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第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
第2课时 三角形的中位线
（2个知识点+6大题型+15道拓展培优题）
分层作业
题型目录
题型一 利用三角形中位线求线段长
题型二 利用三角形中位线求角度
题型三 三角形中位线与三角形面积问题
题型四 与三角形中位线有关的证明问题
题型五 三角形中位线的实际应用
题型六 三角形中位线的综合大题
【知识梳理】
知识点1：三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
注意：
（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的 4个小三角形.因而每个小三角形的周长
1 1
为原三角形周长的2 ，每个小三角形的面积为原三角形面积的4 .
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
知识点2：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状
顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.题型一 利用三角形中位线求线段长
1．如图，菱形 中，对角线 、 交于点O，菱形 周长为24，点P是边 的中点，则线
段 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】A
【分析】本题考查的是菱形的性质，三角形的中位线的性质，先求解 ，利用三角形的中位线的性质
可得答案．
【详解】解：∵菱形 的周长为24，
∴ ，点O为 的中点，
∵P是 的中点，且 ,
∴ ．
故选A．
2．如图，在 中， ， ， ， 是线段 上靠近点 的一个三等分点，延
长 到点 ，使得 ，连接 ．若 ， 分别是 ， 的中点，则 的长为（ ）
A．4 B． C． D．5
【答案】C【分析】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理解三角形，正确作出辅助线
是解题的关键．
解法1：过点 作 ，垂足为点 ，过点 作 ， ，垂足分别为点 ， ．根据
矩形的性质得到 ，再由勾股定理即可解答．
解法2：如图2，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ．易证 ，得到
为 的中位线，再根据勾股定理即可解答．
【详解】解法1：如图1，过点 作 ，垂足为点 ，过点 作 ， ，垂足分别
为点 ， ．易得四边形 为矩形， ，
， ， ，
，
，
．
解法2：如图2，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ．
， ， ，
∴ ，
， ，
为 的中位线，在 中， ．
．故选：C
3．如图，在 中，D，E分别是 的中点， ，F是线段 上一点，连接 ，
．若 ，则 的长度是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，
且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出 ，再根据题意求出 ，然后根据直角
三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵D、E分别是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，E是 的中点，
∴ ，
故答案为：6．
4．如图，在正方形 中，点E，F分别是 上的点， 相交于点L， ，G为上一点，H为 的中点．若 ， ，连接 ，则线段 的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中位线定理、勾股定理等知识点．连接
，证 得 ，再证 得 ，即可推出 为 的中位线，
据此即可求解．
【详解】解：连接 ，如图所示：
由题意得： ，
∵ ， ，
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∵H为 的中点，
∴ 为 的中位线
∴
∵ ， ，
∴∴
∴
故答案为：
5．如图， 于点 于点 ，连接 分别为 的中点，连接 ．
(1)求证： ．
(2)猜想线段 之间的数量关系并证明．
【答案】(1)见解析
(2) ．
【分析】（1）取 的中点G，连接 ，利用三角形中位线定理证明 ， ，推出
点 在同一直线上，据此即可证明 ；
（2）利用三角形中位线定理即可求得 ．
【详解】（1）证明：取 的中点G，连接 ，
∵F为 的中点，
∴ ， ，
又∵E为 的中点，
∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴点 在同一直线上，
∴ ；
（2）解：由（1）得：F为 的中点，E为 的中点，点G是 的中点，点 在同一直线上，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，掌握“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”
是解题的关键．
题型二 利用三角形中位线求角度
1．如图，在四边形 中，点E、F分别是边 、 的中点， ， ， ，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于
第三边的一半，熟练掌握中位线定理并作出正确的辅助线是解决本题的关键．连接 ，根据三角形中位
线定理得到 ， ，根据勾股定理的逆定理得到 ，计算即可．
【详解】解：连接 ，
∵E、F分别是边 、 的中点，
∴ ， ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
2．如图，在四边形 中，G是对角线 的中点，点E、F分别是 、 的中点， ，
°， ．则 的度数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形中位线定理得到 ， ，根据平行线的性质求
出 ，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
【详解】解：∵点E、G分别是 、 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵点F、G分别是 、 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
3．如图，在四边形 中，P是对角线 的中点，E、F分别是 、 的中点， ，
，则 的度数是 .
