[横版]李艳芳数三900题高数部分_考研_数学_08.李艳芳_25李艳芳《900题》做题本_数三

李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 第一章函数、极限、连续 A 类 一、选择题 1 在下列区间内,函数 第 1 页，共 563 页 f ( x ) =  1 − ( x c − o s 4 2 ) ( 2 x ( − x − 4 ) 3  ) s 2 i ( n x ( − x − 2 ) 3 ) 有界的是( ) (A)(1,2) . (B) ( 2 , 3 ) . (C) ( 3 , 4 ) . (D) ( 4 , 5 ) .李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 2 下列命题中,正确的是( ) (A)若 f (x) 与 第 2 页，共 563 页 g ( x ) 都不是连续函数,则 f ( x ) + g ( x ) 也不是连续函数. (B)若 f (x) 与 g ( x ) 都不是单调函数,则 f ( x ) + g ( x ) 也不是单调函数. (C)若 f (x) 与 g ( x ) 都是无界函数,则 f ( x ) + g ( x ) 也是无界函数. (D)若 f (x) 与 g ( x ) 都是奇函数,则 f ( x ) + g ( x ) 也是奇函数.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 3 设a ,b  均为正项数列,其中a 无界, n n n 第 3 页，共 563 页  b n  有界,则下列数列中,一定有界的是( ) b  (A) n . (B)   a   n  1 + b a n n b n  . (C)  n a n b n  . (D)  a n b n − a n − 1 b n − 1  .李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 4 设数列 第 4 页，共 563 页  a n  满足a = n n,n =1,2, ,则下列命题中,正确的是( ) n (A)数列a 能取到最小值,但取不到最大值. n (B)数列a 能取到最大值,但取不到最小值. n (C)数列a 既能取到最大值,又能取到最小值. n (D)数列a 既不能取到最大值,又不能取到最小值. n李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 5 设数列x  收敛,则( ) n (A)当 第 5 页，共 563 页 ln i m t a n x n 0  → = 时, ln i m x n 0  → = . (B)当 ln i m ( x 3n x n ) 0  → + = 时, ln i m x n 0  → = . ( ) (C)当lim x2 + x3 = 0 时,limx = 0 . n n n n→ n→ (D)当limx +ln(x +1) =0时,   n n n→ ln i m x n 0  → = .公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 6 设数列a 满足 n 第 6 页，共 563 页 ln i m n ( a n 1 a n 1 ) 0  → + − − = ,则 ( ) (A)  a n  有界. (B) ln i m a n  → 存在. (C)  a n  自某项起单调减少. (D)  a n  自某项起单调增加.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 7 设数列a ,b  满足 n n 第 7 页，共 563 页 ln i m a n , ln i m b n     → = → = ,则下列结论中,正确的是 ( ) (A) ln i m e a n   → = . (B) ln i m ( a n b n )   → + = . (C) ln i m a b n n 1  → = . (D) ln i m a n b n   → = .李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 8 已知 第 8 页，共 563 页 ln i m a n a  → = ,则下列关于数列a  的说法中,正确的是( ) n (A)若a  0,则当 n 充分大时, a n  0 . (B)若a  0,则  a n  中只存在有限个负项. (C)若a = 0,则当n充分大时, a n  − 1 n . (D)若a = 0,则当 n 充分大时, a n  1 n .李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 9 设 第 9 页，共 563 页 1 x 0 2 d u u 0 a r c t a n t d t , 2 x 0 d u u 0 2 a r c t a n t d t , 3 x 0 d u u 0 a r c t a n t 2 d t    =   =   =   .当 x →0时,以上三个无穷小 量按照从高阶到低阶的排序是( ) (A),, . (B) 1 2 3 1 , 3 , 2    . (C) 3 , 1 , 2    . (D) 3 , 2 , 1   .李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 10 设 第 10 页，共 563 页 1 x x , 2 3 x t a n ( x x ) , 3 1 c o s x    = + = + = − .当 x → 0 + 时,以上三个无穷小量按照从低阶到 高阶的排序是( ) (A),, . (B) 1 2 3 1 , 3 , 2    . (C) 2 , 1 , 3    . (D) 3 , 1 , 2    .公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 11 设 第 11 页，共 563 页 1 e x 2 x t a n ( x )  − = ,其中 ( x ) 2    ,则当 x → 0 时, ( x )  是 ( ) (A)比 x高阶的无穷小量. (B)比 x 低阶的无穷小量. (C)与 x同阶但不等价的无穷小量. (D)与 x 等价的无穷小量.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 12 当 第 12 页，共 563 页 x → 0 时,若 1 ( x ) , 2 ( x ) , 1 ( x ) , 2 ( x )     都是非零无穷小量,且 1 ( x ) 2 ( x )    ,(x)  (x) ,则 1 2 下列命题中,错误的是 ( ) (A)若 1 ( x ) 1 ( x )    ,则 2 ( x ) 2 ( x ) o 2 ( x )    − =   . (B)若 1 ( x ) 1 ( x ) o 1 ( x )    − =   ,则 2 ( x ) 2 ( x )    . (C)若 (x) (x) ,则(x)−(x)  (x)− (x). 1 1 1 1 2 2 (D)若 1 ( x ) o 1 ( x )   =   ,则 1 ( x ) 1 ( x ) 2 ( x ) 2 ( x )     −  − .李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 13 当 x →+时,无穷大量 I = xxx+1 ,I = x (x+1)x ,I =(x+1)xx 按照从高阶到低阶的排序是( ) 1 2 3 (A) I ,I ,I . (B) 1 2 3 第 13 页，共 563 页 I 1 , I 3 , I 2 . (C) I 2 , I 1 , I 3 . (D) I 3 , I 2 , I 1 .李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 na 14 若lim =900,则( ) n→(n+1)b −nb 899 1 (A)a = − ,b = . (B) 900 900 第 14 页，共 563 页 a = 8 9 9 0 9 0 , b = − 9 1 0 0 . 899 1 (C)a = ,b = . (D) 900 900 a = − 8 9 9 0 9 0 , b = − 9 1 0 0 .李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 15 函数 第 15 页，共 563 页 f ( x ) = x ( x x + 2 x 2 − ) 1 l n x 的可去间断点的个数为 ( ) (A)0. (B)1. (C)2. (D)3.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 sinx  sint  t 16 函数 f (x) = lim 1+ 在(−,+) 内   t→0  x  第 16 页，共 563 页 ( ) (A)连续. (B)有可去间断点. (C)有跳跃间断点. (D)有无穷间断点.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 ( ) enx +1 sinx 17 设函数 f (x) = lim ,则下列结论中,正确的是 n→ 1+ x3enx 第 17 页，共 563 页 ( ) (A) f (x) 不存在间断点. (B) x = 0 是 f ( x ) 的可去间断点. (C) x = 0是 f ( x ) 的跳跃间断点. (D) x = 0 是 f ( x ) 的无穷间断点.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续  2+ ax2, x  −1, −1, x  0,  18 设函数 f (x) =  g(x) = x2, −1 x  0,?若 f (x)+ g(x) 在 R 上连续,则( ) 1, x  0,   x2 −b, x  0.   (A)a =1,b =1. (B)a =1,b = 2. (C)a = −1,b =1. (D)a =−1,b=2 . 第 18 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续  1 1 − aex +be x   , x  0, 19 若函数 f (x) =  2 1 在 − ex −e x  0, x = 0  第 19 页，共 563 页 R 上连续,则 ( ) (A) a = 0 , b = 0 . (B) a  0 , b = 0 . (C)a可以取任意值, b = 0 . (D) a = 0 , b 可以取任意值.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续  acosx, x  0, x2 −b2, x  0, 20 设函数 f (x) =  g(x) =  已知b  0 ,若  x +1, x  0,  x +, x  0. 第 20 页，共 563 页 f ( x ) 连续,且 f  g ( x )  在 x = 0 处连续,则 a 2 + b 2 = ( ) (A)1. (B)2. (C)3. (D)5.公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 二、填空题 21 已知当 第 21 页，共 563 页 x → 1 时, x 1 0 0 − 1 是 x k x − 1 的等价无穷小,则 k = _________.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 22 已知当 第 22 页，共 563 页 x → 0 + 时,ex +2cos x −3是 − ax的等价无穷小,则a2 =_________.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 x     e 23 当 x →时,   − e 与 xk 是同阶无穷小量,则  x   1  1+    x  第 23 页，共 563 页 k = _________.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 24 已知函数 第 24 页，共 563 页 f ( x ) 连续,且 f ( 0 ) = 1 1−cosxf (x)   ,则lim =_________. ( ) x→0 1+ x2 −1 f (x)李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 25 已知 第 25 页，共 563 页 l ix m 0 a  x  4 b a r c t a n 1 x 4 1 e e 1 x 2 x 1  →  + + + + − −  = ,其中  x  表示不超过 x的最大整数,则 a b = _________.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 26 设 第 26 页，共 563 页 k 为非零整数,函数 f ( x ) = k + k 1 x + e k x 在 ( , )   − + 上连续,且 lx i m f ( x )  → − 存在,则k = _________.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 27 设函数 第 27 页，共 563 页 f ( x ) = x x − 1 ,当 x  1 时, f n ( x ) = f f f ( x ) ,即 n 个 f (x) 复合所得函数,则 l i m x → 0 f 2 f n 2 + n 1( ( x x ) ) = _________.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 三、解答题 28 计算下列函数极限: (I) 第 28 页，共 563 页 l i m x → 0 1 s − i n x x c t a o n t x x (II) lx i m 3 x l n 3 ( e x x 2 x 3 ) x  → + + + − ;李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 2 ( ) cosx − cosx sin(sinx)  x2 + x + 4  x2sinx (III)lim ; (IV)lim   ; x→0   x −ln(1+ tanx)  ( ex −1 ) x→ x2 + 2x +3  第 29 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 1 (V)limcosxx−ln(1+x) ; (VI) x→0 第 30 页，共 563 页 lx i→ m 1 −  1 1 − x + 1 0 0 − 1 1 − x − 1 0 0  ;公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续   1 1 (VII)lim −  ; (VIII) ( ) x→01−cos2x 2ln 1+ x2    第 31 页，共 563 页 lx i→ m 0 +  1 x −  1 ln x ;李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续  1 x3 −x2+ x (IX) lim 1+ e 2 ; (   x→+ x 第 32 页，共 563 页 X ) lx i m s i n l n ( 1 x ) s i n l n x  → +  + −  ;李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 ( x) 第 33 页，共 563 页 l i m x → 0 x − x x t a − n s 2 i x n x − t a n x ( ) x −sin xe−x ; (XII)lim ; x→0 sinxln(x +1)李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 (XIII) 第 34 页，共 563 页 l i m x → 0 1 − c o s x c o x s 2 2 x c o s 3 x  1 (XIV) lim xsin x + 2 x − x + x − .   x→+  2李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 29 计算下列数列极限: (I) 第 35 页，共 563 页 ln i m 1 2 ! 2 3 ! ( n n 1 ) ! 2 n n !  →  + + + +   ; (II) ln i m n c o s 0 2 c o s 1 2 c o s ( n 1 ) n 2  → + + + − ;李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续  1 3 2n−1  (III)lim + + + ;   n→3n2 + 2sin21+1 3n2 + 2sin22+ 2 3n2 + 2sin2n+ n 第 36 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 (IV) 第 37 页，共 563 页 ln i m 1 ! 2 ! n n ! n !  → + +  + .李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 30 设函数 第 38 页，共 563 页 f ( x ) 以 2 为周期.记 a n = f ( n ) .若lima 存在,证明:数列a  为常数列. n n n→李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 31 已知当 第 39 页，共 563 页 x → 0 时, a x 2 + b x 4 + c  x 0 s i n t t 2 d t 与 x 6 是等价无穷小,求 a + b + c .李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 32 已知当 第 40 页，共 563 页 x → 0 + 时, a r c s i n x , ( x s i n x ) 1   − 均为比 x高阶的无穷小量,且函数 f (x) = x , a ( r x c s i n s i n x x ) 1 , x x 0 0 , ,      −   其中 0   .若为整数,且 f ( x ) 连续,求.公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 33 设函数 第 41 页，共 563 页 f ( x ) 为(−,+) 上连续的奇函数,且满足 f (a − x) = f (a + x),其中 a  0 .证明: (I) f (x) 为周期函数; (II) f ( x ) 在 ( , )   − + 上有界.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 34 设 第 42 页，共 563 页 a b  0 ,证明方程 x = asinx +bcosx + a2 +b2 至少有一个不超过2 a2 +b2 的正根.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 35(I)证明方程e−nx +e−(n−1)x + +e−x =1(n 2)在区间 第 43 页，共 563 页 ( 0 , 1 ) 内有且仅有一个实根. (II)记(I)中的实根为 x n ,证明limx 存在,并求此极限. n n→李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 B 类 一、选择题 1 设 第 44 页，共 563 页 f ( x ) 为  0 ,   上的连续函数,则下列命题中,正确的是( ) (A)若 f (arccotx) 在0,上单调增加,则 f (x) 在0,上单调增加. (B)若 f ( a r c c o t x ) 在  0 ,   上单调增加,则 f ( x ) 在  0 ,   上单调减少. (C)若 f (x) 在  0 ,   上单调增加,则 f ( a r c c o t x ) 在  0 ,   上单调增加. (D)若 f (x) 在  0 ,   上单调增加,则 f (arccotx) 在  0 ,   上单调减少.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 2 函数 第 45 页，共 563 页 f ( x ) x  x  s i n x , x ( , )   = − +  − + 是 ( ) (A)周期函数. (B)单调函数. (C)奇函数. (D)有界函数.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 3 设函数 第 46 页，共 563 页 f ( x ) 满足 f ( x + 4 ) − f ( x ) = f ( 2 ) ,则下列结论中,正确的个数为 ( ) ①若 f ( x ) 为奇函数,则 f ( x ) 为周期函数. ②若 f ( x ) 为偶函数,则 f ( x ) 为周期函数. ③若 f (x) 为周期为 4 的函数,则 f (x) 为奇函数. ④若 f ( x ) 为周期为 4 的函数,则 f ( x ) 为偶函数. (A)1. (B)2. (C)3. (D)4.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 4 设函数 第 47 页，共 563 页 f ( x ) = ( x − x 1 + ) s 1 i n x 1 + 1 x 2 ,则下列关于数列  f ( n )  ,  f  1 n   ( n = 1 , 2 , 3 , ) 的说法中,正确的 是( )   1 (A) f (n) , f   均有界. (B)   n  f ( n )    1 有界,  f   无界.   n (C)  f ( n )  无界,  f  1 n   有界. (D)  f ( n )  ,  f  1 n   均无界.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 5 已知数列x ,y 满足 n n 第 48 页，共 563 页 x 1 = y 1 = 1 2 , x n + 1 = 1 − c o s x n , y n + 1 = y 2n ( n = 1 , 2 , ) ,则当n →时,( ) (A) ln i m x n y n y n 0  → − = . (B) ln i m x n y n y n 1  → + = . (C) ln i m x n x n y n 0  → − = . (D) ln i m x n x n y n 1  → + = .李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 6 已知数列x  ,其中 n 第 49 页，共 563 页 x n   −   + ,函数 f (x) =e−x ,则( ) (A)当limarctanf (x ) 存在时,limx 存在. n n n→ n→ (B)当lim f (arctanx )存在时, n n→ ln i m x n  → 存在. (C)当limarctanf (x ) 存在时, n n→ ln i m f ( x n )  → 存在,但 ln i m x n  → 不一定存在. (D)当lim f (arctanx )存在时, n n→ ln i m a r c t a n x n  → 存在,但 ln i m x n  → 不一定存在.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 7 设数列x  与y 满足lim x y =1,则下列结论中,正确的是( ) n n n n n→ (A)若x  发散,则 n 第 50 页，共 563 页  y n  必收敛. (B)若  x n  无界,则  y n  必有界. (C)若x  有界,则 n  y n  必收敛. (D)若  1 x n  为无穷小,则  y n  必为无穷小.公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 8 已知数列 第 51 页，共 563 页  a n  ,  b n  ,满足 0  a n  b n  2 a n ,则下列命题中,正确的是( ) ①若 ln i m a n 0  → = ,则 ln i m b n 0  → = . ②若 ln i m b n 0  → = ,则 ln i m a n 0  → = . ③若 ln i m a n  → 存在,则 ln i m b n  → 存在. ④若 ln i m ( a n b n )  → − 存在,则 ln i m a n ln i m b n   →  → . (A)①②. (B)②③. (C)①②③. (D)①③④.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 9 已知 第 52 页，共 563 页 a n = s i n n n ( n = 1 , 2 , ) ,则数列  a n  ( ) (A)有最大值,有最小值. (B)有最大值,没有最小值. (C)没有最大值,有最小值. (D)没有最大值,没有最小值.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 ln ( 1+3x2 ) + xf (x) 1 10 若lim = ,则 x→0 x4 2 第 53 页，共 563 页 l i m x → 0 3 x + x f 3 ( x ) = ( ) (A) 1 2 . (B)1. (C)3. (D)5.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 11 已知 第 54 页，共 563 页 a n = l i m x → 1 ( 1 − x ) ( 1 − 2 x − n 1 ( ) x −  1 1 ) n − n n x − ( n − 1 )  ,则 ( ) (A) ln i m a n , ln i m n a n   → → 均存在. (B) ln i m a n  → 存在, ln i m n a n  → 不存在. (C)limna ,lim na 均存在. (D) n n n→ n→ ln i m n a n  → 存在, ln i m n a n  → 不存在.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 12 设数列 第 55 页，共 563 页  x n  和  y n  满足  x y 1 1 = = 1 1 , 和  x y n n + + 1 1 = = y n x n 2 , , 则下列说法中,错误的是( ) (A)limx = 0 . (B) n n→ ln i m y n 0  → = . (C) ln i m ( x n y n ) 0  → + = . (D)以上说法均不正确.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 13 设函数 f (x) 满足 第 56 页，共 563 页  x 0 f ( t ) d t + 2 f ( x ) + f  ( x ) = e − x s i n 2 x ,且 f ( 0 ) = f  ( 0 ) = 0 ,则当 x →0时,与 f (x) 为同阶但不等价的无穷小量为 ( ) (A) s i n 2 x . (B) 1 − c o s 2 x . (C) e x 2 − 1 . (D) 1 + x − 1 .李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 14 设函数 第 57 页，共 563 页 f ( x ) 在 R 上处处有定义,且 f (0) = 0,则下列命题中,错误的是( ) (A)当 x →0时,若 f ( x )  s i n 2 x ,则 f  ( 0 ) 存在. (B)若 0  f ( x )  s i n 2 x 恒成立,则 f  ( 0 ) 存在. (C)若在0,+)上 g ( x )  f ( x )  h ( x ) ,在 ( , 0 )  − 上 h ( x )  f ( x )  g ( x ) ,且当 x → 0 时,函数 g ( x ) 和 h(x) 都是 x的同阶无穷小,则 f (x) 也是 x的同阶无穷小. (D)当 x →0时,若 f  ( 0 ) 存在且不为 0,则 f ( x ) 是 x 的同阶无穷小.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 15 设函数 第 58 页，共 563 页 f ( x ) 连续, F ( x ) 为 f ( x ) 的原函数,则下列命题中,错误的是( ) (A)当 x →0时,若 f (x) = o(1),则 F ( x ) = o ( x ) . (B)当 x →0时,若 F (x) = o(x),则 f ( x ) = o ( 1 ) . x (C)当 x →0时,若 f (x) = o(1),则 f (t)dt =o(x). 0 x (D)当 x →0时,若 f (t)dt =o(x),则 0 f ( x ) = o ( 1 ) .李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 16 函数 第 59 页，共 563 页 f ( x ) =  a − a r c x t 2 a ( n x 1 x −  b ( e ) x − b ) ( b  0 ) 的可去间断点的个数最多为 ( ) (A)0. (B)1. (C)2. (D)3.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 二、填空题 17 设函数 第 60 页，共 563 页 f ( x ) ln i m l n ( c o s x a n r c t a n 2 n 1 x )  = → + − ,记 f ( x ) 的自然定义域为 ( a , b  ,则 b − a = ______.公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 18 设函数 第 61 页，共 563 页 f ( x ) = 2 x 3 + x 2 + 1 , x  0 , x = f − 1 ( y ) 为 f ( x ) f −1(2t) 的反函数,若正整数k 满足 lim 存在且 t→+ k t 非零,则k = ______.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 19 设当 第 62 页，共 563 页 0  x  1 时,函数 f ( x ) = x s in x ,对于其他 x , f ( x ) = 2 f ( x + 1 ) − l n k .若 f (x) 在 x = 0 处连续,则 k = ______.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 20 设函数 第 63 页，共 563 页 f ( x ) = l n 1 1 − + x x ,若在 x = 0 的邻域内存在函数 ( x )   = ,使得 f ( x ) x 2 f ( )  =  ,则 l ix m 0 2 x 1  → − = ______.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 21 设数列 第 64 页，共 563 页  a n  满足 a 1 = 1 , a 2 = 2 ,且 a n = 1 3 a n − 1 + 2 3 a n − 2 ( n = 3 , 4 , 5 , ) ,则lima = ______. n n→李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 22 设 第 65 页，共 563 页 a n 1 x 3 l n n x d x ( n 0 , 1 , 2 , ) , b n ( 2 a n n ) ! !  =  + − = = ,则 b n = ______.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 23 设 第 66 页，共 563 页 a n =  2 n 2 nn + n + 1 1 1 x + n − 1 x n d x ,则 ln i m n a n  → = ______.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续    2 24 设区域 D =  (x,y) arcsiny  x  ,0 y  ,对正整数 4 2  第 67 页，共 563 页 n , f n ( x , y ) = n x y + n − e 1 x ,则 ln i m D f n ( x , y ) d x d y  →   = ______.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 三、解答题 25(I)求 第 68 页，共 563 页 lx i m a r c t a 2 n 2 x a r c a t a r c n t x a n x   → + − − ; (II)若 lx i m x 1 f ( x )  → +  −  不存在,而 I lx i m a r c t a n 2 x 2 b 1 a r c t b a f n ( x x ) a r c t a n x   = → + +  − − −  存在,试确定 b 的值,并求 I .李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 26 设函数 第 69 页，共 563 页 f ( x ) 满足 f ( 0 ) = f  ( 0 ) = 0 x sinx asinx − ax − 1+bx2 1+bx2 ,且lim =1,lim = 2 .求a,b的值. x→0 f (x) x→0 f (x)李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 27 设函数 第 70 页，共 563 页 f ( x ) 在  0 , )  + 上具有一阶连续导数, f (0) = 0,且 lim  f (x)+ f (x) = a 0.   x→+ (I)记 g(x) = ex f (x),求 g  ( x ) ; (II)证明:存在 x 0  0 ,使得当 x  x 0 时, f ( x )  a 2 .