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专题 3-2 利用导数解决单调性中求参数问题（选填）
..................................................................................1
题型一：已知函数 在区间 上单调..............................................................................1
题型二：已知函数 在区间 上存在单调区间....................................................................6
题型三：已知函数 在区间 上不单调................................................................................8
题型四：已知函数 的单调区间恰为 ...............................................................................11
题型五：已知函数 有三个单调区间...................................................................................13
.............................................................16
题型一：已知函数 在区间 上单调
【典型例题】
例题1．（2022·重庆市第七中学校高二阶段练习）若函数 在区间 单
调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意得， 的定义域为 ， ，
因为 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，
即 ，又函数 在 上单调递减，
所以 .
故选：A
例题2．（2022·全国·高二课时练习）若函数 在区间 内单调
递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 得 ，
由于函数 在区间 内单调递减，
即 在 上恒成立，即 ，
即得 在 恒成立，所以 ，
故选：D.
例题3．（2022·陕西咸阳中学高三阶段练习（理））已知函数 ，若对
， ，都有 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为对 ， ，都有 成立，
所以对 ， ，都有 .
设 ，则 在 为减函数.，
等价于 ， 恒成立，
即 ， 恒成立.
设 ， ，
所以 ， ， 为减函数，
， ， 为增函数，
所以 ，所以 ，即 .
故选：C
【提分秘籍】
已知函数 在区间 上单调
①已知 在区间 上单调递增 ， 恒成立.
②已知 在区间 上单调递减 ， 恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
【变式演练】
1．（2021·四川·宜宾市叙州区第一中学校高二阶段练习（文））若
在 上是减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可得：当 时， ，即 .因为 和 在 上单增，所以 在 上单增，
所以 ，所以 .
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）设函数 在 上单调递减，则实数a的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： 函数 在 上单调递减，
当 时，
，
在 时恒成立，
即 ， ，
又 在 单调递减，
故 ，
故 ．
故选：B．
3．（2022·陕西省宝鸡市长岭中学高二期中（理））若函数 在 上是增
函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】 ，
因为 在 上是增函数，所以 对 恒成立，
则 对 恒成立，
所以 对 恒成立，
则 ，即 .
故选：A.
4．（2022·山西临汾·高三期中）设函数 ，若对任意 ，
恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题设 ，且 ，
令 且 ，则 ，故 在 上递减，
所以 恒成立，即 在 上恒成立，
而 在 上值域为 ，
所以 .
故选：A题型二：已知函数 在区间 上存在单调区间
【典型例题】
例题1．（2022·江西·上高二中高二阶段练习（文））若函数
存在单调递减区间，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】函数 的定义域为 ，且其导数为
．由 存在单调递减区间知 在 上有解，即
有解．因为函数 的定义域为 ，所以 ．要使
有解，只需要 的最小值小于 ，所以 ，即 ，所以实数 的取值范围是
．
故选:B．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）若函数 存在单调递增区间，
则 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，∴ 在x∈ 上有解，即ax+ 0在x∈ 上
有解，
即a 在x∈ 上有解．令g(x) ，则g′(x) ，∴g(x) 在(0，e)上单调递减，在(e，+∞)上单调递增，∴g(x) 的最小值为g(e)= ，∴a＞ ．
故选：B．
【提分秘籍】
已知函数 在区间 上存在单调区间
①已知 在区间 上存在单调增区间 ， 有解.
②已知 在区间 上存在单调减区间 ， 有解.
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在 存在单调递减区
间，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为函数 在 存在单调递减区间，
故 在区间 上有解.
即 在区间 有解.
即存在 ，使得 ，
又 在 单调递减，在 单调递增.
且 时， ； 时 ； 时， ，
故要满足题意，只需 即可，解得 .故选： .
2．（2022·福建·福州黎明中学高三阶段练习）若函数f(x)＝x2－4ex－ax在R上存在单调递
增区间，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【详解】因为f(x)＝x2－4ex－ax，所以f′(x)＝2x－4ex－a.由题意，f′(x)＝2x－4ex－a＞0，即
a＜2x－4ex有解．令g(x)＝2x－4ex，则g′(x)＝2－4ex.令g′(x)＝0，解得x＝－ln2.当x∈(－
∞，－ln2)时，函数g(x)＝2x－4ex单调递增；当x∈(－ln2，＋∞)时，函数g(x)＝2x－4ex
单调递减．所以当x＝－ln2时，g(x)＝2x－4ex取得最大值－2－2ln2，所以a＜－2－2ln2.
