文档内容
7.6 平行线的性质在求角的大小中的 10 种类型（重难点培优）
知识清单
一、相关角的性质：
1.对顶角与邻补角：
（1）对顶角的性质：对顶角相等．
（2）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（3）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两
个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
2.余角与补角的性质：
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补
角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
3. 平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
二、解题方法：
1.在涉及有平行这一条件，求角度问题时，常考虑用平行线的性质，在应用平行线性质求角时，常常结合
对顶角、邻补角、垂直、角平分线等性质和定又进行求解
2.平行线和角的大小关系是紧蜜联系在一起的。由平行线可以得到相等或互补的角，反过来又可以由相等
或互补的角得到新的一组平行线，这种角的大小关系与直线的位置关系的相互转化在解题中会经常涉及
类型一、平行线与对顶角性质的综合
1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，DE∥BC，若∠1=70°，求∠B的度数．
【答案】110°
【分析】此题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：因为∠1=70°，
所以∠EFB=70°．
因为DE∥BC，
所以∠B=180°-∠EFB=110°．类型二、平行线与邻补角性质的综合
2．（23-24八年级上·河南郑州·期末）一杆古秤在称物体时的状态如图所示，已知∠1=105°，则∠2的度
数是 ．
【答案】75°/75度
【分析】本题考查了平行线的性质∶两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等两直线平行，同
旁内角互补．根据两直线平行，内错角相等得到∠2=∠BCD，由∠2的度数求出∠BCD的度数，即可得
到∠2的度数．
【详解】解：如图，
由题意得：AB∥CD，
∴∠2=∠BCD，
∵∠1=105°，
∴∠BCD=75°，
∴∠2=75°，
故答案为：75°．
类型三、平行线与垂直定义的综合
3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，AB∥CD，直线MN与AB交于点E，与CD交于点F，过点E
作射线EH⊥MN，∠1=130°，求∠2的度数．
【答案】40°
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质求出∠BEF的度数，根据平角定义可求出∠AEF
的度数，然后结合垂直定义和角的和差关系求解即可．
【详解】解：∵AB∥CD，∠1=130°，∴∠BEF=∠1=130°，
∴∠AEF=180°-∠BEF=50°．
又∵EH⊥MN，
∴∠HEF=90°，
∴∠2=90°-∠AEF=40°．
类型四、平行线与角平分线的综合
4．（七年级下·辽宁抚顺·期中）如图所示，已知∠MBA+∠BAC+∠NCA=360°．
（1）求证：MD∥NE
（2）若∠ABD=70°，∠ACE=36°，BP和CP分别平分∠ABD，∠ACE，求∠BPC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠BPC=53°
【分析】（1）过A作AF∥MD，根据平行线的性质得∠MBA+∠BAF＝180°，而∠MBA+∠BAC+∠NCA＝
360°，则∠FAC+∠NCA＝180°，于是根据平行线的判定得到AF∥NE，所以根据平行线于同一条直线的两直
线平行得到MD∥NE；
1 1
（2）过P作PQ∥MD，先利用角平分线的定义得到∠DBP＝ ∠DBA＝35°，∠ECP＝ ∠ACE＝18°，再根据
2 2
平行线的性质由PQ∥MD得∠DBP＝∠BPQ＝35°，由于MD∥NE，PQ∥MD，则PQ∥NE，所以∠QPC＝
∠PCE＝18°，然后利用∠BPC＝∠BPQ+∠QPC进行计算即可．
【详解】证明：（1）如图，过点A作AF∥MD
则∠MBA+∠BAF=180°
∵∠MBA+∠BAC+∠NCA=360°
∴∠FAC+∠NCA=180°
∴AF∥NE
