文档内容
2016年上海市春季高考（学业水平考试）数学试卷
2016.1
一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）
1. 复数3+4i（i为虚数单位）的实部是 ；
2. 若log (x+1)=3，则x= ；
2
3. 直线y = x-1与直线y =2的夹角为 ；
4. 函数 f(x)= x-2 的定义域为 ；
1 -3 5
5. 三阶行列式 4 0 0 中，元素5的代数余子式的值为 ；
-1 2 1
1
6. 函数 f(x)= +a的反函数的图像经过点(2,1)，则实数a= ；
x
7. 在△ABC中，若A=30°，B=45°，BC = 6，则AC = ；
8. 4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 ；（结果用数值表示）
1
9. 无穷等比数列{a }的首项为2，公比为 ，则{a }的各项和为 ；
n 3 n
10. 若2+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2 +ax+5=0的一个虚根，
则a= ；
11. 函数y = x2 -2x+1在区间[0,m]上的最小值为0，最大值为1，则实数m的取值范围
是 ；
12. 在平面直角坐标系xOy中，点A、B是圆x2 + y2 -6x+5=0上的两个动点，且满足
uuur uuur
| AB| =2 3，则|OA+OB|的最小值为 ；
二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）
13. 满足sina>0且tana<0的角a属于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限；
14. 半径为1的球的表面积为（ ）
4
A. p B. p C. 2p D. 4p
3
15. 在(1+x)6的二项展开式中，x2项的系数为（ ）
A. 2 B. 6 C. 15 D. 20
16. 幂函数y = x-2的大致图像是（ ）
第1页 | 共6页A. B. C. D.
r r r r
17. 已知向量a=(1,0)，b=(1,2)，则向量b在向量a方向上的投影为（ ）
A. 1 B. 2 C. (1,0) D. (0,2)
18. 设直线l与平面a平行，直线m在平面a上，那么（ ）
A. 直线l平行于直线m B. 直线l与直线m异面
C. 直线l与直线m没有公共点 D. 直线l与直线m不垂直
19. 用数学归纳法证明等式1+2+3+...+2n=2n2 +n (nÎN*)的第（ii）步中，假设n=k
时原等式成立，那么在n=k+1时，需要证明的等式为（ ）
A. 1+2+3+...+2k+2(k+1)=2k2 +k+2(k+1)2 +(k+1)
B. 1+2+3+...+2k+2(k+1)=2(k+1)2 +(k+1)
C. 1+2+3+...+2k+(2k+1)+2(k+1)=2k2 +k+2(k+1)2 +(k+1)
D. 1+2+3+...+2k+(2k+1)+2(k+1)=2(k+1)2 +(k+1)
x2 y2 y2 x2
20. 关于双曲线 - =1与 - =1的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ ）
16 4 16 4
A. 焦距相等，渐近线相同 B. 焦距相等，渐近线不相同
C. 焦距不相等，渐近线相同 D. 焦距不相等，渐近线不相同
21. 设函数y = f(x)的定义域为R，则“ f(0)=0”是“y = f(x)为奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
22. 下列关于实数a、b的不等式中，不恒成立的是（ ）
A. a2 +b2 ³2ab B. a2 +b2 ³-2ab
a+b a+b
C. ( )2 ³ab D. ( )2 ³-ab
2 2
ur uur r ur uur r ur uur
23. 设单位向量e 与e 既不平行也不垂直，对非零向量a= x e + y e ，b= x e + y e ，
1 2 1 1 1 2 2 1 2 2
r r r r
有结论：① 若x y -x y =0，则a∥b；② 若x x + y y =0，则a^b；关于以上两
1 2 2 1 1 2 1 2
个结论，正确的判断是（ ）
A. ①成立，②不成立 B. ①不成立，②成立
C. ①成立，②成立 D. ①不成立，②不成立
第2页 | 共6页x2 y2 x 2 y 2
24. 对于椭圆C : + =1(a,b>0,a¹b)，若点(x ,y )满足 0 + 0 <1，则称该