【答案】
【分析】根据P是对角线 的中点，E、F分别是 、 的中点，即可得到 ， ，
结合 得到 ，结合 即可得到答案；
【详解】解：∵P是对角线 的中点，E、F分别是 、 的中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【点睛】本题考查三角形中位线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是得到 ．
4．如图，在平行四边形 中，点E在边 上，连接 并延长至点F，使 ，连接 并延长
至点G，使 ，连接 若 ， ，则 的度数为
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关
键．由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，， ，
， ，
，
， ，
是 是中位线，
，
故答案为：
5．如图，在四边形 中，点P是对角线 的中点，点E、F分别是 、 的中点， ，
，求 的度数．
【答案】
【分析】根据中位线的性质得出 ， ，根据 ，得出 ，根据等腰三角
形的性质得出 ，根据三角形内角和得出求出 ．
【详解】解：∵P是 的中点，E，F分别是 、 的中点，
∴ ， 分别是 与 的中位线，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了中位线的性质，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟
练掌握三角形的中位线等于第三边的一半．题型三 三角形中位线与三角形面积问题
1．如图， 是 内部一点， ，且 ， ，依次取 ， ， ， 的中点，
并顺次连接得到四边形 ，则四边形 的面积是（ ）
A．12 B．16 C．24 D．48
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的性质与判定，先根据三角形中位线定理可得
， ， ，从而可得
，再根据平行四边形的判定可得四边形 是平行四边形，然后根据平行线的性质
可得 ，根据矩形的判定可得平行四边形 是矩形，最后利用矩形的面积公式求解即可得．
【详解】解： 点 分别是 ， 的中点，且 ，
，
同理可得： ， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
又 ，
，
平行四边形 是矩形，∴四边形 的面积是 ，
故选：A．
2．如图，在正方形纸板 中， 为对角线， ， 分别为 ， 的中点， 分别交 ，
于 ， 两点， ， 分别为 ， 的中点，连接 ， ，沿图中实线剪开即可得到一副七巧
板．若 ，则四边形 的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据三角形的中位线的性质得到 ， ，推出点 在 上，得到 ，
得到四边形 平行四边形，过 作 于 ，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【详解】解： 、 分别为 、 的中点，
， ，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
点 在 上，
，
为 的中点，
，
四边形 为平行四边形．
如图，过点 作 于点 ，，
为 的中点，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了七巧板，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，正确的识
别图形是解题的关键．
3．已知三角形的各边长分别为 ， ， ，则以各边中点为顶点的三角形的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，首先根据中位线性质得到 ，
， ，然后证明出 ，然后利用三角形面积公式求解即可．解
决本题的关键是利用中点定义和中位线定理得到新三角形各边长与原三角形各边长的数量关系．
【详解】如图所示， ， ， ，
∵点D是 的中点，点F是 的中点，点E是 的中点，
∴ ， ，
∵∴
∴ ．
故答案为： ．
4．已知三角形的各边长分别是 ， ， ，则以各边中点为顶点的三角形面积是 ．
【答案】30
【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，易得连接这个三角形三边中点
所得的三角形的三边，再利用勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再利用三角形的面积公式即可求出
其面积．
【详解】解：如图，D，E，F分别是 的三边的中点，且 ，
则 ，
∵ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴此直角三角形的面积为： ．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的中位线定理，能够根据具体数据运用勾股定理的逆定理
判定该三角形是一个直角三角形是解决此类问题的关键．
5．已知：在 中， ，点 分别是 的中点．
(1)如图1，若 ，请判断四边形 的形状，并证明你的结论；(2)如图2，若 ， ，求四边形 的周长和面积．
【答案】(1)四边形 是正方形，理由见解析
(2)四边形 的周长为8，面积为
【详解】（1）四边形 是正方形．证明： ，点 分别是 的中点，
．∴四边形 是菱形． ，∴菱形 是正方形．
（2）解：如图，连接 ． ，点 是 的中点， ．又 ，
， ， ．在 中，设 ，则 ，由勾股定理得
，解得 ．由题意可知 是 的中位线，
． ，菱形 周长为 ．由题可得 是 的中位
线， ．∴菱形 的面积 ．
答：四边形 的周长为8，面积为 ．
易错点分析:此题主要考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质定理，综合运用
