文档内容
专题04 勾股定理50道压轴题型专训（10大题型）
【题型目录】
题型一 勾股定理的证明方法
题型二 以弦图为背景的计算题
题型三 用勾股定理构造图形解决问题
题型四 用勾股定理解三角形
题型五 勾股定理与折叠问题
题型六 求最短路径问题
题型七 勾股定理的逆定理求解
题型八 勾股定理逆定理的实际应用
题型九 勾股定理中的新定义问题
题型十 勾股定理的综合问题
【经典例题一 勾股定理的证明方法】
1．（2024上·河北保定·八年级统考期末）“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：人教版八
年级上册的数学教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方
公式： （如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，
也可以用图形关系解决代数问题．
(1)观察图2，请直接写出一个多项式进行因式分解的等式：______．
(2)如图3，这是2002年北京世界数学家大会的会标，会标是用边长分别为a，b，c的四个完全相同的直角
三角形和一个小正方形拼成的大正方形，利用这一图形可以推导出一个关于a，b，c的结论．请写出该结
论，并写出推导过程．
(3)有两个大小不同的正方形A和B，现将A，B并列放置后构造新的正方形得到图4，其阴影部分的面积为
22；将B放在A的内部得到图5，其阴影部分（正方形）的面积为9．则正方形A，B的面积之和为______．【答案】(1)
(2) ，推导过程见解析
(3)31
【分析】本题考查因式分解，勾股定理的证明，完全平方公式．
（1）根据三个小长方形面积加上一个正方形的面积等于一个大长方形面积，列出式子即可；
（2）根据四个小直角三角形面积加上小正方形的面积等于一个大正方形有的面积求解即可；
（3）设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，所以图4中的阴影部分的面积为
，图5中阴影部分的面积为 ，根据正方形A、B的面积之和为
，代入计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∵ ．
（2）解：结论：
由图可知， ， ，
，整理，得 ．
（3）解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，所以图4中的阴影部分的面积为
．图5中阴影部分的面积为 ，
所以正方形A、B的面积之和为 ．
2．（2024上·山西长治·八年级统考期末）综合与实践
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，
也有业余数学爱好者．
(1)我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为
“赵爽弦图”．在 中， ，若 ， ， ，请你利用这个图形说明
．
(2)业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的 和 按如图
2所示的方式放置， ， ， ， ，连接 ， ，用
a，b，c分别表示出梯形 ，四边形 ， 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，从
而证明勾股定理．请你补充该证明过程．
【答案】(1)说明见解析；
(2)补充证明见解析．
【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，全等三角形的性质，数形结合是解答本题的关键．
（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角
三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式；
（2）先证明 ，然后分别表示出出梯形 ，四边形 ， 的面积，再根据四边形
的面积-四边形 的面积 的面积即可求解．
【详解】（1）∵大正方形面积为 ，直角三角形面积为 ，小正方形面积为 ，
∴ ，即 ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵直角梯形 的面积 ，
四边形 的面积 ，
的面积 ，
∵四边形 的面积－四边形 的面积 的面积
∴ ，
化简得： ．
3．（2023上·福建宁德·八年级统考期末）验证勾股定理：
课本原题：1876年，美国总统伽菲尔德（ ）利用图1验证了勾股定理，你能利用它验
证勾股定理吗？
(1)小明在验证完后，突发灵感，用两个全等的直角三角形纸片（ ， ，
（ ）， ）拼出如图2能验证勾股定理的图形（顶点A，E重合，顶点F在
边上，连接 ， ）
解：用两种方法计算四边形 的面积，
方法1：四边形 的面积 _______，
方法2：四边形 的面积 _______，因为这两种方法都表示四边形 的面积，可得等式：_______．
化简可得： ．
(2)请你仿造小明的思路，用两个全等的直角三角形纸片拼出一个不同于图1，图2的能验证勾股定理的图
形，画出示意图，写出验证过程．如果你没有思路，请利用图1进行验证．
【答案】(1) ， ，
(2)见解析
【分析】本题考查的是勾股定理的证明方法的探究，掌握探究的方法是解本题的关键；
（1）根据三角形的面积公式直接解答即可；
（2）先构建图形，如图所示，由全等的性质推出 ， ， ，求得
；可得 ；结合 且 ，可
得 ，即可证明勾股定理．
【详解】（1）解：用两种方法计算四边形 的面积，
方法1：四边形 的面积 ，
方法2：四边形 的面积 ，
因为这两种方法都表示四边形 的面积，可得等式： ．
