为等差数列，需要补充证明 ；
2、数列 满足 ，则 是等差数列；
3、数列 满足 ， 为非零常数，且 ，则 为等比数列；
4、在处理含 ， 的式子时，一般情况下利用公式 ，消去 ，进而求
出 的通项公式；但是有些题目虽然要求 的通项公式，但是并不便于运用 ，这时可以考虑先消去
，得到关于 的递推公式，求出 后再求解 ．5、遇到形如 的递推关系式，可利用累加法求 的通项公式，遇到形如 的
递推关系式，可利用累乘法求 的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足
进行检验．
6、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求
解该数列的通项公式：
（1）形如 （ ， ），可变形为 ，则 是以
为首项，以 为公比的等比数列，由此可以求出 ；
（2）形如 （ ， ），此类问题可两边同时除以 ，得 ，设
，从而变成 ，从而将问题转化为第（1）个问题；
（3）形如 ，可以考虑两边同时除以 ，转化为 的形式，设 ，
则有 ，从而将问题转化为第（1）个问题．
7、公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差
或等比数列的求和．利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为 进行讨论．
8 、 用 裂 项 相 消 法 求 和 时 ， 要 对 通 项 进 行 变 换 ， 如 ： ，
，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，
也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．
常见的裂项公式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
9、用错位相减法求和时的注意点：（1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
（2）在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“
”的表达式；
（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
10、分组转化法求和的常见类型：
（1）若 ，且 ， 为等差或等比数列，可采用分组求和法求 的前 项和；
（2）通项公式为 ，其中数列 ， 是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求
和；
（3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题．
11、在等差数列 中，若 （ ， ， ， ， ），则 ．
在等比数列 中，若 （ ， ， ， ， ），则 ．
12、前 项和与积的性质
（1）设等差数列 的公差为 ，前 项和为 ．
① ， ， ，…也成等差数列，公差为 ．
② 也是等差数列，且 ，公差为 ．
③若项数为偶数 ，则 ， ．
若项数为奇数 ，则 ， ．
（2）设等比数列 的公比为 ，前 项和为
①当 时， ， ， ，…也成等比数列，公比为
②相邻 项积 ， ， ，…也成等比数列，公比为 ．
③若项数为偶数 ，则 ， ；项数为奇数时，没有较好性质．
13、衍生数列
（1）设数列 和 均是等差数列，且等差数列 的公差为 ， ， 为常数．
① 的等距子数列 也是等差数列，公差为 ．
②数列 ， 也是等差数列，而 是等比数列．（2）设数列 和 均是等比数列，且等比数列 的公比为 ， 为常数．
① 的等距子数列 也是等比数列，公比为 ．
②数列 ， ， ， ， ，
也是等比数列，而 是等差数列．
14、判断数列单调性的方法
（1）比较法（作差或作商）；（2）函数化（要注意扩展定义域）．
15、求数列最值的方法（以最大值项为例，最小值项同理）
方法 ：利用数列的单调性；
方法2：设最大值项为 ，解方程组 ，再与首项比较大小．
1．（2023•甲卷）记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】
【解析】等差数列 中， ，
所以 ，
，
故 ，
则 ， ，
则 ．
故选： ．
2．（2023•新高考Ⅱ）记 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则
A．120 B．85 C． D．
【答案】
【解析】等比数列 中， ， ，显然公比 ，
设首项为 ，则 ①， ②，
化简②得 ，解得 或 （不合题意，舍去），代入①得 ，
所以 ．
故选： ．
3．（2023•甲卷）已知正项等比数列 中， ， 为 前 项和， ，则
A．7 B．9 C．15 D．30
【答案】
【解析】等比数列 中，设公比为 ，
， 为 前 项和， ，显然 ，
（如果 ，可得 矛盾），
可得 ，
解得 ，即 ，
．
故选： ．
4．（2022•乙卷）记 为等差数列 的前 项和．若 ，则公差 ．
【答案】2．
【解析】 ，
，
为等差数列，
，
，解得 ．
故答案为：2．
5．（2023•甲卷）记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 的公比为 ．
【答案】 ．