各定理是解答此题的关键．
题型四 与三角形中位线有关的证明问题
1．如图，已知 是 的中线， 、 分别是 、 边上的中点，则下列说法正确的个数是
（ ）
① ；② ；③ 和 互相平分；④连接 ，则四边形 是平行四边形；⑤
．A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，根据由三角形中位线定理逐一判断
①②⑤；由 ， ，易得四边形 是平行四边形，可判断③④．
【详解】解：如图，连接 ，
是 的中线，
点D是 的中点，
、 分别是 、 边上的中点，
，故①②⑤正确；
， ，
四边形 是平行四边形，
和 互相平分；故③④正确；
则正确的有5个，
故选：D．
2．如图，在四边形 中，E、F、G、H分别是 边的中点，则下列条件能使得四边
形 为矩形的是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，利用三角形中位线定理推出
，进而证明四边形 为平行四边形，再由一组邻边垂直的平行四边形是矩形可知
只需要满足 即可证明结论，据此求解是关键．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵点E、F 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
同理可得 ，
∴
∴四边形 为平行四边形，
若要使其为矩形，只需对角线互相垂直，
题中C选项 ，即在四边形 中， ，
故选C．
3．如图，点E，F，G，H分别是四边形 的边 ， ， ， 的中点，连接四边形 各边
中点，当四边形 满足 条件，四边形 是矩形．
【答案】
【分析】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定．根据三角形的中位线定理得到 ， ， ， ，推出， ， ，根据一组对边平行
且相等的四边形是平行四边形得出四边形 是平行四边形；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，
可知当四边形 的对角线满足 的条件时，四边形 是矩形．
【详解】解： 、 分别是 、 中点，
， ，
同理 ， ，
， ，
四边形 是平行四边形．
、 、 、 分别为四边形 四条边上的中点，
， ，
，
，
又 四边形 是平行四边形，
平行四边形 是矩形；
故答案为： ；
4．如图，点 、 、 、 分别是四边形 边 、 、 、 的中点，若四边形 是菱
形，则四边形 的对角线 和 需要满足的条件是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是补充条件使四边形为菱形，考查了三角形中位线的性质，先证明四边形 是平
行四边形，结合 ，可得四边形 是菱形，逆推 ．
【详解】解：∵点 、 、 、 分别是四边形 边 、 、 、 的中点，
∴ ， ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴四边形 是平行四边形，当 ，则四边形 是菱形，
∴ ，
∴当 时，四边形 是菱形．
故答案为：
5．如图，在四边形 中， ，点P是对角线 的中点，M是 的中点，N是 的中点，
延长线段 交 的延长线于点E，延长线段 交 的延长线于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的大小．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形中位线定理，三角形外角的性质，熟练掌握三角形中位线定理即可得到结论．
（1）根据三角形中位线定理得到 ， ，求得 ，同理 ，
，等量代换即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到 ，根据三角形外角的性质得到
，根据平行线的性质得到 ， ，根据等
腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵P是 的中点，M是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
同理 ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的一个外角，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
题型五 三角形中位线的实际应用
1．要测量池塘两岸 的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点 ，得到线段 ，并取
的中点 ，连结 ，则他只需测量哪条线段的长度．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题
的关键．根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解： ， 分别为 ， 的中点，
是 的中位线，，
要测量 ， 两地的距离，他只需测量 长，
故选：B．
2．如图，要测量被池塘隔开的 ， 两点的距离，先在池塘外选一点 ，连接 ， ，然后找出它们
的中点 ， ，连接 ．测得 ， ， ，根据给定的条件，推断 的长等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】解： ， ，
是 的中位线，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
3．要测池塘 ， 两地的距离，小明想出一个方法：如图，在池塘外取点 ，得到线段 ， ，并取
， 的中点 ， ，连接 ，测得 米，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半求
解即可．【详解】∵ ， 的中点 ， ，
∴ 是 的中位线，
