文档内容
14.1.6 多项式与多项式相乘
夯实基础篇
一、单选题：
1．下列各式中，计算结果是 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：A、 ，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项不符合题意；
C、 ，故本选项符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用因式分解法求解即可。
2．计算 结果中， 项的系数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴ m3项的系数是1.
故答案为：B.
【分析】利用多项式乘以多项式的法则先去括号，再合并同类项，接着利用单项式乘以多项式的法则
展开，由此可得到m3的系数.
3．已知 ，那么 、 的值分别是（ ）A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： ，
， ，
故答案为：A．
【分析】根据多项式乘多项式法则将等号左边展开，再合并化简，从而与右式比较，得出关于b、c
方程，即得结论.
4．若 ， 则 的值是（ ）
A.1 B. C.2 D.
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：B.
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则将待求式子变形，然后将已知条件代入进行计算.
5．若 的运算结果中， 的系数为-6，则a的值是（ ）
A．8 B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（x＋1）（2x2-ax＋1）
＝2x3-ax2＋x＋2x2-ax＋1
＝2x3＋（2-a）x2＋（1-a）x＋1；
∵运算结果中x2的系数是−6，
∴2-a＝−6，解得a＝8.
故答案为：A.
【分析】根据多项式乘以多项式，等于用一个多项式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再
把所得的积相加将待求式子进行化简，由运算结果中x2的系数是-6可得2-a=-6，求解即可.
6．如图，给出了正方形ABCD的面积的四个表达式，其中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：A、 ，不是正方形的面积，故此选项符合题意；
B. ，是正方形的面积，故此选项不符合题意；
C. ，是正方形的面积，故此选项不符合题意；
D. ，是正方形的面积，故此选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据正方形的面积和等于四个部分的面积之和可判断B；根据图形可得正方形ABCD的边长
为(x+a)，结合正方形的面积公式可判断C；对D中的式子变形可得(x+a)(x+a)，据此判断D.
二、填空题：7．计算：（a-b）（a2+ab+b2）= ．
【答案】a3-b3
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】根据多项式乘以多项式法则进行计算即可求解．
8．计算 的结果为 ．
【答案】 x+x2
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=
故答案为：
【分析】利用多项式乘以多项式法则，单项式乘以多项式法则计算求解即可。
9．下列计算算式中：① ，② ，③ ，④
，⑤ ，正确的是 .（填序号）
【答案】③④
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】① ，故①错误；
② ，故②错误；③ ，故③正确；
④ ，故④正确；
⑤ ，故⑤错误.
故答案为：③④
【分析】根据积的乘方，单项式乘多项式，多项式乘多项式，单项式乘单项式分别进行计算，然后判
断即可.
10．若 ，其中b，c为常数，则点P（b，c）关于x轴的对称点的坐标为
．
【答案】（-1，6）
【知识点】多项式乘多项式；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵（x+2）（x-3）=x2-x-6，
∴b=-1，c=-6，
∴点P的坐标为（-1，-6），
∴点P（-1，-6）关于x轴对称点的坐标是（-1，6）．
故答案为：（-1，6）．
【分析】由于(x+2）（x-3）=x2-x-6=x2+bx+c，据此求出b、c的值，即得点P坐标，根据关于x轴对
称点的坐标的特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此解答即可.
11．若多项式 可分解为 ．则a-b的值为 ．
【答案】2
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解： 多项式 可分解为 ，
，
，
则 ， ，
解得： ， ，故 ．
故答案为：2．
【分析】先利用多项式乘多项式的计算法则化简 ，再利用待定系数法可求出a、b的值，
最后代入计算即可。
12．若 ，则 的值为 .
【答案】63
【知识点】代数式求值；多项式乘多项式
【解析】【解答】
由 可得：x2-3x=7，代入上式得：
原式=7×（7+2）=63
故答案为：63
【分析】先用多项式乘多项式的方法化简代数式，再将x2-3x=7整体代入计算即可。
13．如果 的乘积中不含 项，则m的值为 .
【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵
=
= ，
又∵ 的乘积中不含 项，
∴-（2m+1）=0，
解得 m= .故答案为： .