【解析】等比数列 中， ，
则 ，
所以 ，解得 ．
故答案为： ．
6．（2021•新高考Ⅰ）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．
规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ， 两种规格的图形，它们的
面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，它
们的面积之和 ，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折 次，
那么 ．
【答案】5； ．
【解析】易知有 ， ，共5种规格；
由题可知，对折 次共有 种规格，且面积为 ，故 ，
则 ，记 ，则 ，
，
，
．
故答案为：5； ．
7．（2021•新高考Ⅱ）记 是公差不为0的等差数列 的前 项和，若 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式 ；
（Ⅱ）求使 成立的 的最小值．
【解析】（Ⅰ）数列 是公差 不为0的等差数列 的前 项和，若 ， ．
根据等差数列的性质， ，故 ，根据 可得 ，
整理得 ，可得 不合题意），
故 ．
（Ⅱ） ， ，
，
，即 ，
整理可得 ，
当 或 时， 成立，
由于 为正整数，
故 的最小正值为7．
8．（2023•乙卷）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）在等差数列中， ， ．
，即 ，
得 ， ，
则 ．
（2） ，
即 时， ，
当 时， ，
当 时，数列 的前 项和 ，
当 时 ， 数 列 的 前 项 和
．
9．（2022•上海）数列 对任意 且 ，均存在正整数 ， ，满足 ， ，
．
（1）求 可能值；（2）命题 ：若 ， ， ， 成等差数列，则 ，证明 为真，同时写出 逆命题 ，并判断命
题 是真是假，说明理由；
（3）若 ， 成立，求数列 的通项公式．
【解析】（1） ， 或 ．
（2） ， ， ， ， ， ， ， 为等差数列， ，
．
逆命题 ：若 ，则 ， ， ， ， ， ， ， 为等差数列是假命题，举例：
， ， ， ， ， ， ， ， ．
（3）因为 ，
， ，
，
，
以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明 恒成立：
当 ， 明显成立，
假设 时命题成立，即 ，
则 ，则 ，命题得证．
回到原题，分类讨论求解数列的通项公式：
1、若 ，则 矛盾，
2、若 ，则 ， ， ，
此时 ，
，
3、若 ，则 ，
， ，
（由（2）知对任意 成立），
，
事实上： 矛盾．综上可得 ．
10．（2023•甲卷）已知数列 中， ，设 为 前 项和， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）当 时， ，解得 ，
当 时， ，
， ，
当 时，可得 ，
，
当 或 时， ， 适合上式，
的通项公式为 ；
（2）由（1）可得 ，
， ，
，
．
11．（2021•新高考Ⅰ）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和．
【解析】（1）因为 ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，， ，
所以数列 是以 为首项，以3为公差的等差数列，
所以 ．
另由题意可得 ， ，
其中 ， ，
于是 ， ．
（2）由（1）可得 ， ，
则 ， ，
当 时， 也适合上式，
所以 ， ，
所以数列 的奇数项和偶数项分别为等差数列，
则 的 前 20 项 和 为
．
考点一：等差、等比数列的基本量问题
利用等差数列中的基本量（首项，公差，项数），等比数列的基本量（首项，公比，项数）翻译条件，
将问题转换成含基本量的方程或不等式问题求解．
例1．（2023·全国·模拟预测）记数列 的前 项和为 ，若等差数列 的首项为5，第4项为8，则
（ ）
A．14 B．23 C．32 D．140
【答案】B
【解析】设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：B．
例2．（2023·全国·模拟预测）已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，若 ，
则 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
两式相减得 ，
即 ，因为 ，
所以 ，
所以数列 中，从第二项起成等差数列，
所以 ，
所以 ．由 得 ，
所以 ，得 ，所以 ，
故选：A．
例3．（2023·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期中）已知等比数列 的前 项和为
，则 （ ）
A．18 B．54 C．128 D．192
【答案】D
【解析】设等比数列 的公比为 ，则 ，解得 ．
．
故选：D.
例4．（2023·宁夏银川·高三银川唐徕回民中学校考期中）已知等比数列 满足 ，公比
，则 （ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
【答案】B
【解析】因为 且 ，所以 .