化简可得： ．
（2）如图，将两个全等的直角三角形 和 ，如图所示那样摆放，且 ．
点F落在 上，点C与点E重合，斜边 与斜边 交于点M，连接 ．
求证： ，
证明：由题意得 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
即 且 ，
∴
=
，
∴ ，即 ．
4．（2024上·山东枣庄·八年级统考期末）在我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”
（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图1，图2，图3的证明方法中任选一种来证明该
定理．
(2)如图4所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别
为 ， ，直角三角形面积为 ，请判断 ， ， 的关系并证明．
【答案】(1)任选一个即可，证明见解析
(2) ，理由见解析【分析】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是学会利用面积法证明勾股定理．
（1）根据图中面积关系即可得证；
（2）根据勾股定理及圆的面积公式解答即可得证．
【详解】（1）解：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即 ，化简得： ；
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即
，化简得： ；
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即 ，化简得：
；
（2）解： ， ， 满足的关系是 ，
， ，
，
．
5．（2024上·江苏镇江·八年级统考期末）【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，已
知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），由勾股定理： ，得 ，则
，得到： ．
从而得到了勾股定理的推论：己知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），则
【问题解决】如图2，已知 的三边长分别为 ，如何计算 的面积？据记载，古人是这样计算的：作 边上的高 ．以 的长为斜边和直角边作 （如图3），其
中 ．
(1)用古人的方法计算 的值，完成下面的填空：
=[（__________） （__________） ]-[（__________） -（__________） ]
=__________
(2)试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成 面积的计算过程；
(3)你还有其他计算 的面积的方法吗？写出解答过程．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构
造直角三角形解决问题．
（1）由题中勾股定理的推论将空格补充完整即可；
（2）根据材料中勾股定理的推论，完成 面积的计算过程即可；
（3）设 ，根据勾股定理列出方程求出x的值，最后用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）
故答案为： ；
（2）在 中，由勾股定理的推论 ，可知： ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图2，设 ，
由勾股定理，得 ，
，
解得 ，
，
∴ ，
∴ ．
【经典例题二 以弦图为背景的计算题】
6．（2024下·全国·八年级课堂例题）如图是“赵爽弦图”，其中 、 、 和 是四个
全等的直角三角形，四边形 和 都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理
设 ，取 ．(1)正方形 的面积为______，四个直角三角形的面积和为______；
(2)求 的值．
【答案】(1)4；96
(2)196
【分析】本题主要考查勾股定理的证明及应用，理解图形中四个三角形的面积和等于大正方形的面积与小
正方形面积的差是解题的关键．
（1）由题意可知 ，可求得正方形 的面积，利用四个直角三角形的面积和=正方形
的面积﹣正方形 的面积，可求得答案；
（2）利用勾股定理可求得 的值，利用四个直角三角形的面积可求得 ，则可求得答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四个直角三角形的面积和 ．
（2）解：由（1）可知四个直角三角形的面积和为96，
∴ ，解得： ．
∵ ，
∴ ．
7．（2024上·广西南宁·八年级统考期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量
用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．
(1)如图 ，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示
图中大正方形的面积．
方法 ： ______；方法 ： ______；
根据以上信息，可以得到的等式是______；
(2)如图 ，大正方形是由四个边长分别为 的直角三角形（ 为斜边）和一个小正方形拼成，请用两
种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到 之间的数量关系；
(3)在（ ）的条件下，若 ，求斜边 的值．