第二章公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 28 设数列 第 71 页，共 563 页  x n  满足 x n 1 2 x n s i n x n  + = ,且 0 x 1 2    secx − tanx .求lim n n .  n→ − x 2 n李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 29 已知 f (x) 为(0,+) 上连续的有界函数,且满足 第 72 页，共 563 页 lx i→ m 0 + x f − ( t x a ) n x = 6 .证明:方程 f ( x ) + x 3 = 0在 ( 0 , )  + 上必有一实根.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 30 设函数 第 73 页，共 563 页 f ( x ) 连续,且 f (0)+900 = f (900) ,证明:存在 x 0   0 , 9 0 0  ,使得 f ( x 0 ) + 1 = f (x +1). 0李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 31 设数列x  满足 n 第 74 页，共 563 页 0  x 1  1 , x n + 1 = l n ( 1 + x n ) ( n = 1 , 2 , ) . (I)证明limx 存在,并求该极限; n n→ (II)计算 ln i m x n x n 1 1 x n  →  +  .李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 32 已知数列 第 75 页，共 563 页  x n  满足 x n = l n ( 2 n − 1 ) ( n = 1 , 2 , ) ,前 n 项和为 X n ,  y n  满足 y =ln2n n ( n = 1 , 2 , ) ,前 n 项和为 Y n .若 s n = X n − Y n ,证明:   (I)数列 es n 收敛; (II) − 1 2 l n 4 n  s n  − 1 2 l n 2 n .李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 33 设函数 第 76 页，共 563 页 f ( x ) 在(−,+) 内有定义,且在 x = 0 处连续.对任意的 x ,均有 f (x) = f (1−cosx). (I)设数列  x n  满足 x 0 = c 0 且 x n + 1 = 1 − c o s x n ( n = 0 , 1 , 2 , ) .证明: ln i m x n  → 存在,并求 ln i m x n  → . (II)证明: f ( x ) 在 ( , )   − + 内恒为常数.李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 n n 1sinx 1 x 34(I)比较 dx 与 1− dx(n =1,2, )的大小,说明理由;     0 2x  0 2 (II)记 第 77 页，共 563 页 a n =  1 0  s i 2 n x x  n d x ( n = 1 , 2 , ) ,求极限 ln i m a n  → .李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 35(I)证明:当 第 78 页，共 563 页 x  0 时, 1 x + x  l n ( 1 + x )  x .  n2 −n+1 n2 −n+3  n2 + n−1 (II)设 x = 1+ 1+ 1+ ,求      n n3 n3 n3      ln i m x n  → .D李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 第 79 页，共 563 页 C 类 一、选择题 1 设 f ( x ) , g ( x ) 均为  0 , )  + 上的连续函数,若对任意正数 x ,有 f ( 2 x ) = f ( x ) , g ( x 2 ) = g ( x ) ,且 f ( 0 )  g ( 0 ) ,则 ( ) (A)对任意 x  0,均有 f (x)  g(x). (B)对任意 x  0 ,均有 f ( x ) = g ( x ) . (C)对任意 x  0 ,均有 f (x)  g(x). (D)存在 x 1  0 , x 2  0 ,使得 f ( x 1 )  g ( x 1 ) , f ( x 2 )  g ( x 2 ) .李艳芳 900 · 高数 1.函数、极限、连续 二、解答题 2 设周期函数 第 80 页，共 563 页 f ( x ) = ( − 1 )  x  x −  x + 1 2  ,其中  x  ,  x + 1 2  分别表示不超过 x , x + 1 2 的最大整数,记 a n =  1 0 f ( n x x ) d x .证明: (I)数列a 单调减少,a 单调增加; 2n−1 2n (II) ln i m a n  → 存在.公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 第二章一元函数微分学 A 类 一、选择题 1 设函数 第 81 页，共 563 页 f ( x ) 可导, y = f ( x ) c o s x 当自变量 x 在点 x = 0 处取得增量  x = 0 . 2 时,相应的函数增量  y 的线性主部为 0.4,则 f  ( 0 ) = ( ) (A)2. (B)0.2. (C)1. (D)0.1.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 2 设函数 第 82 页，共 563 页 ( x ) x 0 2 , 2 s i n 1 x , x x 0 0 , ,  =   +   = 且函数 f ( x ) 在 x = 0 处可导,则函数 f (x) 在   x = 0 处 ( ) (A)不连续. (B)连续但不可导. (C)可导且导数为 0. (D)可导且导数不为 0.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 3 设函数 第 83 页，共 563 页 f ( x ) =  a c a r , r c c t t a a n n x x x x + − + − 1 1 1 1 + + a b , , x x x  =  1 1 1 , , 可 导 , 则 f  ( 1 ) = ( ) 1 (A)− . (B) 2 1 2 . (C)1. (D)与 a , b 的值有关.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 4 若函数 第 84 页，共 563 页 f ( x ) , g ( x ) 满足 f ( x ) = f ( − x ) , g ( x ) = − g ( − x ) ,在(0,+) 内, f (x)  0 , f  ( x )  0 , g  ( x )  0 , g  ( x )  0 ,则在 ( , 0 )  − 内恒成立的是 ( ) (A) f (x)  g(x). (B) f  ( x )  g  ( x ) . (C) f (x)  g(x). (D) f (x)  g(x) .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 5 设函数 f (x) = (1−cosx)(2−cosx) (n−cosx),则 第 85 页，共 563 页 f  ( 0 ) = ( ) (A)(n −1)!. (B) n !. (C) ( n + 1 ) !. (D)0.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学   ( )  sin tx t2 + 2e +t    lim , x  0,  6 若函数 f (x) = t→− xarctant 则下列说法中,正确的是( ) 2e  , x = 0,  (A) f (x) 在 第 86 页，共 563 页 x = 0 处的极限存在,但不连续. (B) f (x) 在 x = 0 处连续,但不可导. (C) f (x) 在 x = 0 处可导,且 f  ( 0 ) = 0 . (D) f (x) 在 x = 0 处可导,且 f  ( 0 )  0 .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 7 设函数 第 87 页，共 563 页 f ( x ) = 2 x 3 − 5 1 x 2 + 4 x ,则下列说法中,正确的是( ) (A) f (x) 恰有一个单调增加区间,两个单调减少区间. (B) f (x) 恰有一个单调增加区间,三个单调减少区间. (C) f (x) 恰有一个单调减少区间,两个单调增加区间. (D) f (x) 恰有一个单调减少区间,三个单调增加区间.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 8 设 第 88 页，共 563 页 f ( x ) 为(−,+) 上的单调增加函数,则下列说法中,正确的是( ) (A) f (x) 2 单调增加.   (B)  − f ( − x )  3 单调增加. (C)若 f (x) 可导,则对任意 x ( , )    − + ,都有 f  ( x )  0 . (D)若 f (x) 可导,则 f ( x ) 存在反函数 x = f − 1 ( y ) ,且 f − 1 ( y ) 可导.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 9 设函数 第 89 页，共 563 页 f ( x ) 0 a x , r c 3 t l a n n x , x 1 x 2 , x x x 0 0 0 , , ,  =  −  +  +  =  则 ( ) (A) f (x) 有两个极大值点,无极小值点. (B) f ( x ) 有一个极大值点,一个极小值点. (C) f (x) 有两个极大值点,一个极小值点. (D) f ( x ) 有一个极大值点,两个极小值点.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 10 下列四个命题中,正确的是 第 90 页，共 563 页 ( ) (A)设 x (a,b) ,函数 0 f ( x ) 在 ( a , x 0 ) 内满足 f  ( x )  0 ,在 ( x 0 , b ) 内满足 f  ( x )  0 ,则 f ( x ) 在 x = x 0 处取得它在 ( a , b ) 上的最小值. (B)设函数 f (x) 在 x = x 0 处取得极小值,则存在 0 ,使 f (x) 在(x −,x )内单调减少,在 0 0 ( x 0 , x 0 )  + 内单调增加. (C)设 f (x) 为区间 ( − a , a ) 上的偶函数,则 x = 0 为 f ( x ) 的一个极值点. (D)设 f (x) 在区间 ( − a , a ) 内二阶可导且为奇函数,则 f  ( 0 ) = 0 .公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 11 设函数 第 91 页，共 563 页 f ( x ) 在 ( , )   − + 内有定义, x 0  0 是函数 f ( x ) 的极小值点,则 ( ) (A) x 必是 0 f ( x ) 的驻点. (B) − x 0 必是 f ( − x ) 的极大值点. (C)−x 必是 0 − f ( − x ) 的极大值点. (D) − x 0 必是 − f ( x ) 的极大值点.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 12 设函数 第 92 页，共 563 页 f ( x ) 在 x = a 的某个邻域内具有二阶导数,且 f  ( a )  0 ,且存在 0   ,使得当 x ( a , a )    − + 时, l it → m a f ( ( t t ) − − x f ) ( 2 x ) 均存在,且当 x  a f (t)− f (x) 时,lim  0 ,则( ) t→a (t − x)2 (A) x = a 是 f ( x ) 的极小值点. (B) x = a 是 f ( x ) 的极大值点. (C) x = a 不是 f ( x ) 的极值点. (D)无法确定 x = a 是否为极值点.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 13 已知函数 第 93 页，共 563 页 f ( x ) 在 x = 0的某个邻域内连续,且 f ( 0 ) = 0 , l i m x → 0 1 f − ( x e ) 2 x = 1 ,则 f ( x ) 在 x = 0处( ) (A)不可导. (B)可导,且 f  ( 0 )  0 . (C)取得极大值. (D)取得极小值.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 14 设函数 第 94 页，共 563 页 f ( x ) 和 g ( x ) 在  0 , 1  上的最大值分别为a,b,则下列关于 f ( x ) g ( x ) 在0,1上的最大值 c 的说法中,正确的是 ( ) (A)c  ab . (B) c  a b . (C) c = a b . (D)以上都有可能.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 15 已知函数 第 95 页，共 563 页 f ( x ) 的图形如右图所示,则导函数 f  ( x ) 的图形可能为( )李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 16 设函数 第 96 页，共 563 页 f ( x ) 在(−,+) 上连续,其导函数 f (x)的图形如右图所示,则下列说法中,正确的是 ( ) (A)函数 f (x) 有 1 个极值点,曲线 y = f ( x ) 有 1 个拐点. (B)函数 f (x) 有 2 个极值点,曲线 y = f ( x ) 有 2 个拐点. (C)函数 f (x) 有 3 个极值点,曲线 y = f ( x ) 有 2 个拐点. (D)函数 f (x) 有 3 个极值点,曲线 y = f ( x ) 有 1 个拐点.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 17 设 第 97 页，共 563 页 f ( x ) 是 ( 0 , )  + 上单调增加的正值函数,且存在二阶导数,则对于满足0 x  x 的任意 1 2 x 1 , x 2 , 下列说法中,正确的是( )  x + x  (A)若 f (x)  0,则 f (x ) f (x )  f 1 2 .   1 2  2  (B)若 f (x)  0,则 f ( x 1 x 2 )  f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) .  x + x  (C)若 f (x)  0,则 f (x ) f (x )  f 1 2 .   1 2  2  (D)若 f (x)  0,则 f ( x 1 x 2 )  f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 4 18 曲线 y =(x−1)x3 的拐点个数为 第 98 页，共 563 页 ( ) (A)0. (B)1. (C)2. (D)3.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 19 下列曲线中有斜渐近线的是( ) (A) 第 99 页，共 563 页 y = l n x + c o s 1 x . (B) y = x + c o s 1 x . (C) y = l n 1 x + c o s x . (D) y = 1 x + c o s x .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 1 20 曲线 y = xex 的渐近线的条数为 第 100 页，共 563 页 ( ) (A)0. (B)1. (C)2. (D)3.公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 21 设函数 第 101 页，共 563 页 y ( x ) = l it → m 0  1 − l n ( 1 x − 2 t )  s x in t ,则下列关于曲线 y = y ( x ) 的渐近线的说法中,正确的是( ) ①该曲线无渐近线. ②该曲线有铅直渐近线. ③该曲线有水平渐近线. ④该曲线有斜渐近线. (A)②. (B)③. (C)②③. (D)②④.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 x2 + x +a x+ x2 + 4(1−b)x + a 22 设函数 f (x) = ,g(x) = ,则当 x +b 2 第 102 页，共 563 页 x  → + 时,下列关于曲线 y = f (x) 与 y = g ( x ) 的渐近线的结论中,正确的是 ( ) (A)没有公共斜渐近线. (B)是否具有公共斜渐近线与 a , b 的取值有关. (C)有公共斜渐近线,且公共斜渐近线的方程与 a 的取值有关. (D)有公共斜渐近线,且公共斜渐近线的方程与 b 的取值有关.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 23 设函数 第 103 页，共 563 页 f ( x ) = l n 2 x , g ( x ) = 1 x , h ( x ) = c o t 2 x ,则当 x → 0 + 时,有( ) (A) g ( x )  h ( x )  f ( x ) . (B) h ( x )  g ( x )  f ( x ) . (C) f ( x )  g ( x )  h ( x ) . (D) g ( x )  f ( x )  h ( x ) .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学  1 x4sin , x  0, 24 设函数 f (x) =  x 则使得 f (n) (x)连续的最高阶数  0, x = 0,  第 104 页，共 563 页 n 为( ) (A)0. (B)1. (C)2. (D)3.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学  1 xln , x  0,  x  25 设函数 f (x) = 0, x = 0, 若 f (x)在  1 − ,  e x2 x  0.  第 105 页，共 563 页 x = 0 处连续,则 ( ) (A)01. (B) 1   . (C) 0 2    . (D) 2   .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学  1 −  e x, x  0, 26 设函数 f (x) =  则 x = 0是   tanx , −  x  0,  2 第 106 页，共 563 页 f ( x ) 的( ) (A)可导点,极值点. (B)不可导点,极值点. (C)可导点,非极值点. (D)不可导点,非极值点.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 27 设函数 f (x) 二阶可导,满足 第 107 页，共 563 页 f  ( a ) = 0 f (x) 且lim =1,则 x→a x−a ( ) (A) x = a 是 f ( x ) 的极小值点. (B) x = a 是 f ( x ) 的极大值点. (C)( a, f (a))是曲线 y = f ( x ) 的拐点. (D) x = a 不是 f ( x ) 的极值点, ( a , f ( a ) ) 也不是曲线 y = f (x)的拐点.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 28 设函数 f (x) 在 x = 0处连续,在 x = 0的某个去心邻域内可导,且 第 108 页，共 563 页 l i m x → 0 f ( x x ) 存在,则下列命题中,错 误的是( ) (A) f (0) = 0. (B) f (0) 存在. (C) l i m x → 0 f  ( x ) = 0 . (D)在 x = 0 的某个去心邻域内,存在常数 C  0 ,使得 f (x) C x .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 29 设对于任意 第 109 页，共 563 页 0 , 2      ,方程 x c o s 2 k x c o s 2 ( x 0 )  = +  有两个不同的实根,则k 的取值范围是( ) ) (A)0,sin2 . (B)  ( 0 , s i n 2 )  . (C) 0 , c o s 2 )   . (D) ( 0 , c o s 2 )  .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 30 设函数 第 110 页，共 563 页 f ( x ) = c o t 2 x 在 x 4  = 2     处的 3 次泰勒多项式为a +b x − + c x − +      4   4  d x 4 3   −  ,则 a c + b d = ( ) (A) − 8 3 . (B) 8 3 . (C) − 1 6 3 . (D) 1 6 3 .公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 31 设函数 第 111 页，共 563 页 f ( x ) = 1 t a − n x x 2 在 x = 0 处的 3 次泰勒多项式为 a x + b x 2 + c x 3 ,则( ) 2 (A)a =1,b = 0,c = − . (B) 3 a = 1 , b = 0 , c = 2 3 . 4 (C)a =1,b = 0,c = − . (D) 3 a = 1 , b = 0 , c = 4 3 .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 32 设函数 第 112 页，共 563 页 f ( x ) 满足 f  ( x )  f ( x ) ,则 ( ) (A)ef (0)  f (1)  e2 f (−1). (B) e 2 f ( − 1 )  f ( 1 )  e f ( 0 ) . (C)ef (0)  e2 f (−1)  f (1). (D) e 2 f ( − 1 )  e f ( 0 )  f ( 1 ) .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 二、填空题 33 设函数 第 113 页，共 563 页 y = f ( t a n x ) ( t a n x ) n ,其中 f ( x ) 可微, f ( 1 ) = f  ( 1 ) = 1 ,则 y 4     = _______ .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 34 设正值函数 f (x) 可微, 第 114 页，共 563 页 g ( x ) = a r c t a n  2 f ( x ) + 1  , f  ( 0 ) = 1 , g  ( 0 ) = 1 2 ,则 f ( 0 ) = _______ .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 35 设函数 第 115 页，共 563 页 y = f ( l n 1 + x 2 ) ,其中 f ( x ) ( ) 可微, f (1) =1, f (1) = 0,则 y e2 −1 = _______ .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 36 设函数 第 116 页，共 563 页 f ( x ) l n x 3 , a r c s i n x 2 3 6 , x x 1 1 , , y f f ( x )  =  −   =   ,则 y  ( e ) = _______ .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 37 设函数 y = y(x)由方程ex2+y2 +sin(xy) =0 确定,则 y(x) = _______ . 第 117 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 38 设函数 第 118 页，共 563 页 y = y ( x ) 由方程 x + y − e x s 3 i n y = 0 确定,则 y  ( 0 ) = _______ .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 39 设函数 第 119 页，共 563 页 f ( x ) x a l n ( 1 c s c 2 t ) d t 0 a 2  =  +     ,若 y = f ( x ) 的反函数 x = f − 1 ( y ) 在 y = 0 处的导数 d d x y y = 0 = l 1 n 5 ,则 a = _______ .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 40 设函数 第 120 页，共 563 页 f ( x ) = l n ( 1 + s i n 2 x + s i n x ) ,则 f ( 4 ) ( 0 ) = _______ .公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 (5)  x4 +1 41 =_______ .   x +1   第 121 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 42 设函数 第 122 页，共 563 页 f ( x ) = x 2 c o s 2 x ,则 f (1 0 ) ( 0 ) = _______ .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 43 设函数 第 123 页，共 563 页 f ( x ) = e x c o s x + e − x s i n x ,则 f ( 9 9 ) ( 0 ) = _______ .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 44 曲线 第 124 页，共 563 页 y + x y − e x + e y = 0 在点 ( 0 , y ( 0 ) ) 处的切线方程为_______ .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 45 记函数 第 125 页，共 563 页 f n ( x ) = x n e − 3 x ( n  0 , x  0 ) 的极值为 a n ,则数列  a n  的最小值为_______ .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 46 曲线 第 126 页，共 563 页 y = s i n x e − x 在区间 ( 0 , )  内的拐点坐标为_______ .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 47 曲线 第 127 页，共 563 页 y = 2 x 5 x + 4 x + 3 1 − 1 + e a rc ta n x 2 的斜渐近线方程为_______ .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 三、解答题 48 设函数 第 128 页，共 563 页 y ( x ) = ( 1 + x ) x ( x  0 ) ,记 y = y ( x ) 的反函数为 x = x ( y ) dx d2x ,求 , . dy dy2 y=2 y=2李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 49 设函数 第 129 页，共 563 页 f ( x ) 在 x = 0 处可导,在 x = 0 的某个去心邻域内满足等式 2 f ( x ) + f ( − x ) = 3 + 1 + t a n x − x 2 1 + s i n x , 且 f ( x ) 是周期为 5 的周期函数,求 y = f ( x ) 在点 ( 5 , f ( 5 ) ) 处的切线方程.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 50 已知函数 第 130 页，共 563 页 f ( x ) x l x n ( s i x n ) x , , 0 x x 0 , ,  =  − −    求 f (x),并求 f ( x ) 的极值.公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 51 设函数 y(x)由方程 第 131 页，共 563 页 2 7 y 3 + 2 x 3 − 3 x 2 − 1 2 x + 2 0 = 0 所确定,求 y = y ( x ) 的极值点,并判断它们是否 为驻点.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 52 设函数 第 132 页，共 563 页 f ( x ) 在 x 0 处连续且可导,在 x 0 的某个去心邻域 U 。 ( x 0 ) 内二阶可导,且 f (x ) = 0, 0 lx i→ m x 0 f  ( x )  0 .证明: x = x 0 为 f ( x ) 的极小值点.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 53 在底面半径为 1,高为 2 的圆锥体中挖去一个圆柱体(圆柱体与圆锥体的底面中心重合),当被挖 圆柱体的体积 第 133 页，共 563 页 V 最大时,圆柱体的底面半径和高分别为多少,并求出此最大体积.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 54 在椭圆 第 134 页，共 563 页 x 2 2 + y 2 2 = 1 ( a  0 , b  0 , a  b ) 位于第一象限的部分上求一点 P ,使得该点处的法线与两坐 标轴所围成的三角形面积最大.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 55 求函数 第 135 页，共 563 页 f ( x ) = x e 1 x 的单调区间与凹、凸区间.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 56 设函数 第 136 页，共 563 页 f ( x ) =  x b 1 ( a , − − s i c x n o ) a 1 x s − x 2 , , x x x  =  0 0 0 , , ,有连续的导函数,求 a 的取值范围.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 57 设当 第 137 页，共 563 页 x  0 时,方程 k x 2 + 1 x = 1 有两个不同的解,求 k 的取值范围.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 xlnx, x  0,  58 设函数 f (x) =  根据 1 x2ex, x  0,  第 138 页，共 563 页 k 的不同取值,讨论方程 f ( x ) = k 的实根情况.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 59 讨论方程 第 139 页，共 563 页 e c o s 2 x s i n x = k 在开区间 0 , 2    内的根的个数,其中 k 为参数.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 60 证明:当 第 140 页，共 563 页 − 1  x  1  1+ x x 时,ex2 +ln ( 1− x2 )    1+2x2 .  1− x 公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 61 证明:当 第 141 页，共 563 页 x  0 时, 1 3 x 3 + 1 2 x 2 − x + 1 6  x 2 l n x .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 B 类 一、选择题 1 设函数 第 142 页，共 563 页 f ( x ) 为 ( , )   − + 上的单调增加的正值可导函数,且 f  ( 0 ) 存在,则下列关于极限 I 1 = lx i→ m 0 +  f f ( ( x 0 ) )  1 x 和 I 2 = lx i→ m 0 +  1 x  f ( x ) − f ( 0 ) 的结论中,正确的是 ( ) (A) I 1 与I 是否存在均与 2 f ( x ) 的表达式有关. (B) I 1 与I 均存在,且 I  I . 2 1 2 (C) I 1 与I 均存在,且 2 I 1  I 2 . (D)以上说法均不正确.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 2 设函数 第 143 页，共 563 页 f ( x ) 满足 f (0) = 0,则 f ( x ) 在 x = 0 处可导的充分必要条件为( ) 1 (A)lim f (tanh−h) 存在. (B) h→0 h3 l i m h → 0 h 1 2 f  l n ( 1 + h ) − h  存在. (C) l i m h → 0 1 h f ( a r c t a n h − h ) 存在. (D) l i m h → 0 1 h  f ( h ) − f ( − h )  存在.