故选：B
例5．（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列 满足 ，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设等比数列 的公比为 ．
由 ，得 ，
解得 ，
又
得 ．
故选：A
例6．（2023·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）等差数列 中的前 项和分
别为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 等差数列 中的前 项和分别为 ，
．故选：B．
考点二：证明等差等比数列
判断或证明数列是等差、等比数列常见的方法如下．
（1）定义法：对于 的任意正整数：
①若 为一常数，则 为等差数列；
②若 为常数，则 为等比数列．
（2）通项公式法：
①若 ，则 为等差数列；
（2）若 ，则 为等比数列．
（3）中项公式法：
①若 ，则 为等差数列；
②若 ，则 为等比数列．
（4）前 项和法：若 的前 项和 满足：
① ，则 为等差数列．
② ，则 为等比数列．
例7．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知数列 满足 ，
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)若将数列 中满足 的项 ， 称为数列 中的相同项，将数列 的前40项中所有的
相同项都剔除，求数列 的前40项中余下项的和.
【解析】（1）数列 满足 ，
设 ，则 ，
有 ， ，所以数列 是首项为3公差为3的等差数列，即数列 为等差数列.
（2）由（1）可知， ，
设 ，同理可证数列 是首项为12公差为9的等差数列， ，
设数列 的前n项和为 ，数列 的前n项和为 ，
数列 的前40项和为 ，
若 ，即 ，得 ，
，有 ，
将数列 的前40项中所有的相同项都剔除，则数列 的前40项中余下项的和为：
.
例8．（2023·辽宁鞍山·高二鞍山一中校考期中）已知数列 的前n项和为 ，若
， ．
(1)记 判断 是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由．
【解析】（1）因为 ，
当 时， ，又因为 ，所以
当 时，因为 ，由 ，得 ①，所以
②，
所以 得：
，经验证，当 时不等于 ，所以 不是等差数列.
例9．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列 满足： ， ，
， .
(1)证明：数列 为等差数列，并写出数列 的通项；
【解析】（1）将 左右同时除 得：
，
整理得 ，即 是等差数列，因为 ， ，得 ，
所以 ；
例10．（2023·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习）在数列 中， ， .
(1)求证： 为等差数列；
【解析】（1）由 ，得 ，
又 ，
所以数列 是以 为首项， 的等比数列，
即 ，即 ，
所以 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列；
例11．（2023·辽宁大连·高三大连市金州高级中学校考期中）设 是数列 的前n项和，已知 ，
(1)证明： 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)证明：当 时， .
【解析】（1）由已知得 ，
所以 .
因为 ， ，
所以 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，
所以 的通项公式 .
（2）由 知 ，
所以 ，
所以 ，
所以
.
当 时， .
令 ，
根据复合函数的单调性可知，当 时， 单调递增.
又 ，
所以 时，有 ，即 ，
所以当 时， ，即当 时， .
例12．（2023·全国·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ， ，且
， ．
(1)求证：数列 是等比数列．
(2)判断是否存在正整数p，q，r（ ）使得 ， ， 成等差数列．若存在，求出p，q，r的一组
值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由 ，
得 ．
则 ，则 ，
即 ，即 ．
又 ， ，所以 ，
所以 ．所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列．
（2）由（1），得 ，所以 ，所以 ．
假设存在正整数p，q，r（ ），使得 ， ， 成等差数列，
则 ，即 ，
即 ．因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
这与 矛盾，假设不成立．
所以不存在正整数p，q，r（ ），使得 ， ， 成等差数列．
考点三：等差等比数列的交汇问题
在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过
程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可
以达到减少运算量的目的．
例13．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中）若 是公差不为0的等差数列， ， ， 成
等比数列， ， 为 的前n（ ）项和，则 的值为 ．
【答案】
【解析】设数列 的公差为 ，
因为 成等比数列， ，可得 ，
即 ，解得 ，所以 ，则 ，所以 ，
则 ，
所以
.
故答案为： .
例14．（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知正项等差数列 的前 项和为 ，若 成等比
数列，则 的最小值为 ．
【答案】 /12.5
【解析】由 成等比数列，得 ，即 ，则 ，
而 ，因此 ，当且仅当 时取等号，
所以当 时， 取得最小值 .
故答案为：
例15．（2023·江苏南通·高三统考期中）已知等差数列 前3项和 ， ， ， 成等比
数列，则数列 的公差 ．
【答案】 或
【解析】由 ，可知 ，即 ，
又 ， ， 成等比数列，
所以 ，
即 ，解得 或 ，
故答案为： 或2
例16．（2023·江苏南通·高三统考期中）设等差数列 的前 项和为 ，且 ， 是等比数列，
满足 ，则 .【答案】
【解析】设等比数列 的公比为 ，
为等比数列， 为等差数列， ，则 的等比数列 ，
，∴ ，则 ，∴ ， ，
，∴ ， .
