文档内容
14.1.1 同底数幂的乘法 教学设计
一、教学目标：
1.理解并掌握同底数幂的乘法法则.
2.能够运用同底数幂的乘法法则进行相关计算.
3.通过对同底数幂的乘法运算法则的推导与总结，提升自身的推理能力.
二、教学重、难点：
重点：正确理解同底数幂乘法法则及运用性质进行有关计算.
难点：同底数幂乘法法则的推导、理解及灵活运用.
三、教学过程：
复习回顾
an表示的意义是什么？其中a、n、an分别叫做什么？
知识精讲
问题：一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算，它工作103s可进行多少次运算？
解：1015×103
=(10×10×…×10)×(10×10×10)
=(10×10×…×10)
在2010年全球超级计算机排行榜中，中
国首台千万亿次超级计算机系统“天河一号”
雄居第一，其实测运算速度可以达到每秒
2570万亿次.
=1018
探究：请同学们根据乘方的意义理解，完成下列填空.
(1) 25×22 = ( )×( ) = ______________________________ = 2( )
(2) a3×a2 = ( )×( ) = _____________________ = a( )
(3) 5m×5n = ( )×( ) = ____________________ = 5( )
思考：观察上面各题左右两边，底数、指数有什么关系？a m·a n =(a×a×…×a)×(a×a×…×a) =( a×a×…×a) = a m+n
同底数幂乘法法则：
am·an =______.(m，n都是正整数) 即：同底数幂相乘，底数_____，指数_____.
条件：①乘法 ②同底数幂
结果：①底数不变 ②指数相加
【针对练习】计算：
(1) 105×106 =_______； (2) a7·a3 =_______；
(3) x5·x7 =_______； (4) (-b)3·(-b)2 =__________.
比一比
类比同底数幂的乘法公式：a2·a6·a3 =___________
思考：当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？用字母表示 am·an·ap等于
什么呢？
am·an·ap =______.(m，n，p都是正整数)
典例解析
例1. 计算：
(1) x2·x5 (2) a·a6 (3) (-2)×(-2)4×(-2)3 (4) xm·x3m+1
解：(1) x2·x5=x2+5=x7 (2) a·a6=a1+6=a7
(3) (-2)×(-2)4×(-2)3=(-2)1+4+3=(-2)8=256
(4) xm·x3m+1=xm+3m+1=x4m+1
【针对练习】计算：
( 1) ( 1) 2 ( 1) 3
− × − × −
2 2 2
(1) b5·b (2) (3) a2·a6 (4) y2n·yn+1
解：(1) b5·b=b5+1=b6
( 1) ( 1) 2 ( 1) 3 ( 1) 1+2+3 ( 1) 6 1
− × − × − − −
2 2 2 2 2 64
(2) = = =
(3) a2·a6=a2+6=a8 (4) y2n·yn+1=y2n+n+1=y3n+1
例2.计算：
(1)(a+b)2·(a+b)3 (2)(m-n)3·(m-n)2·(m-n)6 (3)(x-y)2·(y-x)5解:(1)(a+b)2·(a+b)3 =(a+b)2+3 =(a+b)5
(2)(m-n)3·(m-n)2·(m-n)6 =(m-n)3+2+6 =(m-n)11
(3)(x-y)2·(y-x)5 =(y-x)2·(y-x)5 =(y-x)2+5 =(y-x)7
【点睛】公式am·an=am+n中的底数a不仅可以代表数、单项式，还可以代表多项式等其他代数
式.当底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．
【针对练习】计算：
（1） ； （2） ．
(b+2) 3 ⋅(b+2) 5 ⋅(b+2) (x-2y) 2 ⋅(2y-x) 3
解：（1） ．
(b+2) 3 ⋅(b+2) 5 ⋅(b+2)=(b+2) 3+5+1=(b+2) 9
（2） ．
(x-2y) 2 ⋅(2y-x) 3=(x-2y) 2 ⋅[-(x-2y) 3 ]=-(x-2y) 5
例3.计算:
(1)x3·x5+x·x3·x4 (2)(2x-1)2·(2x-1)3+(2x-1)4·(1-2x)
解:(1)原式=x8+x1+3+4=x8+x8=2x8
(2)原式=(2x-1)5-(2x-1)4·(2x-1)=(2x-1)5-(2x-1)5=0
【针对练习】计算：
（1）2a3 ⋅a4+a5 ⋅a2-2a6 ⋅a；
（2） ．
(x+ y) n ⋅(x+ y) n+1 ⋅(x+ y) m-1+(x+ y) 2n+1 ⋅(x+ y) m-1
解：（1）原式=2a3+4+a5+2-2a6+1=2a7+a7-2a7=a7．
（2）原式
=(x+ y) n+n+1+m-1+(x+ y) 2n+1+m-1
=(x+ y) 2n+m+(x+ y) 2n+m
．
=2(x+ y) 2n+m
同底数幂乘法法则的逆用：
想一想：am+n可以写成哪两个因式的积？am+n = am·an
填一填：(1) a6 = a·____ = a2·____
(2) 若 xm = 3，xn = 2，那么：xm+n =___.