(a,b) a2 b2 0 0 a2 b2
点在椭圆C 内，在平面直角坐标系中，若点A在过点(2,1)的任意椭圆C 内或椭圆
(a,b) (a,b)
C 上，则满足条件的点A构成的图形为（ ）
(a,b)
A. 三角形及其内部 B. 矩形及其内部
C. 圆及其内部 D. 椭圆及其内部
三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）
25. 如图，已知正三棱柱ABC-ABC 的体积为9 3，底面边长为3，求异面直线BC 与
1 1 1 1
AC所成的角的大小；
26. 已知函数 f(x)=sinx+ 3cosx，求 f(x)的最小正周期及最大值，并指出 f(x)取得
最大值时x的值；
27. 如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的
轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处，已知灯口直径是24cm，灯深10cm，求灯泡与反射
镜的顶点O的距离；
28. 已知数列{a }是公差为2的等差数列；
n
第3页 | 共6页（1）若a 、a 、a 成等比数列，求a 的值；
1 3 4 1
1
（2）设a =-19，数列{a }的前n项和为S ，数列{b }满足b =1，b -b =( )n，记
1 n n n 1 n+1 n 2
c =S +2n-1×b (nÎN*)，求数列{c }的最小值c ；（即c £c 对任意nÎN*成立）
n n n n n n n
0 0
29. 对于函数 f(x)与g(x)，记集合D ={x| f(x)> g(x)}；
f>g
（1）设 f(x)=2|x|，g(x)= x+3，求D ；
f>g
1
（2）设 f (x)= x-1， f (x)=( )x +a×3x +1，h(x)=0，如果D D = R，求实
1 2 3 f 1 >h U f 2 >h
数a的取值范围；
第4页 | 共6页附加题
一. 选择题（本大题共3题，每题3分，共9分）
1. 若函数 f(x)=sin(x+j)是偶函数，则j的一个值是（ ）
p
A. 0 B. C. p D. 2p
2
2. 在复平面上，满足|z-1| =4的复数z所对应的点的轨迹是（ ）
A. 两个点 B. 一条线段 C. 两条直线 D. 一个圆
3. 已知函数 f(x)的图像是折线段ABCDE，如图，其中A(1,2)、B(2,1)、C(3,2)、
D(4,1)、E(5,2)，若直线y =kx+b (k,bÎR)与 f(x)的图像恰有4个不同的公共点，
则k的取值范围是（ ）
1 1
A. (-1,0) (0,1) B. (- , )
U
3 3
1
C. (0,1] D. [0, ]
3
二. 填空题（本大题共3题，每题3分，共9分）
x2 y2
4. 椭圆 + =1的长半轴的长为 ；
25 9
5. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为 ；
6. 小明用数列{a }记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天
n
下过雨时，记a =1，当第k天没下过雨时，记a =-1(1£k £31)；他用数列{b }记录该
k k n
地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记b =1，当预报第k天
k
没有雨时，记b =-1(1£k £31)；记录完毕后，小明计算出ab +a b +a b +...+a b
k 1 1 2 2 3 3 31 31
=25，那么该月气象台预报准确的总天数为 ；
第5页 | 共6页三. 解答题（本大题12分）
7. 对于数列{a }与{b }，若对数列{c }的每一项c ，均有c =a 或c =b ，则称数列{c }
n n n k k k k k n
是{a }与{b }的一个“并数列”；
n n
（1）设数列{a }与{b }的前三项分别为a =1，a =3，a =5，b =1，b =2，b =3，
n n 1 2 3 1 2 3
若数列{c }是{a }与{b }的一个“并数列”，求所有可能的有序数组(c ,c ,c )；
n n n 1 2 3
（2）已知数列{a }、{c }均为等差数列，{a }的公差为1，首项为正整数t，{c }的前
n n n n
10项和为-30，前20项和为-260，若存在唯一的数列{b }，使得{c }是{a }与{b }的
n n n n
一个“并数列”，求t的值所构成的集合；
第6页 | 共6页