∴ （米），
故答案为： ．
4．如图所示，李叔叔家有一块呈等边三角形的空地 已知 分别是 的中点，测得
，李叔叔想把四边形 用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是
【答案】
【分析】由等边三角形的性质得到 ，由中点定义得到
，由三角形中位线定理得到 ，即可解决问题．
【详解】解： 是等边三角形，
∴ ，
∵ 分别是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
，
分别是 的中点，
，
是 的中位线，
，
需要篱笆的长是 ．
故答案为：
【点睛】本题考查三角形中位线定理，等边三角形的性质，关键是由三角形中位线定理得到 ．
5．如图1，在平行四边形 中，点E、F分别为 ， 的中点，点G，H在对角线 上，且
．(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)如图2，连接 交 于点O，若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 的长是4
【分析】（1）由平行四边形的性质得 ， ，则 ，由 ，
，得 ，即可证明 ，得 ， ，则 ，所
以四边形 是平行四边形．
（2）设 交 于点L，连接 ，根据三角形的中位线定理可证明 ，则 ，
所以四边形 是矩形，则 ，而 ，则 ，进而可得 ，
则可解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
，
∵E、F分别为 ， 的中点，
， ，
∴ ，
在 和 中，
，
，
， ，，
∴四边形 是平行四边形．
（2）如图②，设 交 于点L，连接 ，
， ，
，
，
，
∴四边形 是矩形，
，
，
，
， ，
，
∴ 的长是4．
【点睛】本题考查平行四边形判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、直角三角形
斜边上的中线等于斜边的一半等知识，证明 是解题的关键．
题型六 三角形中位线的综合大题
1．如图，在 中， ， ，点D，E分别是 边上的动点，连结 ，F，M分
别是 的中点，则 的最小值为（ ）A．12 B．10 C．9.6 D．4.8
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形的面积，三角形中位线定理，正确得出 的值
是解题的关键．过点B作 于H，当 取最小值时， 的值最小，由垂线段最短可知，当
于点E时， 的值最小，利用等腰三角形三线合一的性质求出 的长，进而利用三角形等面积
法求解即可．
【详解】过点B作 于H，
∵F，M分别是 的中点，
∴ ，
当 取最小值时， 的值最小，
由垂线段最短可知，当 于点E时， 的值最小，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故选：D．
2．在如图所示的 中，点D，E在边AB上， 的平分线 于F， 的平分线
于H，若 ， ，则 的周长为（ ）
A．10 B．12 C．18 D．20
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理．证明 ，推出
， ，同理 ， ，得到 是 的中位线，进一步计算即可求解．
【详解】解：∵ 平分 ，且 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
同理可证 ， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
故选：D．
3．如图，在菱形 中， ， ， 交 于点 ， 为 的中点，连接 并延长，交
于点 ，点 为 的中点，连接 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线，由菱形的性质可得， ， ，由勾股定理计算出 ，
由三角形中位线定理可得 ， ，证明可得 ，再由
，即可得到答案，熟练掌握相关知识并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵四边形 是菱形， ， ，
∴ ， ， ，
在 中，由勾股定理，得 ，
∵点 为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．4．如图，D是等边三角形 的边 上一点，四边形 是平行四边形，点F在 的延长线上，G
为 的中点．连接 ，若 ， ，则 的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了等边三角形的性质及判定，三角形中位线定理以及平行四边形的性质，延长 交
于M点，易得 是等边三角形，从而可求 ，G为 的中点，由中位线定理可得 ．
【详解】解：延长 交 于M点，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
又∵G为 的中点，即 是 的中位线，
∴ ，
故答案为：3．
5．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①， 中，若 ，求 边上的中线 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点E，使 ，连接 ．
请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到 ，依据是_____．
A． B． C． D．
（2）由“三角形的三边关系”可求得 的取值范围是_____．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件
和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【初步运用】
如图②， 是 的中线， 交 于E，交 于F，且 ．若 ，则线段