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 3 设函数 第 144 页，共 563 页 f ( x ) 在 x = 0 处连续,则下列命题中,错误的是( ) (A)若 l i m x → 0 f ( x x ) = a ,则 f  ( 0 ) = a . (B)若 f ( 0 ) = 0 , f  ( 0 ) = a ,则 l i m x → 0 f ( x x ) = a . (C)若 l i m x → 0 f ( x x 2 ) = a 2 ,则 f  ( 0 ) = a . f (x) a (D)若 f (0) = f (0) = 0, f (0) = a ,则lim = . x→0 x2 2李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 4 设函数 第 145 页，共 563 页 f ( x ) 具有二阶导数,  x 为自变量 x 在 x 0 处的增量,  y 与 d y 分别为 f (x) 在 x 处对应的增量 0 与微分,则下列说法中,正确的是( ) (A)若在 x 的某邻域内有 0 d y   y ,则 f (x) 在该邻域内恒大于 0. (B)若在 x 的某邻域内有 0 d y   y ,则 f (x) 在该邻域内恒大于 0. (C)若 f (x) 在 x 0 的某邻域内恒大于 0,则在该邻域内有 d y   y . (D)若 f (x) 在 x 0 的某邻域内恒大于 0,则在该邻域内有 d y   y .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 5 设函数 第 146 页，共 563 页 f ( x ) 具有二阶导数,  x 为自变量 x 在 x 0 处的增量,  y 与 d y 分别为 f (x) 在 x 处对应的增量 0 与微分,则 d y   y 是 f  ( x ) 在 x 0 的某邻域内大于 0 的( ) (A)充分必要条件. (B)充分不必要条件. (C)必要不充分条件. (D)既不充分也不必要条件.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 6 设函数 第 147 页，共 563 页 f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , g ( x ) 在 x = 0的某邻域内均可导,其中 f 1 ( x )  0 , f 2 ( x )  0 , g ( x ) = ef 1 (x)f 2 (x) .令 ( x ) f 1 e ( x x g ) ( f x 2 ) ( x )  = ,若 f 1 ' ( 0 ) = f 2 ' ( 0 ) = 0 ,则 ( ) (A)(0) = 0 . (B) 0 ( 0 ) 1     . (C) ( 0 ) 1    . (D) ( 0 ) 1   = .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 7 设椭圆 第 148 页，共 563 页 x a 2 2 + y b 2 2 = 1 2b 与抛物线 y = (x−1)2 相切于一点,其中 a a = 4 6 .记该切点的横坐标为 x ,则 0 ( )  1 (A) x  0, . (B)   0  3 x 0   1 3 , 2 3  .  2  (C) x  ,1 . (D)由已知条件不能确定   0  3  x 0 的范围.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 8 设函数 第 149 页，共 563 页 f ( x ) 有二阶连续导数, x = 0 是 f ( x ) 的驻点,若在 x = 0 附近, f ( x ) 满足sinxf (x) + t a n x f  ( x ) = x c o s x − 1 ,则 ( ) (A) x = 0是 f ( x ) 的极大值点. (B) x = 0 是 f ( x ) 的极小值点. (C) x = 0不是 f ( x ) 的极值点. (D)不能确定 x = 0 是否为 f ( x ) 的极值点.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 9 已知函数 f (x) 在 x = 0处存在二阶导数 第 150 页，共 563 页 f  ( 0 ) sinx− x+ xf (x) .若lim = 0,则下列选项中,正确的是 x→0 x3 ( ) (A) x = 0是 f (x) 的极小值点. (B) x = 0是 f (x) 的极大值点. (C)点( 0, f (0))是 y = f ( x ) 的拐点. (D) x = 0 不是 f ( x ) 的驻点.公众号：研池大叔，免费提供考研网课＋PDF电于书 更多考研数学配套课程， 可通过【公众号：研池大叔 J 回复｛数学】免费获取李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 10 设 第 151 页，共 563 页 k 为任意非零常数,函数 f ( x ) 在  a , b  上满足 f  − k f  − f = 0 ,且 f (a) = f (b) = 0 ,则下列说法 中,正确的是( ) (A) f (x) 在  a , b  上先单调减少,再单调增加. (B) f (x) 在  a , b  上先单调增加,再单调减少. (C) f (x) 在  a , b  上恒为零. (D) f (x) 在 ( a , b ) 内恰有一个零点.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 11 设函数 f (x) =  x( t2 −4t +3 ) et2 dt,x0,3,则下列说法中,正确的是( ) 0 (A) f (x) 为单调函数.(B) 第 152 页，共 563 页 4 e − 9 为 f ( x ) 的一个上界. (C) f (x) 的最小值为 0.(D) f ( x ) 不存在最大值.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 12 若 第 153 页，共 563 页 f ( x ) 为区间 I 上的连续函数,且 f ( x ) 的值域包含于 I , x 1 , x 2 为 I 中任意两个不同的点,则下列命 题中,正确的是( )  x + x  f 2 (x )+ f 2 (x ) (A)若在区间I 上, f (x)  0, f (x)  0,则 f 2 1 2  1 2 .    2  2 (B)若在区间 I 上, f  ( x )  0 , f  ( x )  0 ,则 f 2  x 1 + 2 x 2   f 2 ( x 1 ) + 2 f 2 ( x 2 ) . (C)若在区间 I 上, f ( x )  0 , f  ( x )  0   x + x  f   f (x )  + f   f (x )  ,则 f f 1 2  1 2 .      2  2 (D)若在区间 I 上, f  ( x )  0 , f  ( x )  0 ,则 f  f  x 1 + 2 x 2    f  f ( x 1 )  + 2 f  f ( x 2 )  .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 13 设函数 第 154 页，共 563 页 f ( x ) 在  0 , 2  上二阶可导,且 f ( 0 ) + f ( 2 ) = 0 ,则 ( ) (A)若 f (x)  0,则  2 0 f ( x ) d x  0 . (B)若 f  ( x )  0 ,则  2 0 f ( x ) d x  0 . (C)若 f (x)  0 ,则  2 0 f ( x ) d x  0 . (D)若 f  ( x )  0 ,则  2 0 f ( x ) d x  0 .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 14 设函数 f (x) 可导,且 第 155 页，共 563 页 f  ( x )  0 , g ( x ) =  x 0 f ( t ) d t .若 g ( 1 ) = 1 , g ( 3 ) = 7 ,则 g(2) 的值可能为( ) (A)2. (B)3. (C)4. (D)5.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 15 设函数 第 156 页，共 563 页 f ( x ) 在 ( 0 , )  + 上具有二阶导数, f  ( x )  0 ,记 u n = f ( n ) ,则数列u  发散是u u 的 n 1 2 ( ) (A)充分必要条件. (B)充分不必要条件. (C)必要不充分条件. (D)既不充分也不必要条件.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 16 设函数 第 157 页，共 563 页 f ( x ) 具有二阶导数, f ( 0 )  0 , f  ( 0 )  0 ,当 x  0 时, f  ( x )  0 ,则下列说法中,正确的是 ( ) (A) f  − f ( 0 ) f  ( 0 )   0 . (B) f  − f f  ( ( 0 0 ) )   0 . (C) f (x) 在  0 , )  + 上只有一个零点. (D) f ( x ) 在  0 , )  + 上没有零点.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 17 设函数 f (x) 满足 第 158 页，共 563 页 f  ( x ) + l n ( x + 1 ) f  ( x ) + a r c t a n x f ( x ) =  x 0 f ( t ) d t ,则下列说法中,错误的是( ) (A)若 f (0)  0 ,则 x = 0不是 f (x) 的极值点. (B)若 f (0)  0 ,则点( 0, f (0))是曲线 y = f ( x ) 的拐点. (C)若 x = 0是 f ( x ) 的极值点,则点 ( 0 , f ( 0 ) ) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点. (D)若 x = 0是 f ( x ) 的极值点,则当 x → 0 时, f  ( x ) 是 x2 的高阶无穷小.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 18 设函数 第 159 页，共 563 页 f ( x ) 在0,+)上二阶可导,且 f (0) = 0.下列命题中,正确命题的个数为( ) ①若在 ( 0 , )  + 上恒有 f  ( x )  0 ,则 f ( x x ) 在 ( 0 , )  + 上单调减少. ②若 f ( x x ) 在 ( 0 , 1  上单调减少,则在 ( 0 , 1  上恒有 f  ( x )  0 . ③若 lx i m f ( x x )  → + 存在,则 lx i m f ( x )  → +  存在. ④若在 ( 0 , )  + 上恒有 f  ( x )  0 ,且 lx i m f ( x x )  → + 存在,则 lx i m f ( x )  → +  存在. (A)1. (B)2. (C)3. (D)4.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 19 设函数 第 160 页，共 563 页 f ( x )   在 0, 上可导,已知    2 f ( 0 ) = 0 , f  ( 0 ) = 1 ,且 f ( x ) 满足 f (x)tanx  f ( x ) ,则下列关系 式中,正确的是 ( )  1 (A) f  . (B)    6  2 f 4 1 2     . (C) f 4 2 2 f 2        . (D) f 2 2 f 6        .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 二、填空题 20 设函数 第 161 页，共 563 页 f ( x ) = 1 1 + − x x 4 1 1 + − 2 2 x x ,则 f  ( 0 ) = _______ .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 21 设函数 第 162 页，共 563 页 y = y ( x ) 由方程sinx− lny e−t2 dt =0确定,则 1 y  ( 0 ) = _______ .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 22 已知函数 f (x) 在 第 163 页，共 563 页 ( , )   − + 上连续,且 f ( x ) = x 2 +  x 0 ( x − t ) f ( t ) d t ,则对任意正整数n, f (2n) (0) = _______ .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 23 设函数 第 164 页，共 563 页 f ( x ) = ( x 3 − 1 ) n s i n x ,则对任意正整数 n , f ( n ) ( 1 ) = _______ .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 n ax2 +(1−2a)x −2   24 设函数 f (x) = (a  0).若 ex−2 第 165 页，共 563 页 f ( n ) ( 2 ) = 2 n n ! ,则 a = _______ .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 25 设函数 第 166 页，共 563 页 f ( x ) = x l n x + e 6 x 3 − e 2 x 2 +  e 2 − 1  x − e 6 , g ( x ) = x ( l n x − 1 ) + e x − e x . 若曲线 y = f ( x ) 与 y = g ( x ) 相切于一点,则它们的公共切线的方程为_______ .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 26 已知函数 第 167 页，共 563 页 f ( x ) ( − 2  x  2 ) 为偶函数,且当 x  0 时, f (x) = xarctan x ,则曲线 f ( x ) ( − 2  x  2 ) y = 上对应法线斜率为 1 4  + 的点为_______ .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 27 设 第 168 页，共 563 页 f ( x ) 为可微函数,曲线 y = f ( x ) 与曲线 y = a r c t a n x 在点 1 , 4    处有公共切线,则 ln i m n f n n 1 a r c t a n n n 1  →   +  − −  = _______ .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 28 设函数 第 169 页，共 563 页 f ( x ) 具有二阶连续导数.若曲线 y = f ( x ) 过点 ( 0 , 0 ) 且与曲线 y = lnx在点 ( e , 1 ) 处相切,则  e 0 x f  ( x ) d x = _______ .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 29 曲线 第 170 页，共 563 页 x 3 + y 3 = y 2 的斜渐近线方程为_______ .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 30 设函数 y = f (x)在区间 第 171 页，共 563 页  0 , c ) 上具有一阶连续导数,其值域为1,+), f (0) =1,并且 y   y 2 恒成立, 则区间  0 , c ) 内包含的最大整数是_______ .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 31 设函数 第 172 页，共 563 页 f ( x ) 的定义域为  0 , c ) ,其中 c  1 ,值域为  1 , ) , f ( 0 ) 1 , f ( x )  + =  = f ( x ) a ,则 a 的取值范 围是_______ .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 三、解答题 32 设函数 第 173 页，共 563 页 f ( x ) 在  0 , )  + 上一阶可导,且当 x  0 时, f  ( x )  1 x , f ( 0 )  0 .证明: f (x) 在(0,+) 内有 且仅有一个零点.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 33 设函数 第 174 页，共 563 页 f ( x ) 在(−,+) 上二阶可导, f (x)  0,x = c 是 f ( x ) 的最小值点, f ( c )  0.证明: f (x) 在 ( , )   − + 上恰有两个零点.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 34 设函数 f (x) 在 第 175 页，共 563 页  a , b  上连续, g ( x ) 在  a , b  上有连续导数,且 g  ( x )  0 .若 0 ,  b a f ( x ) g ( x ) d x = 0  b a f ( x ) d x = ,证明:至少存在两个不同的点 1 , 2 ( a , b )    ,使得 f ( 1 ) f ( 2 ) 0   = = .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 35 证明:当 第 176 页，共 563 页 x  0 时, 1 2 x 2 l n 2 x − 3 4 x 2 l n x + x l n x − 1 4 l n x  0 ,并指明等号成立的条件.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 −(a+b)2 a2 b2 − − 36 证明:对任意的0 a 1,0b1,均有e 8  e 8 +e 8 −1. 第 177 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 37 设 第 178 页，共 563 页 f ( x ) 为 2 , 2    −  上的连续函数,满足 f ( − x ) = f ( x ) ,且当 x 0 , 2     时, f (x) = s i x n ( x 1 − − x c c o o s s x x ) .证 1 2 明:  f (x) . 2 3李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 38 已知函数 第 179 页，共 563 页 f ( x )   在 0, 上连续,在    2 0 , 2    内二阶可导.当 x 0 , 2     时, f  ( x ) = s i x n x + s i n x x ,且 f ( 0 ) = 0 .证明:对任意 a 0 , 2 , a f a 2 a 0 f ( x ) d x a 2 f ( a )          .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 39 证明: 第 180 页，共 563 页 2 8 2 0 x a r c 1 t a n x x 2 d x ( 8 2 )       + +  + .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 40 设函数 第 181 页，共 563 页 f ( x ) 在  0 , 3  上连续,在 ( 0 , 3 ) 内可导,且 f ( 0 ) + 2 f ( 1 ) = 2 f ( 2 ) + f ( 3 ) = 1 .证明:存在 ( 0 , 3 )   ,使得 f ( ) 0   = .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 41 设函数 第 182 页，共 563 页 f ( x ) 在  1 , e 2  ( ) 上连续,在 1,e2 内具有二阶导数,且 f ( 1 ) = 0 , f ( e ) = 1 , f ( e 2 ) = 2 .证明:存在 ( 1 , e 2 )   ,使得 f ( ) 2 1    = − .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 42 设函数 第 183 页，共 563 页 f ( x )   在 0, 上二阶可导,且    2 f ( 0 ) 0 , f 2 f ( 0 ) 1  =   =  = .证明:存在    0, ,使得    2  f ( ) s i n    = − .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 43 设在0,1上连续,在 第 184 页，共 563 页 ( 0 , 1 ) f (x) f (x)−1 内二阶可导的函数 f (x) 满足 lim = lim = −1, x→0+ x x→1− x−1 f  1 2  = 1 4 . 证明:存在 ( 0 , 1 )   ,使得 f ( ) 2   = .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 44 设函数 第 185 页，共 563 页 f ( x ) 在 x 0 的一个去心邻域 U 。 ( x 0 ) 。 内二阶可导,证明:对U (x )内的任意一点 x,都存在一点 0 x  ,使得 f (x)− f (x ) = f (x )(x − x )+ f ( )(x − )(x − x ),其中 0 0 0 x x 0 x  介于 x 与 x 0 之间.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 45 设函数 第 186 页，共 563 页 f ( x ) 在  0 , 1  上二阶可导,且 f (0) = f (0) =1.证明:对任意 x  ( 0 , 1 ) ,均存在 (0,1),使 x 得 f ( x ) x 1 x 2 2 f ( x )  − − =  .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 46 设 第 187 页，共 563 页 a  0 ,函数 f ( x ) 在  a , b  上连续,在 ( a , b ) 内可导.证明:若对任意 x(a,b) ,都有 f (x)  0 ,则 存在 1 , 2 ( a , b )    ,使得 f f ( ( 1 2 ) ) a 2 a a b b b 2 2 3 122 .       = + + + 李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 47 设函数 第 188 页，共 563 页 f ( x ) 在  0 , e  上连续,在 ( 0 , e ) 内可导,且 f (0) = 0.证明:存在 , ( 0 , e )   ,使得 f ( ) ( 2 ) f ( ) ( e 2 e ) f ( ) .       + −  = − 李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 48 证明:在区间 第 189 页，共 563 页 ( 0 , 2 ) 内存在三个不同的点 x 1 , x 2 , x 3 ,使得 1 − ( l 1 n + ( 1 x + 1 ) x 2 1 ) x 3 = 1 − ( l 1 n + ( 1 x + 2 ) x 2 2 ) ( 2 − x 3 ) .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 49 设函数 第 190 页，共 563 页 f ( x ) 在  0 , 1  上二阶可导, f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 ,且 f  ( x )  0 .证明:存在唯一的 ( 0 , 1 )   ,使得 f ( ) 1   = − ,且 1 2   .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 50 设函数 第 191 页，共 563 页 f ( x ) 在  0 , 1  上三阶可导,且 f ( 1 ) = f  ( 1 ) = f  ( 1 ) = 2 f ( 0 ) .证明:存在  ( 0 , 1 ) ,使得 f ( ) 0   = .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 51 设函数 第 192 页，共 563 页 f ( x ) 为  0 ,   上的连续正值函数, F ( x ) 为  0 ,   上的连续函数,且对 x(0,) , F ( x ) =  x 0 ( 1  − c x 2 t 0 o f s t ( ) t ) f d ( t t ) d t .求 F ( x ) 在  0 ,   上的最大值.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 52 设函数 第 193 页，共 563 页 f ( x ) 为  1 , )  + 上的正值函数,且 f (x)e x .证明:存在 ( 1 , )    + ,使得 f ()  f ().李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 53 设函数 第 194 页，共 563 页 f ( x ) 在(−,+) 上二阶可导,且 f (x)  0, lim f (x) = A,其中 x→− A 为常数.证明: lx i m f ( x )   → + = − .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 54 设函数 第 195 页，共 563 页 f ( x ) 为0,+)上恒正且具有二阶连续导数的凹函数,且 f  ( 1 )  0 .证明:存在唯一的 x 0  ( 0 , 1 ) ,使得曲线 y = f ( x ) 在点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) 处的切线在 y 轴上的截距等于  0 , x 0  上以 y = f ( x ) 为 曲边的曲边梯形的面积.李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 55 设函数 第 196 页，共 563 页 f ( x ) , g ( x ) 在  a , b  上连续,在 ( a , b ) 内具有二阶导数,且 g ( a ) ,  b a f ( x ) d x =  b a g ( x ) d x f ( a ) = g ( b ) , f ( b ) = .证明:存在 , ( a , b )   ,使得 f ( ) g ( )    =  .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 56 设函数 f (x) 满足 第 197 页，共 563 页 f  ( x ) = x l n 2 x 1 + f 2 ( x ) ( x  e ) ,且 f ( e ) = 0 ,证明: (I)当 x e时, f  ( x )  x l 1 n 2 x ; (II) lim f (x)存在,且其值严格小于 1. x→+李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 第 198 页，共 563 页 C 类 解答题 1 设函数 f ( x ) 二阶可导,且 f  ( 0 )  0 , b  a  0 .若存在函数 ( x )  ,使得 f ( x ) x ( a b ) x , ( x ) f ( a x ) − f ( b x ) =      − 介于a,b之间,求 l ix m 0 ( x )  → .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 2 设函数 f (x) 在 第 199 页，共 563 页  0 , )  + 上连续,在 ( 0 , )  + 上恒大于 0,并且当 x  0 时, f (x) 3    3  x 0  f ( t )  2 d t .证 明:当 x  0 时, f ( x )  x .李艳芳 900 · 高数 2.一元函数微分学 3 设函数 第 200 页，共 563 页 f ( x ) 在 x = a 的某个邻域内具有三阶连续导数,且 f (a)  0 ,且存在 0 ,使得当 x ( a , a ) ( a , a )    −  + 时, l it → m a f ( ( t t ) − − x f ) ( 2 x )  0 .证明: (I)对任意 x(a −,a)(a,a +) ,都有 f ( x )  f ( a ) ; (II)不存在数列  x n  ,使得 x  x (i  j),limx = a且 i j n n→ f ( x n ) = f ( a ) ; (III) x =a是 f ( x ) 的极大值点.李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 第三章一元函数积分学 A 类 一、选择题 1 设函数 第 201 页，共 563 页 f ( x ) 在 ( , )   − + 上连续,则 d   f d ( ( x x 2 2 ) ) d x  等于 ( ) ( ) (A) f x2 . (B) f ( x ) . (C) f ( 2 x x 2 ) . (D) f 2 ( x x ) .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学  1 1 ex, 0  x 1, 2xsin −cos , x−1,1排除0,  2 设函数 f (x) =  x x g(x) = 0, x = 0,   0, x = 0, −e−x, −1 x  0,   第 202 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 下列说法中,正确的是( ) (A) f (x) 与 第 203 页，共 563 页 g ( x ) 在  − 1 , 1  上均有第一类间断点. (B) f (x) 与 g ( x ) 在  − 1 , 1  上均有第二类间断点. (C) f (x) 与 g ( x ) 在  − 1 , 1  上均存在原函数. (D)定积分  1 − 1 f ( x ) d x 与  1 − 1 g ( x ) d x 均存在.李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 3 设函数 f (x) 在区间 第 204 页，共 563 页  0 , a  ( a  0 ) 上连续,则  a 0 f ( x ) d x = ( ) a n  2ka − a  (A)lim f . (B)   n→2n  2n  k=1 ln i m a n k n 1 f k a 2 n a  →  =  −  . a n  4ka − a  (C)lim f . (D)   n→4n  4n  k=1 ln i m a n k n 1 f 4 k a 4 n 3 a  →  =  −  .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 4 若函数 f (x) 的导函数是 第 205 页，共 563 页 s i 1 n 2 x ,则下列函数中,可能是 f (x) 的原函数的个数为( ) ① 1 − l n s i n x . ② x − l n s i n x . ③ 1 + l n s i n x . ④ − x + l n s i n x . (A)1. (B)2. (C)3. (D)4.李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 5 设函数 第 206 页，共 563 页 f ( x ) ( ) 2 1− x2 + xarcsinx 的导函数为 ,下列函数中,是 3 ( ) 1− x2 2 f ( x ) 的原函数之一的是( ) (A) xarcsinx . (B) − x a r c s i n x . (C) ( a r c s i n x ) 2 . (D) − ( a r c s i n x ) 2 .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 6 如图所示,连续函数 第 207 页，共 563 页 y = f ( x ) 在区间−6,−4,4,6 上的图形分别是长轴为 2,短轴为 1 的上、下半 椭圆周,在区间  − 4 , 0  ,  0 , 4  上的图形分别是直径为 4 的下、上半圆周.设 F ( x ) =  x 0 f ( t ) d t ,则下列结 论中,正确的是 ( ) (A) F ( − 6 ) = − 9 8 F ( 4 ) . (B) F ( 6 ) = − 7 8 F ( 4 ) . 7 (C) F(−6) = F(−4) . (D) 8 F ( 6 ) = 9 8 F ( − 4 ) .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 7 设函数 第 208 页，共 563 页 f ( x ) 与 g ( x ) 在区间  0 , 2  上均有连续导数,曲线段 y = f ( x ) 与 y = g(x) 的图形如图所示. 记 I 1 =  2 0  f  ( x ) + g  ( x )  d x I 2 =  2 0  x f  ( x ) + g ( x )  d x , I 3 =  2 0  x g  ( x ) + f ( x )  d x ,则 ( ) (A) I  I  I . (B) 1 2 3 I 1  I 3  I 2 . (C) I  I  I . (D) 2 1 3 I 3  I 1  I 2 .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 8 设在区间 第 209 页，共 563 页  a , b  上,函数 f (x) 满足 f ( x )  0 , f  ( x )  0 , f  ( x )  0 .令 = 1 2  f ( a ) + f ( b )  ( b − a ) , S 3 = f ( a ) ( b − a ) S 1 =  b a f ( x ) d x , S 2 ,则 ( ) (A) S 1  S 2  S 3 . (B) S 2  S 3  S 1 . (C) S 3  S 2  S 1 . (D) S 1  S 3  S 2 .