【分析】按照多项式乘以多项式的法则展开括号，然后合并同类项化为最简形式，根据化简的结果中
不含x2项，故令 项的系数为零即可解决问题.
三、解答题：
14．计算
(1) ；
(2)
(3)
（1）解：
；
（2）解：
．
（3）解：原式＝
；
15．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，7
【分析】先利用单项式乘多项式的法则，多项式乘多项式的法则进行运算，再合并同类项，最后代入相应
的值运算即可．【详解】解：
，
当 时，原式
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
16．如图，某中学校园内有一块长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，学校计划在中间留一
块长为（2a﹣b）米、宽为2b米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化．
(1)求长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示）
(2)求修建雕像的小长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示）
(3)当a＝3，b＝1时，求绿化部分的面积．
【答案】(1) 平方米
(2) 平方米
(3)67平方米
【分析】（1）利用长方形面积公式直接计算即可；
（2）利用长方形面积公式直接计算即可；
（3）先将阴影部分面积计算出来，再代值进行计算即可求解．
（1）
∵ 平方米，
∴长方形地块的面积为 平方米；（2）
∵ 平方米，
∴雕像的面积为 平方米；
（3）
∵绿化部分的面积为 平方米；
∴当a＝3，b＝1时，
（平方米），
∴绿化部分的面积为67平方米．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式与多项式相乘的法则，单
项式与多项式相乘的运算法则．
17．已知多项式ax-b与x2-x+2的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为-2，试求ab的值：
【答案】解：(ax-b)(x2-x+2)=ax3-ax2+2ax-bx2+bx-2b= ax3-(a+b)x2+(2a+b)x- 2b，∵乘积展开式中不含工的
二次项，且常数项为-2，∴a+b=0，-2b=-2，a=-1，b=1，∴ab=-1．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】将两个多项式的乘积整理化简，根据不含有x的二次项以及常数项为-2，求出ab的
值即可。
18．已知多项式M除以3x2－2x+4得商式2x+6，余式为3x－1，求多项式M.
【答案】解：根据题意，得：M=（2x＋6）（3x2−2x＋4）＋（3x−1）
=6x3-4x2+8x+18x2-12x+24+3x-1
＝6x3＋14x2−x＋23
所以，多项式M为6x3＋14x2−x＋23
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】根据被除式、除式、商及余式的关系，可得M=（2x＋6）（3x2−2x＋4）＋（3x−1），
利用多项式乘多项式将原式展开，然后利用去括号、合并同类项即得结论.
19．对于任意的正整数n，代数式n（n+7）-（n+3）（n-2）的值是否总能被6整除，请说明理由.
【答案】解：n（n+7）-（n+3）（n-2）
=n2+7n-(n2+n-6)
=n2+7n-n2-n+6
=6n+6=6（n+1）
∵n为任意的正整数
∴代数式n（n+7）-（n+3）（n-2）的值总能被6整除
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】将原代数式化简并因式分解得6（n+1）即可解题.
20．在计算 时，甲把错 看成了6，得到结果是： ；乙错把 看成
了 ，得到结果： .
（1）求出 的值；
（2）在（1）的条件下，计算 的结果.
【答案】（1）解：由甲计算得：
∴
∴ ；
代入乙的式子，得
∴
∴ .
（2）解：
=
= .
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）按甲、乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b的值；（2）把a，b的值代
入原式求出整式乘法的正确结果.
能力提升篇
一、单选题：1．若 的运算结果中不含 项和常数项，则m，n的值分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项和次数
【解析】【解答】解：
=
=
∵结果中不含 项和常数项
∴3-m=0，3n=0
∴ ，
故答案为D
【分析】先利用多项式乘多项式的计算法则展开，再根据待定系数可得3-m=0，3n=0，求出m、n的
值即可。
2．如图，在长为 ，宽为 的长方形铁片上，挖去长为 ，宽为b的小长方形铁片，则
剩余部分面积是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列式表示数量关系；整式的混合运算【解析】【解答】解：
，
故剩余部分面积是 ，
故答案为：B.