的长 _____．
【灵活运用】
如图③，在 中， ，D为 中点， 交 于点 交 于点F，连接
，试猜想线段 三者之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）B；（2） ； ； ，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判
定定理和性质定理是解题的关键．
（1）根据全等三角形的判定定理解答；
（2）根据三角形的三边关系计算；
初步运用 延长 到M，使 ，连接BM，证明 ，根据全等三角形的性质解
答；
灵活运用 延长 到点G，使 ，连结 ，证明 ，得到 ，根据
勾股定理解答．
【详解】解：（1）在 和 中，，
∴ ，
故选B；
（2）∵ ，
∴ ，
在 中，
，
∴
∴ ，
故答案为 ；
【初步运用】延长AD到M，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵AD是 中线，
∴ ，
∵在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
【灵活运用】线段 之间的等量关系为： ．
证明：如图3，延长 到点G，使 ，连结 ，∵ ，
∴ ，
∵D是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 中， ，
∴ ．
1．（2023上·河南焦作·九年级统考期中）如图，正方形 和正方形 的边长分别为6和2，点
F，G分别在边 ， 上，P为 的中点，连接 ，则 的长为（ ）A．5 B．5 C． D．5
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理和中位线定理，正确做出辅助线是解出本题关键．根据题意延长 交 于点
，作 于点 ，则 是 的中位线，求得 的长，再利用勾股定理即可得到本题答
案．
【详解】解：延长 交 于点 ，作 于点 ，
，
∴ ，
∵P为 的中点，
∴ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵直角 中， ，
∴ 是等腰直角三角形，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
故选：C．
2．（2024上·山东淄博·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，D是 的中点，
E是 上一点，若 平分 的周长，则DE的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，如图，延长 至 ，使得
，连接 ，证明 是等边三角形得到 ，再证明 ，进而推出 是
的中位线，则 ．
【详解】解：如图，延长 至 ，使得 ，连接 ，
，
,
是等边三角形，
，
是边 的中点， 是边 上一点， 平分 的周长，
， ，
，
，
，即 ，
是 的中位线，
．
故选：B．
3．（2024上·山东泰安·八年级统考期末）如图，在平行四边形 中， ， ， ，
点 、 分别是边 、 上的动点．连接 ，点 为 的中点，点 为 的中点，连接 ．则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，取 的中点M，连接 、 、 ，作 于N．首先证明 ，求出
， ，利用三角形中位线定理，可知 ，求出 的最小值即可解决问题．
【详解】解：如图，取 的中点M，连接 、 、 ，作 于N．
∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∵垂线段最短，
∴当点G在点N时， 的最小，即 的最小值为 的长，此时 也最小，
∴ 最小值为 ， 的最小值为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性
质、垂线段最短，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明 ，属于
中考选择题中的压轴题．
4．（2023上·河南周口·九年级校联考期末）如图， 、 分别是 的中线和角平分线， ，
，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形中位线定理，三线合一性质，勾股定理，取 的中点F，连结 ，计算即可．
【详解】解：如图，取 的中点F，连结 ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ．由勾股定理，得 ．
∵BE平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．根据等腰三角形“三线合一”，得 ．
∵ ，
∴
∴E是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ 的中点F，
∴ ，
∴ ．
故选D．
5．（2023上·河南平顶山·九年级校考阶段练习）如图，在矩形 中，点 ， 分别是边 ， 的
中点，连接 ， ，点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ，若 ， ，则 的长度
为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 并延长交 于 ，连接 ，根据矩形的性质得到 ， ，根据全等三角
形的性质得到 ，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【详解】解：连接 并延长交 于 ，连接 ，
四边形 是矩形，
， ，
， 分别是边 ， 的中点， ， ，
， ，
，
在 与 中，
，
， ，
，
，
点 是 的中点， 是 的中点，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