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 9 设 第 210 页，共 563 页 I 1 3 4 e c o s x d x , I 2 3 4 e ta n x d x , I 3 3 4 e c o tx d x       =  =  =  ,则 ( ) (A) I  I  I . (B) 1 2 3 I 1  I 3  I 2 . (C) I 2  I 1  I 3 . (D) I 3  I 2  I 1 .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 10 设 第 211 页，共 563 页 I 1 =  1 − l1 n 2 2 + − x x d x , I 2 =  1 − 1 e x + 1 e − x d x , I 3 =  1 − 1 ( x x 2 + − 1 ) 4 2 d x ,则 ( ) (A) I  I  I . (B) 1 2 3 I 1  I 3  I 2 . (C) I 3  I 1  I 2 . (D) I 3  I 2  I 1 .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 11 设 第 212 页，共 563 页 I 1 2 0 x s i n 9 9 x d x , I 2 2 x s i n 9 9 x d x , I 3 1 2 0 x s i n 9 9 x d x     =  =  =  ,则( ) (A) I  I  I . (B) 1 2 3 I 1  I 3  I 2 . (C) I 2  I 1  I 3 . (D) I 2  I 3  I 1 .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 12 下列积分中,与积分 第 213 页，共 563 页 I =  1 0 1 2 x e − x d x 的值最接近的是 ( ) 1 (A) xe−x dx . (B) 0  1 0 x e − x d x . (C)  1 0 x 2 e − x d x . (D)  1 0 x 4 e − x d x .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 13 若 第 214 页，共 563 页 ( s i n x a 0 x b 0 x 2 ) 2 d x ma ,b i n  ( s i n x a x b x 2 ) 2 d x       − − − =  R  − − − ,则 a 0 x + b 0 x 2 = ( ) 3 (A) x. (B) 2 3 2 x 2 . (C)  3 2 x  . (D) 3 2 x 2  .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 14 设函数 第 215 页，共 563 页 F ( x ) 为连续函数 f ( x )   在 0, 上的一个原函数,且    2 F 4 1 , f ( x ) F ( x )    = − = −sin2x,则 2 0 F ( x ) d x ( )   = 2 (A) . (B)1. (C) 2 2 . (D)2.李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 15 设 f (x) 是偶函数,除 第 216 页，共 563 页 x = 0 外处处连续, x = 0 是其第一类间断点,则下列关于 F ( x ) =  x 0 f ( t ) d t 的 说法中,正确的是 ( ) (A)F(x)在 x = 0 处连续但不可导. (B) F ( x ) 在 x = 0 处可导,且 F  ( 0 ) = f ( 0 ) . (C)F(x)必为奇函数. (D) F ( x ) 必为偶函数.李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 16 设函数 第 217 页，共 563 页 f ( x ) 连续,则在下列变限积分定义的函数中,不能确定奇偶性的是( ) x ( ) (A) tf t2 dt . (B) 0  xt 0 f 2 ( t ) d t . (C)  xt 0 2  f ( t ) − f ( − t )  d t . (D)  xt 0 2  f ( t 2 ) − f ( − t 2 )  d t .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 17 设函数 第 218 页，共 563 页 F ( x ) =  x 0 ( x − 2 t ) f ( x − t ) d t ,其中 f (x) 为连续函数,则下列命题中,正确的是( ) ①若 f ( x ) 为单调减少函数,则 F ( x ) 为单调减少函数. ②若 f ( x ) 为单调减少函数,则 F ( x ) 为单调增加函数. ③若 f ( x ) 为奇函数,则 F ( x ) 为奇函数. ④若 f ( x ) 为奇函数,则 F ( x ) 为偶函数. (A)①③. (B)①④. (C)②③. (D)②④.李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学  2  , −1 x 1, 18 已知函数 f (x) = 1+ x2 设  4x −3, 1 x  3,  第 219 页，共 563 页 F ( x ) =  x 1 f ( t ) d t ( − 1  x  3 ) ,则F(x) = ( ) (A)  2 2 a x r 2 c t − a n 3 x x , , − 1 1   x x   3 1 . , (B) 2 2 a x r 2 c t a n 3 x x , 2 , 1 1 x x 3 1 . ,   − − −     (C)  2 2 a x r 2 c t − a n 3 x x , + 1 , − 1 1   x x   3 1 . , (D) 2 2 a x r 2 c t a n 3 x x 1 2 , , 1 1 x x 3 1 . ,   − − + −    李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学   secx, 0  x  ,   4 x 19 设函数 f (x) =  F(x) =  f (t)dt ,则( )   0  1,  x  ,  4 2 (A) 第 220 页，共 563 页 x 4  = 是函数 F ( x ) 的跳跃间断点. (B) x 4  = 是函数 F ( x ) 的可去间断点. (C)F(x)在 x 4  = 处连续但不可导. (D) F ( x ) 在 x 4  = 处可导.李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 20 下列反常积分中,发散的是( ) 1 1 (A) dx . (B) −1sinx 第 221 页，共 563 页  1 − 1 1 1 − x 2 d x . (C) e x d x    + − − . (D) 2 x l 1 n 2 x d x   + .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 21 下列反常积分中,发散的是( ) (A) 第 222 页，共 563 页  0 − 1 1 e − x e 2 x d x . (B)  1 0 1 e − x e 2 x d x . (C)  0 − 1 1 x 2 e 1 x d x . (D)  1 0 1 x 2 e 1 x d x .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 ln+1(1+ x) 1  , 0  x  , 1+ x 2  1 22 设函数 f (x) =  x 1 若积分 f (x)dx收敛,则  ,  x 1. 0  2 ( 1− x2 ) 2  第 223 页，共 563 页 ( ) (A)−2  0. (B) 2 2  −   . (C)0 2. (D) 2 0  −   或 0 2    .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 二、填空题 23 设函数 第 224 页，共 563 页 f ( x ) 连续,若  xt 0 f ( t ) d t = l n ( 1 + x 4 ) ,则当 x  0 时,  f ( x ) d x = _______ .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 24 设函数 f (x) 连续,且 第 225 页，共 563 页 f ( x ) c o s x 2 2 0 f ( t ) d t  = +  ,则 f (x) =_______ .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 25 已知函数 f (x) 具有二阶连续导数,且满足 第 226 页，共 563 页 f ( 1 ) = − 1 , f  ( 0 ) = 0 1 及 f (x)dx =1,则 0 2 0 c o s 3 x f ( s i n x ) d x    = _______ .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 26 函数 第 227 页，共 563 页 y = 1 x − 3 2 x 2 在区间  0 , 1 2  上的平均值为_______ .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 27 函数 第 228 页，共 563 页 y = s i n ( l n x )   在区间 1,e2 上的平均值为_______ .    李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 28 设连续函数 f (x) 满足 第 229 页，共 563 页 f ( x + 3 ) − f ( x ) = 3 x + 9 2 ,  3 0 f ( x ) d x = 3 ,则  4 1 f ( x ) d x = _______ .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 29 设连续函数 f (x) 满足 第 230 页，共 563 页 f ( 2 x ) − f ( x ) = 2 x 2 ,  1 0 f ( x ) d x = 1 ,则  2 1 f ( x ) d x = _______ .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 1 30lim arctann x dx =_______ . n→ 0 第 231 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学  1  n  1 3   1+ −1 dt   1   t     31lim = _______ . n→ 1+ n 第 232 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 1 32lim e−xcosnx dx = _______ . n→ 0 第 233 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 33 设函数 f (x) 连续,则 第 234 页，共 563 页 d d x  x 0 2 t f ( x 4 − t 2 ) d t = _______ .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 21−x, x  0,  + 34 设函数 f (x) =  1 则 xf (x)dx =_______ . , x  0, −  x4 −2x2 + 2 第 235 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 35 设曲线的极坐标方程为 第 236 页，共 563 页 e 2   = ,则该曲线上相应于从 0 变到的一段弧与极轴以及= 所围 成的图形的面积为_______ .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 36 设椭圆 第 237 页，共 563 页 x 2 + y 3 2 = 1 围成的平面区域为 D 1 ,椭圆 x 3 2 + y 2 = 1 围成的平面区域为 D ,则 2 D 1  D 2 的面积 为_______ .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 37 设点 第 238 页，共 563 页 B 为曲线 y = x+1与 y = a ( x + 1 ) ( a  0 ) 的不同于点 A ( − 1 , 0 ) 的交点.由点 B 引垂线交 x轴于 点 C ,则曲边三角形 A B C 与三角形 A B C 的面积之比为_______ .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 3    38 由曲线 y = cos2x −  x  与    2 2  第 239 页，共 563 页 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为 _______ .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 39 由曲线 y = sinx(0  x ) 与 第 240 页，共 563 页 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积与绕 y 轴 旋转一周所成旋转体的体积之差的绝对值为_______ .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 40 单位圆盘 第 241 页，共 563 页 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  1  绕直线 y = − 2 旋转一周所成旋转体的体积为_______ .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 41 已知曲线 y = xex ,直线 第 242 页，共 563 页 x = a ( a  0 ) 与 x 轴所围平面图形的面积为 1,则由上述平面图形绕 x 轴旋 转一周所成旋转体的体积为_______ .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 42 设 第 243 页，共 563 页 y = f ( x ) 是定义在0,+)上的非负函数,且对于任意的 a  0 , x = 0 , x = a , y = f ( x ) 与 x 轴所围成 的平面图形绕 x 轴旋转一周与绕 y 轴旋转一周所形成的旋转体体积相同,则 y = f ( x ) 与 y = x 3 所围 成的平面图形面积为_______ .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 43 设直线 第 244 页，共 563 页 y = a x ( 0  a  1 ) , x = 1 与曲线 y = x 2 所围成的平面图形记为D ,直线 y =ax 1 ( 0  a  1 ) 与曲 线 y = x 2 所围成的平面图形记为 D ,记 2 D = D 1  D 2 ,则当平面图形 D 绕 x 轴旋转所得旋转体体积最 小时,a = _______ .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 三、解答题 44 计算下列不定积分: 1 (I) dx; (II) (x −4) x −5 第 245 页，共 563 页  2 l n x ( 2 1 − 1 − x 2 x ) 2 d x ;李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 (III) 第 246 页，共 563 页  1 1 + − x x a r c s i n x d x ; (IV)  ( x s i n x c o + s c 2 x o s x ) 2 d x ;李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 (V) 第 247 页，共 563 页  x 2 + x 4 x + 7 d x 5 ; (VI) dx ; 3x + 1− x2李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 dx 3 x (VII) ; (VIII)e2 arccos 1−ex dx ; ( ) x2 −3 x2 +1 第 248 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 (IX) 第 249 页，共 563 页  x 3 l n x ( 2 x + 2 1 + 1 ) d x ; ( X )  m a x  x 2 , x + 2  d x .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 45 计算下列定积分: (I) 第 250 页，共 563 页 1 1 l n 1 t a n 2 5 x t a n 5 x e x d x    −   + +  + ∣ ∣  ; (II)  2 0 a r c s i n x − 1 2 x − x 2 d x ;李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 1 1+ 2x2 1 arctanx (III) dx; (IV) dx; 0( 1+ x2 )3 3 x5 3 第 251 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 x (V) 10 earctan(x−5) −earctan(5−x) + x cos dx ; (VI)   0 2 第 252 页，共 563 页  0 3 x 4 a x r 2 c t + a 1 n x d x ;李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 (VII) 第 253 页，共 563 页 0 2 x s i n x d x   + .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 46 计算下列极限: 1  1 2 n (I)lim arcsin + 2arcsin + + narcsin ;   n→n2  n n n 第 254 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 1   2 2n (II)lim  1+cos + 1+cos + + 1+ cos ;   n→2n n n n   第 255 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 2 2 2  1  2  n (III)limln2n  1+   1+   1+  ; n→  n  n  n 第 256 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 (IV) 第 257 页，共 563 页 ln i m 1 2 n 3 n n  → + + + + ; (V) ln i m k n 1 n k 2 a r c t a n k n  →  = .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 47 计算下列反常积分: arctanx + (I) dx ; (II) 1 x2 第 258 页，共 563 页 0 e 2 x 1 d x   + − + ;李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 (III) 第 259 页，共 563 页 4 2 x 2 1 1 1 x 1 5 d x   + − + .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 48 设函数 第 260 页，共 563 页 f ( x ) 在0,1上连续,且 f ( x ) 2 1 1 x 2 1 c o s 2 x 1 2 s i n 2 x 1 0 f ( x ) d x .   = + − + + +  求 f ( x ) .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 49 求 第 261 页，共 563 页  1 0 x 4 1 + − x x − 2 1 a r c c o s x d x .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学  x , −1 x  0,  2− 4+ x x 50 设函数 f (x) =  求函数 F(x) =  f (t)dt . ( ) ln 1+ex −1  , 0  x 1,   ex 第 262 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 51 设非负函数 第 263 页，共 563 页 f ( x )   x( x2 −t2 ) f (t)dt  在(−,+) 上可导,且 f (x)  0 .函数F(x) =  0 x2 , x  0,  0, x = 0.  (I)计算F(x) ,并分析 F  ( x ) 的连续性; (II)判断曲线 y = F ( x ) 的凹凸性.李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 52 过点(1,0) 作曲线 第 264 页，共 563 页 y = e x 的切线,该切线与曲线 y = ex 以及两坐标轴围成平面图形 D . (I)求 D的面积 A ; (II)求 D绕直线 y = e 2 旋转一周所得旋转体的体积.李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 B 类 一、选择题 1 设函数 第 265 页，共 563 页 f ( x ) x t1 c o s t d t , x 2 , 2   =  −   −  ,则曲线 y = f (x)与 x 轴所围图形的面积为( ) (A) 2  1 0 x s i n x d x . (B) 2  1 0 x 2 s i n x d x . ( C ) 2  1 0 x c o s x d x . (D) 2  1 0 x 2 c o s x d x .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 2 设 第 266 页，共 563 页 0 a 1 , I 1 2 0 s i s n i n a x x d x , I 2 2 0 s i x n a x d x , I 3 2 0 a s 2 i s n i a n x x d x      =  =  =  ,则 ( ) (A) I 2  I 1  I 3 . (B) I 2  I 3  I 1 . (C) I 3  I 1  I 2 . (D) I 1  I 2  I 3 .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 3 3 设I =   e−x2 cosx dx,I =  2e−x2 cosx dx,I =  2 e−x2 cosx dx,则( ) 1 2  3 0  2 (A) 第 267 页，共 563 页 I 1  0 , I 2  0 , I 3  0 . (B) I 1  0 , I 2  0 , I 3  0 . (C) I 1  0 , I 2  0 , I 3  0 . (D) I 1  0 , I 2  0 , I 3  0 .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 4 设二阶可导函数 第 268 页，共 563 页 f ( x ) 满足 f ( 0 ) = f ( 2 ) = 0 , f ( 1 ) = a  0 且 f  ( x )  0 ,则( ) (A)  2 0 f ( x ) d x  a . (B)  2 0 f ( x ) d x  a . (C)  1 0 f ( x ) d x   2 1 f ( x ) d x . (D)  1 0 f ( x ) d x   2 1 f ( x ) d x .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 5 设 第 269 页，共 563 页 ( , )   − + 上的正值连续函数 f ( x ) 满足 f (x) f (1− x) =1,则  1 0 1 x + − f 1 2( x ) d x = ( ) 1 (A) . (B) 16 1 8 . (C) 1 4 . (D) 1 2 .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学   6 设函数 f (x) 连续,且 2 f (xcosx)cosx dx =1,则 2 f (xcosx)xsinx dx = ( )   − − 2 2 (A)-1. (B)0. (C)1. (D). 第 270 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 7 若 第 271 页，共 563 页 s i n , s i n   分别为   s i n x x 在 ( 0 , 1 ) 和 ( 0 , a ) ( 0  a  1 ) 上的平均值,其中 ( 0 , 1 )   ,(0,a),则与 的大小关系为 ( ) (A). (B)=. (C). (D)从已知条件无法确定.李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 8 设函数 第 272 页，共 563 页 F ( x ) 2 0 s i n x s i n t d t  =  − ,则 F(x)在 0 , 2    上( ) (A)单调增加. (B)单调减少 (C)有极小值点. (D)有极大值点.李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 x2sint x 9 设函数 f (x) =  dt ,则下列命题中,正确的是( ) 0 t (A) f (x) 在 第 273 页，共 563 页 ( 0 , )  内单调减少. (B) f ( x ) 是偶函数. (C) f  ( 1 ) = s i n 1 . (D) f  ( 1 ) = 2 f ( 1 ) + s i n 1 .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 10 设 第 274 页，共 563 页 F ( x ) x x 2 f ( t ) d t  =  + ,其中 f (x) =sin2xarctan ( sin2x ) cos2x ,则 F (x)( ) (A)为正数. (B)为负数. (C)恒为零. (D)不是常数.李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 11 设定义在(−,+) 上的连续函数 第 275 页，共 563 页 f ( x ) 的图形关于 x = 0 与 x =1均对称,则下列命题中,正确命题 为 ( ) ①若  1 0 f ( x ) d x = 0 ,则  x 0 f ( t ) d t 为周期函数. ②若  2 0 f ( x ) d x = 0 ,则  x 0 f ( t ) d t 为周期函数. x 2 ③ f (t)dt − x f (t)dt为周期函数. 0 0 ④  x 0 f ( t ) d t − x 2  2 0 f ( t ) d t 为周期函数. (A)②③. (B)②④. (C) ① ② ③ . (D)①②④.李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 12 若积分 第 276 页，共 563 页 2 ( c o s x ) 1 ( 1 c o s x ) d x      − + 收敛,则 ( ) (A)1,1. (B) 1 2 , 1 2     . (C) 1 , 1 2     . (D) 1 2 , 1     .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 13 考虑积分 第 277 页，共 563 页 0 l n x ( 1 p 1 x ) d x   + − + ,则该积分 ( ) (A)当 p 1时收敛.(B)当 p  0 时收敛. (C)不论 p 为何值均收敛.(D)不论 p 为何值均发散.李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 14 对于未知参数 第 278 页，共 563 页 a 和 b  1  a(1−2x +ex)− a2x +bx a −2e+ 2  + 2 ,反常积分  + dx( ) 1 2 2x2 + ax     (A)一定不收敛. (B)一定收敛. (C)若收敛,则其值为 1. (D)若收敛,则其值为 e.李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 二、填空题 15 设 第 279 页，共 563 页 f ( l n x ) = x 2 l n ( 1 + x ) ,则  f ( x ) d x = _________ .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 16 设 第 280 页，共 563 页 f  x 1 − 1  = x ,且 f ( ( x ) ) x 2 x 1  = + − ,则 ( x ) d x   = _________ .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 17 已知函数 第 281 页，共 563 页 f ( x ) =  x 1 1 + s i n t 2 d t ,则  1 0 f ( x ) d x = _________ .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 18 已知 第 282 页，共 563 页 y  ( x ) = c o s ( 1 − x ) 2 ,且 y ( 0 ) = 0 1 ,则 y(x)dx =_________ . 0李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 sinx+ xlnxcosx 192 dx =_________ . 1 x 第 283 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 20 设函数 第 284 页，共 563 页 f ( x ) 连续,且 f ( 0 ) = 0 , f  ( 0 ) = 1 2 ln(1+x)  tf (t)dt ,则 lim 0 =_________ . x→0+   x f (t)dt  2  0 李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 21 设函数 f (x) 可导,且 第 285 页，共 563 页 f ( 0 ) = 0 , f  ( 0 ) = 1 , F ( x ) =  xt 0 2 n − 1 f ( n x 2 n − t 2 n ) d t F(x) ,则lim = x→01−cosxn+1 _________ .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 x  sin(xt)ln(xt)dt 1 22 lim x =_________ . x→+ 1 1  dt 1 t x 第 286 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 23 记曲线 第 287 页，共 563 页 y = a r c s i n x 2 ( x  0 ) 与直线 x = 1  以及 x轴所围区域为D ,与直线 y = 以及 1 2 y 轴所围区域为 D 2 .若D 绕 1 x 轴旋转一周所得旋转体与 D 2 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积之和为 a ,则 D 2 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为_________ .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 三、解答题 24 计算下列极限: (I) 第 288 页，共 563 页 ln i m k n 1 n k 1 s i n 2 n  →  = + − ;李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 n i n2 −i2 (II)lim ; 3 n→  1 i=1 n+    i  第 289 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 1 ( ) 1 1 1  (III)lim 41+ 4 2 + + 4 n + + + ;   n→n2  41 4 2 4 n  第 290 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 (IV) 第 291 页，共 563 页 ln i m n 4 1 1 n 4 2 2 n 4 n n ( 4 1 4 2 4 n ) 1 4 1 4 1 2 4 1 n  →  + + + + + +  + + +  + + +  ;李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学  n2 2n2 nn2  1 1 1  (V)lim + + + + + + .    n→ n3 +1 n3 + 2 n3 + n  4n2 −12 4n2 −22 4n2 −n2  第 292 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 25(I)证明:对 第 293 页，共 563 页 x  0 , x − 1 3 x 3  a r c t a n x  x . n n (II)求limarctan . n→ n2 + k2 k=1李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 26 求 第 294 页，共 563 页  1 0 1 + x x 2 f ( x ) d x ,其中 f ( x ) =  x 1 ( 1 + t a 2 r ) c 3 2 t l a n n ( t 1 + t 2 ) d t .