【答案】(1) ， ， ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（ ）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式；
（ ）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到；
（ ）把 代入到（ ）中的关系式中计算即可求解；
本题考查了完全平方公式和勾股定理的几何背景，学会用两种方法表示同一个图形的面积是解题的关键．
【详解】（1）解：方法 ： ，
方法 ： ，
可以得到的等式是： ，
故答案为： ， ， ；
（2）解：方法 ： ，方法 ： ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：把 代入 得，
，
∴ ．
8．（2023上·江苏扬州·八年级统考期中）如图1，在 中， ， ， ，
．将 绕点O依次旋转 、 和 构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵
爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为2002年
在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．
(1)请利用图1证明勾股定理；
(2)请利用图1说明 ，并说明等号成立的条件；
(3)请根据（2）的结论解决下面的问题：如图2，在四边形 中， ， ．若
，则这个四边形的最大面积为__________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
(3)
【分析】本题考查了勾股定理的证明和以及非负数的性质．
（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角
三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式；
（2）利用非负数的性质证明即可；（3）设 依题意得 ， 的面积为 ，利用（2）结论求得当x，y取何值时，
该三角形面积最大以及四边形最大面积．
【详解】（1）解：因为边长为c的正方形面积为 ，
它也可以看成是由4个直角三角形与1个边长为 的小正方形组成的，
它的面积为 ，
所以 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
当且仅当 时，等号成立；
（3）解：设 ，
依题意得 ，
∴ 的面积为 ，
由（2）的结论知 ，
∴ ，
∴ ，
当且仅当 时，四边形的面积最大，最大面积是 ．
故答案为： ．
9．（2023上·山西运城·八年级山西省运城中学校校考期中）综合与实践
勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》
中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”
（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图2，直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边
为c．(1)如图3，以直角三角形的三边a，b，c为边，分别向外部作正方形，直接写出 ， ， 满足的关系：
．
(2)如图4，以 的三边为直径，分别向外部作半圆，请判断 ， ， 的关系并证明．
(3)如图5，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为 ， ，
直接写出该飞镖状图案的面积．
【答案】(1) ；
(2) ，证明详见解析；
(3)120
【分析】本题考查了勾股定理的运用，正方形的面积公式，圆面积公式，关键是掌握勾股定理的灵活运用．
（1）根据正方形的面积公式：边长乘边长，结合直角三角形的三边a，b，c为边，即 ，即可作
答；
（2）根据半圆的面积公式： 乘π乘半径乘半径，然后进行化简，结合直角三角形的三边a，b，c为边，
即 ，即可作答；
（3）易知 ，设 为x，则 ， ，根据勾股定理建立
，即可作答．
【详解】（1）解：依题意： ， ， ，
由勾股定理得， ，
∴ ，故答案为： ；
（2）解：依题意， ， ，
由勾股定理得， ，
则
∴ ；
（3）解：由题意知，外围轮廓（实线）的周长为80，且四个直角三角形是全等的，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 为x，则 ， ，
在 中，由勾股定理可得， ，
解得： ，
∴ ，
的面积 ，
∵该飞镖状图案的面积由四个直角三角形面积组成，
∴该飞镖状图案的面积 ．
10．（2023上·河南郑州·八年级校考期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达
哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为
了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请你从图1，图2，图3中任选一个图形来证明该定理；
(2)①如图4，图5，图6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这
三个图形中面积关系满足 的有 个；
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为
，直角三角形面积为 ，请判断 的关系并证明．
【答案】(1)见解析
(2)① ；② ．见解析