∴MD∥NE
（2）过点P作PQ∥MD∵BP CP ∠ABD ∠ACE
和 分别平分 、
1 1
∴∠DBP= ∠DBA= ×70°=35°，
2 2
1 1
∠ECP= ∠ACE= ×36°=18°
2 2
∵PQ∥MD
∴∠QPC=∠PCE=18°
∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=53°
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行
线于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内
错角相等．
类型五、平行线与余角的性质的综合
5．（24-25七年级上·吉林·期末）已知：如图，E、F分别在AB和CD上，∠1=∠D，∠2与∠C互余，
AF⊥CE于G．
求证：AB∥CD．
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理依据即可．
【详解】证明：∵AF⊥CE，（已知）
∴∠CGF=90°．（垂直的定义）
∵∠1=∠D，（已知）
∴ AF∥DE．（同位角相等，两直线平行）
∴∠4=∠CGF，（两直线平行，同位角相等）
∴∠4=90°
又∵∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°．
又∵∠2与∠C互余，（已知）
∴∠C=∠3．（同角的余角相等）
∴AB∥CD．（内错角相等，两直线平行）类型六、平行线与补角的性质的综合
6．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于
点F，过点D作直线DG交AC于点G，交EF的延长线于点H，∠B=50°,∠1+∠2=180°，求∠H的度
数．
【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线的性质、垂线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与
性质成为解题的关键．
根据平行线的判定、平行线的性质进行推理即可解答．
【详解】解：∵AD⊥BC,EF⊥BC，（已知）
∴AD∥EF．（垂直于同一直线的两直线平行）
∴∠2+∠EAD=180°．（两直线平行、同旁内角互补）
∵∠1+∠2=180°，（已知）
∴∠1=∠EAD．（同角的补角相等）
∴AE∥HG．（内错角相等、两直线平行）
∴∠B=∠BDH．（两直线平行、内错角相等）
∵∠B=50°，（已知）
∴∠BDH=50°．（等量代换）
∵AD⊥BC，（已知）
∴∠ADB=90°．（垂直的定义）
∵∠1+∠BDH+∠ADB=180°，（平角定义）
∴∠1=180°-∠BDH-∠ADB=40°．（等式性质）
∵AD∥EF（已证），
∠H=∠1=40°．（两直线平行、同位角相等）．
故答案为：垂直于同一直线的两直线平行；两直线平行、同旁内角互补；∠EAD；内错角相等、两直线
平行；两直线平行、内错角相等；垂直的定义；40；两直线平行、同位角相等．
类型七、平行线与折叠的综合
7．（23-24七年级下·全国·课后作业）图①是一张长方形的纸带，将这张纸带沿EF折叠成图②，再沿BF
折叠成图③．(1)若∠≝=20°，请你求出图③中∠CFE的度数；
(2)若∠≝=α，请你直接用含α的式子表示图③中∠CFE的度数．
【答案】(1)120°
(2)∠CFE=180°-3α
【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠额性质：
（1）在图①中先由两直线平行，内错角线段得到∠BFE=∠≝=20°，则由平角的定义可得
∠CFE=160°，再在图②中求出∠BFC=∠CFE-∠BFE=140°，进而在图③中得到∠BFC=140°，
则∠CFE=∠BFC-∠BFE=120°．
（2）仿照（1）求解即可．
【详解】（1）解：在图①中，∵AD∥BC，∠≝=20°，
∴∠BFE=∠≝=20°，
∴∠CFE=180°-∠BFE=160°，
在图②中，∠BFC=∠CFE-∠BFE=160°-20°=140°，
在图③中，由折叠的性质得：∠BFC=140°，
∴∠CFE=∠BFC-∠BFE=140°-20°=120°，
（2）解：在图①中，
∵AD∥BC，∠≝=α，
∴∠BFE=∠≝=α，
∴∠CFE=180°-∠BFE=180°-α，
在图②中，∠BFC=∠CFE-∠BFE=180°-α-α=180°-2α，
在图③中，由折叠的性质得：∠BFC=180°-2α，