故答案为：
例17．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知数列 是公差不为0的等差数列，数
列 为等比数列，数列 的前三项分别为1，2，6，则数列 的通项公式为 ．
【答案】
【解析】根据题意得， ，则 ，即 ，
设 的公比为 ，则 ，
故 ，又 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
例18．（2023·北京·高三统考开学考试）已知数列 的前n项和为 ，且 ，其中k，b不
同时为0．给出下列四个结论：
①当 时， 为等比数列；
②当 时， 一定不是等差数列；
③当 时， 为常数列；
④当 时， 是单调递增数列．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【解析】 ，当 时， ，可得 ，
当 时， ，
由两个 式相减可得 ，即 ，
可得 ，
对于①，当 时，得 ，即 ，又k，b不同时为0，
所以 ， ，所以 是首项 公比为 等比数列，故①正确；
对于②③，当 时， ，且 ，所以 是以 为首项，
公比为 等比数列，所以 ， ，
所以当 时， ，此时 是常数列，即 是等差数列，故②错误③正确；
对于④，当 时， ， ，
因为 是减函数，所以 是递增函数，
所以 是单调递增数列，故④正确．
故答案为：①③④.
考点四：数列的通项公式
常见求解数列通项公式的方法有如下六种：
（1）观察法：根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法猜想其通项公式．
（2）累加法：形如 的解析式．
（3）累乘法：形如
（4）公式法
（5）取倒数法：形如 的关系式
（6）构造辅助数列法：通过变换递推关系，将非等差（比）数列构造为等差（比）数列来求通项公
式．例19．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）（1）已知数列 满足 ，
，求 的通项．
（2）数列 中， ， （n为正整数），求 ．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以 ；
综上： .
而 符合上式，故 .
（2）因为 ， ，所以 ，
综上： .
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ， ， ， ．
(1)写出数列 的前4项；
(2)求出数列 的通项公式．
【解析】（1）因为 ①，所以 ②，
②－①得 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ， ， ．
（2）当 ，由 ，得 ， ， ，…， ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ．
当 时， 满足上式，故 ．例21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 （ ），且 ，求数列
的通项公式．
【解析】因为 ，且 ，所以 ，所以 ，
所以 （ ）即 ， ， ， ，
将 个式子相乘得 （ ），
因为 ，所以 （ ），
又当 时， ，所以 （ ）．
例22．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中， ，且 ，求 .
【解析】由 ，得 ，
所以数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列.
所以 ，即 .
当 时， ，此式也满足 ，
故 .
例23．（2023·全国·高三专题练习）设数列 中， ， （其中 为常数
），求 ．
【解析】由已知得 所以 ，即 ，
因此，数列 是公差为1的等差数列，
所以
即
由已知， 与 的符号相同，而 与 的符号相同，因而 与 的符号相同，
所以 ．例24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足： 求通项 .
【解析】取倒数： ，故 是等差数列，首项为 ，公差为2，
，
∴ .
例25．（2023·全国·高三专题练习）设正项数列 满足 ， ，求数列 的通项公式．
【解析】对任意的 ， ，
因为 ，则 ，
所以， ，且 ，
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以， ，解得 .
例26．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， ，求 的通项公式．
【解析】 化为 ，即 ，
，可得 或 ，（所得两组数值代入上式等价），
不妨令 ， ，
所以 是以1为首项， 为公比的等比数列，则 ，
累加法可得： ，
又 符合上式，故 .
例27．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式．
【解析】解法一：因为 ，设 ，
所以 ，
则 ，解得 ，
即 ，
则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ；
解法二：因为 ，两边同时除以 得 ，
所以 ， ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，则 ，所以 .
例28．（2023·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且
，则数列 的通项公式为 .
【答案】
【解析】方法一：当 时， ，解得 .又 ，
所以 ，所以数列 为等差数列.又 ，所以 ，
解得 ，所以数列 的公差 ，所以数列 的通项公式为 .
方法二： 恒成立，当 时， ，解得 .
当 时， ，且 ，解得 .
当 时， ①，又 ②，
①-②，得 ③，所以 ④.
④-③，得 .
因为 ，所以 ，即 .又 ，
所以数列 是首项为-2，公差为-5的等差数列，所以数列 的通项公式为 .
故答案为： .例29．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 满足 ， ， .若 ，求数列
的通项公式.
