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解题技巧专题：利用全等解决问题的模型与技巧
——明模型，先观察，再猜想，后证明
类型一 全等三角形的基本模型 5．如图，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC
1．如图，AC＝AD，BC＝BD，∠A＝50°， ＝90°，直线 l 为经过点 A 的任一直线，
∠B＝90°，则∠C＝________. BD⊥l于D，CE⊥l于E，若BD＞CE，试问：
(1)AD与CE的大小关系如何？请说明
理由；
(2)线段BD，DE，CE之间的数量关系如
何？请说明理由．
第1题图 第2题图
2．如图，锐角△ABC的高AD，BE相交
于F，若BF＝AC，BC＝7，CD＝2，则AF的
长为_________.
3．如图，点A，D，C，E在同一条直线上，
AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝
6，则CD的长为 （ ）
A．2 B．4 C．4.5 D．3
4．如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝ 二、截长补短法
∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E 6．如图，在四边形ABDE中，C是BD
在同一直线上，连接BD交AC于点F. 边的中点，若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，
(1)求证：△BAD≌△CAE； 猜想线段AE、AB、DE的长度满足的数量关
(2)猜想BD，CE有何特殊位置关系，并 系，并证明．
说明理由．
三、倍长中线法
类型二 证明线段间的等量关系 7．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，则BC
一、等线段代换 边上的中线AD的取值范围是（ ）
1 ..A．6＜AD＜8
B．2＜AD＜14
C．1＜AD＜7
D．无法确定
参考答案与解析
1．110° 2.3 3.A
4．(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即
∠BAD＝∠CAE.在△BAD 和△CAE 中，
2 ..∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)．
(2)解：BD⊥CE.理由如下：由(1)可知
△ BAD≌△CAE ， ∴ ∠ ABD ＝
∠ACE.∵∠BAC＝90°，∴∠ABD＋∠AFB＝
90°.又∵∠AFB＝∠DFC，∴∠ACE＋
∠DFC＝90°，∴∠BDC＝90°，即BD⊥CE.
5．解：(1)AD＝CE.理由如下：∵BD⊥l
于D，CE⊥l于E，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∴∠CAE＋∠ACE＝90°.∵∠BAC＝∠90°，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠BAD＝
∠ ACE. 又 ∵ AB ＝ AC ，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴AD＝CE.
(2)BD＝DE＋CE.理由如下：由(1)可知
△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，AD＝CE.又
∵AE＝DE＋AD，∴BD＝DE＋CE.
6．解：AE＝AB＋DE.证明如下：如图，
在AE上截取AF＝AB，并连接CF.∵AC平
分∠BAE，∴∠BAC＝∠CAF.又∵AC＝AC，
∴△BAC≌△FAC(SAS)，∴BC＝FC，∠ACB
＝∠ACF.∵∠ACE＝90°，∴∠ACF＋∠FCE
＝90°，∠ACB＋∠DCE＝90°，∴∠FCE＝
∠DCE.又∵C为BD的中点，∴BC＝DC，
∴ DC ＝ FC. 又 ∵ CE ＝ CE ，
∴△FCE≌△DCE(SAS)，∴DE＝FE，∴AE
＝AF＋FE＝AB＋DE.
7．C
3 ..