【分析】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识；
（1）根据面积法即可证明勾股定理；
（2）①设面积为 的正方形边长为 ，面积为 的正方形边长为 ，面积为 的正方形边长为 ；根据题
意得： ，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解；
②结合题意，首先分别以 为直径的半圆面积、以 为直径的半圆面积、非阴影部分去除三角形后的面积，
再根据阴影部分面积（ ） 以 为直径的半圆面积 以 为直径的半圆面积 非阴影部分去除三角形
后的面积，结合勾股定理，即可得到答案．
【详解】（1）证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正形面积的和．即 ，
化简得： ．
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
大正方形面积为：
小正方形面积为：
四个直角三角形面积之和为：
∵大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积之和
∴
∴ ，满足直角三角形勾股定理；
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即 ，
化简得： ．
（2）①三个图形中面积关系满足 的有3个；
设面积为 的正方形边长为 ，面积为 的正方形边长为 ，面积为 的正方形边长为 ；
根据题意得：
如图4：
， ，
∴ ；如图5：
， ，
∵
∴ ；
如图6：
， ，
∵
∴ ；
∴三个图形中面积关系满足 的有3个
故答案为：3；
② ；
以 为直径的半圆面积为：以 为直径的半圆面积为：
非阴影部分去除三角形后的面积为：
∵阴影部分面积 以 为直径的半圆面积 以 为直径的半圆面积 非阴影部分去除三角形后的
面积
∴
结合（1）的结论：
∴
∴ ．
【经典例题三 用勾股定理构造图形解决问题】
11．（2024上·江苏南京·八年级统考期末）在 中， ，且 ．
(1)当 是锐角三角形时，小明猜想： ．以下是他的证明过程：
小明的证明过程
如图①，过点 作 ，垂足为 ．设 ．
∵在 中， ，
在 中， ① ，
∴ ① ．
化简得， ．
② ．其中，①是______；②是______．
(2)如图②，当 是钝角三角形时，猜想 与 之间的关系并证明．
【答案】(1) ，
(2) ；证明见详解
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）在 中根据勾股定理即可表示出 ，从而得出 ，然后进行判断即可；
（2）过点 作 的延长线，垂足为 ，设 ，在 和 中分别根据勾股定理表
示出 ，然后仿照（1）中的方法判断即可．
【详解】（1）解：如图①，过点 作 ，垂足为 ，设 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
化简得， ，
， ，
，
，．
其中，①是 ；②是 ；
故答案为： ， ；
（2） ；
证明：如图，
过点 作 的延长线，垂足为 ，设 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
化简得， ，
， ，
，
，
．
12．（2023上·四川雅安·八年级四川省名山中学校考期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充
满着魅力．
【知识运用】（1）如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作
两个点）， ， ，垂足分别为A、B， 千米， 千米，则两个村庄的距离为
______千米．（2）在（1）的背景下，若 千米， 千米， 千米，现要在 上建造一个供应站P，
使得 ，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出 的距离．
（3）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式 （其中 ）最
小值为多少？画图并写出解题过程．
【答案】（1）50；（2）画图见解析， 的距离为16千米；（3）画图见解析，
【分析】本题考查了勾股定理的应用，线段垂直平分线的性质与尺规作图，轴对称—最短路线问题等知识，
熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）连接 ，作 于点E，根据 ， 得到 ， ，由平行线间的
距离处处相等可得 千米， 千米，求出 ，然后利用勾股定理求得CD两地之间
的距离；
（2）连接 ，作 的垂直平分线交 于P，根据线段垂直平分线的性质可得 ，点P即为所求；
设 千米，则 千米，分别在 和 中，利用勾股定理表示出 和 ，
然后根据 建立方程，解方程即可；
（3）如图3， ， ， ， ， ，设 ，
则 ，然后根据轴对称求最短路线的方法求解即可．
【详解】解：（1）如图1，连接 ，作 于点E，∵ ， ，
∴ ， ，
∴ 千米， 千米，
∴ 千米，
∴ （千米），即两个村庄的距离为 千米，
故答案为： ；
（2）如图2，连接 ，作 的垂直平分线交 于P，点P即为所求，
设 千米，则 千米，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，即 的距离为16千米；
（3）如图3， ， ， ， ， ，设 ，则 ，
由勾股定理得 ，
∴作点C关于 的对称点F，连接 ，过点F作 于E，则 是 的最小值，即代数式
的最小值为 ，
∵ ， ， ，
∴代数式 最小值为： .