【解析】将 代入已知可得 .
因为 ，所以 ，
所以有 ，所以 .
又 ，
所以，数列 是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以， ，
所以， .
例30．（2023·全国·模拟预测）已知数列 的前n项和 满足 ， ，且 ，若数列
的通项公式为 ，将数列 与 的公共项按从小到大的顺序排列得到数列 ，则 的
前n项和为 ．
【答案】
【解析】 中，令 得 ，即 ，
又 ，故令 时， ，即 ，
所以 ，解得 ，
由 ，得 ， ，
两式相减得 ， ，
两边同时除以 ，得 ， ，
即 ，
故 ， ，
经检验， 也符合上式，故 ．
数列 是以1为首项，以4为公差的等差数列，数列 是以1为首项，以3为公差的等差数列，
这两个数列的公共项构成的新数列 是以1为首项，以12为公差的等差数列，
故 的前n项和为 ．
故答案为：
例31．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一二二中学校校考期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉
所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第
三层有6个球，...，设第 层有 个球，则 .
【答案】
【解析】由题意可知， ， ， ， ， ，
故 ，
故答案为： .
例32．（2023·陕西渭南·高三校考阶段练习）数列 的前 项和为 ，若 ，则
．
【答案】
【解析】 ①， ②，
两式相减得 ，故 ， ，
令 中 得， ，
所以 ，而 不适合上式，
故答案为： .
例33．（2023·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知数列 的前 项和， ．若 是等差数列，则 的通项公式为 ．
【答案】
【解析】由 知，
当 时， ；
当 时， ，
此时，当 时， ，
当 时， ，而 ，
若数列 是等差数列，则 ，
所以 ，则 .
故答案为： .
例34．（2023·天津红桥·高三天津市瑞景中学校考阶段练习）已知等比数列 的前 项和 ，且
，则数列 的通项公式为 ．
【答案】
【解析】当 时， ，则 ，两式相减得 ，即 ，
因此等比数列 的公比 ，又 ，即 ，解得 ，
所以数列 的通项公式为 .
故答案为：
考点五：数列求和
求数列前 项和 的常见方法有以下四种．
（1）公式法：利用等差、等比数列的前 项和公式求数列的前 项和．
（2）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项．其方法核心有
两点：一是裂项，将一个式子分裂成两个式子差的形式；二是要能相消．常见的裂项相消变换有以下形式．
①分式裂项： ；
②根式裂项： ；③对数式裂项 ；
④指数式裂项
（3）错位相减法
（4）分组转化法
例35．（2023·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期中）在数列 中， ．
(1)证明：数列 为常数列．
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）令 ，得 ，则 ．
因为 ①，所以 ②．
①-②得 ，即 ．
因为 ，所以数列 为常数列．
（2）由（1）可得 ，所以 是公差为1的等差数列，
所以 ．
因为 ，所以 ③，
④．
③-④得
，
所以 ．
例36．（2023·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知数列 为等差数列，
数列 为等比数列，且 ， ， ， （ ）.
(1)求 ， 的通项公式；(2)已知 ，求数列 的前 项和 ；
(3)求证： （ ）.
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
由 ， ，得 ，则 ，
由 ， ，得 ，解得 ， ，则 ， ，
所以 ， 的通项公式是 ， .
（2）当 是奇数时， ，
当 是偶数时， ，
则 ，
于是 ，
两式相减得：
因此 ，
，
所以 .
（3）由（1）知， ，当且仅当 时取等号，
因此 ，所以 （ ）.
例37．（2023·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）记 为数列 的前 项和，已知： ，
（ ）．
(1)求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)求和： ．
【解析】（1）由 ，
有 ，又 ，故 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，即 ，
故 ，两式相减得 ，
即 ，所以 ，
因此 的通项公式为 ．
（2）设 ，
则由（1）知 ，
又 ，
两式相加得：
，
因为 ， ，
，
所以 .
例38．（2023·河南·高三安阳县高级中学校联考阶段练习）已知数列 的各项均为正数，其前 项和记
为 ， ，且 （ 为常数）.(1)若 构成等比数列，求 的值；
(2)若 ，且 恒成立，求实数 的最小值.
【解析】（1）令 ，则 ， ；
令 ，则 ， ，即 ；
成等比数列， ，即 ，
解得： 或 ，又 ， .
