文档内容
专题16 圆锥曲线中的椭圆问题
1、（2023年新课标全国Ⅰ卷）设椭圆 的离心率分别为 ．若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 ，得 ，因此 ，而 ，所以 .
故选：A
2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 与C交
于A，B两点，若 面积是 面积的2倍，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】将直线 与椭圆联立 ，消去 可得 ，
因为直线与椭圆相交于 点，则 ，解得 ，
设 到 的距离 到 距离 ，易知 ，
则 ， ，，解得 或 （舍去），
故选：C.
3、（2023年全国甲卷数学（文））设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 ，
则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【详解】方法一：因为 ，所以 ，
从而 ，所以 ．
故选：B.
方法二：
因为 ，所以 ，由椭圆方程可知， ，
所以 ，又 ，平方得：
，所以 ．
故选：B.
4、（2023年全国甲卷数学（理））己知椭圆 ， 为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，
，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】方法一：设 ，所以 ，
由 ，解得： ，
由椭圆方程可知， ，
所以， ，解得： ，
即 ，因此 ．
故选：B．
方法二：因为 ①， ，
即 ②，联立①②，
解得： ，
而 ，所以 ，
即 ．
故选：B．
x2 y2 1
5、【2022年全国甲卷】已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，A ,A 分别为C的左、右顶点，
a2 b2 3 1 2
→ →
B为C的上顶点．若BA ⋅BA =−1，则C的方程为（ ）
1 2
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2
A． + =1 B． + =1 C． + =1 D． + y2=1
18 16 9 8 3 2 2
【答案】Bc √ b2 1 b2 8 8
【解析】解：因为离心率e= = 1− = ，解得 = ，b2= a2 ，
a a2 3 a2 9 9
A ,A 分别为C的左右顶点，则A (−a,0),A (a,0)，
1 2 1 2
B为上顶点，所以B(0,b).
所以⃑BA =(−a,−b),⃑BA =(a,−b)，因为⃑BA ⋅⃑BA =−1
1 2 1 2
8
所以−a2+b2=−1，将b2= a2 代入，解得a2=9,b2=8，
9
x2 y2
故椭圆的方程为 + =1.
9 8
故选：B.
x2 y2
6、【2022年全国甲卷】椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．
a2 b2
1
若直线AP,AQ的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
4
√3 √2 1 1
A． B． C． D．
2 2 2 3
【答案】A
【解析】解：A(−a,0)，
设P(x ,y )，则Q(−x ,y )，
1 1 1 1
y y
则k = 1 ,k = 1 ，
AP x +a AQ −x +a
1 1
y y y ❑ 2 1
故k ⋅k = 1 ⋅ 1 = 1 = ，
AP AQ x +a −x +a −x ❑ 2+a2 4
1 1 1
x ❑ 2 y ❑ 2 b2(a2−x ❑ 2)
又 1 + 1 =1，则y ❑ 2= 1 ，
a2 b2 1 a2
b2(a2−x
❑
2)
1 b2 1
所以 a2 1，即 = ，
= a2 4
−x ❑ 2+a2 4
1c √ b2 √3
所以椭圆C的离心率e= = 1− = .
a a2 2
故选：A.
