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专题17 函数背景下的不等式问题
专项突破一 利用图像解不等式
1．二次函数 的图象如图所示，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】根据函数 的图象可得 的解集为 ，
而 的图像是由 的图像右移一个单位得到的，
∴ ，解得 ，故 的解集为 ．故选：B．
2．已知函数 的图象如图，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】不等式 ，则 或 ，
观察图象，解 得 ，解 得 ，
所以不等式 的解集为 .故选：D
3．已知函数 和 的图象如图所示，则不等式 的解集是（ ）A． B． C． D．
【解析】将 图象合并至一个图，如图：若满足 ，则等价于 或 ，当 时，
，当 时， ，故 的解集是
故选：B
4．已知 是定义在 上的奇函数，当 时， 的图像如图所示，那么不等式 的解
集是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题可得，当 时 ，当 时 ，
因为 是定义在 上的奇函数，
所以当 时 ，当 时 ，
所以不等式 的解集是 .故选：C.5．已知 是定义在 上的函数， 的图象如图所示，那么不等式 的解集是
（ ）
A． B．
C． D．
【解析】当 时， ，由 可得 ，解得 ；
当 时， ，由 可得 ，解得 .
因此，不等式 的解集为 .故选：C.
6．已知函数 的定义域为 ， 为 的导函数，函数 的图像如下图所示，且
， ，则不等式 的解集为 （ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题当 时， ， 为增函数，又 ， 解得 或
，同理当 时， ， 为减函数，又 ， ，解得 ，综上 ，故选C．
7．函数 的图象如图，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由图可知， 的定义域的定义域为 ，且经过点 ，
而 ，解得 ，所以 .所以 ，解得 .
所以 ，所以不等式 ，得 ，
即 ，等价于 ，解得 ，
综上，所求不等式的解集为 .故选：D.
8．如图为函数 和 的图像，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．【解析】当 时， ，此时需满足 ， ，
故 ；当 时， ，
此时需满足 ， ，故 ；
综上所述： .故选：D.
9．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， 的图象如图所示，那么满足不
等式 的 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【解析】设 ,如下图所示,画出函数 在 上的图像,
可知 与 图像交于两点 ,
,即 的图像要在 上方,
所以满足条件的 的取值范围为: ,故选:B.10．已知 是偶函数， 是奇函数，它们的定义域均为[-3，3]，且它们在 上的图
像如图所示，则不等式 的解集是 _____.
【解析】将不等式 转化为：f（x）g（x）＜0,
如图所示：当x＞0时其解集为：（0，1）∪（2，3）,
∵y＝f（x）是偶函数，y＝g（x）是奇函数,∴f（x）g（x）是奇函数,
∴当x＜0时，f（x）g（x）＞0,∴其解集为：（−2，−1）,
综上：不等式 的解集是{x|−2＜x＜−1或0＜x＜1或2＜x＜3}
11．如图，函数 的图象为折线 ，则不等式 的解为___________.
【解析】因为 经过 ，所以 时 ，令 ，
当 时，可得 ，所以 的解集为 .12．如图，函数 的图像为折线 ，则不等式 的解集为__________.
【解析】不等式可化为 ，作出 的函数图象如下：
设 与线段BC交于D，易得BC所在直线方程为 ，
联立方程组 解得 ，即 ，
则观察图形可得当 时， ，即不等式的解集为 .
13．设奇函数 的定义域为 ，若当 时， 的图象如图，则不等式 的解集是
___________.
【解析】奇函数图象关于原点对称，作出 在 的图象如下：由 得 或 ，由图可知 或 ，
的解集为 .
14．已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， .
(1)求函数 在 上的解析式；
(2)画出函数 的图象并根据图像写出函数的单调增区间及值域；
(3)解不等式 .
【解析】(1) 是定义在 上的偶函数，当 时， ，
当 时，则 ，则 ，
在 上的解析式为： .