（2）当 时，由 得： ，
即 ，
，
，
， ，
，
，
又 ， ， ，
，即 的最小值为 .
例39．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，各项均为正数的数列
的前 项和为 ，满足 .
(1)分别求数列 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和.
【解析】（1）设数列 的公比为 ，则 或 ，
所以当 时， ，
当 时， ，
所以数列 的通项公式为 或 .
因为 ①
所以当 时， ，解得 ，
当 时， ，②
由①②可得 ，即 ，
所以 或 .
当 时，即 （ ），
所以数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，所以 .
当 时，即 ，（ ），
当 时， ，
又 ，所以 ，与数列 的各项都为正数相矛盾，
综述：数列 的通项公式为 .
（2）设数列 的前n项和为 ，
当 时， ，
则 ，
当 时， ，
.
综述：数列 的前 项和为 或 .例40．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ， ，求数列 的前n项和 ．
【解析】（1）由题意，当 时， ，
当 时， ，
当 时，上式也符合，
所以 的通项公式为 .
（2）由（1）得， ，所以 ， ．
（ⅰ）当n为偶数时， ；
（ⅱ）当n为奇数时， ；
综上所述， .
例41．（2023·全国·高三对口高考）数列 是等比数列，前n项和 ，数列 满足
.
(1)求p的值及通项 ；
(2)求和 .
【解析】（1）因为 ，所以当 时， ，
因为数列 是等比数列，所以 也应满足 ，
所以 ，所以通项 .
（2）由（1）得 ，
当 时，
；当 时，
；
所以 .
例42．（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）已知数列 的前n项和为 ，___________， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知数列 ，当 时， ， .记数列 的前n项和为 ，求 .
在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
① ；② ；③ .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】（1）选①：∵ ， 时， ，
∴两式相减得 ，即 ，又当n=1时， ，
∴ ，满足上式，∴ ；
选②：当n=1时， ，∴ ，
∵ ， 时， ，
∴两式相减得 ，
数列 是以2为首项2为公比的等比数列，
∴ ；
选③∵ ， 时， ，
∴两式相除得 ，当n=1时， ，满足上式，∴ ；
（2）因为当 时， ， ，
所以当 时， ，
当 时， ，当 时， .
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 .
例43．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）已知正项数列 的前 项和为 ，且 ，
．
(1)求 ；
(2)在数列 的每相邻两项 、 之间依次插入 、 、 、 ，得到数列 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 ，求 的前 项和 ．
【解析】（1）对任意的 ，因为 ，
当 时，
，
因为 ，所以 ，故 ．
当 时， 适合 ，
所以 ， ．
（2）因为 ， ，
所以当 时， ，
所以， ，
所以，数列 的前 项分别为： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、
、 ，
所以 的前 项是由 个 与 个 组成．所以 ．
例44．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知数列 满足 ， ， .
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
【解析】（1）因为 ，
所以 ，又 ，
所以 是以18为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）知 ，
所以 ，又 ，
所以 是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以 ，所以 .
所以 ，
所以 ，
所以
，
所以 .
考点六：数列性质的综合问题
例45．（2023·上海杨浦·统考一模）等比数列 的首项 ，公比为 ，数列 满足 （
是正整数），若当且仅当 时， 的前 项和 取得最大值，则 取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，
若当且仅当 时， 的前 项和 取得最大值，
所以
即， ，
故选：C.例46．（2023·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列 的前 n 项和 ，不等式
对任意 恒成立， 则实数m的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．2
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，整理得 ，
又 得 ， ，
所以 是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，故 ， ，
所以 ，
即 ，
因为 ，
令 ，由对勾函数性质可知， 在 上单调递减，
在 上单调递增，
又 ，所以 或 时， ，所以
所以， ，解得 .
所以实数m的最大值为6.
故选：B
例47．（2023·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）在 中，角 所对的边
分别是 ，且 为 的等差中项，则角 最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得 ，由余弦定理可得
，当且仅当 时，等号成立．
又 ，
即角 的最大值为 ．
故选：C．
例48．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，若 恒成立，
则 的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】B
【解析】 ， ，
两式相减可得
，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 恒成立，故 .
故选：B.