x2 y2
7、【2022年新高考1卷】已知椭圆C: + =1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F ，F ，离心
a2 b2 1 2
1
率为 ．过F 且垂直于AF 的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是
2 1 2
________________．
【答案】13
c 1
【解析】∵椭圆的离心率为e= = ，∴a=2c，∴b2=a2−c2=3c2，∴椭圆的方程为
a 2
x2 y2
+ =1，即3x2+4 y2−12c2=0，不妨设左焦点为F ，右焦点为F ，如图所示，∵
4c2 3c2 1 2
π
AF =a，OF =c，a=2c，∴∠AF O= ，∴△AF F 为正三角形，∵过F 且垂直于AF 的直线
2 2 2 3 1 2 1 2
√3
与C交于D，E两点，DE为线段AF 的垂直平分线，∴直线DE的斜率为 ，斜率倒数为√3， 直线DE
2 3
的方程：x=√3 y−c，代入椭圆方程3x2+4 y2−12c2=0，整理化简得到：13 y2−6√3cy−9c2=0，
判别式∆=(6√3c) 2+4×13×9c2=62×16×c2，
√∆ c
∴|CD|=√1+(√3) 2 |y −y |=2× =2×6×4× =6，
1 2 13 13
13 13
∴ c= ， 得a=2c= ，
8 4
∵DE为线段AF 的垂直平分线，根据对称性，AD=DF ，AE=EF ，∴△ADE的周长等于△F DE
2 2 2 2
的周长，利用椭圆的定义得到△F DE周长为
2
|DF |+|EF |+|DE|=|DF |+|EF |+|DF |+|EF |=|DF |+|DF |+|EF |+|EF |=2a+2a=4a=13
2 2 2 2 1 1 1 2 1 2
故答案为：13.x2 y2
8、【2022年新高考2卷】已知直线l与椭圆 + =1在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交
6 3
于M，N两点，且|MA|=|NB|,|MN|=2√3，则l的方程为___________．
【答案】x+√2y−2√2=0
【解析】：令AB的中点为E，因为|MA|=|NB|，所以|ME|=|NE|，
x ❑ 2 y ❑ 2 x ❑ 2 y ❑ 2
设A(x ,y )，B(x ,y )，则 1 + 1 =1， 2 + 2 =1，
1 1 2 2
6 3 6 3
x ❑ 2 x ❑ 2 y ❑ 2 y ❑ 2 (x −x )(x +x ) (y + y )(y −y )
所以 1 − 2 + 1 − 2 =0，即 1 2 1 2 + 1 2 1 2 =0
6 6 3 3 6 3
(y + y )(y −y ) 1 1
所以 1 2 1 2 =− ，即k ⋅k =− ，设直线AB:y=kx+m，k<0，m>0，
(x −x )(x +x ) 2 OE AB 2
1 2 1 2
m ( m ) ( m m)
令x=0得y=m，令y=0得x=− ，即M − ,0 ，N(0,m)，所以E − , ，
k k 2k 2
m
2 1 √2 √2
即k× =− ，解得k=− 或k= （舍去），
m 2 2 2
−
2k
又|MN|=2√3，即|MN|=√m2+(√2m) 2=2√3，解得m=2或m=−2（舍去），
√2
所以直线AB:y=− x+2，即x+√2y−2√2=0；
2故答案为：x+√2y−2√2=0
题组一、椭圆的离心率
1-1、（2023·黑龙江大庆·统考一模）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点P，Q
在椭圆C上，若 ，且 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用数量积知识得 ，然后利用第一定义及勾股定理得到a、c关系，即可求出离心率
【详解】由 ，得 ，则点P是以 为直径的圆与椭圆C的交点，不妨设
和点P在第一象限，如图
连接 ，令 ，则 ， ， ．
因为 ，所以 ，即 ，得 ，又 ，
所以 ，将 代入，得 ．
故选：A.
1-2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为(-c，0)， (c，0)，若椭圆C上存在一点M使得 的内切圆半径为 ，则椭圆C的离心率的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用 的面积相等，得到 ，得到 ，消去b，整理化简求出离心率的取值
范围.
【详解】 的面积为 .
因为 的内切圆半径为 ，所以 的面积可表示为 .
所以 ，所以 .
因为 ，所以 .
两边平方得： ，
而 ，所以 ，整理得： ,
因为离心率 ，所以 ，解得： .
故选：A.
1-3、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 .若 与双
曲线 的两条渐近线分别交于点A和点B，且 （ 为原点），则双曲线
的离心率为
A． B． C．2 D．
【答案】D【分析】只需把 用 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．
【详解】抛物线 的准线 的方程为 ，
双曲线的渐近线方程为 ，
则有
∴ ， ， ，
∴ ．
故选D．
1-4、（2022·山东淄博·高三期末）已知椭圆 的右焦点为F，上顶点为B，直线BF与
C相交于另一点A，点A在x轴上的射影为 ，O为坐标原点，若 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得 ，设
因为 ，所以 ，
所以 ，得 ，即 ，
因为点 在椭圆 上，
所以 ，化简得 ，
所以离心率 ，故选：A
题组二、椭圆性质的综合性问题
2-1、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）（多选题）已知椭圆 的左，右焦
点分别为 ，长轴长为4，点 在椭圆 外，点 在椭圆 上，则（ ）
A．椭圆 的离心率的取值范围是
B．当椭圆 的离心率为 时， 的取值范围是
C．存在点 使得
D． 的最小值为2
【答案】ABC
【分析】根据点 在椭圆 外，即可求出 的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断
A；
根据离心率求出 ，则 ，即可判断B；
设上顶点 ，得到 ，即可判断C；
根据 利用基本不等式判断D.