13．（2023上·江西南昌·九年级校联考开学考试）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形
少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之
间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．
某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析：
（1）【提出问题】已知 ，求 的最小值
（2）【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为 和
的线段，将代数求和转化为线段求和问题．
【解决问题】
①如图，我们可以构造边长为1的正方形 ，P为 边上的动点．设 ，则 ．则
线段__________ 线段__________；
②在（1）的条件下，已知 ，求 的最小值；
（3）【应用拓展】应用数形结合思想，求 的最大值．
【答案】[解决问题]① 、 ；② ；[应用拓展]
【分析】[解决问题]①根据题意，设 ，则 ．将 和 转化为 、 ，即
可求解；②如图，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点P， 最小，根据勾股定理求得 的长，
即可求解；
[应用拓展] 在矩形 的基础上，构建 ，连接 、 ，设 ， ， ， ，
勾股定理分别求得 ，进而根据当 、 、 共线时， 最大，勾股定理，即可求解．
【详解】[解决问题]①解：由题意得， ，
故答案为： 、 ；
②如图，作点A关于 的对称点H，连接 交 于点P，
此时， 最小，即 和 最小，
由题意得： ， ，
则 ，
即 的最小值为： ；
[应用拓展]
如图，在矩形 的基础上，构建 ，连接 、 ，设 ， ， ， ，
则 ，
，当 、 、 共线时， 最大，即 最大，
且 的最大值 ，
即 的最大值为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，应用数形结合思想，熟练掌握勾股定理，将问题进行转化是解题的
关键．
14．（2023下·广东广州·八年级校考期中）【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，
也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然， ， ．请
用a，b，c分别表示出梯形 ，四边形 ， 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，
可得到勾股定理： __________________， __________________；
【知识运用】
如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），
， ，垂足分别为A，B， 米， 米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点
P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为____________米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，画图说明并求代数式 的最小值（ ）．
【答案】（小试牛刀） ， ；（知识运用） ；（知识迁移）代数式
的最小值为15．【分析】（小试牛刀）根据梯形、三角形的面积公式求解即可；
（知识运用）作点 关于 的对称点 ，连接 ，则 ，由三角形三边关系可得当
三点共线时， 距离最小；
（知识迁移）如下图， ， ， 、 ，点 为线段 上一点，则
，由上可得当 三点共线时， 距离最小．
【详解】解：（小试牛刀） ；
；
故答案为： ， ；
（知识运用）作点 关于 的对称点 ，连接 ，如下图：
由题意可得： ，
，则 的最小值，即为 的最小值，
由三角形三边关系可得： ，当 三点共线时 ，
∴ 的最小值为 ，
作 交 延长线于点F，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ 米，
故答案为： ；
（知识迁移）如下图， ， ， 、 ，点 为线段 上一点，
设 ，则 ，
∴ ，由上可得当 三点共线时， 距离最小，最小为 ，
作 交 延长线于点F，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ．
∴代数式 的最小值为15．
【点睛】此题考查了勾股定理的证明以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用．
15．（2023上·广东佛山·八年级校联考期中）阅读下面材料：实际问题：如图（1），一圆柱的底面半径为
5cm，BC是底面直径，高AB为5cm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设
计了两条路线．
解决方案：
路线1：侧面展开图中的线段AC，如图（2）所示：
这路线一的长度为 ；则 ；
路线2：高 底面直径BC，如图（1）所示：
设路线2的长度为 ：则 ；
为比较 和 的大小，我们采用“作差法”：
∵ ，∴ ．
∴ ．
小明认为应选择路线2较短．
(1)问题类比：
小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1cm，高AB为5cm”请你用上述方法
帮小亮比较出 与 的大小；
(2)问题拓展：
请你帮他们继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为 时，高为 ，蚂蚁从A点出发沿圆柱表
面爬行到点C，当 满足什么条件时，选择路线2最短？请说明理由．
(3)问题解决：
如图（3）为两个相同的圆柱紧密排列在一起，高为5cm，当蚂蚁从点A出发，沿圆柱表面爬行到C点的两
条路线长度相等时，求圆柱的底面半径r．（注：按上面小明所设计的两条路线方式）
【答案】(1)
(2)当 时， ，即选择路线2最短．