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 27 设函数 f (x) 连续,且 第 295 页，共 563 页 f ( 0 )  0  x( sinx2 −sint2 ) f (t)dt ,求lim 0 . x→0 x x tf ( t2 ) dt 0李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 28 设函数F(x) =  1 x−t e−t2 dt −1.讨论 F(x)在−1,1 上的零点个数. −1 第 296 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 29 设 f (x) 是区间0,1上的单调、可导函数,且满足 第 297 页，共 563 页  f 0 ( x ) f − 1 ( t ) d t =  x 0 e t t + d t e − t , 其中 f −1是 f 的反函数, 求 f ( x ) .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 30 求函数 第 298 页，共 563 页 f ( x ) x x 2 s i n t c o s t d t  =  + + 的最值.李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 31 如图所示,曲线 第 299 页，共 563 页 C 的方程为 y = f ( x ) ,点 ( 2 . 5 , 2 ) 是它的一个拐点,直线l 与l 分别是曲线C 在点 1 2 ( 1 , 2 ) 与点 ( 2 . 5 , 2 ) 处的切线,其交点为 ( 1 . 5 , 0 ) .设函数 f ( x ) 具有三阶连续导数,求  2 1 .5 ( x 2 − x ) f  ( x ) d x .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 32 如图所示, 第 300 页，共 563 页 C 1 和 C 2 分别是 y = 1 2 ( e x + e − x ) 和 y = e2x 的图形,过点(0,1) 的曲线C 是某单调增加函数 3 的图形.过 C 2 上任一点 M ( x , y ) 分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线 l x 和 l y .记 C 1 , C 2 与 l x 所围图形的面 积为 S 1 ( x ) ; C 2 , C 3 与 l y 所围图形的面积为 S 2 ( y ) .如果总有 2 S 1 ( x ) = S 2 ( y ) ,求曲线 C 3 的方程 x ( y )  = .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 33 设曲线 第 301 页，共 563 页 C 是以点 ( 1 , 0 ) 为圆心,1 为半径的上半圆周.直线 y = a x ( a  0 ) , x = 2 与曲线 C 所围成的平 面图形记为 D 1 ,直线 y = a x ( a  0 ) 与曲线 C 所围成的平面图形记为 D 2 ,记 D = D 1  D 2 ,问: a 为何值 时,区域 D的面积取得最小值?李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 34 设 第 302 页，共 563 页 x O y 平面上有正方形 D =  ( x , y )∣ 0  x  1 , 0  y  1  及直线l :2x + y =t(t  0 ) .若S (t) 表示正方 形 D 位于直线 l 左下方部分的面积,求  x 0 S ( t ) d t ( x  0 ) .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 35 设函数 第 303 页，共 563 页 f ( x ) = 1 + x 2 x 2 , x   0 , 1  .定义函数列: f n ( x ) = f ( f n − 1 ( x ) ) , . f 1 ( x ) = f ( x ) , f 2 ( x ) = f ( f 1 ( x ) ) , , 记 S n 是由曲线 y = f n ( x ) ,直线 x = 1 及 x 轴所围平面图形的面积,求极限 ln i m n S n  → .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 36 设 第 304 页，共 563 页 n 为正整数,记 S n 为曲线 y = e−nxsinx(0 x  n)与 x 轴所围图形的面积,求S ,并求 n ln i m n 2 S n  → .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 37 设函数 第 305 页，共 563 页 f ( x ) 在区间  a , b  上二阶可导,且在 ( a , b ) 内有 f  ( x )  0  b−a .对任意 x 0, ,均有    2  f  a + 2 b + x  = f  a + 2 b − x  .  a +b (I)求 f  ;    2  (II)证明:在 ( a , b ) 内恰好存在两个点 1 , 2 ( 1 2 )      ,使得当i =1,2时,曲线 y = f ( x ) 与直线 y f ( i )  = 所围平面图形面积 S i 均为曲线 y = f ( x ) 与两直线 y f ( 1 ) , x a  = = 所围平面图形面积 S 0 的 4 倍.李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 38 设 第 306 页，共 563 页 D 是位于曲线 y a x 3 2 a x 2 2 a ( a 1 , 0 x )  = −    + 下方 x 轴上方的无界区域. (I)求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V ( a ) ; (II)当 a 为何值时, V ( a ) 最小?并求此最小值.李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 39 设区域 第 307 页，共 563 页 D 如图所示,由上半圆周 x 2 + y 2 = 1 ( y  0 ) ,直线 y = a ( 0  a  1 ) , x = 1 , x = − 1 所围成.记区 域 D 绕直线 y = a 旋转一周所得旋转体的体积为 V ( a ) .求 V ( a ) 的最大值与最小值.李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 40 设函数 第 308 页，共 563 页 f ( x ) 满足方程 e x f ( x ) 3 e x f ( x ) 2 c o s x , x ( , )     + − − =  − + . (I)求 f (x) 在 ( 0 , 2 )  内的极值; (II)求曲线 y = f ( x ) 在 0 , 2    的部分与 x 轴所围图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积.李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学  41 记a =  2cotnx dx .证明 n  4 第 309 页，共 563 页 ln i m a n  → 存在,并求此极限.李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 42 设函数 第 310 页，共 563 页 f ( x ) 在  − 1 , 1  上具有连续导数,且m  f (x)  M .证明: 1 2  1 − 1 f ( x ) ( 3 x 2 + 1 ) d x − 2 f ( x )  2 ( M − m ) .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 43 设函数 第 311 页，共 563 页 f ( x ) 在  0 , )  + 上连续,且 f  ( x ) 连续, f ( 0 ) = 0 , 2 f ( x ) − f  ( x )  1 .证明:对 x ( 0 , )   + ,有 f ( x )  1 2 ( e 2 x − 1 ) .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 44 设函数 第 312 页，共 563 页 f ( x ) 在  0 , 1  上连续,在  0 , 1 2    1 2 , 1  上可导,对任意 x   0 , 1 2    1 2 , 1  , f  ( x )  1 , f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 .证明:  1 0 f ( x ) d x  1 4 .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 45 设函数 第 313 页，共 563 页 f ( x ) ( x  x  ) s i n x  = − ,其中  x  表示不超过 x 的最大整数,求 lx i m x 0 f ( x t ) d t  → +  .46 求 lx i m x 0 a r c s i n x ( s i n t ) d t  → +  .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 47 设函数 第 314 页，共 563 页 f ( x ) 在  0 , )  + f (x) 上连续,且 lim =1. x→+ 2 ( ) 1−cos x2 +1− x    x  (I)证明 0 f ( x ) d x   + 收敛; (x + 2)2 + (II)若 f (x) = +e−xsinx f (x)dx,求a与 a ( x2 +1 )2 0 f ( x ) .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 t −1 + 48 设I =  dt(n  2). n 1 tn (I)计算I ; 2 (II)求 第 315 页，共 563 页 ln i m I n I n 1  → + .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 49 设 第 316 页，共 563 页 a 0 , f ( a ) 0 ( a x 2 1 1 ) x 2 1 d x   =  + + + .判断 f  ( 1 ) 是否存在,若存在,试求其值.李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 50(I)证明:对于任意实数 第 317 页，共 563 页 x ,均有 e − x 2  1 + 1 x 2 . (II)证明: 0 e x 2 d x   + − 收敛,且对任意正整数 n ( n  2 ) ,均有 0 e x 2 d x 2 n ( ( 2 2 n n 3 2 ) ) ! ! ! !    + −   − − .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 51 设函数 f (x) 在 第 318 页，共 563 页  0 , )  + 上连续,且反常积分 0 f ( x ) d x   + 收敛.证明: (I)反常积分 0 e x f ( x ) d x   + − 收敛; (II)存在 ( 0 , )    + ,使得 0 f ( x ) d x 0 e x f ( x ) d x    =  + − .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 52(I)证明: 第 319 页，共 563 页  x 0 t l n − t 3 d t 对任意 x(0,3) 均收敛,且 l ix m 3 x 0 t l n t 3 d t  →  − = − . (II)证明: f ( x ) =  x 0 t l n − t 3 d t 在区间 ( 0 , 3 ) 内存在唯一零点. (III) f (x) 如第(II)问中所给,求  3 0 f ( x ) d x .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 第 320 页，共 563 页 C 类 一、选择题 1 设 I 1 1 e1 2 x 2 d x , I 2 2 ( 1 e 1 ) , I 3 4 1 e 1 2  =  − − = − − =  − −  ,则 ( ) (A) I 3  I 1  I 2 . (B) I 1  I 3  I 2 . (C) I 2  I 1  I 3 . (D) I 2  I 3  I 1 .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 二、填空题 2 设 第 321 页，共 563 页  f n ( x )  为一列连续函数,且 f (x)  enx .对每个正整数 n n ,令 F n ( x ) =  x 0 f n ( t ) d t , G n ( x ) 为 F n ( x ) 的 反函数.定义正数数列 a n = G n  e − n 1  ,则 ln i m a n  → = _______ .李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 三、解答题 3 设 第 322 页，共 563 页 f ( x ) 为  0 , 1  上单调减少的连续函数,且  1 0 f ( x ) d x = 1 .记  x  为不超过 x的最大整数. (I)设k 为整数,求  k k − 1 ( x −  x  ) d x ; (II)求lim 1( nx −nx) f (x)dx . n→ 0李艳芳 900 · 高数 3.一元函数积分学 4 已知对于任意正整数 第 323 页，共 563 页 n ,积分  1 0 x a l n n x d x 都收敛. (I)求a的范围; (II)记 a n =  1 0 x a l n n x d x ,求 a n 的通项公式.李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 第四章多元函数微分学 A 类 一、选择题 1 设二元函数 第 324 页，共 563 页 f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处有定义,则下列说法中,正确的是 ( ) (A)若 lx i→ m x 0 f ( x , y 0 ) , ly i→ m y 0 f ( x 0 , y ) 均存在,则 ( x , y l i ) → m( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) 存在. (B)若 lx i→ m x 0 f ( x , y 0 ) , ly i→ m y 0 f ( x 0 , y ) 均存在,则 f '(x ,y ), f ' (x ,y ) 均存在. x 0 0 y 0 0 (C)若 lim f (x, y) 存在,则 f '(x ,y ), f ' (x ,y ) 均存在. (x,y)→(x ,y ) x 0 0 y 0 0 0 0 (D)若 f 'x ( x 0 , y 0 ) , f 'y ( x 0 , y 0 ) 均存在,则 lx i→ m x 0 f ( x , y 0 ) , ly i→ m y 0 f ( x 0 , y ) 均存在.李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学  1−cos x2 + y2  x2y   , (x, y)  (0,0),  , (x, y)  (0,0), 2 设函数 f (x, y) = arctan ( x2 + y2 ) f (x, y) = x4 + y2 则( ) 1 2   0, (x, y) = (0,0),   0, (x, y) =(0,0), (A) 第 325 页，共 563 页 f 1 ( x , y ) , f 2 ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处均连续. (B) f 1 ( x , y ) , f 2 ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处均不连续. (C) f (x, y) 在点 1 ( 0 , 0 ) 处连续, 2 ( , ) 在点 ( 0 , 0 ) 处不连续. (D) f (x, y) 在点 1 ( 0 , 0 ) 处不连续, 2 ( , ) 在点 ( 0 , 0 ) 处连续.李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 3 已知函数 第 326 页，共 563 页 f ( x , y ) = e s in x − c o s y ,则 ( ) (A)   f x ( 0 ,0 ) 不存在,   f y ( 0 ,0 ) 存在. (B)   f x ( 0 ,0 ) 存在,   f y ( 0 ,0 ) 不存在. f f (C) , 均存在. (D) x y (0,0) (0,0)   f x ( 0 ,0 ) ,   f y ( 0 ,0 ) 均不存在.李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学  1 x2 + y2sin , (x, y)  (0,0),  4 设函数 f (x, y) =  x2 + y2 1  0, (x, y) = (0,0),  第 327 页，共 563 页 f 2 ( x , y ) =  ( 0 x , 2 + y 2 ) s i n x 2 1 + y 2 , ( ( x x , , y y ) )  = ( ( 0 0 , , 0 0 ) ) , , 则( ) (A)在点(0,0) 处, f 1 ( x , y ) 和 2 ( , ) 的偏导数均存在. (B)在点(0,0) 处, f 1 ( x , y ) 的偏导数不存在, f 2 ( x , y ) 的偏导数存在. (C)在点(0,0) 处, f 1 ( x , y ) 的偏导数存在, f 2 ( x , y ) 的偏导数不存在. (D)在点(0,0) 处, f 1 ( x , y ) 和 ( , ) 的偏导数均不存在. 2李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 5 设函数 第 328 页，共 563 页 f ( x , y ) 可微,且对任意的 x , y f (x,y) f (x,y) 都有  0,  0,则使不等式 f (x , y ) 1 1 x y  f ( x 2 , y 2 ) 成立的一个充分条件是 ( ) (A) x 1  x 2 , y 1  y 2 . (B) x  x ,y  y . 1 2 1 2 (C) x 1  x 2 , y 1  y 2 . (D) x  x ,y  y . 1 2 1 2李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 6 已知二元函数 第 329 页，共 563 页 f ( x , y ) 存在一阶偏导数.对于任意 y ,若 x 1  x 2 ,则 f (x , y)  1 f ( x 2 , y ) ;对于任意 x , 若 y 1  y 2 ,则 f ( x , y 1 )  f ( x , y 2 ) .下列结论中,正确的是( ) f f (A)  . (B) x y (−1,1) (1,−1)   f x (1 ,− 1 )    f y ( − 1 ,1 ) . f f (C)  . (D) x y (1,1) (−1,−1)   f x ( − 1 ,− 1 )    f y (1 ,1 ) .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 7 若二元函数 f (x, y) 存在二阶连续偏导数,且满足 第 330 页，共 563 页 f ( x , y ) = − f ( y , x ) ,则下列结论中,错误的是( ) (A) f 1 ''1 ( x , y ) = f '' 2 2 ( x , y ) . (B) f 1 ''1 ( x , y ) = − f 2 ''2 ( y , x ) . (C) f 1 ''2 ( x , y ) = f '' 2 1 ( x , y ) . (D) f 1 ''2 ( x , y ) = − f 2 ''1 ( y , x ) .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 8 若由方程 第 331 页，共 563 页 F ( x , y , z ) = 0 可确定三个有连续偏导数的函数 x = f (y,z), y = g(z,x),z = h(x, y) ,则下列 结论中,正确的是 ( ) (A)   F x =   F y =   F z . (B)   z x =   x y =   y z . z x y (C)   =1. (D) x y z   z x    x y    y z = − 1 .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 9 设 第 332 页，共 563 页 z = z ( x , y ) 由方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 2 z = 0 ( z  0 ) 确定,则当 x = 2 , y = 4 时,( ) (A) z' =1. (B) x z 'y = 2 . (C) z ''x x = − 2 . (D) z ''y y = 5 .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 10 设有三元方程 第 333 页，共 563 页 x a r c t a n x l l n n x y z e s in z 4  + + = ,根据隐函数存在定理,存在点 ( 1 , e , 0 ) 的一个邻域,在此邻 域内该方程( ) (A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z = z(x, y) . (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y = y ( x , z ) 和 z = z ( x , y ) . (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x = x ( y , z ) 和 z = z ( x , y ) . (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x = x ( y , z ) 和 y = y ( x , z ) .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学  y  11 已知函数 f (u) 可导,且 f (1) = e.二元函数 z(x,y) = f (xy) f 满足    x  第 334 页，共 563 页 x   z x + y   z y = y xy+ 2xye x ,则下 列关于函数 f ( u ) 的说法中,正确的是 ( ) (A) f (u) 满足微分方程 f  ( u ) + f ( u ) = 0 . (B) f (u) 满足微分方程 f  ( u ) + f ( u ) = 1 . (C) f (u) 满足微分方程 f (u)− f (u) = 0 . (D) f (u) 满足微分方程 f  ( u ) − f ( u ) = 1 .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 12 设函数 第 335 页，共 563 页 f ( x ) 具有二阶连续导数,且 f ( x )  0 , f  ( 0 ) = 0 ,则函数 z(x, y) = f (x)f(y) 在点(0,0) 处取得 极小值的一个充分条件是 ( ) (A) f (0) 1, f (0)  0. (B) f ( 0 )  1 , f  ( 0 )  0 . (C) f (0) 1, f (0)  0. (D) f ( 0 )  1 , f  ( 0 )  0 .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 二、填空题 13 设函数 第 336 页，共 563 页 F ( x , y ) =  x 0 + y c 1 o + s t t d t ,则   2 x F 2 x = − 1 x = 1 = ________ .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 14 设函数 第 337 页，共 563 页 f ( x , y ) 可微,且 f ( 0 , 0 ) = 0 , f 1 ' ( 0 , 0 ) = a , f '2 ( 0 , 0 ) = b .令 ( t ) f ( s i n t  = , f (tant,1−cost)) ,则 ( 0 )   = ________ .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 15 设函数 第 338 页，共 563 页 z = z ( x , y ) 由方程ln(z +1)+ez = ycosx+2x 确定,则   z x ( 0 ,1 ) = ________ .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 16 设函数 第 339 页，共 563 页 f ( x , y , z ) = e z y z 2 ,若 z = z ( x , y ) 是由方程 x + y + z + x y z = 0 所确定的隐函数,记 g ( x , y ) = f ( x , y , z ( x , y ) ) ,则 g 'y ( 0 , 1 ) = ________ .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 17 设函数 第 340 页，共 563 页 F ( u , v ) 1 具有一阶连续偏导数,满足 F' + F'  0,已知 1 2 3 z = z ( x , y ) 是由方程 F ( x y z , x 2 + y 2 + z 2 ) = 0 所确定的隐函数,且 z ( 1 , 1 ) = 1 ,则 d z (1 ,1 ) = ________ .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 18 设函数 第 341 页，共 563 页 z ( u , v ) = u e v w 2 ,其中 w = w ( u , v ) 由方程 e u w + e v w = 4 所确定,则当 u = l n 2 , v = l n 2 时, d z = ________ .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 19 已知函数 z = z(x, y) 由方程 第 342 页，共 563 页 e z + x z − y l n x = 1 2z 所确定,则 =________ . xy (1,1)李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 20 函数 f (x,y) = x4 + y4 −(x+ y)2的极小值为________ . 第 343 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 21 圆 第 344 页，共 563 页 x 2 + y 2 = 3 上到点 ( 0 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , ( 0 , 1 ) 的距离的平方和最小的点为________ .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 三、解答题 22 设函数 第 345 页，共 563 页 z = f ( x c o s y , y g ( x ) ) ,其中函数 f 具有二阶连续偏导数,且 f 1 ''2 ( 1 , 0 ) = 1 ,函数 g ( x ) 可导,且 在 x = 1 处取得极值 g(1) = 2.求   x 2  z y x y = = 1 0 .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 23 设函数 第 346 页，共 563 页 f ( u , v ) 具有二阶连续偏导数,函数 g ( x , y ) = x 2 + y 2 − f ( x + y , x y ) .求   2 x g 2 − 2   x 2  g y 2g + y2李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 24 设函数 第 347 页，共 563 页 f ( u , v ) 具有二阶连续偏导数, y = y ( x )    由方程tany − y = x −  y  所确定,令    2 2  z ( x ) = f ( x , x − y ) ,计算 d d 2 x z 2 x 1 4  = − .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 25 设函数 第 348 页，共 563 页 u ( x , y ) = f ( x , y , z ( x , y ) ) 有连续偏导数,且 z = z ( x , y ) 由方程 x s i n x − y c o s y = z a r c t a n z 所确定, 求 d u .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 26 已知函数 第 349 页，共 563 页 u ( x , y ) 满足   2 x u 2 − 2   2 y u 2 + 3   u x − 4   u y = 0 ,求 a , b 的值,使得在变换 u ( x , y ) = v ( x , y ) e a x + b y 下,上述等式可化为不含 v ( x , y ) 的一阶偏导数的等式.李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 27 设函数 第 350 页，共 563 页 f ( u ) 具有二阶连续导数, f ( 0 ) = 0 , f  ( 0 ) = 1 2z ( ) ,而 z = f e−xsiny 满足方程 + x2   2 y z 2 = e − 2 4 x z , 求 f ( u ) .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 28 求函数 f (x, y) = ( 3x3 − y ) ex−y的极值. 第 351 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 29 设函数 第 352 页，共 563 页 f ( x , y ) = 2 x + 5 y − a x 2 − 3 a y 2 − b x y ,问:当参数 a , b 满足什么条件时, f ( x , y ) 有唯一极小值?李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 30 求函数 第 353 页，共 563 页 f ( x , y , z ) = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 在约束条件 z = x 2 + 2 y 2 和 x + y − z = − 3 下的最大值和最小值.李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 31 求函数 第 354 页，共 563 页 f ( x , y ) = x 2 + 4 y 2 − 2 x 2 y 2 在区域 D =  ( x , y )∣ x 2 + 2 y 2  4 , x  0  上的最大值和最小值.李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 32 设函数 z = z(x, y) 由方程 第 355 页，共 563 页 x 2 + y 2 + z 2 − 4 z = 0 ( z  2 ) 确定,求函数 z = z(x, y) 在条件 x 2 2 + y 2 = 1 下 的最大值和最小值.李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 B 类 一、选择题 1 已知函数 第 356 页，共 563 页 f ( x , y ) = g ( x 2 + y 2 ) 可微,其中 g ( t ) 为可导函数,则 g ( t ) 可能是以下四个函数中的( ) (A)2t . (B)et . (C)cost2 . (D)sint .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 cosxy, xy  0,  2 设函数 f (x, y) = cosy, x = 0,则下列结论中,正确的是( )  cosx, y = 0,  (A)函数 f (x, y) 在点(0,0) 处连续,且 第 357 页，共 563 页   x 2  f y 存在. (B)函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处连续,但   x 2  f y 不存在. (C)函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处不连续,但   x 2  f y 存在. (D)函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 2 f 处不连续,且 不存在. xy李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学  xy2 , (x, y)  (0,0),  3 设函数 f (x, y) =  x2 + y2 则下列命题中,正确的是( )  0, (x, y) = (0,0),  (A) f '' (0,0)和 xy 第 358 页，共 563 页 f '' y x ( 0 , 0 ) 均不存在. (B) f '' x y ( 0 , 0 ) 不存在,但 f '' y x ( 0 , 0 ) 存在. (C) f '' (0,0)存在,但 xy f '' y x ( 0 , 0 ) 不存在. (D) f '' x y ( 0 , 0 ) 和 f '' y x ( 0 , 0 ) 均存在.