【详解】由题意得 ，又点 在椭圆 外，则 ，解得 ，
所以椭圆 的离心率 ，即椭圆 的离心率的取值范围是 ，故A正确；
当 时， ， ，所以 的取值范围是 ，即 ，故B正
确；设椭圆的上顶点为 ， ， ，由于 ，
所以存在点 使得 ，故C正确；
，
当且仅当 时，等号成立，
又 ，
所以 ，故D不正确．
故选：ABC
2-2、（2022·河北张家口·高三期末）（多选题）已知 为椭圆 的左､右焦点，直线
与椭圆 交于 两点，过点 向 轴作垂线，垂足为 ，则（ ）
A．椭圆 的离心率为
B．四边形 的周长一定是
C．点 与焦点重合时，四边形 的面积最大
D．直线 的斜率为
【答案】ABD
【解析】由 的方程可得离心率为 ，故A正确；
由椭圆定义可知， ，同理， ，
所以四边形 的周长一定是 ，故B正确；
四边形 的面积 ，当点 与焦点重合时， ，此时四边形 的面积 ，故C错误；
设 ，故 ，则 ，故D正确.
故选：ABD
2-3、（2022·山东德州·高三期末）（多选题）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，
过点 的直线l交椭圆于A，B两点，若 的最大值为5，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的短轴长为 B．当 最大时，
C．椭圆离心率为 D． 面积最大值为
【答案】BC
【解析】由题意： ，根据椭圆的定义可知， ，则
的最大值为5，根据椭圆的性质可知：当 轴时， 最小，此时 最大，如图：
将 代入椭圆方程得： ，则 .
所以短轴长为 ，A错误；此时 ，B正确； ，C正确；
对D，设 ， ，代入椭圆方程得： ，则 ，
所以 ，记
，于是 ，由对勾
函数的图象和性质可知：函数 在 上是增函数，则函数 在 上是减函数.于是，
当u=1，即t=0时， 面积最大值为 .故D错误.
故选：BC.
1、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）曲线 的方程是 ，则曲线
的形状是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线
【答案】B
【解析】方程表示动点 到两定点 的距离之和为4．而 ，因此 的轨迹是以
为焦点的椭圆．故选：B．
2、(2022·江苏如皋期初考试)椭圆 与 关系为（ ）
A．有相等的长轴长 B．有相等的离心率
C．有相同的焦点 D．有相等的焦距
【答案】D
【解析】由题意，对于椭圆，焦点在x轴上，a＝5，b＝3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝，对于椭圆，因
为25－k＞9－k＞0，所以焦点在y轴上，a＝≠5，b＝≠3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝≠，故选项D正
确，其他选项错误；所以答案选D.
3、（2022·山师大附中高三模拟）已知椭圆 （a＞b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为
B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设 ，且 ，则该椭圆的离心率e的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为 ，连接 ， ．
则四边形 为矩形．
因此 ． ．所以 ， ．
． ，
， ，
，
其中 ，
． ．
故选：A．
4、（2023·黑龙江大庆·统考一模）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点P，Q
在椭圆C上，若 ，且 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用数量积知识得 ，然后利用第一定义及勾股定理得到a、c关系，即可求出离心率
【详解】由 ，得 ，则点P是以 为直径的圆与椭圆C的交点，不妨设
和点P在第一象限，如图连接 ，令 ，则 ， ， ．
因为 ，所以 ，即 ，得 ，又 ，
所以 ，将 代入，得 ．
故选：A.
5、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 (-
c，0)， (c，0)，若椭圆C上存在一点M使得 的内切圆半径为 ，则椭圆C的离心率的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用 的面积相等，得到 ，得到 ，消去b，整理化简求出离心率的取值
范围.
【详解】 的面积为 .
因为 的内切圆半径为 ，所以 的面积可表示为 .
所以 ，所以 .因为 ，所以 .
两边平方得： ，
而 ，所以 ，整理得： ,
因为离心率 ，所以 ，解得： .
故选：A.
6、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）直线 与双曲线 相交于A，B两点，且A，B
两点的横坐标之积为 9，则离心率 =______.
【答案】
【分析】设出点的坐标，利用横坐标之积求出坐标，代入双曲线方程求出a，进一步求出离心率
【详解】由A，B两点在直线 上，设 ，
因为A，B两点关于原点对称，所以 ，
由A，B两点的横坐标之积为 9得 ，解得 ，所以 ，
代入双曲线方程得 ，所以 ，
所以 ，所以离心率为 .
故答案为：