∴∠CFE=∠BFC-∠BFE=180°-2α-α=180°-3α，
类型八、平行线与三角板的综合
8．（2024七年级上·全国·专题练习）将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一
起，友情提示：∠A=60°，∠D=30°，∠E=∠B=45°．
(1)①若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为________．②若∠ACB=140°，则∠DCE的度数为________．
(2)由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
(3)若∠ACE<90°且点E在直线AC的上方，当这两块直角三角板有一组边互相平行时，请直接写出
∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）．
【答案】(1)①135°；②40°
(2)∠ACB+∠DCE=180°．理由见解析
(3)∠ACE可能为30°或45°
【分析】本题主要考查了平行线的性质，以及直角三角形的性质．
（1）①根据∠DCE和∠ACD的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠BCE求得∠ACB的度数；
②根据∠BCE和∠ACB的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠ACD求得∠DCE的度数；
（2）根据∠ACE=90°-∠DCE以及∠ACB=∠ACE+90°，进行计算即可得出结论；
（3）分2种情况进行讨论：当CB∥AD时，当EB∥AC时，分别求得∠ACE角度即可．
【详解】（1）解：①∵∠DCE=45°，∠ACD=90°，
∴∠ACE=45°，
∵∠BCE=90°，
∴∠ACB=90°+45°=135°，
故答案为：135°；
②因为∠ACB=140°，∠ECB=90°，
所以∠ACE=140°-90°=50°，
所以∠DCE=90°-∠ACE=90°-50°=40°，
故答案为：40°；
（2）解：猜想：∠ACB+∠DCE=180°．理由如下：
因为∠ACE=90°-∠DCE，∠ACB=∠ACE+90°，
所以∠ACB=90°-∠DCE+90°=180°-∠DCE，
即∠ACB+∠DCE=180°；
（3）解：∠ACE可能为30°或45°．
当CB∥AD时，
所以∠BCD=∠D=30°，
因为∠ACE+∠DCE=90°=∠BCD+∠DCE，
所以∠ACE=∠BCD=30°；
当EB∥AC时，∠ACE=∠E=45°
．
类型九、平行线与拐角的综合
9．（24-25七年级上·吉林长春·期末）【探究】如图①，已知AB∥CD，
（1）若∠APC=75°，∠PAB=29°，求∠PCD的度数；
（2）求证：∠APC+∠PAE+∠PCF=360°；
【应用】如图②，已知AB∥CD，若∠A=148°，∠C=54°，∠P=52°，则∠E+∠F=
_____________°．
【答案】（1）46°；（2）见解析；【应用】138．
【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，利用平行公理作出辅助线是解本题的关键．
（1）如图所示，过点P作PG∥AB，首先得到∠APG=∠PAB=29°，求出
∠CPG=∠APC-∠APG=46°，然后证明出PG∥CD，即可得到∠PCD=∠CPG=46°；
（2）根据PG∥AB得到∠APG+∠EAP=180°，根据PG∥CD得到∠CPG+∠PCF=180°，进而求
解即可；
应用：过点P作HG∥AB，延长DC到点M，由（2）得∠A+∠E+∠EPG=360°，进而得到
∠E=32°+∠EPH，同理得到∠F=54°+∠HPF，进而求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，过点P作PG∥AB，
∵∠PAB=29°，
∴∠APG=∠PAB=29°；
∵∠APC=75°，
∴∠CPG=∠APC-∠APG=46°；
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，∴∠PCD=∠CPG=46°；
（2）∵PG∥AB，
∴∠APG+∠EAP=180°；
∵PG∥CD，
∴∠CPG+∠PCF=180°，
∴∠APC+∠PAE+∠PCF=∠APG+∠PAE+∠CPG+∠PCF=180°+180°=360°；
应用：如图所示，过点P作HG∥AB，延长DC到点M，
由（2）得，∠A+∠E+∠EPG=360°，