例4. (1)若xa＝3，xb＝4，xc＝5，求2xa＋b＋c的值；
(2)已知23x＋2＝32，求x的值.
解：(1) 2xa＋b＋c＝2xa·xb·xc＝120；
(2)∵ 23x＋2＝32＝25，
∴3x＋2＝5，
∴x＝1.
【点睛】(1)关键是逆用同底数幂的乘法公式，将所求代数式转化为几个已知因式的乘积的形
式，然后再求值.(2)关键是将等式两边转化为底数相同的形式，然后根据指数相等列方程解答.
【针对练习】已知am=2，an=3，求下列各式的值：
（1）am+1
（2）an+2
（3）am+n+1．
解：（1）am+1=am·a=2a；
（2）an+2=an·a2=3a2；
（3）am+n+1=am·an·a=2×3×a=6a．
例5.我国自行设计制造的“神舟六号”飞船进入圆形轨道后的飞行速度为 7.9× 103米/秒，它
绕地球一周需5.4×103秒，问该圆形轨道的一周有多少米？（结果用科学记数法表示）
解：7.9×103×5.4×103
=
(7.9×5.4)×(103×103
)
=42.66×106
=4.266×107(米).
答：该圆形轨道的一周有4.266×107米．课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.下列运算中，正确的是( )
A.a3·a3=2a3 B.a3·a3=a6 C.a3·a3=a9 D.a3+a3=a6
2.化简(-x)3·(-x)4，结果正确的是( )
A.-x7 B.x7 C.x12 D.-x12
3.若am=3，an=5，则am+n等于( )
A.243 B.125 C.8 D.15
4.若m·23=26，则m等于( )
A.2 B.4 C.6 D.8
5.若a2n-1·an+2=a7，则n的值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6.计算:(1) x4·x6=____;(2) a·a4=_____;
(3)5×54×53=______;(4) x2n+1·x3n-1=______.
7.计算:(1)3×9×27×3m=______;(2)(-x)·x4·(-x)3·x2=______.
8.(1)若3n+1=81，则n=____;(2)若23·85=8n，则n=_____.
9.已知x+y-3=0，则2x·2y的值是______.
10.按一定规律排列的一列数:21，22,23，25，28，213，…若a，b，c表示这列数中的连续三个数，
猜想a，b，c满足的关系式是______________.
11.计算下列各题：
(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3; (2)(a-b)3·(b-a)4;
(3) (-3)×(-3)2 ×(-3)3; (4)－a3·(－a)2·(－a)3.
12.1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于 3.75×105千克煤放出的热量，据估计地壳里含
1×1010千克镭，试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？
13．若an+1 ⋅am+n=a6，且m-2n=1，求mn的值．
14．定义新运算：a☆b＝10a×10b．
（1）试求：12☆3和4☆8的值；
（2）判断（a☆b）☆c是否与a☆（b☆c）相等？验证你的结论．【参考答案】
1. B
2. A
3. D
4. D
5. A
6.(1)x10 (2) a5 (3) 58 (4) x5n
7.(1) 3m+6 (2) x10
8.(1)3 (2)6
9.8
10.ab=c
11. 解：(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3=(2a＋b)2n＋4；
(2)(a-b)3·(b-a)4=(a-b)7；
(3) (-3)×(-3)2 ×(-3)3=36；
(4)－a3·(－a)2·(－a)3=a8.
12.解：3.75×105×1×1010＝3.75×1015(千克)．
答：这些镭完全蜕变后放出的热量相当于3.75×1015千克煤放出的热量．
13.解：由an+1 ⋅am+n=a6可得am+2n+1=a6，则有m+2n+1=6，
∵m-2n=1，
∴ ，
解得： ，
∴mn=3．
14.解：（1）∵a☆b=10a×10b，
∴12☆3=1012×103=1015，
4☆8=104×108=1012；
（2）（a☆b）☆c与a☆（b☆c）不相等；
理由：∵（a☆b）☆c=（10a×10b）☆c=10a+b☆c= ×10c= ，
1010a+b 1010a+b+ca☆（b☆c）=a☆（10b×10c）=a☆10b+c=10a× =
1010b+c 10a+10b+c
∴（a☆b）☆c≠a☆（b☆c）．
四、教学反思：
