文档内容
14.3.3 运用完全平方公式因式分解 教学设计
一、教学目标：
1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．
2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．
二、教学重、难点：
重点：运用完全平方公式分解因式.
难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行
分解.
三、教学过程：
复习回顾
计算下列各式：
① (x+2)2=____________； ② (x-2)2=____________；
③ (2x+3y)2=______________； ④ (2x-3y)2=______________.
知识精讲
思考：多项式 a2+2ab+b2 与 a2-2ab+b2 有什么特点？你能将它们分解因式吗？
（1）每个多项式有几项？三项
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
（3）中间项和第一项、第三项有什么关系？
中间项是第一项和第三项底数的积的±2倍
完全平方式
这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的 2倍，这恰是两个数的和或差的平方，我们把a2+2ab+b2 与 a2-2ab+b2 这样的式子叫做完全平方式.
完全平方式的特点：
1.必须是三项式(或可以看成三项的)
2.有两个同号的平方项
3.有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
【针对练习】判断下列各式是不是完全平方式.
(1) a2-2ab-b2 ( ) (2) a2+b2-2ab ( ) (3) -6xy+9x2+y2 ( )
1
(4) a2-6ab+b2 ( ) (5) x2+x+ ( ) (6) m2+4mn+2n2 ( )
4
典例解析
例1.已知4x2+mx+36是完全平方式，则m的值为（ ）
A．8 B．±8 C．24 D．±24
【分析】解：∵4x2+mx+36是一个完全平方式，
∴mx＝±2•2x•6，
解得：m＝±24，
故选：D．
【点睛】本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参
数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的 2倍的符号，避免
漏解．
【针对练习】
1．已知x2+4x+k是一个完全平方式，则常数k为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
2.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么常数m的值为________.
知识精讲
把整式乘法的完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2
的等号两边互换位置，就得到典例解析
例2.分解因式：
(1) 16x2+24x+9 (2) -x2+4xy-4y2
分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即
16x2+24 x+9= (4 x)2 + 2·4 x·3 + 32
分析:(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为-(x2-4xy+4y2)，然后再利用公式
分解因式.
解：(1)原式=(4 x)2+2·4 x·3+32=(4x+3)2
(2)原式=-(x2-4xy+4y2) =-[(x2-2·x·2y+(2y)2] =-(x-2y)2
【针对练习】分解因式：
(1) x2+12x+36 (2) -2xy-x2-y2 (3) a2+2a+1 (4) 4x2-4x+1
解：(1)原式= x2+2·x 6+62=(x+6)2
(2)原式= -(x2+2xy+y2)=-(x+y)2
(3)原式=(a+1)2
(4)原式=(2x)2-2·2x·1+1=(2x-1)2
例3.分解因式：
(1) 3ax2+6axy+3ay2 (2) (a+b)2-12(a+b)+36
分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解；(2)中，将a+b看作一个整体，设
a+b=m，则原式化为完全平方式m2-12m+36.
解：(1)原式=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2
【针对练习】分解因式：
(1) ax2+2a2x+a3 (2) -3x2+6xy-3y2 (3) (x+y)2-12x-12y+36
解：(1)原式= a(x2+2ax+a2)=a(x+a)2(2)原式= -3(x2-2xy+y2)=-3(x-y)2
(3)原式=(x+y)2-12(x+y)+36=(x+y)2-2·(x+y)·6+62=(a+b-6)2
公式法
把整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2和完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-
b)2=a2-2ab+b2的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，
a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因
式的方法叫做公式法.
例4.把下列各式分解因式:
(1) (x2+y2)2-4x2y2 (2)4x2(x-1)-16(1-x)2 (3)16x4-72x2+81
解: (1) 原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)=(x+y)2(x-y)2
(2)原式=4x2(x-1)-16(x-1)2=4(x-1)[x2-4(x-1)]=4(x-1)(x2-4x+4)=4(x-1)(x-2)2
(3)原式=(4x2)2-2 · 4x2 · 9+92=(4x2-9)2=[(2x+3)(2x-3)]2=(2x+3)2(2x-3)2
例5.简便计算：
(1)1002－2×100×99+99²； (2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)²=1；
(2)原式＝(34＋16)2＝2500.