(2)函数 的图象如图：由图象可知，函数 的单调递增区间是 ， ；
则 的最小值为 ，最大值为 ，所以值域是 .
(3)由 ，得 或 ，
所以 或 或 ，解得： 或 ，
综上：不等式 的解集为 或 .
15．已知 ， ．
(1)利用函数单调性的定义，证明： 在区间 上单调递增；
(2)用分段函数的形式表示 ；
(3)在同一坐标系中分别画出 和 的图像，并写出不等式 的解集．
【解析】(1)设任意 ，可得，
，
因为 ，所以 ， ，故 ，所以函数 在区间 上单调递增；
(2)当 时 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ；
(3)
由图像可知，不等式解集为（－2，－1）．
专项突破二 利用函数性质解不等式
1．不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 可得到： ①或 ②，解①得： ，解②得： ，
综上：不等式解集为 ,故选：A
2．已知函数 ，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
【解析】当 时，若 ，即 ，解得 ；
当 时，若 ，即 ，解得 .
所以 的取值范围为 .故选：D
3．已知定义在R上的函数 是偶函数，且在 上单调递减，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 为偶函数，且在 上单调递减，所以 在 上单调递增.
由 ，得 ，解得 ，即不等式 的解集为 .故选：C
4．设函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意得，函数 的定义域为R，
又 ，所以 为偶函数，
当 时，函数 单调递增， 单调递增，
所以 在 上单调递增，将不等式 化为 ，
等式两边同时平方，得 ，整理，得 ，解得 .故选：D
5．已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．C． D．
【解析】由题知，函数的定义域为 ， ，
所以 为偶函数，因为当 时， ，
所以，当 时， 为单调递增函数，
所以，当 时， 为单调递减函数，
因为 ,
所以 即为 ，
所以 ，即 ，所以 .故选：D
6．已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时， .若 ，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， 的对称轴为 ，故 在 上单调递增.函数在x=0处连续
又 是定义域为 的奇函数，故 在 上单调递增.
因为 ，由 ，可得 ，
又因为 在 上单调递增，所以有 ，解得 .故选：D
7．已知 ， ，若 ， ，使得 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数 在 上单调递增，则有 ，
又 在 上单调递减，则有 ，
因为 ， ，使得 ，于是得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．故选：D
8．已知偶函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】偶函数 在 上单调递增，则 在 上单调递减，而 ，
因 ，则当 时， ，即 ，解得 ，
当 时， ，即 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .故选：B
9．已知函数 ，则关于 的不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题设， 对称轴为 且图象开口向下，则 在 上递增， 上递减，
由 ，即 恒过 且 ，
所以 上 ， 上 ，
而 在 上递增，且 上 ， 上 ，
所以 的解集为 .故选：C10．若函数 ，则 _________；不等式 的解集为__________
【解析】 ，当 时， ，所以 ，解得： ；当 时， ，
解得： ，所以 ，综上： .
11．已知函数 ，则不等式 的解集为______．
【解析】由题意，得 或 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为
12．已知函数 ，若 ，则实数 的范围为__________.
【解析】因为 ，
所以由 ，
13．已知函数 ，则不等式 的解集为______．
【解析】因为 ，又 ，即 或 ，
解得 或 ，综上可得原不等式的解集为 ；
14．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是_________．【解析】由题函数 在 单调递增，在 为常数函数，
且 ,若 ,
则 或 或
则 或 或
解得： 或 或 ，综上所述：
15．已知函数 ，则不等式 的解集为___________.
【解析】①当 时， ， 在 上单调递增，
，又 ， 恒成立；
②当 时， ， ，
又 ， 恒成立；
③当 时， ， ， ；
恒成立；
④当 时， ， ， ，
，解得： ， ；
综上所述：不等式 的解集为 .
16．已知函数 ，则不等式 的解集是_______【解析】因为 ，定义域为 ，关于原点对称；
又 ，故 为奇函数；
又 在 上为单调增函数，故 在 上单调递增.