李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 4 设函数 第 359 页，共 563 页 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处连续,则下列命题中,正确的是 ( ) (A)若极限 l i m x → y → 0 0 ( f x ( + x , y ) y ) 2 存在,则 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微. (B)若极限 l i m x → y → 0 0 f x ( 4 x + , y y ) 4 存在,则 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微. (C)若 f (x, y) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微,则极限 l i m x → y → 0 0 ( f x ( + x , y ) y ) 2 存在. (D)若 f (x, y) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微,则极限 l i m x → y → 0 0 f x ( 4 x + , y y ) 4 存在.李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 5 设函数 第 360 页，共 563 页 g ( x , y ) =  0 1 , , x x y y =  0 0 , . 若函数 F(x, y) = f (x, y)g(x, y)在点(0,0) 处可微,则 f (x, y) 可能为 ( ) (A) y + c o s x y . (B) y + s i n x y . (C) s i n y + x y . (D) x 2 + y 2 .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 ( ) 1 xy + a x +b y arctan , (x, y)  (0,0),  6 设函数 f (x,y) =  x + y2 则下列说法中,错误的是( )  0, (x, y) =(0,0),  (A)函数 第 361 页，共 563 页 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处的连续性与 a , b 的取值无关. (B)函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处的偏导数是否存在与 a , b 的取值无关. (C)函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处的可微性与 a , b 的取值有关. (D)若函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处的偏导数存在,则 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微.李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 7 设函数 第 362 页，共 563 页 f ( x , y ) x y g ( x , y ) ( 0 )   = −  ,其中 g(x, y) 在原点的某邻域内连续,则下列命题中,错误 的是( ) (A) f (x, y) 在原点处连续. (B)若1,则 f 'x ( 0 , 0 ) , f 'y ( 0 , 0 ) 存在. (C)若1,则 f ( x , y ) 在原点处可微. (D)若 g ( 0 , 0 )  0 ,则 f ( x , y ) 在原点处取得极小值.李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 8 设函数 第 363 页，共 563 页 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) f (x,y)− xy 1 处连续且 lim = ,则 (x,y)→(0,0) x2 + y2 2 ( ) (A)点(0,0) 是 f ( x , y ) 的极大值点. (B)点(0,0) 是 f ( x , y ) 的极小值点. (C)点(0,0) 不是 f ( x , y ) 的极值点. (D)根据已知条件无法判断点 ( 0 , 0 ) 是否为 f ( x , y ) 的极值点.李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 f (x,y) 9 设函数 f (x, y) 在点(1,1)处连续,且满足 lim =1,则( ) (x,y)→(1,1) x3 + y3 − 9 ( x2 + y2 ) +6(x + y)−5 2 (A)点(1,1)是 第 364 页，共 563 页 f ( x , y ) 的极大值点. (B)点 ( 1 , 1 ) 是 f ( x , y ) 的极小值点. (C)点(1,1)不是 f ( x , y ) 的极值点. (D)无法确定点 ( 1 , 1 ) 是否为 f ( x , y ) 的极值点.李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 10 设函数 第 365 页，共 563 页 f ( x , y ) 连续, z ( x , y )  = 的全微分为 d z = ( 2 x − y 2 − 2 y ) d x + ( − 2 x y − 2 x + y 3 + 3 y ) d y , 且 ( 0 , 0 ) 0  = .若 ( x , l i) y m ( 0 ,0 ) f ( ( x x , , y y ) ) 1  → = ,则 ( ) (A)点(0,0) 是 f ( x , y ) 的极大值点. (B)点(0,0) 是 f ( x , y ) 的极小值点. (C)点(0,0) 不是 f ( x , y ) 的极值点. (D)不能确定点 ( 0 , 0 ) 是否为 f ( x , y ) 的极值点.李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 11 某敞口长方体型鱼缸的底部由大理石制作,侧面由玻璃制作.已知大理石单位面积的成本为玻璃 单位面积的成本的 6 倍.若长方体的体积为定值 第 366 页，共 563 页 1 m 3 ,则 ( ) (A)当鱼缸的底边长均为 3 1 3 m ,高为 3 2 3 m 时,鱼缸的耗材成本最低. (B)当鱼缸的底边长均为 3 1 6 m ,高为 6 2 3 m 时,鱼缸的耗材成本最低. (C)当鱼缸的底边长均为 3 1 3 m ,高为 3 2 3 m 时,鱼缸的耗材成本最高. (D)当鱼缸的底边长均为 3 1 6 m ,高为 6 2 3 m 时,鱼缸的耗材成本最高.李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 12 已知函数 f (x,y) = x2 +2kxy + y2在点 第 367 页，共 563 页 ( 0 , 0 ) 处取得极值,则参数 k 的取值范围是( ) (A)  − 1 , 1  . (B)  − 1 , 0 )  ( 0 , 1  . (C) ( − 1 , 1 ) . (D) ( − 1 , 0 )  ( 0 , 1 ) .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 13 设函数 第 368 页，共 563 页 u ( x , y ) 在有界闭区域 D 上连续,在 D 2u 2u 的内部具有二阶连续偏导数,且满足 + = 0, x2 y2 则 ( ) 2u (A)若  0,则 x2 u ( x , y ) 的最大值在 D 的内部取得,最小值在 D 的边界上取得. 2u (B)若  0,则 x2 u ( x , y ) 的最小值在 D 的内部取得,最大值在 D 的边界上取得. 2u (C)若  0,则 xy u ( x , y ) 的最大值和最小值都在 D 的边界上取得. 2u (D)若  0,则 xy u ( x , y ) 的最大值和最小值都在 D 的内部取得.李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 二、填空题 14 设函数 第 369 页，共 563 页 f ( x , y ) =  x 0 2 y y e y t d t 2 f ,则 =________ . yx (1,1)李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 15 设函数 第 370 页，共 563 页 f ( x , y ) 可微,满足 f x 2 f y 2 1 , z ( r , )      +     = 为 f ( x , y ) 在极坐标系下的表示,则对单位圆周 上的任一点 ( 1 , ) , z r 2 z 2       +     = ________ .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 16 设可微函数 第 371 页，共 563 页 z = f ( x , y ) z 在极坐标变换下满足 = r,则 r f 'x ( 1 , 0 ) + f 'y ( 0 , 1 ) = ________ .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 17 设函数 第 372 页，共 563 页 z ( x , y ) 满足   x 2  z y = e x + 2 y ,且 z ( x , 0 ) = x , z ( 0 , y ) = 2 y ,则 z ( x , y ) = ________ .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 18 设连续函数 第 373 页，共 563 页 z = f ( x , y ) 满足 ( x , ly i m ) → (1 ,2 ) f ( ( x x , − y 1 ) ) + 2 x + − ( y 2 − y + 2 ) 3 2 = 0 ,则 d z (1 ,2 ) = ________ .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 三、解答题 19 已知函数 第 374 页，共 563 页 f ( u ) 具有二阶导数,且 f  ( 1 ) = 1 ,函数 y = y(x)由方程 l n y − x e y = 1 − c o s x 所确定.设 z = f ( y − a r c t a n e x ) ,求 d d z x x = 0 , d d 2 x z 2 x = 0 .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学  1 20 设 f (u) u  为可微函数,    2 第 375 页，共 563 页 z = x f  y x  z x− y z z + y 满足 + = ,且 x x y x f ( 1 ) = 0 .求 f (u) 的表达式.李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 2u 2u 21 设有二阶连续偏导数的函数u = u(s,t) 满足 = − 以及 s2 t2 第 376 页，共 563 页 u ( x , 2 x ) = x 2 , u '1 ( x , 2 x ) = 4 x .求 u ''1 1 ( x , 2 x ) 和 u ''1 2 ( x , 2 x ) .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 22 求函数 第 377 页，共 563 页 f ( x , y ) =  x + 1 2 y 2   x − 1 3 y 3  的极值.李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 23 已知函数 第 378 页，共 563 页 z = z ( x , y ) 由方程 ( x 2 + y 2 ) z + e z − 1 + 2 ( x + y ) + 1 = 0 确定,求 z = z ( x , y ) 的极值.李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 24 已知函数 第 379 页，共 563 页 f ( x , y ) 满足 f 'x ( x , y ) = 2 x + y + 1 , f 'y ( x , y ) = x + 2 y + 3 , f ( 0 , 0 ) = 1 .求 f ( x , y ) 以及 f ( x , y ) 的极值点,并判定极值点类型.李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 25 已知函数 第 380 页，共 563 页 f ( x , y ) 满足 f '' x y ( x , y ) = 2 x ( 1 − x 2 ) e − x 2 , f 'x ( x , 0 ) = 0 , f ( 0 , y ) = y 2 2 ,求 f (x, y) 的极值.李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 26 设函数 第 381 页，共 563 页 f ( x , y , z ) = 1 3 x 3 + y 2 − 2 l n z ,求该函数在条件 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 3 下的最小值.李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 27 某行星上的磁场强度为 第 382 页，共 563 页 M ( x , y , z ) = 6 x − y 2 + x z + 5 0 ,行星表面的点 ( x , y , z ) 满足方程 x 2 + y 2 + z 2 = 2 0 .科学家欲在该行星表面磁场强度最小处架设一台天文望远镜进行探测,求该望远 镜的选址坐标 ( x 0 , y 0 , z 0 ) .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 28 设函数 第 383 页，共 563 页 z = f ( x , y ) 满足   z x = 2 3 ,   z y = − 2 3 k  1 y 3 ( k  0 ) ,且 f ( 0 , k ) = 3 1 k . (I)求 f (x, y) ; (II)设数列  x n  满足 x n + 1 = f ( x n , x n ) ( n = 0 , 1 , 2 , ) .证明:对任意 x 0  0 ,数列  x n  均收敛,并求 ln i m x n  → .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 第 384 页，共 563 页 C 类 解答题 1 设 f ( x , y ) 为定义在全平面上的正值可微函数,满足 f ( 0 , 0 ) = 1 ,   f y = e y + 1 e − y .若对任意 x ,都有 l it → m 0  f ( f x ( + x , t 0 , 0 ) )  1 t = e x 2 x − − 2 1 x + 4 ,求 f ( x , y ) .李艳芳 900 · 高数 4.多元函数微分学 2 设函数 第 385 页，共 563 页 f ( u , v ) 有一阶连续偏导数, f ( x , 1 − x ) = 1 , f 1 ' ( x , 1 − x ) = x . (I)设 z ( t ) = f ( c o s t , s i n t ) ,计算 z  ( 0 ) ; (II)证明: f ( u , v ) 在单位圆周 u 2 + v 2 = 1 上至少存在两个不同的点满足方程 v   f u = u   f v .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 第五章二重积分 A 类 一、选择题 1 设 第 386 页，共 563 页 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  a 2  , f ( x , y ) =  s 1 i , n ( x x 2 2 + + y y 2 2 ) e x 2 + y 2 , ( ( x x , , y y ) )  = ( ( 0 0 , , 0 0 ) ) , , l i m a → 0 a 1 2  D f ( x , y ) d x d y = ( ) (A)不一定存在. (B)1. (C). (D) 1 . 李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 2 设 第 387 页，共 563 页 D 1 =  ( x , y ) x 2 + y 2  1 , D 2 =  ( x , y ) x 2 + y 2  4  , D 3 = { ( x , y )∣ 4 x 2 + y 2  4  , D 4 =  ( x , y )∣ x 2 + 4 y 2  4  .令 I i = D  i  1 − x 2 − y 4 2  d x d y ,则 i m 1 a ,2 x,3 ,4  I i = ( ) (A) I 1 . (B) I 2 . (C) I 3 . (D) I 4 .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 3 设平面区域 第 388 页，共 563 页 D ( x , y ) x y 4  =  + ∣   .记  D ( x 2 + y 2 − s i n x 2 + y 2 ) d x d y , I 3 =  D ( t a n I 1 x = 2  D + y 2 x 2 − + y x 2 2 d + x d y y 2 , ) I d 2 x = d y ,则( ) (A) I  I  I . (B) 3 2 1 I 2  I 1  I 3 . (C) I  I  I . (D) 1 3 2 I 2  I 3  I 1 .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 4 设 第 389 页，共 563 页 D 是 xOy 平面上以 ( 1 , 1 ) , ( − 1 , 1 ) 和 ( − 1 , − 1 ) 为顶点的三角形区域, D 1 是 D 在第一象限的部分,则  D ( x y + x a r c t a n y ) d x d y = ( ) (A) 2 D  1 x a r c t a n y d x d y . (B) 2 D  1 x y d x d y . (C)4(xy + xarctany)dxdy . (D)0. D 1李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 5 设区域 第 390 页，共 563 页 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  4 , x  0 , y  0  , f ( x ) 为 D 上的正值连续函数,则  D f f ( x ( x ) ) + + 2 f f ( ( y y ) ) d x d y = ( )  (A) . (B). (C) 2 3 2  . (D) 2 .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 6 设区域 第 391 页，共 563 页 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  1  ,函数 f ( x , y ) 在 D 上连续, D 1 是 D 在第一象限的部分,则下列说法 中,错误的是( ) (A)若 f (−x,−y) = − f (x,y) ,则  D f ( x , y ) d x d y = 0 . (B)若 f ( − x , y ) = f ( x , − y ) = − f ( x , y ) ,则  D f ( x , y ) d x d y = 0 . (C)若 f (−x,−y) = f (x,y),则  D f ( x , y ) d x d y = 4 D  1 f ( x , y ) d x d y . (D)若 f (−x, y) = f (x,−y) = f (x, y),则  D f ( x , y ) d x d y = 4 D  1 f ( x , y ) d x d y .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 7 设函数 第 392 页，共 563 页 f ( x , y ) 连续,则  3 1 d y  3 7 2 f ( x , y ) d x +  5 3 d x  6 1 − x f ( x , y ) d y = ( ) (A)  3 1 d y  5 y 2 f ( x , y ) d x . ( B )  3 1 d y  6 y 2 − y f ( x , y ) d x . 5 6−x (C) dx f (x,y)dy . (D) 1 1 2  5 1 2 d x  2 1 x f ( x , y ) d y .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 8 设函数 f (x, y) 连续,则二次积分 第 393 页，共 563 页 3 2 d x c 0 o s x f ( x , y ) d y ( )     = 0 2−arccosy (A) dy f (x,y)dx. (B) −1  0 1 d y 2 a rc c o s y f ( x , y ) d x   −  −  − . 0 2+arccosy (C) dy f (x,y)dx. (D) −1  0 1 d y 2 a rc c o s y f ( x , y ) d x   −  −  + .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 9 设函数 第 394 页，共 563 页 f ( t )  连续,则二次积分 2 d 4sin f ( r2 ) dr = ( )  2sin 4 (A)  1 0 d x  2 2 + 4 − x 2 f ( x 2 + y 2 ) d y +  2 1 d x  2 x + 4 − x 2 f ( x 2 + y 2 ) d y . (B)  2 1 d y  y 2 y − y 2 f ( x 2 + y 2 ) d x +  4 2 d y  0 4 y − y 2 f ( x 2 + y 2 ) d x . ( ) ( ) f x2 + y2 f x2 + y2 1 2+ 4−x2 2 2+ 4−x2 (C) dx dy +  dx dy . 0 2 x2 + y2 1 x x2 + y2 ( ) ( ) f x2 + y2 f x2 + y2 2 y 4 4y−y2 (D) dy dx +  dy dx . 1 2y−y2 x2 + y2 2 0 x2 + y2李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 10 设函数 第 395 页，共 563 页 f ( x , y ) 连续,曲线C : y2 = x 在点(1,1)处的切线为 l 1 ,在点(1,−1) 处的切线为 l 2 .记曲线 C 与 l 1 , l 2 所围成的平面区域为 D,则 ∬ D f ( x , y ) d x d y = ( ) (A)  1 − 1 d x  1 2 − ( 1 2 x ( + x 1 + ) 1 ) f ( x , y ) d y . 1 y2 (B) dy f (x, y)dx. −1 2y−1 1 1 0 (x+1) 1 (x+1) (C) dx2 f (x, y)dy + 2 dx2 f (x, y)dy . 1 −1 − (x+1) 0 x 2 (D)  1 0 d y  y 2 2 y − 1 f ( x , y ) d x +  0 − 1 d y  y − 2 2 y − 1 f ( x , y ) d x .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 11 设函数 第 396 页，共 563 页 f ( x ) 连续, F ( t ) =  t 1 d y  t y f ( x ) d x ,则 F  ( a ) = ( ) (A) a f ( a ) . (B) ( a − 1 ) f ( a ) . (C) − f ( a ) . (D)0.李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 二、填空题 12 设 第 397 页，共 563 页 a  0 , f ( x ) = g ( x ) =  1 a 0 , , 0 其  他 x ,  a , 而 D 表示全平面,则 I =  D f ( x ) g ( y − x ) d x d y = ________ .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 13 已知函数 第 398 页，共 563 页 f ( x ) s 0 i n , x , 0 x , ,  =  其  他  则 d x f ( x ) f ( 2 y x ) d y      + −  + − − = ________ .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分  x 14 2 dx sinxcosx 1−sin2x +sin2y dy =________ .   − − 2 2 第 399 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 15 第 400 页，共 563 页  1 0 d x  xs 0 i n ( 1 − y ) s i n ( x − y ) d y = ________ .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 16 第 401 页，共 563 页  1 0 d y  a − rc c o s y a rc c o s y ( 2 s i n 2 x + c o s 2 x ) d x = ________ .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 17 第 402 页，共 563 页  0 − 1 d y  1 1 − 2 y e ( 2 x − 1 2) d x = ________ .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 18 设函数 第 403 页，共 563 页 f ( u )  ( x2 + y2 ) f ( x2 + y2 ) dxdy, t 0,  连续, f (0) =1,D = (x,y∣) x2 + y2 t  , F(t) =  则 D 0, t  0,  F '' + ( 0 ) = ________ .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 三、解答题 19 求极限 第 404 页，共 563 页 lx i→ m 0 +  0 x   u 0 s 2 l i n n ( x 1 ( + e c x o − s t 1 ) ) d t  d u .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 20 设区域 第 405 页，共 563 页 D 如图所示,其边界分别为 x = − 1 , y = 1 , y = − 1 + 1− x2 在第三象限的部分以及 y = 1 − 1 − x 2 在第一象限的部分. f ( x ) 是定义在  − a , a  ( a  1 ) 上的连续函数,求  D y  ( x + 1 ) f ( x ) + ( x − 1 ) f ( − x )  d x d y .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 21 设区域 第 406 页，共 563 页 D 由曲线 y = 2 1 − x 2 与直线 y = 2x及 y 轴围成.计算二重积分x 1− x2dxdy . D李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 22 计算二重积分 第 407 页，共 563 页  D ( x 2 + 2 x y + 3 y ) d x d y   ,其中D = (x, y∣) x2 + y2  4,y  3x2 .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 23 设平面区域 第 408 页，共 563 页 D 由直线 y = x , y = − x , y = 1 与 y = 2 围成.计算二重积分 I =  D 1 x 2 + + x y y 2 d x d y .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 24 设 第 409 页，共 563 页 D 是由直线 y = 1 ,曲线 y = 1 2 x 以及圆周 x 2 + y 2 = 1 4 围成的上半平面中的有界区域,计算二重 积分  D x y 2 2 + − 4 x y y 2 d x d y .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 25 设平面区域 第 410 页，共 563 页 D =  ( x , y )∣ 1  x 2 + y 2  4 , x  0 , y  0  .计算  D x l n ( x x 2 + + y y 2 ) d x d y .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 26 设区域 第 411 页，共 563 页 D 由曲线 ( x 2 + y 2 ) 3 2 = x 2 − y 2 ( 0  y  x ) ,直线 y = x 及 x = 1 所围成,计算二重积分 I =  D ( x 4 − y 4 ) d x d y .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 27 计算二重积分 第 412 页，共 563 页  D m i n  x 2 y , 1  d x d y ,其中 D =  ( x , y )∣ 0  x  4 , 0  y  4  .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 28 设区域 第 413 页，共 563 页 D 为由圆 x 2 + y 2 = 1 , x 2 + y 2 = 9 3 以及直线 y = x,y = 3x 围成的区域在第一象限的部分, 3  x 2 + y 2  表示不超过 x 2 + y 2 的最大整数,计算二重积分  D y x  x 2 + y 2  d x d y .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 29 设区域 第 414 页，共 563 页 D  ( x , y ) 0 x , 0 y    = ∣     ,计算二重积分 I =  D c o s ( x − y ) d x d y .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 30 设区域 第 415 页，共 563 页 D 是由曲线 y = 1 x , y = 3 1 x 以及直线 y = 3 所围成的第一象限内的无界区域,计算二重积 分 I =  D 1 + 1 x 2 y 4 d x d y .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 31 设区域 第 416 页，共 563 页 D 是第一象限中以 y 轴,直线 y = x 与 x = 1 为边界的无界区域,计算二重积分  D ( 1 x + e x y ) 3 d x d y .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 32 设函数 f (x) 在区间0,1上连续,且 1 f (x)dx = 1 , 1 xf (x)dx = 1 .求 1 dx 1  f (x)+1 f (y)dy.   0 2 0 3 0 x 第 417 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 B 类 一、选择题 1 设 第 418 页，共 563 页 D 1 ( x , y ) 0 y x 2 , D 2 ( x , y ) 0 x y 2 , D 3 { ( x , y ) 2    =      =      = x y      .记 I 1 = D  1 e x 2 c o s y d x d y , I 2 = D  2 e x 2 c o s y d x d y , I 3 = − D  3 e x 2 c o s y d x d y ,则( ) (A) I 3  I 1  I 2 . (B) I 3  I 2  I 1 . (C) I 1  I 3  I 2 . (D) I 2  I 1  I 3 .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 2 设函数 f (x, y) 连续,a  0,则 第 419 页，共 563 页  − a 2a 2 d x  x a 2 − x 2 f ( x , y ) d y = ( ) (A) 2  0 a 2 d x  x a 2 − x 2 f ( x , y ) d y . (B)  − 0 a 2 d x  − a x 2 − x 2 f ( x , y ) d y +  0 a 2 d x  x a 2 − x 2 f ( x , y ) d y . (C) 2  0 a 2 d y  y 0 f ( x , y ) d x + 2  a a 2 d y  0 a 2 − y 2 f ( x , y ) d x . (D)  0 a 2 d y  y − y f ( x , y ) d x +  a a 2 d y  − a 2 a − 2 y − 2 y 2 f ( x , y ) d x .