6．（2023下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，已知矩形 ， ， ， 平分
交 于点E，点F、G分别为 、 的中点，则 ．
【答案】
【分析】连接 ．由矩形的性质可间接证明 ，结合角平分线的定义得出 ，
即得出 ，从而可求出 ，再由勾股定理可求出 ，最后根据三角形中位线定理求
解即可．
【详解】解：如图，连接 ．
∵四边形 为矩形，
∴ , ， ， ，
∴ ．
∵ 平分 交 于点E，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∴ ．
∵点F、G分别为 、 的中点，∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查矩形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，
三角形中位线定理．正确连接辅助线是解题关键．
7．（2023上·吉林·八年级校考期中）如图，在等边 中 ，点D是 的中点，P是 上的
动点，E是 的中点，则 的最小值为 cm．
【答案】10
【分析】本题考查了等边三角形的性质和对称轴，线段和最小，根据等边三角形的对称性计算即可．
【详解】∵ 是等边三角形，点D是 的中点，
∴直线 为 的一条对称轴， ，
取 的中点F，连接 ， ，
∵E是 的中点，点D是 的中点，
∴ ， , , ，
∴ ， ，
∴直线 为线段 的垂直平分线，
∴直线 为线段 的对称轴，
连接 ，交 于点G，
故当点P与点G重合时， 取得最小值，此时 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故 的最小值为 ，
故答案为：10．
8．（2024上·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校联考阶段练习）如图， 中， ，
， ，点 为 边上的中点，将 沿 对折，使点 落在同一平面内的点 处，连
接 ，则 的长为 ．
【答案】7.2/ /
【分析】本题主要考查了翻折变换、勾股定理、三角形中位线定理等知识，连接 ，利用勾股定理可求
的长度是本题的关键．由折叠的性质可得 ， ，由勾股定理可求 ， 的长，结
合三角形中位线的性质即可求 的长度．
【详解】解：连接 ，如下图，
∵将 沿 对折，使点 落在同一平面内的点 处，
∴ ， ，
∵点 为 边上的中点，
∴ ，
又∵ ， ，∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 为 的中位线，
∴ ．
故答案为：7.2．
9．（2024·全国·八年级竞赛）如图，在 中， ， ， ，若 ，
， 则 的长度为 ．
【答案】
【分析】此题考查了中位线性质定理，等腰三角形的判定与性质和勾股定理，延长 交 于点 ，证明
，从而有 ， 是 的中位线，再根据等腰三角形的性质与判定得出 ，
最后由勾股定理即可求解，解题的关键是是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】如图，延长 交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的中位线，即点 是 的中点，即 是 的中线，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
故答案为： ．
10．（2024上·山东淄博·九年级统考期末）如图，已知 ，延长直角边 至点 ，使 ，
为直角边 上的点，且 ，连接 ， ， 分别为 ， 的中点，连接 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形中位线定理，勾股定理等知识．连接 ，取 中点 ，连接 ， ，由三
角形中位线定理推出 ， ， ， ，再证明 ，根据勾股定理即
可求出 的长．
【详解】解：连接 ，取 中点 ，连接 ， ， 交 于点H．
∵ ， 分别为 ， 的中点，是 的中位线， 是 的中位线，
， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴在 中， ．
故答案为：
11．（2024下·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考开学考试）如图， 是 的中位线，延长
至点 ，使 ，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 ，试判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) 为直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据三角形中位线定理可得 ， ，求出 ，根据平行四边形的判定
可得结论；
（2）根据平行四边形的性质和三角形中位线定理求出 ，可得 ，
，然后利用三角形内角和定理求出 即可．
【详解】（1）证明： 是 的中位线，
， ，，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解： 为直角三角形；
理由： 四边形 是平行四边形，
，
，
，
是 的中位线，
．
，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
为直角三角形．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟
练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
12．（2024上·山东淄博·八年级统考期末）已知，如图 中，点 是边 的中点，点 是 的中点，
连接 并延长交边 于点 ．求边 的长．
【答案】6
【分析】本题考查求线段长，涉及三角形中位线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，取