题型三：已知函数 在区间 上不单调
【典型例题】
例题1．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））已知函数
在 上不单调，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意 ，故 在 上有零点，令
，令 ，得 ，令 ，
则 ，由 ，得 ， 单调递增，又由 ，得 ，
故 ，所以， 的取值范围
故选：A
例题2．（2022·广西河池·高二阶段练习（理））若函数 在定义域内的
一个子区间 上不是单调函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【详解】由题意得，函数定义域为
，令 ，解得在定义域内 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
函数在区间 内不单调，所以 ，
解得 ，又因为 ，得 ，
综上 ，
故选：D．
【提分秘籍】
已知函数 在区间 上不单调 ，使得 （其中 为变号零点）
【变式演练】
1．（2022·安徽·合肥一中高二阶段练习）若函数 在其定义域上
不单调，则实数 的取值范围为（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【答案】A
【详解】由题意，函数 ，可得 ，
因为函数 在其定义域上不单调，
即 有变号零点，结合二次函数的性质，可得 ，
即 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：A.
2．（2022·四川省资阳中学高二期中（理））已知函数 在区间 上不
单调，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，
①当 时函数 单调递增，不合题意；
②当 时，函数 的极值点为 ，若函数 在区间 不单调，必有 ，
解得 .
故选：B．
3．（2022·江西·金溪一中高二阶段练习（理））已知函数 在 内不
是单调函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵ ， 在 内不是单调函数，
故 在 存在变号零点，即 在 存在零点，
∴ .
故选：A.4．（2022·上海大学市北附属中学高一期中）若函数 在区间 上不是单
调函数，则实数 的取值范围________.
【答案】
【详解】解：因为 ，所以函数的对称轴为 ，
因为函数在区间 上不是单调函数，
所以 ，解得 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为：
题型四：已知函数 的单调区间恰为
【典型例题】
例题1．（2021·四川省成都市玉林中学高二期中（文））已知函数
在 单调递增，在 单调递减，则函数 在 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： ，
∵ 在 单调递增，在 单调递减，
，即 ，
，
， ，
当 ， 时， ，当 时， ，
在 ， 上单调递减，在 ， ， 上单调递增，
符合题意，又 ， （1） ， （2） ，
函数 在 ， 的值域是 ， ．
故选：A．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知函数 在 、
上为增函数，在 上为减函数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，则 ，
由题意可知， 有两个不等的零点，设为 、 且 ，
因为函数 在 、 上为增函数，在 上为减函数，
则 、 ，所以， ，解得 .
故选：B.
【变式演练】
1．（2022·全国·高二课时练习）已知函数 的单调
递增区间是 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】解：由题可得 ，则 的解集为 ，即
， ，可得 ，∴ ，
故选:C．
2．（2022·福建漳州·高二期末）已知函数 的单调递减区间是
，则关于 的不等式 的解集是__________.
【答案】
【详解】 ， 的单调递减区间是 ，则不等式 的解集
为 ，所以 是 的两根，故 ， ，所以
， ， .令 ，得 ，即
，得 ；令 ，得
，即 ，得 ；所以不等式
的解集为 .
故答案为：
题型五：已知函数 有三个单调区间
【典型例题】
例题1．（2019·河北省隆化存瑞中学高三阶段练习（理））若函数
恰好有三个单调区间，则实数 的取值范围为
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【详解】因为函数 恰好有三个单调区间，
所以 有两个不等零点，则 ，
解得 或 .故选D.
例题2．（2019·江苏盐城·一模）已知函数 ，若函数 存在三个单调区间，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【详解】
函数 ，若函数 存在三个单调区间
即 0有两个不等实根，即 有两个不等实根，转化为y=a与y=
的图像有两个不同的交点
令 ，即x= ，即y= 在（0， ）上单调递减，在（ ，
+∞）上单调递增．y =- ，当x∈（0， ）时，y<0，所以a的范围为
min
【提分秘籍】
已知函数 有三个单调区间 有两个不同的实数根.
【变式演练】
1．（2022·宁夏·永宁县文昌中学高三期末（文））若函数 有三个单调区间，
则 的取值范围是 ________________．
【答案】b>0
【详解】试题分析：由已知可得 在 上有不等实根 ．
2．（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（文））若函数 在定义域 上恰有
三个单调区间，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数 在定义域 上恰有三个单调区间，
所以其导函数在定义域 上有两个不同的零点，由 可得 ，即 ，
所以只需 ，方程 在 上有两个不同的实数根.
故选：A.
3．（2016·黑龙江双鸭山·高二阶段练习）若函数 恰有三个单调区间，
则实数 的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：由题意得，函数 的导数为 ，因为函数
恰有三个单调区间，所以 且 有两个根，即
，解得 且 ，故选D.