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 3 设 第 420 页，共 563 页 D 是由曲 x 2 + y 2 = 1 ( y  0 ) , x 2 + y 2 = 4 ( x  0 , y  0 ) , y = 0 ( 1  x  2 ) , x 2 + ( y − 1 ) 2 = 1(x  0)所围成 的平面区域,函数 f ( x , y ) 在区域 D 上连续,则  D f ( x , y ) d x d y = ( ) (A) 5 0 6 d 2 1 f ( r c o s , r s i n ) r d r       . (B) 5 0 6 d 2 1 s in f ( r c o s , r s i n ) r d r        . r 2 arcsin (C) r dr 2f (rcos,rsin)d. 1 0 (D) 2 1 r d r 0 a rc s in r 2 f ( r c o s , r s i n ) d       − .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 4 设函数 f (t) 在 第 421 页，共 563 页 ( , )   − + 上二阶可导,且满足 f (0) = 0, f (t)  0.记 D 为单位圆盘 x2 + y2 1,则 I =  D f ( x + y ) d x d y 不可能等于( ) (A)-1. (B)0. (C)1. (D)2.李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 5 设一元函数 第 422 页，共 563 页 f 连续.若 F ( u , v ) = D  u v f ( x 2 x 2 + + y y 2 2 ) d x d y ,其中区域 D u v 为图中阴影部分,则   F u = ( ) (A) v u f ( u ) . (B) u v 2 f ( u ) . (C) v u f ( u ) . (D) u v 2 f ( u ) .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 二、填空题 n n 1 6lim =________. n→ 2n2 + ni + nj i=1 j=1 第 423 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 1 n 2n max   2i , j  7lim e n n =________. n→n2 i=1 j=1 第 424 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 8 设函数 f (x, y) 连续,区域 第 425 页，共 563 页 D 是由曲线 ( x 2 + y 2 ) 2 = 2 x y 在第一象限所围成的部分,则  D f ( x , y ) d x d y 在极坐标系下先,后 r 的二次积分为________.李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 9 设区域 第 426 页，共 563 页 D  ( x , y ) 0 x , 0 y    = ∣     (  ) ,则sin max x2,y2 dxdy =______ . D李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 10 设函数 第 427 页，共 563 页 f ( x , y ) = e x + y ,点(a,b)为圆周 x 2 + y 2 = 1 上的动点, D 为中心在原点的正方形.若要使积分 I ( a , b ) =  D f ( a + x , b + y ) d x d y 最大,则 ( a , b ) 应取______ .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 三、解答题 11 已知平面区域 第 428 页，共 563 页 D 位于右半平面,由曲线 ( x 2 + y 2 ) 3 = x 4 以及 x 2 + y 2 = 1 1 6 围成,并且完全位于直线 x = 1 8 右侧,计算二重积分 I =  D x x 2 + + y y 2 d x d y .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 12 设平面有界区域 第 429 页，共 563 页 D 位于第四象限,由曲线 4 x 2 + y 2 + 2 x y = 1 , 4 x 2 + y 2 + 2 x y = 4 与直线 y = − x , y = 0 围成,计算  D 4 x 2 + 1 y 2 + 2 x y d x d y .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 13 设曲线 第 430 页，共 563 页 y = 2 x − x 2 与坐标轴围成的区域为 D 1 , x = 2 y − y 2 与坐标轴围成的区域为 D 2 , D = D 1  D 2 ,记函数 s g n ( x ) =  1 0 − , , 1 , x x x  =  0 0 0 , , . 计算 I =  D  ( x 2 − y 2 ) s g n ( y − x ) + ( x 2 + y 2 )  ( s e c 2 x − t a n 2 y ) d x d y .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 14 计算二重积分 第 431 页，共 563 页 I D 1 r 2 c r o 3 s s 2 i n 2 4 r 2 s i n 2 d r d     =   + − ,其中 D ( r , ) s e c r 2 s e c , 0 a r c t a n 1 2 .     =  ∣     李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 15 设区域 第 432 页，共 563 页 D ( r , ) 0 r s e c , 0 4      =          ,计算二重积分 I = r2coscos 2rsin + drd.      4  D李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 16 计算二重积分 第 433 页，共 563 页 ∬ D ( x − y ) a r c t a n y x d x d y ,其中 D 是由圆周 x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 1 ,直线 y = x以及 x 轴所围成的在第一象限内的闭区域.李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 3xy, x + y 1,  17 设二元函数 f (x, y) = 2 x2 + y2 计算二重积分 f (x, y)dxdy ,其中 , 1 x + y  2,  D x + y  第 434 页，共 563 页 D 是由直线 x + y = 2 以及坐标轴围成的平面区域.李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 18 设区域 D = (x, y∣) −1 x 1,0 y 1  ,x2 − y表示不超过   第 435 页，共 563 页 x 2 − y 的最大整数,计算 I =  D ( 1 −  x 2 − y  ) x 2 − y d x d y .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 19 设区域 第 436 页，共 563 页 D 为由直线 x + y 2 = 1 , x 2 + y = 1 与坐标轴围成的第一象限内的无界区域,计算 I =  D e −  3 ( x + y ) − x − y  2 ( s i n 2 x + c o s 2 y ) d x d y .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 20 设函数 第 437 页，共 563 页 f ( x ) 连续,平面区域 D =  ( x , y ) x + ∣y  a  ( a  0 ) . (I)证明:  D f ( x + y ) d x d y = a  a − a f ( t ) d t . (II)若 a  = ,计算 I =  D c o s 2 A ( x + y ) d x d y ,其中 A 2 x 2 y  =  +  表示不超过 2 x 2 y  + 的最大整数.李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 21 设区域 第 438 页，共 563 页 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  2 y , y  1  .连续函数 f (x, y) 满足 f ( x , y ) = x x 2 + + y y 2 + x  D f ( x , y ) d x d y . 求函数 f ( x , y ) 的表达式.李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 22 设平面区域 D = (x, y∣) 3 x2 + y2 8  . (I)计算 第 439 页，共 563 页 I =  D 1 + x x 2 2 + y 2 d x d y ; (II)证明:存在 ( , ) D   ,使得 2 1 1 6 5 2 2 1    = + + .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 C 类 一、选择题 1 记 第 440 页，共 563 页 I 1 ln i m n 1 2 i n 1 n j i 1 s i n i n s i n j n , I 2 ln i m n 1 2 i 1 n n j i 1 s i n i n s i n j n ,   = →  =  − =  −  = − → − = −  + =  +  1 −1 −1  i j  1 n −1  i j  I = lim   sin +sin , I = lim   sin −sin , 则 I ,I ,I ,I 中,( )     3 n→n2  n n 4 n→n2  n n 1 2 3 4 i=−nj=−n−i i=1 j=i−n (A) I 1 最小, I 2 最大. (B) I 1 最小, I 4 最大. (C) I 3 最小, I 2 最大. (D) I 3 最小, I 4 最大.李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 二、解答题 2 设函数 第 441 页，共 563 页 f ( x ) 二阶可导,且 f ( 0 ) = f  ( 0 ) = 0 , f  ( 0 ) = 2 .对每个正数 r ,令平面区域D = r  ( x , y )∣ x 2 + y 2  r 2  ,并选取一点 ( , ) D   ,使得 D r f ( x 2 y 2 ) d x d y r 2 f ( 2 2 )    ∬ + = + .求 2 +2 lim r→0+ r2李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 3 设平面区域D = (x,y∣) 0 x  2,0 y 2 . (I)求二重积分 第 442 页，共 563 页  D x 2 + y 2 − 1 d x d y ; (II)设 f ( x , y ) 在区域 D 上连续,且 D f ( x , y ) d x d y 4 ,    = −  D f ( x , y ) ( x 2 + y 2 ) d x d y = 2 3 0 .证明:存在点 ( , ) D   ,使得 f ( , ) 1   .李艳芳 900 · 高数 5.二重积分 4 设二元函数 第 443 页，共 563 页 f ( x , y ) 具有一阶连续偏导数,且满足 f ( 0 , 0 ) = 0 , f 1 ' ( 0 , 0 ) = k  0 以及对于任意 x,都有 f 2 ' ( x , y )  0 . (I)设n 1,证明:当 x  0 时,对所有的 0 x n    ,都有 lx i m 0 f ( x x , )  → + 存在,并计算该极限. (II)若当 x → 0 + 时,  x 0 n d u  1 n x f ( t , u ) d t 与 1 + c o s x 2 是等价无穷小,求n,k .李艳芳 900 · 高数 6.微积分在经济学中的应用 第六章微积分在经济学中的应用 A 类 一、选择题 1 设某商品的需求函数为 第 444 页，共 563 页 Q = 6 0 0 − 1 5 p − p 2 ,其中 p 为商品的价格, R 为收益,收益弹性  0,则下列 说法中,正确的是( ) (A)当价格为 5 元/件时,价格增加 0.1 元会使 d R = − 3 7 . 5 . (B)当价格为 15 元/件时,价格增加 0.1 元会使 d R = 5 2 . 5 . (C)当价格为 5 元/件时,价格上涨 1 % dR ,则收益的相对变化幅度 也为 R 1 % . dR (D)当价格为 15 元/件时,价格上涨1% ,则收益的相对变化幅度 为 R 3 . 5 % .李艳芳 900 · 高数 6.微积分在经济学中的应用 2 已知某商品的固定成本为 第 445 页，共 563 页 C 0 ( C 0  0 ) ,边际成本为 M C ( Q ) ,其中Q为产量.若产量为 Q 0 时平均成本 最小,记 M C ( Q ) 在  0 , Q 0  上的平均值在 Q  = 时取得,则( ) (A)MC(Q )  MC() . (B) 0 M C ( Q 0 ) M C ( )  = . (C)MC(Q )  MC(). (D)MC(Q ) 与MC() 的大小关系不能确定. 0 0李艳芳 900 · 高数 6.微积分在经济学中的应用 二、填空题 3 设某商品的需求函数为 第 446 页，共 563 页 q = 2 0 0 p 0 2 0 , p 为单价(单位:元),成本函数为 C ( Q ) = 3 Q + 1 0 0 , Q 为产量.假 设产销平衡,则当产量 Q = 5 0 件时,该商品的边际利润为______元.李艳芳 900 · 高数 6.微积分在经济学中的应用 4 设某商品的价格为 第 447 页，共 563 页 p ,需求量为 Q ,需求函数为 Q ( p ) = 1 0 0 − 2 p ,总成本函数为 C ( Q ) = 100+5Q.假 设产销平衡,要使该商品实现利润最大,则该商品的定价应该为_____元.(需求 Q 的单位为件,单价 p 的单位为元,成本 C 的单位为元.)李艳芳 900 · 高数 6.微积分在经济学中的应用 5 设某商品的需求函数为 第 448 页，共 563 页 Q ( p ) = 1 6 p − 2 ,总成本函数为 C ( Q ) = 2 + Q ,假设产销平衡,则该商品能取得 的最大利润为____万元.(需求 Q 的单位为万件,单价 p 的单位为元,成本C 的单位为万元.)李艳芳 900 · 高数 6.微积分在经济学中的应用 6 已知某商品的平均成本为 第 449 页，共 563 页 A C ( Q ) = 1 0 Q 0 + Q ,边际收益为 M R ( Q ) = 2 0 0 − 6 Q ,假设产销平衡,则该商 品能取得的最大利润为_____元.(需求 Q 的单位为件,成本 C 的单位为元.)李艳芳 900 · 高数 6.微积分在经济学中的应用 7 设某商品的需求函数为 第 450 页，共 563 页 Q ( p ) = 6 0 − p 2 ,则价格 p = 4 时的需求弹性 ( 0 )   = _____.李艳芳 900 · 高数 6.微积分在经济学中的应用  5 −1 8 设某商品的需求函数为Q( p) =1− p − p2 0  p  ,其中   2   第 451 页，共 563 页 Q , p 分别表示需求量和价格,则当 收益最大时,需求弹性 ( 0 )   为______.李艳芳 900 · 高数 6.微积分在经济学中的应用 9 设商品 第 452 页，共 563 页 A 和商品 B 的需求函数分别为 Q A ( p ) = a − b p bp − 和Q ( p) = e a ,其中a,b均为正参数.若商品 B A 的需求弹性 A  满足0 1,则商品 A B 的需求弹性 B ( B 0 )    的取值范围是_____.李艳芳 900 · 高数 6.微积分在经济学中的应用 10 某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为 第 453 页，共 563 页 C 0 万元.设该企业生产甲、乙两种产品 的产量分别为 x 件和 y 件,且这两种产品的边际成本分别为 3 0 + x (万元/件)与 1 5 + 2 y (万元/件).已 知当总产量为 60 件时,最小总成本为 5000 万元,则 C 0 = _____万元.李艳芳 900 · 高数 6.微积分在经济学中的应用 11 某蛋糕店出售两种口味的手工蛋糕,其中香草口味的手工蛋糕的成本价为 10 元/盒,巧克力口味 的手工蛋糕的成本价为 15 元/盒.若香草口味和巧克力口味的手工蛋糕的单价分别为 第 454 页，共 563 页 x 元和 y 元,则 每日可售出香草口味的手工蛋糕 7 0 − 5 x + 4 y 盒,巧克力口味的手工蛋糕 6 5 + 6 x − 7 y 盒.若要获得最 大利润,则 x + y = ______.李艳芳 900 · 高数 6.微积分在经济学中的应用 12 设商品 第 455 页，共 563 页 A 和商品 B 的需求函数分别为 Q A ( p ) = 1 0 0 − p A − 2 p B 和Q ( p) =150− p − p ,当 B A B p A = 2 0 , p B = 3 0 时, Q A 对 p B 的弹性 A B ( A B 0 )    与 Q B 对 p A 的弹性 B A ( B A 0 )    之和为______.李艳芳 900 · 高数 6.微积分在经济学中的应用 三、解答题 13 设某商品价格为 第 456 页，共 563 页 p (单位:元),产量为 Q (单位:件),固定成本为 C 0 (单位:元),边际成本为 M C ( Q ) = 2 a Q ,需求关于价格的弹性为 1 0 0 p p ( 0 )   = −  .已知产销平衡.根据对市场的观察,该商 品的最大需求量为 200 件.若每销售一件商品需要纳税 10 元,则如何定价,可使得利润最大化,并求 最大利润以及利润最大时的边际收益.李艳芳 900 · 高数 6.微积分在经济学中的应用 14 设某工厂生产某种产品,固定成本为 100000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元.已知该产品 的需求函数为 第 457 页，共 563 页 Q = 5 1 0 0 − 3 p ,其中 Q 为需求量, p 为价格(单位:元), p  ( 0 , 1 7 0 0 ) .假设产销平衡. (I)当产量为多少时,利润最大?此时,利润为多少? (II)计算需求弹性 ( 0 )   ,并用弹性说明价格在何范围内变化时,降低价格反而使收益增加.李艳芳 900 · 高数 6.微积分在经济学中的应用 15 设 第 458 页，共 563 页 C 为某产品的成本, Q 为产量, p 为单价.已知产销平衡,该产品的成本函数为 Q 2 + 1 0 Q + 5 C ( Q ) = (单位:元),需求函数为 Q ( p ) = 5 0 − p 2 (单位:件). (I)求需求对价格的弹性 ( 0 )   以及收益最大时的需求弹性; (II)求收益最大时的产量及最大收益; (III)求利润最大时的产量及最大利润.李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 第七章常微分方程与差分方程 A 类 一、选择题 1 设 第 459 页，共 563 页 y = e 2 x + ( x + 1 ) e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程 y  + a y  + b y = c e x 的一个特解,则( ) (A) a = 3 , b = 2 , c = 1 . (B) a = 3 , b = − 2 , c = 1 . (C)a = −3,b = 2,c = −1. (D) a = − 3 , b = 2 , c = 1 .李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 2 设 第 460 页，共 563 页 y 1 , y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y  + p ( x ) y = q ( x ) 的两个特解,若常数,使3y +y 是该 1 2 方程的解, y 1 2 y 2   − 是该方程对应的齐次方程的解,则( ) (A) 1 5 , 2 5   = = . (B) 2 5 , 1 5   = − = . 1 2 (C)= ,= . (D) 7 7 2 7 , 1 7   = = .李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 3 设 第 461 页，共 563 页 C 为任意常数,则以 x = y2( C −2ln y ) 为通解的一阶微分方程为( ) y (A) y = . (B) x − y2 y  = 2 x y − y 2 . (C) y  = x − y 2 y 2 . (D) y  = 2 ( x y − y 2 ) .李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 4 设 第 462 页，共 563 页 y 1 ( x ) 和 y 2 ( x ) 是微分方程 y  − y  + y = 0 的两个特解,则该方程的通解能表示成 C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) ( C 1 , C 2 是任意常数 ) 的充分条件为 ( ) (A) y 1 ( x ) y '2 ( x ) − y '1 ( x ) y 2 ( x )  0 . (B) y 1 ( x ) y '2 ( x ) − y '1 ( x ) y 2 ( x ) = 0 . (C) y 1 ( x ) y '2 ( x ) + y '1 ( x ) y 2 ( x )  0 . (D) y 1 ( x ) y '2 ( x ) + y '1 ( x ) y 2 ( x ) = 0 .李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 5 设三个不同函数 第 463 页，共 563 页 y 1 , y 2 , y 3 均为非齐次线性微分方程 y  + p 1 ( x ) y  + p 2 ( x ) y = q ( x ) 的特解,其中 p 1 ( x ) , p 2 ( x ) , q ( x ) 均为已知函数且 y y 1 1 − − y y 2 3 不为常数, C 1 , C 2 为任意常数,则下列函数中,可作为该非 齐次方程的通解的个数为( ) ① ( C 1 + C 2 ) y 1 − C 1 y 2 − C 2 y 3 . ② ( 1 + C 1 + C 2 ) y 1 − C 1 y 2 − C 2 y 3 . ③ ( C 1 + C 2 ) y 1 − ( C 1 − 1 ) y 2 − C 2 y 3 . ④ C 1 y 1 + C 2 y 2 + ( 1 − C 1 − C 2 ) y 3 . (A)1. (B)2. (C)3. (D)4.李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 6 微分方程 第 464 页，共 563 页 y 2 y x e x ( 0 )     − = +  的特解形式为 ( ) (A) A e x B x  + . (B) A x 2 e x B x  + . (C) A e x B x C  + + . (D) A x e x B x C  + + .李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 7 已知 第 465 页，共 563 页 y = C 2 x − 3 x 为某差分方程的通解,则该方程为( ) (A) y + 2y = 3x . (B) x+1 x y x + 1 − 2 y x = 3 x . (C)2y − y = −3x+1. (D) x x  2 y x − y x = − 3 x .李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 二、填空题 8 微分方程 第 466 页，共 563 页 y  = ( 1 − 1 x ) s i n y 的通解为________.李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 9 微分方程 第 467 页，共 563 页 y d x + ( 1 6 − x 2 ) d y = 0 满足条件 y ( 0 ) = 1 的特解为 y = ________.李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 10 微分方程 第 468 页，共 563 页 ( x 2 + y 2 − y ) d x + x d y = 0 ( x  0 ) 满足条件 y(1) = 0的特解为 y = ________.李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 11 设 y = y(x)为微分方程 第 469 页，共 563 页 y  + y = 0 的解,当 x → 0 时, y ( x )  x ,则 y(x) = ________.李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 12 若微分方程 y+ p(x) y+ q(x) y = f (x) 有三个解 y = x, y = ex, y = e−x ,则该方程满足 1 2 3 第 470 页，共 563 页 y ( 0 ) = y  ( 0 ) = 3 的特解为 y = _______ .李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 13 已知二阶线性微分方程 第 471 页，共 563 页 y  + p ( x ) y  + q ( x ) y = 0 的通解为 y = C x +C ex ,则该微分方程为 1 2 _______ .李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 14 已知 第 472 页，共 563 页 s i n x , x e x 是某四阶常系数齐次线性微分方程的两个解,则该方程的通解为 y =_______ .李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 15 设 第 473 页，共 563 页 ( 0 , )  + 上的连续函数 f (x) 满足 x f ( x ) = 1 +  xt 0 3 f ( t ) d t ,则 f ( x ) = _______ .李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 16 设曲线 第 474 页，共 563 页 y = f ( x ) 过点  1 , 1 5 e 2  ,且在点 ( x , y ) 处的切线在 y 轴上的截距为 y +3xy − xe2x,则 f ( x ) = _______ .李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 17 若函数 第 475 页，共 563 页 f ( x ) 满足方程 f  ( x ) − f  ( x ) − 2 f ( x ) = 0 及 f (x)−2f (x) = 2e2x,则 f (x) = _______ .李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 18 设 第 476 页，共 563 页 y = y ( x ) 满足 y+3y+ 2y = 0,且 y(0) =1, y(0) =1,则 0 y ( x ) d x   + = _______ .李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 19 差分方程 y −2y =(x+3)2x 的满足 x+1 x 第 477 页，共 563 页 y 0 = 0 的解为 y x = _______ .李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 20 已知 第 478 页，共 563 页 y t = t 2 是差分方程 y t + 1 + a y t = b t + c 的解,其中a,b,c 均为常数,则该方程的通解为 y = t _______ .李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 21 差分方程 第 479 页，共 563 页 y t + 1 − 5 y t = 5 和 y t + 1 − y t = 5 t 的公共解为 y t = _______ .李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 22 差分方程2y − y = 2x+1的通解为 y =_______ . x x x 第 480 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 三、解答题 23 求微分方程 第 481 页，共 563 页 y  + 2 y  + y = e a x 的通解,其中 a 为实数.李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 24 设函数 f (x) 连续,且满足 x2 f ( x2 −t ) dt =  x2 ( x2 −t ) f (t)dt + x4 ,求 f (x) . 0 0 第 482 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 25 设函数F(x) = f (x)g(x),其中 第 483 页，共 563 页 f ( x ) , g ( x ) 在(−,+) 内满足以下条件: f  ( x ) = 4 g ( x ) , g  ( x ) = f ( x ) 且 f ( 0 ) = 0 , f ( x ) + 2 g ( x ) = e 2 x . (I)求F(x)所满足的一阶微分方程; (II)求 F ( x ) 的表达式.李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 26 设非负函数 第 484 页，共 563 页 y ( x ) 在(0,+) 内可导且单调减少.记曲线 y = y(x)上任意一点 P 处的切线与 x轴, y 轴的交点分别为 P x , P y .若 P P x = 2 P P y ,且曲线上横坐标为 1 的点处的切线斜率为-1,求曲线 y = y ( x ) 的方程.李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 27 设点 P(x, y)为连接点O(0,0)和点 第 485 页，共 563 页 ( 1 , 2 ) 的光滑凸曲线段 y = y(x)上任意一点,该曲线段与线段 O P 所围成区域的面积为 x 3 ,求该曲线方程.李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 28 设曲线 第 486 页，共 563 页 y = f ( x ) ,其中 f ( x ) 是可导函数,且 f (x)  0.记曲线 y = f ( x ) 与直线 y = 0 , x = 1 及 x = t ( t  1 ) 所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周所得的立体体积为 V 1 ,绕 y 轴旋转一周所得的立体体 积为 V 2 .已知是 V 1 + V 2 是该曲边梯形面积值 S 的 3 t  倍,求该曲线的方程.李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 B 类 一、选择题 1 设函数 第 487 页，共 563 页 f ( x ) 为 y  + y = q ( x ) 在 ( , )   − + 上的解,其中 q ( x ) =  0 x , , x x   0 0 , . 又 lx i→ m 0 − f ( x ) = 0 ,则 ( ) (A) f (x) 不唯一. (B)当 x →0+ 时, f (x) 与 x2 为同阶无穷小量. (C) f (x) 不存在. (D)当 x  0 时, f ( x ) 不一定是 0.李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 2 设 A,B,C 为常数,则微分方程 第 488 页，共 563 页 y  + 2 y  + 5 y = e − x c o s 2 x 有特解形如( ) (A) e − x ( A c o s x + B s i n x ) . (B) e − x ( A x c o s x + B x s i n x ) . (C)e−x (A+ Bxcos2x+Cxsin2x) . (D) e − x ( A x + B c o s 2 x + C s i n 2 x ) .李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 3 设可导函数 第 489 页，共 563 页 f ( x ) 在  0 , 1  上是方程 y  − y  = 0 的解,并且在(−,0上满足 f (x) = g(x).若 f ( 1 )  1 , 则 g ( x ) 可能为 ( ) (A) x. (B) x 2 . (C) x 3 . (D) x 4 .李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 4 下列四种情形中,可使得微分方程 第 490 页，共 563 页 y  + a y  + b y = 0 的所有解在(−,+) 上都有界的个数为( ) ① a = 0 , b  0 . ② a = 0 , b  0 . ③ a  0 , b = 0 . ④ a  0 , b = 0 . (A)1. (B)2. (C)3. (D)4.