(3)当圆柱的底面半径r为 厘米时，蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的两条线段相等．
【分析】（1）由阅读材料，可知路线1： ；路线2：
；将数据代入即可求出 的值，再运用差比法即可得出 即可；
（2）先根据阅读材料用含h、r的代数式分别表示 ，再由 列出关于h、r的不等式，然后解不
等式即可求解；
（3）先根据阅读材料将 代入，用含r的代数式分别表示 ，再由 列出关于r的方程求解即
可．【详解】（1）解：如图2：∵圆柱的底面半径为1cm，高AB为5cm，
路线1： ；
路线2： ；
∵ ，
∴ ．
∴ ．
（2）解：如图2：∵圆柱的底面半径为 时，高为 ，
路线1： ；
路线2： ；
∵ ，
∵ ；
∴ ，
∴当 时， ，即选择路线2最短．
（3）解：如图（3），圆柱的高为5厘米． ，
，
由题意，得 ，解得 ，
所以当圆柱的底面半径r为 厘米时，蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的两条线段相等．
【点睛】本题主要考查了平面展开-最短路径问、比较整式的大小、阅读能力等知识点，掌握数形集合思想
和作差法是解答本题的关键．
【经典例题四 用勾股定理解三角形】16．（2024上·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，已知 ，分别以 为边，在 外侧作等
边 和等边 ，连接 ．
(1)求证： ．
(2)当 时，求证： ．
(3)当 ， 时，求 与 的面积和．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)
【分析】解：本题考查等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定
和性质是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质利用 证明 即可解题；
（2）根据 得到 ，即可得到结论；
（3）根据等边三角形的性质得到 ， ，然后借助勾股定理即可解题．
【详解】（1）证明：∵ 和 是等边三角形．
∴ ， ， ．
∴ ．
即： ．
∴ ．
∴ ．（2）证明：在等边 中 ．
∵ ．
∴ ．
∴在 中： ．
∵由（1）知 ．
∴ ．
（3）解：∵ ．
∴在 中： ．
∵ ．
∴ ．
∵ 是等边三角形．
∴ ．
同理： ．
∴ ．
17．（2024上·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校联考期末）如图所示，在 中， 是 边的中点，
连接 ．把 沿 翻折，得到 ， 与 交于 ，连接 ．若 ，
求点 到 的距离．
【答案】
【分析】本题考查了翻折变换，解直角三角形，勾股定理等，由翻折知， ， 垂直平分，证 为等边三角形，利用解直角三角形求出 ， ， ，在
中，利用勾股定理求出 的长，在 中利用面积法求出 的长，则可得出答案．
【详解】解：如图，连接 ，交 于点M，过点D作 于点H，
∵ ，D是 边上的中点，
∴ ，
由翻折知， ， 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴点D到 的距离为 ．
故答案为： ．
18．（2024上·浙江杭州·八年级统考期末）在 中， ，点P为线段 上任意一点（P与B，
C不重合），连接 ．
(1)若 ， ，
①求 的最小值．
②当 时，求 的长．
(2)若 ， ，请用含m，n的代数式表示 ，并说明理由．
【答案】(1)①6；② 或
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理；
（1）①过点A作 于点D，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出 ，当点P与点D重合时，
最小，进而可得答案；
②利用勾股定理求出 ，然后分情况计算 的长即可；
（2）过点A作 于点E，利用勾股定理得出 ， ，两
式相减，整理后可得结论．
【详解】（1）解：①过点A作 于点D，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当点P与点D重合时， 最小，
∴ 的最小值为6；
②∵ ， ，
∴ ，
∴ 或 ；
（2）过点A作 于点E，由（1）可知 ，
在 中， ，
在 中， ，
得：
，
，
，
即 ．
19．（2024上·河南南阳·八年级统考期末）如图，在四边形 中， ， 平分 ，且
，过点D作 于点E．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判
定定理．
（1）先证明 ，再由全等三角形的性质即可得结果；
（2）先在 中，用勾股定理求得 的长，再由全等三角形的性质可得 ，
，最后再由勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明： ， ，
，
平分 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ；
（2）在 中， ， ，
，
由（1）： ，
， ，
，
在 中， ．20．（2024上·江苏南京·八年级统考期末）在 中， ， ， ．
(1)若 ，则a，b，c满足的数量关系为 ；
(2)若 为钝角三角形， ， ，直接写出c的取值范围；
(3)如图，若 为锐角三角形，c为最长边．求证 ．
【答案】(1) ；
(2) 或 ；
(3)证明详见解析．
【分析】本题考查了勾股定理，三角形三边关系，熟记勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理即可得出结论；
（2）根据三角形的三边关系求解即可；
（3）过点A作 于点D，设 ，在 与 中，根据勾股定理推出
，即可推出结论．
【详解】（1）解：在 中， ， ， ，
若 ，则a、b、c满足的数量关系为 ，
故答案为： ；
（2）解：如图，过点A作 交 的延长线于点D，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
当 为钝角时， ，
即 ，
当 为钝角时， ，
即 ，