4．（2020·全国·高三专题练习）已知函数 恰有三个单调区
间，则实数 的取值范围是__________．
【答案】 或
【详解】分析：求出函数的导函数，利用导数有两个不同的零点，说明函数恰好有三个单
调区间，从而求出a的取值范围．
详解：∵函数 ，
∴f′（x）=3x2+6ax+ ，
由函数f（x）恰好有三个单调区间，得f′（x）有两个不相等的零点，
∴3x2+6ax+ =0满足：△= ﹣ ＞0，解得 或 ，
故答案为： 或 ．一、单选题
1．（2019·四川自贡·高二期末（理））函数 恰有 个单调区间的必
要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由 ，得 ，
当 时，由 ，解得 ，函数 有两个单调区间；
当 时，由 ，解得 ，即 ，此时函数 恰有
3个单调区间；
当 时， ，解得 ，即 ，此时函数 恰有3个单调
区间．
综上所述 是函数 恰有3个单调区间的充要条件，
分析可得 是其必要不充分条件．
故选： ．
2．（2019·河北省隆化存瑞中学高三阶段练习（理））若函数
恰好有三个单调区间，则实数 的取值范围为
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【详解】因为函数 恰好有三个单调区间，所以 有两个不等零点，则 ，
解得 或 .故选D.
3．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（文））若函数 在区
间 上单调递增，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ,因为函数 在区间 上单调递增，所以
在 上恒成立，即 在 上恒成立.因为 在 上
单调递减，所以当 时， ，所以 ，
则 的取值范围为 .
故选：B
4．（2021·江苏·张家港高级中学高三期中）若函数 在区间 内存在
单调递增区间，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵ ，
∴ ，
若 在区间 内存在单调递增区间，则 有解，
故 ，令 ，则 在 单调递增，
，
故 .
故选：D.
5．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在其定义域的一个子区间
内不是单调函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数 的定义域为 ，
所以 ，即 ，
，
令 ，得 或 （舍去），
因为 在定义域的一个子区间 内不是单调函数，
所以 ，得 ，
综上， ，
故选：D
6．（2022·福建福州·高三期中）已知函数 ，对任意的实数
，且 ，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】不妨设 ，由 ，得 ，
即 ，
令 ，所以对任意的实数 时，都有 ，
即 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，
即 ．在 上恒成立．
令 ．则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
即实数a的取值范围是 ．
故选：B．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上不是单调函
数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 在区间 上不是单调函数，所以 在区间 上有解，即 在区间 上有解．
令 ，则 ．
当 时， ；当 时， ．
故 在 上单调递减，在 上单调递增．又因为
，
且当 时，
所以 在区间 上单调递增，所以 ，解得 .
故选：A
8．（2022·安徽·合肥一中高二阶段练习）若函数 在其定义域上
不单调，则实数 的取值范围为（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【答案】A
【详解】由题意，函数 ，可得 ，
因为函数 在其定义域上不单调，
即 有变号零点，
结合二次函数的性质，可得 ，
即 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：A.二、填空题
9．（2016·山东济宁·高二阶段练习（文））若函数 恰有三个单调区
间，则实数 的取值范围为___________．
【答案】 或
【详解】试题分析：由 ， 求导： ，恰有三个单调
区间则有两个极值，
即令； ．
10．（2015·江苏宿迁·高二期中）若函数 有三个单调区间，则实数b
的取值范围为______．
【答案】
【详解】试题分析：函数有3个单调区间，等价于导函数有2个不同零点，
11．（2022·福建·莆田第三中学高三阶段练习）已知函数 ，若 在
定义域内为单调递减函数，则实数k的最小值为__________________．
【答案】 ##
【详解】由题意知 ，则 ，
在定义域内为单调递减函数，则 当 时恒成立，
则可得： ，
因为 ， 当且仅当 时等号成立，则 ，故 ，即实数k的最小值为 ，
故答案为：
12．（2022·上海·上外附中高三阶段练习） ，若 在
上存在单调递增区间，则 的取值范围是_______
【答案】
【详解】因为 ，则 ，
有已知条件可得： ，使得 ，即 ，
当 ，所以 .
故答案为： .
13．（2022·全国·模拟预测）若函数 的单调递增区间是 ，
，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【详解】 ，令 ，得 ，
由函数 的单调递增区间是 ， ，
得导函数 的图象是开口向上的抛物线，所以 .
故答案为：14．（2021·江苏·高二专题练习）已知函数 在 上不是单调函数，则实数
a的取值范围是_________．
【答案】
【详解】因为 ，则 ，
若函数 在 上是单调递增的函数，则 在 上恒成
立，即 在 上恒成立，因此 ；
若函数 在 上是单调递减的函数，则 在 上恒成
立，即 在 上恒成立，因此 ；
因为函数 在 上个是单调函数，所以
故答案为：