李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 5 设定义在 第 491 页，共 563 页  0 , )  + 上的二阶可导函数 f ( x ) 满足 f  ( x ) + f  ( x ) = e − x s i n 3 x ,则下列结论中,错误的是 ( ) (A) f (x) 有界. (B) lx i m f ( x )  → + 存在. (C)若 f (0) = 0 ,则 f (x) 是单调函数. (D) f ( x ) 是周期函数.李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 二、填空题 6 已知二阶常系数齐次线性微分方程 第 492 页，共 563 页 y  − 3 y  + 2 y = 0 的解都是三阶常系数齐次线性微分方程 ( ) y−2ay+ a2 + 2 y−2ay = 0 的解,则 a = ______.李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 7 设函数 第 493 页，共 563 页 f ( x ) , f  ( x ) 和 x e x 都是某二阶常系数线性微分方程的特解,若此方程对应的齐次方程的特 征方程有二重根,则此方程为______.(请写成 y  的系数为 1 的形式.)李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 8 若 xsinx,e2x均为某常系数齐次线性微分方程的解,则满足该要求的最低阶微分方程为______. 第 494 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 9 已知函数 第 495 页，共 563 页 f ( x ) 为三次多项式,且 f (x) = 0与 y−(k + 2) y+(2k +1) y−ky = 0(k 1) 的特征方程同 根,且根的重数相同.若 l i m x → k f x ( − x k ) = 1 ,且 f ( 2 ) = − 1 4 ,则 k = ______.李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 10 若函数 f (x) 满足 第 496 页，共 563 页 f  ( x ) + a f  ( x ) + b f ( x ) = 0 ( a , b  0 ) , f ( 1 ) = 1 , f  ( 1 ) = − 1 ,则 0 f ( 1 2 x ) d x   − − = ______.李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 三、解答题 11 设函数 第 497 页，共 563 页 f ( u ) 在 ( 0 , )  + 内具有二阶连续导数.二元函数 F ( x , y ) = x 2 f  y x  + f ( x y ) ,且满足   2 x F 2 − y x 2 2   2 y F 2 = 2 x y l n y x .若 f ( 1 ) = 1 ,求 f ( u ) 的表达式.李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 12 设函数 z(u,v)有二阶连续偏导数, 第 498 页，共 563 页 z ( 0 , v ) = v 2 , z ( u , u ) = 2 u 2 ,当u = x2,v = x + y时,有   2 x z 2 − 2   x 2  z y +   2 y z 2 = 0 ,求 z ( u , v ) 的表达式.李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 13 设函数 第 499 页，共 563 页 f ( t ) 在 1 2 ,   +  上连续, D(t) = (x,y∣)1 x2 + y2  4t2  ,且满足方程 f ( t ) e 4 t 2 D ( t ) f 1 2 x 2 y 2 d x d y .  = +    +  求 f ( t ) .李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 14 设函数 f (x) 在 第 500 页，共 563 页 ( 0 , )  + 上可导, f (1) = 0,且满足 x ( x + 1 ) f  ( x ) − ( x + 1 ) f ( x ) +  x 1 f ( t ) d t = x − 1 . 求  2 1 f ( x ) d x − 3 f ( 2 ) + l i m x → 1  x 1 s i n ( tf t −( − 1x 1 ) ) 2 d t .李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 x (t)dt 15 已知微分方程 y−(x) y = f (x)e 0 ,其中 第 501 页，共 563 页 ( x ) , f ( x )  均为 R 上的连续函数,且 ( x )  以为周 期. (I)求方程的通解; (II)若 f (x) =ecos2x −k ,且 0 ( x ) d x 0    = ,求k 满足什么条件时,方程有周期为的解;  (III)若k 满足第(II)问所求条件,证明:存在0 ,使得 0 2 k 0 e c o s 2  = .李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 16 设 y = y(x)(x  0)为 第 502 页，共 563 页 x O y 平面上过点 ( 1 , 0 ) 的一条单调增加的曲线,其上任意一点 P(x, y)处的切 线与 y 轴正方向的夹角 0 2        等于原点与 P 的连线OP 与该切线的夹角. (I)求曲线 y = y ( x ) 的方程; (II)求由曲线 y = y ( x ) 与 x 轴, y 轴所围图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积.李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 17 设函数 第 503 页，共 563 页 f ( x ) 二阶可导,满足 f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) , 2 f ( x ) 3 f ( x )   + − =  +  −  + = 5f (− x).若 f ( 0 ) = 1 ,求 f ( x ) .李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 18 若函数 第 504 页，共 563 页 f ( x ) 满足 f ( x ) 2 f ( x ) , F ( x )   = − − 是e−2x  f (− x)+2f (x)的一个原函数,且   f ( 0 ) = F ( 0 ) = 1 . (I)求 f (x) ; (II)求 F ( x ) .李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 19 若 第 505 页，共 563 页 u 1 ( x ) c o s x + u 2 ( x ) s i n x 为二阶常系数非齐次线性微分方程 y+ y = g(x)( g(x) 0 )的一个解,且 满足 u '1 ( x ) c o s x + u '2 ( x ) s i n x = 0 ,  u '1 ( x )  2 +  u '2 ( x )  2 = 1 .已知 u 1 ( 0 ) = 1 , u 2 ( 0 ) = 0 . (I)求 u 1 ( x ) , u 2 ( x ) ; (II)若该方程的另一特解 y(x)满足 y(0) = 0, y(0) =1,求 y(x).李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 20 设函数 第 506 页，共 563 页 a r c t a n x 是二阶常系数线性微分方程 y+ cy = g(x) 的一个特解.若存在一个不同于 a r c t a n x 的有界奇函数 f ( x ) ,它也是该方程的一个解,求常数 c 的取值范围.李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 21 某人每月向银行中存入相同数量的钱,十个月之后,开始每月从银行中取出 1000 元,五个月之后 将所有的存款完全取出.假设银行的月利率为1% ,按复利计算,则此人一开始每月需向银行中存入 多少钱?(结果保留整数即可. 第 507 页，共 563 页 1 . 0 1 5  1 . 0 5 1 , 1 . 0 1 1 0  1 . 1 0 5 .)李艳芳 900 · 高数 7.常微分方程与差分方程 C 类 解答题 考虑二阶微分方程 第 508 页，共 563 页 s i n d d 2 y 2 c o s d d y n ( n 1 ) y s i n 0      + + + = . dy d2y (I)令 x = cos,将上述方程转化为关于 y, 以及 的二阶微分方程; dx dx2 (II)设 u n ( x ) = ( x 2 − 1 ) n ,其 n 阶导数记为 p n ( x ) ,证明 p n ( x ) 为第(I)问中所得方程的一个特解.李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 第八章无穷级数 A 类 一、选择题 1 下列级数中,收敛的是( ) (A) 第 509 页，共 563 页 n 1 n 3 n n 2   = − + . (B) n 1 n 1 n n   = . (C) n 2 n 1 l n n   = . (D) n 3 n l n n 1 l n 2 l n n   = .李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 2 下列级数中,收敛的是( )  ( ) (A) n n −1 . (B) n=1 第 510 页，共 563 页 n 1 l n n n n   = .  nn(n+1) (C) . (D) (n +1)n2 n=1 n 1 e 12 n c o s 1 n   =  −  .李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数   1  a sinn 3 已知两个正项级数a , 收敛,则级数 n ( ) n b b2 +1 n=1 n=1 n n=1 n (A)绝对收敛. (B)发散. (C)条件收敛. (D)无法判定. 第 511 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 4 若正项级数 第 512 页，共 563 页 n 1 a n   = 收敛,则下列结论中,正确的是 ( ) (A) ln i m n a n 0  → = . (B) ln i m n 2 a n 0  → = . (C) n 1 a n n   = 必收敛. (D) n 1 a n n   = 必收敛.李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 5 若级数 第 513 页，共 563 页 n 1 u n   = 收敛,则下列级数中,收敛的是( ) (A) n 1 u n n   = . (B) n 1 1 u u n n 1   =  − +  . (C) n 1 ( u 2 n 1 u 2 n )   = − − . (D) n 1 ( u 2n 1 u 2n )   = + − .李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 6 已知 第 514 页，共 563 页 a n n 1 2 , n 1 a 2 n 1 8 2   =  = − = ,若级数 n 1 ( 1 ) n a n   = − 收敛,则其和等于 ( ) (A) 1 2 2  − . (B) 8 2  − . (C) 6 2  − . (D) 1 2 2  .李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数     S 7 已知级数1+ 2(−1)na =1,2−(−1)na = 2,若a = S ,a = S ,则 1 =( )   n   n 2n−1 1 2n 2 S n=1 n=1 n=1 n=1 2 (A)1. (B)2. (C)3. (D)4. 第 515 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 8 若级数 第 516 页，共 563 页 n 1 s n i n a n n   = 绝对收敛,则下列结论中,正确的是( ) (A)对于任意正数,都有 n 1 a n n    = 绝对收敛. (B)对于任意正数,都有 n 1 a n n    = 条件收敛. (C)对于任意正数,都有 n 1 a n n    = 发散. (D) n 1 a n n    = 是否收敛与的取值有关.李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 9 下列说法中,正确的是( )  (A)若a 收敛,则 n n=1 第 517 页，共 563 页 n 1 a 2n   = 必收敛.  (B)若a2收敛,则 n n=1 n 1 a n   = 必收敛.  (C)若a 与 n n=1 n 1 a 2n   = 均收敛,则 n 1 a n   = 必绝对收敛.    (D)若a 收敛但a2不收敛,则a 必条件收敛. n n n n=1 n=1 n=1李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 10 设有两个数列a ,b  ,则下列命题中,错误的是( ) n n   (A)若a ,b 均条件收敛,则 n n n=1 n=1 第 518 页，共 563 页 n 1 m i n  a n , b n    = 可能条件收敛.   (B)若a ,b 均条件收敛,则 n n n=1 n=1 n 1 m a x  a n , b n    = 可能发散.   (C)若a ,b 均绝对收敛,则 n n n=1 n=1 n 1 m i n  a n , b n    = 可能绝对收敛.   (D)若a ,b 均绝对收敛,则 n n n=1 n=1 n 1 m a x  a n , b n    = 可能条件收敛.李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 11 幂级数 第 519 页，共 563 页 n 1 l n 1 1 n n 2 x n   =   +   的收敛区间为 ( ) (A)  − 1 e , 1 e  . (B) ( − 1 , 1 ) . (C)(−e,e) . (D) ( , )   − + .李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 12 若幂级数 第 520 页，共 563 页 n 1 a n x n   = 的收敛域为 ( − r , r  ,则下列结论中,正确的是 ( ) (A)幂级数 n 1 a n x 2 n   = 的收敛域为  − r , r  . (B)幂级数 n 1 a n x 2 n   = 的收敛域为 ( − r , r  . (C)幂级数 n 1 a 2 n x 2 n   = 的收敛域为  − r , r  . (D)幂级数 n 1 a 2 n x 2 n   = 的收敛域为 ( − r , r  .李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 13 设幂级数 第 521 页，共 563 页 n 0 a n x n   = 与幂级数 n 0 b n x n   = 的收敛半径分别为 R 1 与 R 2 ,记幂级数 n 0 ( a n b n ) x n   = + 的收敛半径 为 R ,则( ) (A) R = m i n  R 1 , R 2  . (B)minR ,R  R  maxR ,R . 1 2 1 2 (C) R  m a x  R 1 , R 2  . (D)以上说法均不正确.李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 二、填空题 14 第 522 页，共 563 页 n 1 ( n 1 2 ) n ! ( ( 1 n n 1 ) ! n 2 )   = − + + + = ________ .李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 15 已知幂级数 第 523 页，共 563 页 n 0 ( 1 ) n a n x n   =  − +  的收敛半径为 1,则 a 的取值范围是________ .李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 16 将函数 第 524 页，共 563 页  x 0 e t − 1 t − 2 t d t 展开成 x 的幂级数为________ ,该幂级数的收敛域为________ .李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 17 在区间 第 525 页，共 563 页 ( 0 , 2 ) 上将函数 f ( x ) = l n x 展开成 x −1的幂级数为________ .李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数  x n 18 函数 f (x) =  在 1− x n=1 第 526 页，共 563 页 x = 1 4 处的幂级数展开式为________,该幂级数的收敛域为________ .李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 三、解答题 19 判断下列级数的敛散性: (I) 第 527 页，共 563 页 1 2 ! + 2 3 ! + + ( n n + 1 ) ! + ; (II) ( 1 − 2 2 + 3 ) + ( 2 − 2 3 + 4 ) + + ( n − 2 n + 1 + n + 2 ) + .李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 20 判断下列级数的敛散性:  ( ) (I)cos n2 +1 ; (II) n=1 第 528 页，共 563 页 n 1 n s i n n n    =   ;  ( ) (III)(−1)n n n2 +1−n . n=1李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 21 探究级数 第 529 页，共 563 页 n 2 1 ( n 1 ) n n   = + − 的敛散性,若收敛,需指明是绝对收敛还是条件收敛.李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 22(I)设 第 530 页，共 563 页 a n =  1 0 x 2 ( 1 − x ) n d x ,计算 n 1 a n   = ; n 1  1   2  (II)设a =  p − x xn − x dx, p 1,n为正整数,证明级数     n 0  p   p  n 1 a n   = 收敛.李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 23 记 第 531 页，共 563 页 a n 4 0 t a n n x d x  =  .证明:  (I)级数a 发散; n n=1 (II)级数 n 1 ( 1 ) n a n   = − 条件收敛.第八章李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 24 设数列 第 532 页，共 563 页  a n  ,  b n  满足 a n , b n 2 , 2 , s i n a n 1 c o s b n     −  = − ,且级数 n 1 a b n n   = 收敛,证明: (I)lima = 0,limb = 0 ; n n n→ n→ (II)级数 n 1 b n   = 收敛.李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数  (−1)n (n+1)x2n 25 求幂级数 的收敛域及和函数S(x) . 2n+1 n=0 第 533 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数  n2 +1 26 求幂级数 (3x −2)2n−1 的收敛域及和函数S(x) . n n=1 第 534 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 27 求幂级数 第 535 页，共 563 页 n 1 2 n 2 n 1 x 2 n 2   = − − 的收敛域以及和函数S(x) ,并计算 n 1 2 2 n 2 n 1 1   = − − .李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 28 设函数 第 536 页，共 563 页 f ( x ) = l n 1 1 + − x x . (I)求 f (x) 在 x = 0 处的 n ( n  1 ) 阶导数 f ( n ) ( 0 ) ; (II)求 n 1 f ( 2 n 1 1 ) ( 0 )   = − .李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 B 类 一、选择题 1 设 第 537 页，共 563 页 p  0 ,若级数 n 1 1 n 0 1 x p x q d x   =  + 发散,则( ) (A) p  0,q  0. (B) p  0 , q  0 . (C) p = 0,q  0. (D) p = 0 , q  0 .李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 2 设函数 f (x) 在区间0,1上连续,且0  f (x) 1.又设 第 538 页，共 563 页 a n =  1 n 0 1 +  f ( x )  n d x  ,则幂级数a xn的 n n=1 收敛域为( ) (A) ( − 1 , 1 ) . (B)  − 1 , 1 ) . (C) ( − 1 , 1  . (D)  − 1 , 1  .李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 3 设数列 第 539 页，共 563 页  b n  为正项数列,数列  c n  中每一项为 1 2 或-1.若级数 n 1 a n   = 条件收敛,则下列选项中,收敛半 径可能大于 1 的幂级数是( ) (A) n 1 b n a n x n   = . (B) n 1 c n a n x n   = . (C) n 1 a n x n   = . (D) n 1 a n x n   = .李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 4 若幂级数 第 540 页，共 563 页 n 1 a n x n   = 的收敛半径为 R 1 , n 1 b n x n   = 的收敛半径为 R 2 ,则( ) (A)若r  R R ,则 1 2 n 1 a n b n r n   = 收敛. (B)若r  R R ,则 1 2 n 1 a n b n r n   = 发散.  (C)若(a +b )rn 收敛,则 n n n=1 r  m i n  R 1 , R 2  .  (D)若(a +b )rn 发散,则 n n n=1 r  m i n  R 1 , R 2  .李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 5 设 第 541 页，共 563 页  a n  为一数列, S n = k n = 0 a k , A n = S n n    ,幂级数a xn,S xn,A xn 的收敛半径分别为 n n n n=0 n=0 n=1 R 1 , R 2 , R 3 ,则 下列大小关系中,正确的是( ) (A) R 1  R 2 = R 3 . (B) R 1  R 2 = R 3 . (C) R  R = R . (D) 1 2 3 R 1 = R 2  R 3 .李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 6 设数列 第 542 页，共 563 页  a n  满足 a n  0 ,幂级数 n 0 a n x n   = 的收敛半径为 R ( R  0 ) ,则下列说法中,正确的是( ) (A)幂级数 n 0 1 a n x n   = 的收敛半径 R 1  1 R . (B)幂级数 n 0 1 a n x n   = 的收敛半径 R 1 = 1 R . (C)若Rr ,则幂级数 n 0 1 a n x n   = 的收敛半径 R 1  1 r . (D)若R  r  0 ,则幂级数 n 0 1 a n x n   = 的收敛半径 R 1  1 r .李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 7 下列幂级数的和函数在区间 第 543 页，共 563 页 ( 0 , 1 ) 内必有零点的是 ( )  (−1)n−1 (A) xn. (B) n n=1 n 2 n (( n 1 ) n 1 ) x n   = − − . (C) n 0 ( 1 ( ) 2 n n ) ! 2 n x 2 n    = − . (D) n 0 ( 2 ( n 1 1 ) n ) ! ( 2 2 n n 1 1 ) x 2 n 1    = − + + + + .李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 二、填空题  n4 8 = ________ . (n+1)! n=1 第 544 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 9 设 第 545 页，共 563 页 a n 1 x 3 2 l n n x d x  =  + − ,则 n 0 n a ! n   = = ________ .李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 10 记幂级数 第 546 页，共 563 页 n 1 1 2 n x n   =  −  的和函数为 f ( x ) ,则 f ( x ) 在 x = 0 处的幂级数展开式为________,该幂级数 的收敛区间为________ .李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 11 将函数 第 547 页，共 563 页 f ( x ) =  x 2 0  s i n t t  2 d t 在 ( , 0 ) ( 0 , )   −  + 上展开成 x 的幂级数为________ .李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 12 已知级数 第 548 页，共 563 页 n 0 n a n 1 s i n 1 c o s 1 1   = + = + − ,且 n 0 a n x 2 n a c o s x   = = ,则 a n = ________ .李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 三、解答题 13 判断下列级数的敛散性: (I)sinx +sin2x + +sinnx+ ; 1 1 1 (II)arctan +arctan + +arctan + . 1+0+02 1+1+12 1+n+n2 第 549 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 f (x)−sinx   1 1  14 已知函数 f (x) 连续,lim =1.证明:级数   n f (x)dx −  绝对收敛. x→0 x2  0 2n  n=1 第 550 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 15 设数列 第 551 页，共 563 页  u n  收敛, u 1 = a  0 , u n + 1 = 1 2 u n ( u 2n + 1 ) , n = 1 , 2 , . (I)求a的取值范围和 ln i m u n  → ; (II)证明:级数 n 1 u n ( u n u n 1 )   = − + 收敛.李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 16 设数列x  满足 n 第 552 页，共 563 页 0  x 1  1 , x n + 1 = x n ( 1 − x n ) , n = 1 , 2 , . (I)证明limx 存在,并计算该极限; n n→ (II)证明:级数 n 1 x 2n   = 收敛; (III)证明:若 ln i m n i 1 1 1 n 1 x i 1 x 1 1  →  − = − + = ,则级数 n 1 x n   = 发散.李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 17 设函数 第 553 页，共 563 页 f ( x ) = 1 2 c o s x − 1 3 ,数列  x n  满足 x 1 3 , x n 1 f ( x n ) , n 1 , 2 ,  = + = = .证明: (I) n 1 ( x n 1 x n )   = + − 绝对收敛; (II) ln i m x n  → 存在,且该极限值落在区间  0 , 1 6  内; (III)对任意正整数 n ,均有 x n  0 ,且 n 1 1 x n x 1 n 1   =  − +  收敛.李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 18 设数列 第 554 页，共 563 页  x n  ,  a n  ,  b n   1 n x n 分别满足 x = 1+sin ,a = 2n ,b =a .证明:   n  n n x n i 2n−1 i=1  (I)级数(−1)n−1(1−lnx )收敛; n n=1 (II)limb 存在. n n→李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 19 设 第 555 页，共 563 页 u n ( x ) = ( x 2 − 1 ) n ,记 p n ( x ) 为 u n ( x ) 的n阶导数. (I)证明 p (x)为 n ( 1 − x 2 ) y  − 2 x y  + n ( n + 1 ) y = 0 的一个解; (II)计算 k 1 p p 2 k ''2 k ( ( 0 0 ) )   = .李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 20 设 f (x) 为a ,+)上单调增加的正值函数,满足 1 第 556 页，共 563 页 a 1 x f d x ( x ) ,  a n     +  + 为单调增加的无界数列,且 a n  0 , n = 1 , 2 , .证明:  a −a (I)级数 n+1 n 收敛; a f (a ) n=1 n+1 n+1 (II)若 a 1 = 1 ,则级数 n 1 a a n n ( 1 a ( n 1 1 a a n n) )   = + + + − +1 收敛,且其值小于 . 2李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 21(I)证明:当 第 557 页，共 563 页 x  0 时, 1 x + x  l n ( 1 + x )  x . a (II)设a  0, n =1+ a ,n =1,2, ,求幂级数 1 ln(1+ a ) n+1 n n 1 a n x n   = 的收敛半径.李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 22 设数列 第 558 页，共 563 页  a n  满足 a 0 = 1 ,且当 n  1  3 时,2na = n+ a .   n  2 n−1 (I)求幂级数 n 0 a n x n   = 的收敛半径 R ; (II)求幂级数 n 0 a n x n   = 在 ( − R , R ) 上的和函数.李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数  (−1)n (2n+1) 23 求 . (n+1)(2n +3)(2n)! n=0 第 559 页，共 563 页李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 24 设幂级数 第 560 页，共 563 页 n 0 a n x n   = 在 ( , )   − + 内收敛,其和函数 y ( x ) 满足 y  − x y = 1 , y ( 0 ) = 1 . (I)求 y(x),将结果用  ( x ) 表示 (  ( x ) 为标准正态分布的分布函数); (II)证明: a n + 2 = n a + n 2 , n = 0 , 1 , 2 , .李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 25 设幂级数 第 561 页，共 563 页 n 0 a n x n   = 在 ( , )   − + 内收敛,其和函数 y ( x ) 满足 2 y  − x y  − y = 0 , y ( 0 ) = 4 , y  ( 0 ) = 0 . (I)证明: a n + 2 = 2 ( n 1 + 2 ) a n , n = 0 , 1 , 2 , . (II)求 y ( x ) 的表达式.李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 26 记a =  1 x2(lnx)n dx,n =0,1,2, . n 0 (−1)n (I)求lim ; n→ a n (II)求 第 562 页，共 563 页 n 0 x a n n   = 的收敛域,并计算其和函数.李艳芳 900 · 高数 8.无穷级数 27 设定义在 第 563 页，共 563 页  ,   − 上的函数 f n ( x ) =  x 0 ( t − 1 − t ) s i n 2 n t d t . (I)求 f (x)的最大值点; n (II)记 m ax x f n ( x ) a n   −   = ,证明: n 0 a n   = 收敛,且级数和小于 3 2 l n 3 − 2 l n 2 .