则 ，即 ，
则 ，解得 ，故不等式解集为 .
17．已知函数 则满足 的 取值范围是_________
【解析】 ，
而 ， ， 均在区间 内单调递增，
故 在区间 内单调递增，则 可化为 ，解得
18．要使函数 在 时恒大于0，则实数a的取值范围是______.
【解析】因为函数 在 时恒大于0，
所以 在 时恒成立.
令 ，则 .
因为 ，所以 .令 .
因为 在 上为减函数，所以 ，即
因为 恒成立,所以 .19．已知函数
(1)在所给的直角坐标系内画出 的图象并写出 的单调区间；
(2)求不等式 的解集.
【解析】(1)由解析式知：
0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0
的图象如下图所示：
由图象知， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
(2)令 ，解得 或 ，
结合 图象知: 的解集为 ．
20．已知函数 ．
(1)在如图给定的直角坐标系内画出 的图象；(2)写出 的单调递增区间；
(3)求不等式 的解集．
【解析】(1)
(2)由图可知 的单调递增区间 ；
(3)令 ，解得 或 （舍去）；令 ，解得 .
结合图象可知的解集为
21．已知函数
(1)解关于 的不等式
(2)当 时，对 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围
【解析】(1)
∴当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
(2)因为 ，所以 ，
因为对 ，都有 恒成立，所以 ，当 时，即 时， ， ，
所以 ，所以 ，故 ，
当 时， ， ，所以 ，
故 ，
当 时， ，
所以 ，故 ，
当 时， ， ，
由 可得 ，故 ，
所以
22．已知定义域为R的函数 是奇函数.
(1)求 的解析式；
(2)若 恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】(1)因为函数 为奇函数，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
可得 ，函数 .
(2)∵ ，
所以 在 上单调递减，且为奇函数，
由 ，得 ，所以 ， 设 ， ，
则 ，又 ，所以 ，即 ，
故实数m的取值范围 .
23．已知函数 ，其中 且
(1)求 的值并写出函数的解析式；
(2)求函数的定义域，再判断并证明函数 的奇偶性；
(3)已知 在定义域上是单调递减函数，求使 的 的取值范围．
【解析】(1)由 ，
，解得 ， .
(2)由 得， ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，该定义域关于原点对称，
又 ，
即 ，所以函数 在 上为奇函数.
(3)由 在定义域上单调递减， ，得 ，又 ，所以 .
24．已知函数 ．
(1)当 时，求 的解集；
(2)设 ，若对 ， ，使得 成立，求实数a的取值范围．【解析】(1)当 时， ，
无解； ，无解； ，解得 ，
所以 的解集为 ；
(2)因为 时， ，即 ，
因为 在 上单调递增，
所以 时， ，
因为对 ， ，使得 成立，
等价于 ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 或 ，
所以实数a的取值范围为 ；
综上， 的解集为 ，实数a的取值范围为 .
25．已知函数 是 上的奇函数．
(1)求实数 的值，并指出 的单调性；
(2)若对一切实数 满足 ，求实数 的取值范围．
【解析】(1)由 是 上的奇函数可知 ，
即 ，因此 ；
又 ，由复合函数单调性可知， 在 上单调递增.
(2)【法1：参变分离】依题意， ，
由 的单调性可知： ，即 ；
令 ，原问题等价于 对任意 恒成立..
令
①当 时， ；
②当 时，令 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时， 取到最大值 .
综合①②可知， ，故 的取值范围为 .
【法2：带参讨论】
依题意， ，
由 的单调性可知： ，即
令 ，原问题等价于 对任意 恒成立，令
，则其最小值大于0；
①当 时， ， ，不合题意；
②当 时， 开口向下，则 ，解得 ；…
③当 时， 开口向上，对称轴 ，
则 或 ，解得 ；综合①②③可知， 的取值范围为 .