∵∠A=148°，∠EPG+∠EPH=180°，
∴148°+∠E+180°-∠EPH=360°，
∴∠E=32°+∠EPH；
∵∠FCD=54°，
∴∠FCM=180°-∠FCD=126°；
由（2）得，∠GPF+∠F+∠FCM=360°，
∵∠GPF=180°-∠HPF，
∴180°-∠HPF+∠F+126°=360°，
∴∠F=54°+∠HPF，
∴∠E+∠F=32°+∠EPH+54°+∠HPF=86°+∠EPF=86°+52°=138°．
故答案为：138．
类型十、平行线与平移的综合
10．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，
∠EHC=α(0°<α<90°)．小新将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直
线AB、CD上，∠P=90°，∠PMN=60°；
(1)填空：∠PNA+∠PMC= °；
(2)若PM∥EF，∠MNG的角平分线NO交直线CD于点O．
①如图②，当NO∥EF时，求α的度数；②小新将三角板PMN向右平移，直接写出∠MON的度数（用含a的式子表示）．
【答案】(1)90
1 1
(2)①∠α=60°；②30°+ α或60°- α
2 2
【分析】本题考查平移，平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平移的性质，平行线的性质，角平分线
的定义是正确解答的关键．
（1）根据平行线的性质得出∠PNA+∠PMC=∠MPN=90°即可；
（2）①根据平行线的性质得出∠NOC=α，根据AB∥CD，得出∠BNO=∠NOC=α，根据角平分线
定义得出∠MNO=∠BNO=α，根据平行线的性质得出∠PMN=∠MNO，即可求出求α的度数；
②分两种情况进行讨论：当点N在点G左侧时，当点N在点G右侧时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：如图①，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PQ∥CD，
∴∠ANP=∠NPQ，∠QPM=∠PMC，
∵∠NPQ+∠QPM=∠NPM=90°，
∴∠PNA+∠PMC=90°；
（2）解：①∵NO∥EF，∠EHC=α，
∴∠NOC=α，
∵AB∥CD，
∴∠BNO=∠NOC=α，
∵NO是∠MNG的角平分线，
∴∠MNO=∠BNO=α，
∵PM∥EF，
∴PM∥NO，
∴∠PMN=∠MNO，
∵∠PMN=60°
∴α=60°；
②∵AB∥CD，
∴∠BNO=∠MON，
∵NO是∠MNG的角平分线，
∴∠MNO=∠BNO，∴∠MON=∠MNO，
当点N在点G左侧时，
∵PM∥EF
，
∴∠PMD+∠GHC=180°，
∴∠PMN+∠NMO=180°-α，
∵∠PMN=60°
∴∠NMO=120°-α，
1 1
∴∠MON= (180°-∠NMO)=30°+ α；
2 2
当点N在点G右侧时，
∵PM∥EF
∴∠PMC=∠GHC=α，
∴∠NMD=180°-∠PMC-∠PMN=120°-α，
∵∠NMD=∠MNO+∠MON，
1 1
∴∠MON= ∠NMD=60°- α，
2 2
1 1
综上可知，∠MON的度数为30°+ α或60°- α．
2 2
一、解答题
1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知AB∥CD，∠ABE=150°，∠CDE=85°，求∠BED
的度数．【答案】55°
【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，过点E作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，由平行线的
性质可得∠ABE+∠BEF=180°，∠≝=∠CDE，代入数据计算即可得解．
【详解】解：如答图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠ABE+∠BEF=180°，∠≝=∠CDE．
∵∠ABE=150°，∠CDE=85°，
∴∠BEF=180°-∠ABE=30°，∠≝=∠CDE=85°，
∴∠BED=∠≝-∠BEF=55°．
2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，如图CD∥AB，OF平分∠BOD，OF⊥OE，
∠D=50°，求∠DOE的度数．
【答案】65°