例49．（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列 中， ，数列 满足 ，
则使得不等式 成立的 的最小值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】B
【解析】由题可得 ， 所以 ，
设 的公比为 ， ，则 ，得 ，所以 ．
则 ，所以 ，
所以 ，由 ，得 ．
故选：B．
例50．（2023·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知 数列 的前 项和， ，
且 ，若 ，（其中 ），则 的最小值是（ ）
A．4 B．2 C．2023 D．
【答案】A
【解析】由题意得 ， ，
将以上各式相加得 ，
即
，
则 ，而 ， ，
故 ，即 ，
又 ，故 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
即 的最小值是4，
故选：A
例51．（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知数列 满 （ ），且对任意 ，
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知： ，且 开口向上，对称轴为 ，
可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .故选：D.
例52．（2023·江苏南京·高三南京市江宁高级中学校联考期中）已知数列 通项公式为
，若对任意 ，都有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时， 恒成立，
所以 对 恒成立，故 ，
又当 时， 为单调递增的数列，
故要使对任意 ，都有 ，则 ，即 ，
解得 ，
综上可得 ，
故选:C
考点七：实际应用中的数列问题
解数列应用题的一般步骤
（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
（2）根据题意数列问题模型．
（3）应用数列知识求解．
（4）将数列问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．
例53．（2023·河南·高二校联考期末）如图，有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的半径r都是
mm，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，每对轧辊都将面带的厚度压缩为输入该对轧辊时
的0.8倍（整个过程中面带宽度不变，且不考虑损耗）.若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一
个疵点，则在擀面机最终输出的面带上，相邻疵点的间距 （ ）
A． mm B． mmC． mm D． mm
【答案】B
【解析】轧辊的周长为 ，
由题意可知，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，
因为在此处出口的两疵点间面带的体积与最终出口处两疵点间面带的体积相等，
又因为宽度不变，有 ，所以 ，
而 ，
所以数列 是以 为公比的等比数列，
所以 ，即 .
故选：B
例54．（2023·辽宁大连·高二统考期末）刚考入大学的小明准备向银行贷款 元购买一台笔记本电脑，然
后上学的时通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月还一次款，分10次还清所有的欠款，且每
个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为 ．则小明每个月所要还款的钱数为（ ）元．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设小明每个月所要还款的钱数为 元，根据等额本息还款法可得，
第一个月末所欠银行贷款为： ，
第二个月末所欠银行贷款为： ,，
……，
第10个月末所欠银行贷款为：
由于分10次还清所有的欠款，故 ，解得 ，
故选：D．
例55．（2023·贵州安顺·高二统考期末）“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的
发展和社会的进步，人们的环境保护意识日益增强，贵州某家化工厂产生的废气中污染物的含量为
，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，贵州省环保部门为了保护好贵州优越的
生态环境，要求废气中该污染物的含量不能超过 ，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染
物排放前需要过滤的次数至少为（ ）（参考数据： ， ）A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解析】设该污染物排放前需要过滤的次数为 ，则由题意得
，即 ，
所以 ， ，
，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 的最小值为8，
故选：B
考点八：以数列为载体的情境题
1、应用数列知识解决此类问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——等差、等比数列模型．
2、需要读懂题目所表达的具体含义，观察给定数列的特征，进而判断出该数列的通项与求和公式．
3、求解时要明确目标，认清是求和、求通项、还是解递推关系问题，然后通过数学推理与计算得出
结果，并回归实际问题中，进行检验，最终得出结论．
例56．（2023·全国·模拟预测）若 为函数 的导函数，数列 满足 ，则称
为“牛顿数列”.已知函数 ，数列 为“牛顿数列”，其中 ，则
.
【答案】
【解析】由 得 ，
所以 ，得 ，即 ，
又 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则 ，所以 ，
故 ，
所以
.
故答案为:
例57．（2023·湖南·湖南师大附中校联考一模）把个位､十位､百位上的数依次成等差数列（公差小于0）
的三位数称为“下阶梯数”，则所有的“下阶梯数”共有 个.
【答案】16
【解析】公差为 时，有 共 个；
公差为 时， 共 个；
公差为 时， 共 个；
公差为 时， 共 个.
所以一共有 个.
故答案为：
例58．（2023·江苏盐城·高三校考阶段练习）已知数列 满足 .给出定义：使数列 的
前 项和为正整数的 叫做“好数”，则在 内的所有“好数”的和为 .