综上所述，c的取值范围为 或 ；
（3）证明：如图，过点A作 于点D，设 ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴若 为锐角三角形，c为最长边．
∴ ．
【经典例题五 勾股定理与折叠问题】
21．（2023上·福建泉州·八年级统考期末）已知 ，且 ，把 和 拼
成如图所示的形状，使点B，C，D在同一条直线上，若 ， ．
(1)求 的长；
(2)将 沿 折叠，点B落在点F处，延长 与 相交于点G，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形内角和定理：
（1）由全等三角形的性质得到 ， ，则由勾股定理得到 ，再证明
，则由勾股定理可得 ；
（2）由对折性质可知 ， ， ，
设 ，由勾股定理可得 ，则 ，解得 ，则 的长为
．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ．
在 中，由勾股定理得 ．∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理 ，
∴ ；
（2）解：由对折性质可知 ， ， ，
设 ，
在 和 中，由勾股定理得： ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的长为 ．
22．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期末）如图，把一张长方形 纸片沿对角线 折叠，点 落
在点 处， 交 于点 ，重合部分是 ， ，点 是对角线 上一点， 于点 ，
于点 ．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)求 的值；
(3)若 ．求 的面积．
【答案】(1)证明详见解析；
(2) ；
(3) ．【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质得到 ，即可证明出 是等腰三角形；
（2）连接 ，根据 代数求解即可；
（3）设 ，则 ， ，在 中根据勾股定理求出 ，然后利用三角形面积
公式求解即可．
【详解】（1）证明： 把一张长方形 纸片沿对角线 折叠，点 落在点 处，
又 长方形 ，
，
，
是等腰三角形
（2）如图所示，连接 ，
，
（3）设 ，则 ，
在 中，由勾股定理可知：
，，
．
【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟
练掌握折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定定理．
23．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以
下探究．
【初步感知】
(1)如图1，在三角形纸片 中， ， ，将 沿 折叠，使点A与点B重合，折痕和
交于点E， ，求 的长；
【深入探究】
(2)如图2，将长方形纸片 沿着对角线 折叠，使点C落在 处， 交 于E，若 ，
，求 的长(注：长方形的对边平行且相等)；
【拓展延伸】
(3)如图3，在长方形纸片 中， ， ，点E为射线 上一个动点，把 沿直线 折
叠，当点A的对应点F刚好落在线段 的垂直平分线上时，求 的长(注：长方形的对边平行且相等)．
【答案】(1 ；(2 ；(3) 的长为 或10
【分析】（1）求出 ，再由折叠的性质得 ，然后由勾股定理求出 的长即
可；
（2）由长方形的性质得 ， ， ，再证 ，得 ，设
，则 ，然后在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）分两种情况，①当点 在长方形内部时，由折叠的性质得 ， ，再由勾股定理得
，设 ，则 ，然后在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当点 在长方形外部时，折叠的性质得 ， ，同①得 ，设 ，则
，然后在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：（1） ， ，
，
由折叠的性质得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 的长为 ；
（2） 四边形 是长方形，
， ， ，
，
由折叠的性质得： ，
，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 的长为 ；
（3）解： 四边形 是长方形，
， ，
设线段 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，
则 ，
分两种情况：
①如图 ，当点 在长方形内部时，
点 在线段 的垂直平分线 上，， ，
由折叠的性质得： ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 的长为 ；
②如图 ，当点 在长方形外部时，
由折叠的性质得： ， ，
同①得： ，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 的长为 ；
5
综上所述，点 刚好落在线段 的垂直平分线上时， 的长为 或 ．
2
【点评】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股定理
是解题的关键，属于中考常考题型．
24．（2023上·江苏徐州·八年级统考期中）在Rt 中， ，点 为 上一点．
(1)如图①，将 折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，若 ，则 的长为______；
(2)如图②，Rt 中， ，将 折叠，使点 与 的中点 重合，折痕为 ，求
线段 的长；
(3)如图③，若 ，点 为 边上一点，连接 ，且 ，将 沿 折叠，当点
恰好落在 边上时，求线段 的长；
(4)如图④，若 ，点 为 的中点，连接 ，将 沿 折叠，点 的对应点 恰好落在
边的中线 上时，则 ______是三角形，请说明理由．
【答案】(1)
(2)8
(3)
(4)等边三角形