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的相关计算，垂线的理解，由平行线的性质可得出
1
∠D=∠DOB=50°，有角平分线的定义可得出∠DOF= ∠BOD=25°，再由垂线的定义可得出
2
∠EOF=90°，最后根据角的和差关系即可得出答案．
【详解】解： CD∥AB，
∠D=∠DOB=50°，
∵
OF平分∠BOD，
∴
1
∵∠DOF= ∠BOD=25°，
2
∴OF⊥OE，
∠EOF=90°，
∵
∠DOE=∠EOF-∠DOF=65°
∴
3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE平分∠BAD交CD
∴
于点E，过点C作CF∥AE交AB于点F．求证：CF平分∠BCD．【答案】见解析．
【详解】证明：因为AE平分∠BAD，所以∠DAE=∠EAB．因为CF∥AE，所以
∠EAB=∠CFB,∠DEA=∠DCF．所以∠DAE=∠CFB．因为∠B=∠D=90°，所以
∠DAE+∠DEA=∠CFB+∠BCF=90°，所以∠DEA=∠BCF．又因为∠DEA=∠DCF，所以
∠DCF=∠BCF，所以CF平分∠BCD．
4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知AB∥DE，∠B+∠E=180°．
(1)求证：BC∥EF；
(2)若∠BHE=60°，射线HG平分∠BHE，求∠HGE的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)30°
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1）先由两直线平行，同旁内角互补得到∠B+∠BHD=180°，再证明∠E=∠BHD，即可证明
BC∥EF；
1
（2）由角平分线的定义得到∠BHG= ∠BHE=30°，则由两直线平行，内错角相等即可得到
2
∠HGE=∠BHG=30°．
【详解】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B+∠BHD=180°，
∵∠B+∠E=180°，
∴∠E=∠BHD，
∴BC∥EF；
（2）解：∵∠BHE=60°，射线HG平分∠BHE，
1
∴∠BHG= ∠BHE=30°，
2
∵BC∥EF，∴∠HGE=∠BHG=30°．
5．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在△ABC中，∠A=46°，CE是∠ACB的平分线，B，
C，D在同一直线上，FD∥EC，∠D=42°．
(1)求∠ACB的度数；
(2)求∠B的度数．
【答案】(1)∠ACB=84°；
(2)∠B=50°．
【分析】（1）根据平行线的性质得出 ∠ECB=∠D=42°，进而利用角平分线的定义即可求解；
（2）根据三角形的内角和定理即可求解；
此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ FD∥EC，∠D=42°，
∴∠ECB=∠D=42°，
∵CE是∠ACB的平分线，
1
∴∠ECB= ∠ACB，
2
∴∠ACB=84°；
（2）解：由（1）得：∠ACB=84°，
∵∠A=46°，
∴∠B=180°-46°-84°=50°．
6．（23-24八年级上·广东梅州·期末）如图，已知∠1=48°，∠2=132°，∠C=∠D．
(1)求证：BD∥CE；
(2)若∠A=40°，求∠F的度数．
【答案】(1)见解析(2)∠F=40°
【分析】本题考查了平行线的判定与性质；
（1）由∠1=48°，∠2=132°，得出∠1+∠2=180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”可证出
BD∥CE；
（2）由BD∥CE得出∠C=∠ABD，由∠C=∠D得出∠ABD=∠D，利用“内错角相等，两直线平
行”可证出AC∥DF，进而可得出∠A=∠F=40°．
【详解】（1）证明：∵∠1=48°，∠2=132°，
∴∠1+∠2=180°，
∴BD∥CE；
（2）解：∵BD∥CE，
∴∠C=∠ABD，
又∵∠C=∠D，
∴∠ABD=∠D，
∵AC∥DF，
∴∠A=∠F=40°．
7．（22-23七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，已知∠1+∠CFE=180°，∠BAC=∠≝，∠B=75°，
(1)求证：AC∥EF；
(2)求∠EDF．
【答案】(1)见解析；
(2)∠EDF=75°．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是关键；