【答案】2026
【解析】设数列 的前 项和为 ，
则．
所以 ，
因为 为正整数，所以 ，即 ．
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
因为 为增函数，且 ，
所以 ，
所以所有“好数”的和为 ．
故答案为：2026．
例59．（2023·河南新乡·统考一模）已知数列 共有10项，且 ，若 ，则
符合条件的不同数列有 个．
【答案】66
【解析】若 的值只有1种可能，则符合条件的不同数列有3个，
若 的值有2种可能，则利用隔板法可知，符合条件的不同数列有 个，
若 的值有3种可能，则利用隔板法可知，符合条件的不同数列有 个，
故共有66个符合条件的不同数列．
故答案为：66
考点九：数列的递推问题
利用构造或猜想，解决数列递推问题
例60．（2023·全国·高三对口高考）平面上有 个圆，每两个圆都相交于两点，且任三个圆都不共点，若
个圆将平面分成的部分为 ，则 与 的关系为 ．
【答案】
【解析】一个圆将平面分为 部分，即 ，
两个圆相交将平面分为 部分，即 ，
三个圆相交将平面分为 部分，即 ，四个圆相交将平面分为 部分，即 ，
平面内 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，
则该 个圆分平面区域分为 部分，
故答案为： .
例61．（2023·上海·高三专题练习）已知数列6，9，14，21，30，…，对于任意的正整数 与 之间
满足关系式： .
【答案】
【解析】因为
所以
故答案为：
例62．（2023·山东德州·高三统考阶段练习）如图，一个粒子从原点出发，在第一象限和两坐标轴正半轴
上运动，在第一秒时它从原点运动到点 ，接着它按图所示在 轴､ 轴的垂直方向上来回运动，且每
秒移动一个单位长度，那么，在2022秒时，这个粒子所处的位置在点 .
【答案】
【解析】如图，设粒子运动到 时所用的间分别为 ，
则 ，
将 相加得：
，则 ， 满足，
所以 ,由 ，故运动了1980秒时它到点 ，
又由运动规律知： 中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动，
故粒子到达 时向左运动42秒即运动了2022秒到达点 ，
则所求点应为故答案为： .
例63．（2023·全国·高三专题练习）某电视频道在一天内有x次插播广告的时段，一共播放了y条广告，
第一次播放了1条以及余下的 条的 ，第2次播放了2条以及余下的 ，第3次播放了3条以及余下
的 ，以后每次按此规律插播广告，在第 次播放了余下的x条．
(1)设第 次播放后余下 条，这里 ， ，求 与 的递推关系式．
(2)求这家电视台这一天播放广告的时段x与广告的条数y．
【解析】（1）依题意，第 次播放了 ，
因此 ，整理得 ．
（2）∵
，
又∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴∴ ．
∵当 时， ， 与 互质， ，
∴ ，则
即 ．
例64．（2023·浙江杭州·高二浙江省淳安中学校联考期中）阿司匹林（分子式 ，分子质量180）对
血小板聚集的抑制作用，使它能降低急性心肌梗死疑似患者的发病风险.对于急性心肌梗死疑似患者，建议
第一次服用剂量300 ，嚼碎后服用以快速吸收，以后每24小时服用200 .阿司匹林口服后经胃肠道完
全吸收，阿司匹林吸收后迅速降解为主要代谢产物水杨酸（分子式 ，分子质量138），降解过程生
成的水杨酸的质量为阿司匹林质量的 ，水杨酸的清除半衰期（一般用物质质量衰减一半所用的时间来描
述衰减情况，这个时间被称作半衰期）约为12小时.（考虑所有阿司匹林都降解为水杨酸）
(1)求急性心肌梗死疑似患者第1次服药48小时后第3次服药前血液中水杨酸的含量（单位 ）；
(2)证明：急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过230 .
【解析】（1）设 是 小时后第 次服药前血液中水杨酸的含量，
易知每24小时，水杨酸的含量变为原来的 ，
则 ，
时， ，
；
（2）由（1）知 ， ，
则 是以首项为 ，公比为 的等比数列，
故 ， ，
，
故急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过230mg.
例65．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种溶液500ml，同
时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记 ，
，经 次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为 ， ．(1)试用 ， 表示 ， ．
(2)证明：数列 是等比数列，并求出 ， 的通项．
【解析】（1）由题意，经 次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为 ，
所以 ， ．
（2）由（1）知， ， ，
可得 ，
所以数列 是等比数列，
因为 ％，所以 ①，
又因为 ②．
联立①②得 ， ．