【分析】观察图形可知：剩余部分的面积（阴影部分的面积）=大长方形的面积-空白部分的面积，列
式化简，可得到剩余部分的面积.
3．若2x﹣5是多项式4x2+mx﹣5（m为系数）的一个因式，则m的值是（ ）
A．8 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵2x-5是多项式4x2+mx-5（m为系数）的一个因式，
设4x2+mx-5=（2x-5）（kx+b），
∴2kx2+（2b-5k）x-5b=4x2+mx-5，
∴2k=4，5b=5，
解得k=2，b=1，
∴m=2b-5k=-8．
故答案为：C．
【分析】设4x2+mx-5=（2x-5）（kx+b），再利用多项式乘多项式的计算方法可得2kx2+（2b-5k）
x-5b=4x2+mx-5，然后根据待定系数法可得2k=4，5b=5，求出k、b的值，最后求出m的值即可。
4．根据图①的面积可以说明的多项式乘法运算是（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图②的面
积可以说明的多项式乘法运算是（ ）
A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2 B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2
C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2 D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2
【答案】A【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：图②中大长方形的长为（a+3b），宽为（a+b）
∴此长方形的面积为（a+3b）（a+b）=a2+4ab+3b2.
故答案为：A.
【分析】观察图形可知图②中大长方形的长为（a+3b），宽为（a+b），再利用长方形的面积公式及
多项式乘以多项式的法则，可得答案.
二、填空题：
5．如图是今年某月的日历表（隐去日期），表中a，b，c，d表示该方框中日期的数值，则bc－ad＝
.
【答案】48
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：∵b=a+6，c=a+8，d=a+14
∴
故答案为：48.
【分析】利用日历表中数据的排列规律，可知b=a+6，c=a+8，d=a+14，将其代入进行化简，可求出
bc－ad的值.
6．为了绿化校园，学校决定修建一块 长方形草坪，长30米，宽20米，并在草坪上修建如图所示的
等宽的十字路，小路宽为x米，用代数式表示草坪的面积是 平方米(化成最简形式)．【答案】
【知识点】多项式乘多项式；用字母表示数
【解析】【解答】小路的面积=（30-x）(20-x）=600-50x+x2.
【分析】利用平移将四块草坪化成一个矩形，求出矩形的长（30-x）米，宽(20-x）米，利用矩形的面
积公式求解即可.
7．已知 ， ，其中 均为整
数，则
【答案】±8
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题可得 ，
， ，
又 均为整数，
∴ ， ， ， 或 ， ， ，
即 ．
故答案为：±8．
【分析】根据等式两边对应相等的关系，可得到ab和cd的值，以及a+b和c+d的关系，再根据a、
b、c、d是整数，即可得到结果．
三、解答题：
8．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
{n+3=-4
∴
m=3n
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【答案】解：设另一个因式为（2x+a），得2x2+3x﹣k＝（x﹣5）（2x+a）
则2x2+3x﹣k＝2x2+（a﹣10）x﹣5a
{a-10=3
∴ ，
-5a=-k
解得：a＝13，k＝65．
故另一个因式为（2x+13），k的值为65．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】利用题干中的计算方法，设另一个因式为（2x+a），可得2x2+3x﹣k＝2x2+（a﹣
{a-10=3
10）x﹣5a，再利用待定系数法可得 ，求出a、k的值即可。
-5a=-k
9．观察下列各式
（x﹣1）（x+1）＝ ﹣1
（x﹣1）（ +x+1）＝ ﹣1
（x﹣1）（ + +x+1）＝ ﹣1
…
(1)根据以上规律，则 ＝ ．
(2)你能否由此归纳出一般性规律： ＝ ．
(3)根据②求出： 的结果．
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】（1）根据规律可得出 结果；
（2）由规律得出x的指数为n+1，即可得出答案；
（3） 的可以写成 ，根据规律计算即可．
（1）
解：由规律得： ；
故答案为：
（2）
解： ；
故答案为：
（3）
解：
=
= ．
【点睛】本题考查了整式的乘法运算，找到算式的规律是解题的关键．