（1）∠1+∠CFE=180°及∠1=∠ACF，得∠CFE+∠ACF=180°，由平行线的判定即可证明；
（2）由AC∥EF及已知得∠BAC=∠AGE，即可得AB∥DE，从而有∠B=∠EDF，由已知即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠1+∠CFE=180°，∠1=∠ACF，
∴∠CFE+∠ACF=180°．
∴AC∥EF；
（2）解：∵AC∥EF，
∴∠AGE=∠≝¿，
∵∠BAC=∠≝¿，
∴∠BAC=∠AGE．∴AB∥DE．
∴∠B=∠EDF．
∵∠B=75°，
∴∠EDF=75°．
8．（23-24七年级下·广东清远·期中）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC，交AB于点E．
(1)请说明∠EBD=∠EDB．
(2)如果BD⊥AC,∠ADE=70°，求∠ABC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)40°
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据角平分线结合平行线得到内错角相等即可等量代换出结果；
（2）根据垂直得到∠ADB=90°，则∠BDE=20°，∠CBD=∠EBD=∠BDE=20°，再根据角度和差
即可计算．
【详解】（1）证明：∵BD平分∠ABC
∴∠CBD=∠EBD，
∵DE∥BC．
∴∠CBD=∠EDB．
∴∠EBD=∠EDB；
（2）解：∵BD⊥AC,∠ADE=70°，
∴∠ADB=90°，∠BDE=∠ADB-∠ADE=90°-70°=20°，
∴∠CBD=∠EBD=∠BDE=20°，
∴∠ABC=20°+20°=40°．
9．（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘
山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题：
在图2中，AB∥CD，∠B=125°，∠PQC=65°，∠C=145°，求∠BPQ的度数．【答案】85°
【分析】本题考查了平行的判定及性质；过点P向左作PM∥AB，过点Q向右作QN∥AB，由平行线的
判定方法得AB∥PM∥QN∥CD，由平行线的性质得∠BPM= 55°，∠CQN=35°，由角的和差得
∠PQN=∠PQC-∠CQN，即可求解；掌握平行的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：如图，过点P向左作PM∥AB，过点Q向右作QN∥AB，
则AB∥PM∥QN∥CD，
∴∠ABP+∠BPM=180°，
∠DCQ+∠CQN=180°，
∠MPQ=∠PQN，
∵∠B=125°，C=145°，
∴∠BPM= 180°-125°=55°，
∠CQN=180°-145°=35°，
∵∠PQC=65°，
∴∠PQN=∠PQC-∠CQN
=65°-35°=30°，
∴∠QPM=∠PQN=30°，
∴∠BPQ=∠BPM+∠QPM
=55°+30°=85°．
10．（23-24七年级下·安徽黄山·期末）如图，已知∠BAD=∠C，AB∥CD，点E在线段CB延长线上，
DE平分∠ADC．(1)求证：∠DEC=∠EDC；
(2)若∠DAE=5∠BAE，∠AED=45°，求∠DEC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)60°
【分析】本题为平行线与角平分线的综合题，考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识，综合
性较强，熟知相关定理并根据题意灵活应用是解题关键，第（2）步要注意根据题意设出未知数，用含x的
式子表示出相关角，列出方程解答．
（1）根据AB∥CD得到∠BAD+∠ADC=180°，根据角平分线的定义得到∠ADE=∠EDC，即可证
明；
（2）设∠BAE=x,∠DAE=5x，则∠ADC=180°-4x，根据AB∥CD得到，进而得到
∠ADC=180°-∠BAD=180°-4x，根据AD∥BC,∠AED=45°，得到
∠EAD+∠AED+∠DEC=180°，从而求出．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵∠BAD=∠C ，
∴∠C+∠ADC=180° ，
∴AD∥BC；
∴∠ADE=∠DEC ，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠EDC，
∴∠DEC=∠EDC ；
（2）解：∵∠DAE=5∠BAE，∠AED=45°，
可设∠BAE=x,∠DAE=5x，
∴∠DAB=4∠BAE=4x，
∵AB∥CD，
∴∠ADC=180°-∠BAD=180°-4x，
∵DE平分∠ADC，
1
∴∠EDC= ∠ADC=90°-2x
2
∴∠DEC=∠EDC=90°-2x
∵AD∥BC,∠AED=45°，∴∠EAD+∠AEC=180°，即∠EAD+∠AED+∠DEC=180°
∴5x+45°+90°-2x=180°，
解得：x=15°，
∴∠DEC=90°-2x=60°．
11．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知：如图①，AB∥CD，点P在AB,CD之间，连接AP,CP．
易说明∠APC=∠BAP+∠PCD．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
如图②，过点P作PQ∥AB 如图③，延长AP交CD于点
． M．
请你选择一位同学的方法进行说明．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角性质．以选择小明的方法为例，过点P作
PQ∥AB，推出AB∥PQ∥CD，得到∠APQ=∠BAP，∠CPQ=∠PCD，据此即可证明结论成立；
以选择小慧的方法为例，延长AP交CD于点M，利用平行线的性质，得到∠AMC=∠BAP，再利用三角
形的外角性质即可证明结论成立．
【详解】解：以选择小明的方法为例，证明如下：
过点P作PQ∥AB，
∵PQ∥AB，AB∥CD，
∴AB∥PQ∥CD，
∴∠APQ=∠BAP，∠CPQ=∠PCD，
∴∠APC=∠APQ+∠CPQ=∠BAP+∠PCD；
以选择小慧的方法为例，证明如下：
延长AP交CD于点M，∵AB∥PQ，
∴∠AMC=∠BAP，
∴∠APC=∠AMC+∠PCD=∠BAP+∠PCD．
12．（24-25七年级上·吉林长春·期末）【探究】如图①，已知AB∥CD，
（1）若∠APC=75°，∠PAB=29°，求∠PCD的度数；
（2）求证：∠APC+∠PAE+∠PCF=360°；
【应用】如图②，已知AB∥CD，若∠A=148°，∠C=54°，∠P=52°，则∠E+∠F=
_____________°．
【答案】（1）46°；（2）见解析；【应用】138．
【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，利用平行公理作出辅助线是解本题的关键．
（1）如图所示，过点P作PG∥AB，首先得到∠APG=∠PAB=29°，求出
∠CPG=∠APC-∠APG=46°，然后证明出PG∥CD，即可得到∠PCD=∠CPG=46°；
（2）根据PG∥AB得到∠APG+∠EAP=180°，根据PG∥CD得到∠CPG+∠PCF=180°，进而求
解即可；
应用：过点P作HG∥AB，延长DC到点M，由（2）得∠A+∠E+∠EPG=360°，进而得到
∠E=32°+∠EPH，同理得到∠F=54°+∠HPF，进而求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，过点P作PG∥AB，
∵∠PAB=29°，
∴∠APG=∠PAB=29°；
∵∠APC=75°，
∴∠CPG=∠APC-∠APG=46°；
∵AB∥CD，∴PG∥CD，
∴∠PCD=∠CPG=46°；
（2）∵PG∥AB，
∴∠APG+∠EAP=180°；
∵PG∥CD，
∴∠CPG+∠PCF=180°，
∴∠APC+∠PAE+∠PCF=∠APG+∠PAE+∠CPG+∠PCF=180°+180°=360°；
应用：如图所示，过点P作HG∥AB，延长DC到点M，
由（2）得，∠A+∠E+∠EPG=360°，
∵∠A=148°，∠EPG+∠EPH=180°，
∴148°+∠E+180°-∠EPH=360°，
∴∠E=32°+∠EPH；
∵∠FCD=54°，
∴∠FCM=180°-∠FCD=126°；
由（2）得，∠GPF+∠F+∠FCM=360°，
∵∠GPF=180°-∠HPF，
∴180°-∠HPF+∠F+126°=360°，
∴∠F=54°+∠HPF，
∴∠E+∠F=32°+∠EPH+54°+∠HPF=86°+∠EPF=86°+52°=138°．
故答案为：138．
13．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，AE∥BD，∠A=∠BDC，∠AEC的平分线交CD的延长
