文档内容
8.1 平方根（第3课时 算术平方根的估算）（分层作业）
基础训练
1．估算 值是在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】D
【分析】本题主要考查二次根式的估算，先估算出 的取值范围，再得出 的取值
范围即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 值是在6和7之间，
故选：D
2．已知 ，那么下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，根据被开方数的小数点每向右（左）移动两
位，其算术平方根的小数点每向右（左）移动一位进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
， 这两个式子都不成立，
故选：A．
3．已知 ．若 为整数且 ，则的值为（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
【答案】B
【分析】由题意可直接进行求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键．
4．已知 是 的整数部分， ，则 的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；
由题意易得 ，然后问题可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴9的平方根是 ；
故答案为 ．
5．写出一个比 大且比 小的整数是 ．
【答案】2，3（写一个即可）
【分析】由 ， 可直接进行求解．
【详解】解： ， ，比 大且比 小的整数是：2，3．
故答案为：2，3（写一个即可）．
【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握一个数的算术平方根的整数部分与小数部分
的求法是解题的关键．
6．如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正
方形的边长为a，则 的整数部分为 ．
【答案】1
【分析】根据正方形的边长，进行估算，可得结论．
【详解】解：拼剪后的正方形的面积 ，
∴ ，
∵ ，即
∴ ，
∴ 的整数部分是1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查图形的拼剪，正方形的性质及无理数的估算等知识，解题的关键是理解
题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．已知 ，若 是整数，则a＝ ．
【答案】2或﹣2或﹣1
【分析】利用 是整数可判断a为整数且a≥﹣2，则利用a2≤ 得到﹣7＜a＜7且a
为整数，然后找出满足条件的整数a的值即可．
【详解】解：∵ 是整数，
∴a为整数且a≥﹣2，∵a2≤ ，
∴﹣7＜a＜7且a为整数，
∴当a＝﹣2或﹣1或2时， 是整数．
故答案为2或﹣2或﹣1．
【点睛】本题考查了估算无理数大小的知识，难度不大，注意夹逼法的运用．
8.通过估算或者计算器比较下列各组数的大小
❑√5-1 1
(1)❑√35和6 (2)2❑√3和3.5 (3) 和
2 6
【答案】他不能裁出来，理由见解析
【分析】通过夹逼法估算算术平方根的整数和小数点后几位，从而估算数字的大小而判断
大小关系，也可以通过计算机计算出大概值即可解答.
解：(1)∵35<36，∴❑√35<6，
(2) ∵12=1，22=4，
∴ 1<❑√3<2;
∵1.72=2.89，1.82=3.24，
∴ 1.7<❑√3<1.8;
∵1.732=2.9929，1.742=3.0276，
∴1.73<❑√3<1.74；
∴3.46<2❑√3<3.48；
∴2❑√3 <3.5
(3) ∵22=4，32=9，
∴2<❑√5<3;
∵2.22=4.84，2.32=5.29，
∴2.2<❑√5<2.3;
❑√5-1
∴ 0.6< <0.65
2
1
∵ ≈0.1666…….
6
❑√5-1 1
∴ >
2 6
【点睛】此题考查的是用夹逼法估算算术平方根的大小.
9．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，
已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长 ，宽 的长方形绣布，
刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为 的完整圆形绣布来绣花鸟图，他能裁出来
吗？请说明理由．（ 取3）
【答案】他不能裁出来，理由见解析【分析】本题考查了算术平方根，估算无理数的大小的应用．设完整圆形绣布的半径为
，依题意，得 ，进而得出 ，根据 ，即可求解．
【详解】解：他不能裁出来．
理由：设完整圆形绣布的半径为 ．
依题意，得 ．
取3， ，
解得 （负值已舍去）．
，
，
他不能裁出来．
能力提升
1．在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E
可以用公式 表示，当 ， 时，该微观粒子的能量E的值在（ ）
A．3和4之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．6和7之间
【答案】B
【分析】本题主要考查了估算无理数大小．首先根据题意可知该微观粒子的能量 ，
结合 ，易得 ，即可获得答案．
【详解】解：当 ， 时，
，
∵ ，
∴ ，
∴该微观粒子的能量 的值在5和6之间．
故选：B．
2．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250
根据以上规律，若 ，则 （ ）
A．0.160 B．0.506 C．16.0 D．50.6
【答案】B
【分析】本题主要考查了算术平方根和被开方数间关系，先根据表格得到规律，再根据规
律确定结果，根据表格得到规律，是解决本题的关键．
【详解】由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根
的小数点相应的向相同方向移动一位．
∴ ，
故选：B．
3．观察表格中的数据：
32 33 34 35 36 37 38
1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444
由表格中的数据可知 （ ）
A．在 之间 B．在 之间
C．在 之间 D．在 之间
【答案】B
【分析】本题考查了估算无理数大小，根据表中的数据可得1269的平方根在35到36之间，
进而可得12.69的平方根在3.5到3.6之间．
【详解】解：根据表中数据可得1269的平方根在35到36之间，
∵ ，
∴ 在 之间，
故选：B．
4．小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表．下面有四个推断：① ；②一定有3个整数的算术平方根在 之间；
③对于小于15的两个正数，若它们的差等于 ，则它们的平方的差小于 ．所有合理
推断的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】此题考查了乘方运算，算术平方根，平方差公式；根据表格中的信息可知 和其
对应的算术平方根的值，然后依次判断各题即可．
【详解】解：根据表格中的信息知：
，故①正确；
根据表格中的信息知： ，
∴正整数 或 或 的算术平方根在 ，
∴一定有 个整数的算术平方根在 之间，故②正确；
∵由题意设 且 ，
由 ，
，
∴对于小于 的两个正数，若它们的差等于 ，则它们的平方的差小于 ，故③正确；
故选：D
5． 的小数部分为a， 的小数部分为b，则 .