例6.已知ΔABC三边长a，b，c满足a2+b2+c2-6a-6b-10c+43=0，试判断ΔABC的形状．
解：∵a2+b2+c2-6a-6b-10c+43
=a2-6a+9+b2-6b+9+c2-10c+25
=(a-3) 2+(b-3) 2+(c-5) 2
=0，
∴a-3=0，b-3=0，c-5=0，
∴a=3，b=3，c=5，
∴ΔABC为等腰三角形．
【针对练习】已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断
△ABC的形状，并说明理由．
解：△ABC是等边三角形．理由如下：
由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，
得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.下列式子为完全平方式的是( )
A. a2+2a+b2 B. a2+2a+2 C. a2-2+b2 D. a2+2a+1.
2.分解因式x2-2x+1的最终结果是( )
A.x(x-2)+1 B. (x+1) (x-2) C. (x-1)2 D. (x+1)2
3.分解因式后结果是-(x-y)2的多项式是( )
A.-x2+2xy-y2 B. x2-2xy-y2 C. x2-2xy+y2 D. -x2-2xy-y2
4.下列分解因式错误的是( )
A. x2-y2= (x+y) (x-y) B. x2+6x+9= (x+3)2
C. x2+xy=x (x+y) D. x2+y2= (x+y)2
5.若x2- 2(k+1)x+4是完全平方式，则k的值为( )
A.1或-3 B. -1或3 C.±1 D.±3
6.已知a=b+2，则代数式3a2-6ab+3b2+2022的值为（ ）
A．2020 B．2024 C．2021 D．2034
7．分解因式：2a2-8a+8=___________．
8．因式分解： ______________．
(m+n) 2-6(m+n)+9=
9．分解因式a2+4ab+4b2-1=__________________________．
10．若x2﹣8x+m2＝(x﹣4)2，那么m＝_____．
11．若 可以用完全平方式来分解因式，则m的值为__________．
x2+(3-m)x+9
12．分解因式：
(1)a-2a2+a3； (2)m3n-10m2n+25mn；(3) ； (4) .
(x2-5) 2 +8(5-x2)+16 (a2+b2-c2 ) 2-4a2b2
13．计算：
（1）3.142+6.28×6.86+6.862；（2）20222-2022×4042+20212.
14.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；
(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
15．已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足：a2+2b2-4a-20b+54=0，求△ABC
的周长．
【参考答案】
1. D
2. C
3. A
4. D
5. A
6. D
7.
2(a-2) 2
8.
(m+n-3) 2
9.
(a+2b+1)(a+2b-1)
10. ±4
11. -3或9
12.（1）解：a-2a2+a3
=a(1-2a+a2)
；
=a(a-1) 2
（2）解：m3n-10m2n+25mn
=mn(m2-10m+25)
；
=mn(m-5) 2（3）解：
(x2-5) 2 +8(5-x2)+16
=(x2-5) 2 -8(x2-5)+16
=(x2-5-4) 2
=(x2-9) 2
=(x+3) 2 (x-3) 2
（4）解：＝
(a2+b2-c2+2ab)(a2+b2-c2-2ab)
＝
[(a+b) 2-c2][(a-b) 2-c2]
＝(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)．
13.解：（1）3.142+6.28×6.86+6.862
=3.142+2×3.14×6.86+6.862
=(3.14+6.86) 2
=102
=100．
（2）20222-2022×4042+20212
=20222-2×2022×2021+20212
=（2022-2021）2
=12
=1．
14.解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
当a－b＝3时，原式＝32＝9.
(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
当ab＝2，a＋b＝5时，
原式＝2×52＝50.
15.解：∵a2+2b2-4a-20b+54=0，
∴a2-4a+4+2b2-20b+50=0，∴ ，
(a-2) 2+2(b-5) 2=0
∴a-2=0，b-5=0，
解得a=2，b=5，
∵△ABC的三边长a、b、c都是正整数，5-2