线于点F．
(1)求证：AB∥CD；
(2)探究∠A，∠AEC，∠C之间的数量关系，并说明理由；
【答案】(1)详见解析
(2)∠A+∠AEC+∠C=360°，理由见解析．【分析】（1）根据平行线的性质和判定即可求证，
（2）作EG∥AB，根据平行公理推论得AB∥EG∥CD，然后根据平行线的性质即可求解，
本题考查了平行线的性质和判定，平行公理推论，熟练掌握平行线的性质和判定，平行公理推论是解题的
关键．
【详解】（1）证明：∵AE∥BD，
∴∠A+∠ABD=180°，
∵∠BDC+∠BDF=180°，∠A=∠BDC，
∴∠ABD=∠BDF，
∴AB∥CD；
（2）解：∠A+∠AEC+∠C=360°，如图，作EG∥AB，
则∠A+∠AEG=180°，
由（1）可得AB∥CD，
∴AB∥EG∥CD，
∴∠C+∠CEG=180°，
∴∠A+∠AEG+∠C+∠CEG=360°，
∵∠AEG+∠CEG=AEC，
∴∠A+∠AEC+∠C=360°．
14．（21-22七年级下·江苏宿迁·阶段练习）（1）如图①，M A ∥N A ，则∠A +∠A = ________；
1 2 1 2
如图②，M A ∥N A ，则∠A +∠A +∠A = ________，请你说明理由；
1 3 1 2 3
（2）如图③，M A ∥N A ，则∠A +∠A +∠A +∠A = ________；
1 4 1 2 3 4
（3）利用上述结论解决问题：如图④，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E=130°
，求∠BFD的度数．
【答案】（1）180°，360°，见解析；（2）540°；（3）115°
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，角平分线的定义；
（1）直接由两直线平行，同旁内角互补可得图①答案；如图，过点A 作PA ∥M A ，证明
2 2 1
PA ∥M A ∥N A ，再利用平行线的性质可得图②的答案；
2 1 3（2）如图，过点A 作PA ∥M A ，证明PA ∥M A ∥N A ，再结合（1）的结论可得答案；
2 2 1 2 1 4
（3）过F作FQ∥AB．证明FQ∥AB∥CD，可得∠ABF=∠BFQ,∠CDF=∠DFQ．求解
∠ABE+∠CDE=230°，再结合角平分线的定义可得答案．
【详解】解：（1）180° 360°，理由如下：
理由：∵M A ∥N A ，
1 2
∴∠A +∠A =180°．
1 2
如图，过点A 作PA ∥M A ．
2 2 1
∵M A ∥N A
1 3
，
∴PA ∥M A ∥N A ，
2 1 3
∴∠A +∠A A P=180°,∠A +∠A A P=180°，
1 1 2 3 3 2
∴∠A +∠A A A +∠A =360°．
1 1 2 3 3
（2）如图，过点A 作PA ∥M A ．
2 2 1
∵M A ∥N A
1 4
，
∴PA ∥M A ∥N A ，
2 1 4
∴∠M A A +∠PA A =180°，
1 2 2 1
结合（1）的结论可得：∠PA A +∠A A A +∠N A A =360°，
2 3 2 3 4 4 3
∴∠A +∠A A A +∠A +∠A =180°+360°=540°；
1 1 2 3 3 4
（3）如图，过F作FQ∥AB．
∵AB∥CD
，
∴FQ∥AB∥CD，
∴∠ABF=∠BFQ,∠CDF=∠DFQ．
∵∠ABE+∠BED+∠CDE=360°,∠BED=130°，
∴∠ABE+∠CDE=230°．
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE,∠BFD=∠BFQ+∠DFQ，1
∴∠BFD= (∠ABE+∠CDE)=115°，
2
15．（2024七年级上·全国·专题练习）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN．
(1)如图2，现将三角板ABC绕点A以每秒2°的速度顺时针旋转，三角板DEF不动，设旋转时间为t秒，当
第一次旋转到BC∥EF时，t的值是多少？
(2)若三角板ABC不动，而三角板DEF绕点D以每秒1.5°的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当第一
次旋转到DE∥BC时，t的值是多少？
(3)若三角板ABC绕点A以每秒3°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒5°的速度顺时针旋转，
设时间为t秒（0
