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难点探究专题：动态变化中的三角形全等
——以“静”制“动”，不离其宗
类型一 动点变化 CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？
1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ 若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正
6，BC＝3，PQ＝AB，点P与点Q分别在AC 确结论再给予证明．
和 AC 的垂线 AD 上移动，则当 AP＝
_________时，△ABC和△APQ全等．
2．如图，△ABC中，AB＝AC＝12cm，
∠B＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点．如
果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点
向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C
点向 A 点运动．若点 Q 的运动速度为
vcm/s，则当△BPD与△CQP全等时，v的值 类型二 图形变换
为____________【提示：三角形中有两个角 4．如图甲，已知A，E，F，C在一条直线
相等，则这两个角所对的边相等】． 上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，
BF⊥AC，且AB＝CD，连接BD.
(1)试问OE＝OF吗？请说明理由；
(2)若△DEC沿AC方向平移到如图乙
的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成
立？请说明理由．
3．(2016·达州中考)△ABC中，∠BAC＝
90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D
为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，
以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连
接CF.【方法11】
(1)观察猜想：如图①，当点D在线段
BC上时，
①BC与CF的位置关系为_______；
②线段BC，CD，CF之间的数量关系为
___________ (将结论直接写在横线上)．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
(2)数学思考：如图②，当点D在线段 点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接
1 ..CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转
90°后得CE，连接EF.
(1)求证：△BCD≌△FCE；
(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．
参考答案与解析
1．3或6 解析：∵△ABC和△APQ全
等，AB＝PQ，∴有△ABC≌△QPA 或
△ABC≌△PQA.当△ABC≌△QPA时，则有
2 ..AP＝BC＝3；当△ABC≌△PQA时，则有AP ∴△BCD≌△FCE(SAS)．
＝AC＝6，∴当AP＝3或6时，△ABC和 (2)解：由(1)可知∠DCE＝90°，
△APQ全等，故答案为3或6. △ BCD≌△FCE ， ∴ ∠ BDC ＝
2．2或3 解析：当BD＝PC时，△BPD ∠E.∵EF∥CD，∴∠E＝180°－∠DCE＝
与△CQP全等．∵点D为AB的中点，∴BD 90°，∴∠BDC＝90°.
＝AB＝6cm，∴PC＝6cm，∴BP＝8－6＝
2(cm)．∵点P在线段BC上以2cm/s的速度
由 B 点向 C 点运动，∴运动时间为
1s.∵△DBP≌△PCQ，∴CQ＝BP＝2cm，
∴v＝2÷1＝2(cm/s); 当 BD＝CQ 时，
△BDP≌△QCP.∴PB＝PQ，∠B＝∠CQP.
又∵∠B＝∠C，∴∠C＝∠CQP，∴PQ＝
PC，∴PB＝PC.∵BD＝6cm，BC＝8cm，PB
＝PC，∴QC＝6cm，∴BP＝4cm，∴运动时
间为4÷2＝2(s)，∴v＝6÷2＝3(cm/s)，故答案
为2或3.
3．解：(1)①垂直 ②BC＝CD＋CF
(2)CF⊥BC成立；BC＝CD＋CF不成立，
正确结论：CD＝CF＋BC.证明如下：
∵正方形 ADEF 中，AD＝AF，∠DAF＝
∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAF.
在 △ DAB 与 △ FAC 中 ，
∴ △ DAB≌△FAC(SAS) ， ∴ ∠ ABD ＝
∠ACF，DB＝CF.∵∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝180°－45°＝135°，∴∠BCF＝
∠ACF－∠ACB＝∠ABD－∠ACB＝90°，
∴CF⊥BC.∵CD＝DB＋BC，DB＝CF，
∴CD＝CF＋BC.
4 ． 解 ： (1)OE ＝ OF. 理 由 如 下 ：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠BFA＝
90°.∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF
＝ CE. 在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中 ，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴BF＝DE.在
△ BFO 和 △ DEO 中 ，
∴△BFO≌△DEO(AAS)，∴OE＝OF.
(2)结论依然成立．理由如下：∵AE＝
CF，∴AE－EF＝CF－EF，∴AF＝CE.同(1)
可得△BFO≌△DEO，∴FO＝EO，即结论
依然成立．
5．(1)证明：∵将线段CD绕点C按顺时
针方向旋转 90°后得 CE，∴CD＝CE，
∠DCE＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝
90°－∠ACD＝∠FCE.在△BCD 和△FCE
中，
3 ..