【答案】1
【分析】先分析 介于哪两个整数之间，再分别求出 和 介于哪两个整数之
间，即可求出 和 的整数部分，然后用它们分别减去它们的整数部分得到，代入即可.
【详解】解：∵
∴ ，
∴
∴ 的整数部分为10， 的整数部分为2，
∴a=
b=
代入得：
=12018
=1
【点睛】此题考查的是实数（带根号）的整数部分和小数部分的求法.
6．已知 ＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是 的整数部分，求a+b+2c的平方根．
【答案】±5
【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出a、b、c的值，即可求
出a+b+2c的值，根据平方根的意义即可求解．
【详解】解：∵ ＝3，
∴2a﹣1＝9，
解得：a＝5，
∵3a﹣b+1的平方根是±4，
∴15﹣b+1＝16，
解得：b＝0，
∵ ，
∴10＜ ＜11，∴c＝10，
∴a+b+2c＝5+0+2×10＝25，
∴a+b+2c的平方根为 ＝±5．
【点睛】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方
根的意义是解题关键．
7．如图1，某公园有一块面积为 的长方形土地，已知该长方形土地的长与宽之比为
，现要对这块土地上进行规划，现有两种方案：
方案一：如图2所示，在长方形土地上开辟横竖两条宽为 的小路，其余部分为花圃；
方案二：在长方形土地上开辟一个面积为 的圆形花圃，其余部分为活动场地．
(1)求该长方形土地的周长是多少？
(2)请直接写出方案一中的花圃面积（即图2中阴影部分）是多少．
(3)请通过计算说明方案二是否可行（ 取3）．
【答案】(1)
(2)
(3)不可行
【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根的应用，解题的关键是熟练掌握平方根和算
术平方根的定义．
（1）根据长方形的面积和长与宽之比为 ，求出长方形的长和宽，得出周长即可；
（2）根据题意列出算式 进行计算即可；
（3）先求出圆形花圃的半径，从而得出直径，然后再进行比较即可得出答案．
【详解】（1）解：设长方形的长为 ，宽为 ，根据题意得：
，解得： ，负值舍去，
∴长方形的长为 ，宽为 ，
则长方形的周长为： ．
（2）解：方案一中的花圃面积为：
．
（3）解：面积为 的圆形花圃的半径为：
，
则圆形花圃的直径为 ，
∵ ，
∴方案二是不可行．
声明：试题解析著作权属所有
拔高拓展
，未
1．我国清代数学家戴煦在《对数简法》中给出了求正数的算术平方根的公式：设被开方数
为x，常数a（a为整数）和r满足 ， ，则
，用该公式求87的算术平方根，则公
式中的 ， ．
【答案】 10 13
【分析】本题考查了无理数的估算．估算得出常数a的值，再代入计算即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：10，13．2．对于实数 ，我们规定：用符号 表示不大于 的最大整数，称 为 的根整数．
例如：
， ，[❑√15]=3．
(1)仿照以上方法计算： _________； _________．
如果我们对 连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，
[❑√10]=3→[❑√3]=1，这时候结果为1．
(2)对290连续求根整数，多少次之后结果为1？
【答案】(1)5，7
(2)4次之后结果为1．
【分析】（1）先计算 和估算 的大小，再由新定义可得结果；
（2）根据定义对290进行连续求根整数，可得4次之后结果为1．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
故答案为：5，7；
（2）解：第一次： ，
第二次： ，
第三次： ，
第四次： ，
答：对290连续求根整数，4次之后结果为1．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同
时也考查了一个数的算术平方根的计算能力．
3．利用计算器计算下列各题：（1） ___________；
（2） ___________；
（3） ___________；
（4） ___________；
（5） ___________；
猜想：（6） ___________（用含n的式子表示）．
【答案】（1）3；（2）6；（3）10；（4）15；（5）21；（6）
【分析】本题考查了平方根及立方的运算中的规律探究问题，解题的关键是通过前五个特
殊例子找到一般性规律．
（1）利用立方运算及算术平方根运算即可；
（2）利用立方运算及算术平方根运算即可；
（3）利用立方运算及算术平方根运算即可；
（4）利用立方运算及算术平方根运算即可；
（5）利用立方运算及算术平方根运算即可；
（6）通过前五个计算可发现规律结果为 ．
【详解】解：（1） ，
故答案为：3；
（2） ，
故答案为：6；
（3） ，
故答案为：10；
（4） ，
故答案为：15；（5） ，
故答案为：21；
猜想：（6） ，
故答案为：．