的中点 ，连接 ，如图所示，根据中位线的判定与性质得到 ，进而利用全等三角形的判定与性质得到 ，从而得到答案，灵活构造出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定与性
质是解决问题的关键．
【详解】解：∵取 的中点 ，连接 ，如图所示：
是 的中位线，
∴ ，
，
∵点 是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
，
，
∴ ，
∴ ．
13．（2024上·山东淄博·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ，对角线 ， 交
于点 ，点 ， 分别是 ， 延长线上的点，且 ， ，连接 ，点 为 的中点．连
接 ，交 于点 ，连接 ．(1)猜想： 是 的中点吗？并加以证明；
(2)求 的长．
【答案】(1)H是 的中点，证明详见解析
(2)
【分析】（1）如图，取 中点 ，连接 ，根据矩形性质，可证得 是 的中位线，再由中
位线性质，可得 ， ， 由平行线性质可得， ， ，已
知 的值，可求出 与 长度相等，根据全等三角形判定 ，证得 ，可得
，即可证得结论；
（2）如图，连接 ，由矩形性质可得 ，由已知条件，求出 的值，即可利用勾股定理求
出 的值，由 是 中点， 是 中点，根据中位线定义得 是 的中位线，根据中位线性质，
可得 ，即可求出 的值．
【详解】（1）解： 是 的中点，
证明：如图，取 中点 ，连接 ，
四边形 是矩形，对角线 ， 相交于点 ，
是 中点， ， ，
是 中点，
是 的中位线，
， ，
， ，
，，
，
，
在 和 中，
，
，
，
是 的中点．
（2）解：如图，连接 ，
四边形 是矩形，
．
，
，
， 是 中点，
，
，
，
在 中， ， ， ，
是 中点， 是 中点，
是 的中位线，．
【点睛】本题考查了矩形的性质，中位线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理解
三角形，掌握相关性质，合理添加辅助线，证得 及构造直角三角形求出 的值是解题关
键．
14．（2023上·山东泰安·八年级统考期末）在四边形 中， ，E、F分别是 的中点．
(1)如图1，若M是 的中点，求证： ．
(2)如图2，连接EF并延长，分别与 的延长线交于点M、N，求证： ．
(3)如图3，在 中， ，D点在 上， ，E、F分别是 的中点，连接 并延
长，与 的延长线交于点G，若 ，连接 ，判断 的形状并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) 是直角三角形，证明见解析
【分析】（1）根据E、M是 的中点，证明 是中位线，同理证明 是中位线，根据中位线的
性质以及角的等量代换，得证 是等腰三角形，，即可作答；
（2）连接 ，作 的中点P，连接 ．根据中位线的判定与性质，得 ，同理得
，然后等边对等角，得 ，结合角的等量代换，即可作答．
（3）连接 ，取 的中点H，连接 ，根据中位线的判定与性质，得 ， ，
同理， ， ，然后证明 、 是等边三角形，结合角的等量代换，得证
是直角三角形，即可作答．
【详解】（1）证明：∵E、M是 的中点，
∴ ，同理可得
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ；
（2）证明：如图，连接 ，作 的中点P，连接 ．
∵点F是 的中点，
∴在 中， ， ，
∴
同理可证： ， ．
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ；
（3）证明：如图连接 ，取 的中点H，连接 ，∵F是AD的中点，
∴ ， ，
同理， ， ，
∵
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
∵ ，
∴ ，
∴
∴
即 是直角三角形．
【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三
角形的判定，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
15．（2024上·浙江湖州·八年级统考期末）如图1， 中， ， 于点E， 于
点D， ， 与 交于点F，连结 ．(1)求证： ；
(2)求 的度数；
(3)如图2， ，点P是线段 上一点，连结 ，将 沿直线 翻折，使得点C落在同一平
面内的点 处，当 为等腰三角形时，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) ；
(3)当 或 时， 是等腰三角形．
【分析】（1）利用等角的余角相等求得 ，再利用 证明 ，即可推出
；
（2）先证明 是等腰直角三角形，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得 的度数，
据此求解即可；
（3）分两种情况讨论，画出图形，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 且平分 ，
∴ ，
当 时， 为等腰三角形；
当点 在 上时，如图，
由折叠的性质得 ， ， 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由三角形中位线定理得 ，
∴ ，∵ ， ，
∴点 在 上，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
综上，当 或 时， 是等腰三角形．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，三
角形中位线定理等知识；应牢固掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质等知识点，并灵活运用．