【分析】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，灵
活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由折叠的性质可得 ，由勾股定理即可求解；
（2）由折叠的性质可得 ，由勾股定理即可求解；
（3）由勾股定理可求 的长，由折叠的性质可得 ，由勾股定理即可求解；
（4）由直角三角形的性质可得 ，可求 ，由折叠的性质可证 是等边三角形，即可
求解．
【详解】（1） 在Rt 中， ，
设 ，则 ，，
，
解得： ，
；
（2） 将 折叠，使点 与 的中点 重合，
，
设 ，则 ，
在Rt 中，
，
，
解得： ，
；
（3） 在Rt 中，
，
，
，
，
．
（4） 是等边三角形，
在Rt 中， 为斜边 的中线，
，
∴ 是等边三角形，
有折叠可知 ，
是等边三角形，，
∴点 是 的中点，
连接 ，
则 （等边三角形三线合一），
，
点 与点 关于直线 对称，
，
又 ，
是等边三角形．
25．（2023上·四川成都·八年级校联考期中）在长方形 中， ， ，点 是射线 上一
个动点，连接 并延长交射线 于点 ，将 沿直线 翻折到 ，延长 与直线 交于
点 ．
(1)求证： ；
(2)当点 是边 的中点时，求 的长；
(3)当 时，直接写出 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) 或
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理与折叠问题；（1）根据折叠得 ，再由平行线的性质得 ，得 ，可得结论；
（2）连接 ．利用 证明 ，得 ，设 ，则 ，
，在 中，由勾股定理得， ，解方程可得答案；
（3）分点 在 点上方或在 点下方两种情形，分别利用勾股定理列方程可得答案．
【详解】（1）证明： 将 沿直线 翻折到 ，
，
，
，
，
；
（2）解：连接 ．
点 是 的中点，
，
在 和 中，
，
，
，
设 ，
则 ， ，
在 中，由勾股定理得，
，解得 ，
，
；
（3）解：当点 在 点上方时，如图 ，设 ，
则 ， ，
在 中，由勾股定理得，
，
解得 ，
，
当点 在点 的下方时，由（1）同理得， ，
，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得，
，
解得 ，
，
，综上： 的长为 或 ．
【经典例题六 求最短路径问题】
26．（2023上·吉林长春·九年级吉林大学附属中学校考期末）（1）问题情境一：如图①，一只蚂蚁在一个
长为100cm，宽为50cm的长方形地毯上爬行，请在图①中画出蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路
径，依据是 ．
（2）问题情境二：如图②，在情境一中的地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于地毯
的宽 ，木块从正面看是一个边长为10cm的等边三角形，求这只蚂蚁从点 处出发，翻越木块后到达点
处需要走的最短路程．
【答案】（1）图形见解析；两点之间，线段最短.
（2）
【分析】本题考查平面展开最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理：
（1）根据两点之间，线段最短连接即可；
（2）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和三角形一条边长之和，展开图中等于长方形地毛
毯的宽，根据勾股定理计算的长即可求解．
【详解】（1）解：
依据：两点之间，线段最短.
（2）解：根据题意得：展开图中的 ， .
在 中，由勾股定理得：
，
即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为 .
27．（2024下·全国·八年级假期作业）如图，C为线段BD上一个动点，分别过点B，D作 ，
，连接AC，EC.
(1)当点C满足什么条件时， 的值最小？
(2)根据（1）中的结论，请构图求出代数式 的最小值.
【答案】(1)当点C在线段BD与线段AE的交点处时， 的值最小.
(2)13
【详解】解：（1）当点C在线段BD与线段AE的交点处时， 的值最小.
（2）如图， ， ，AE与BD相交于点C.
设 ， ， ， ，
过点E作BD的平行线交AB的延长线于点F，
由（1）可知，代数式 的最小值就是线段AE的长.
∵ ， ， ， ，
∴在 中， ，
，∴代数式 的最小值是13.
28．（2023上·江西九江·八年级校考阶段练习）课本再现
如图1，有一个圆柱，它的高为 ，底面圆的周长为 ．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想
吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
方法探究
（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据
“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应
的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______ ．
方法应用
（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为 ，高为 ．在其侧面从点A开始，绕侧
面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度．
（3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为 ，高为 ，杯底厚 ．在玻璃杯外壁距杯口 的点A
处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最
短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计）【答案】（1）15；（2） （3）
【分析】本题考查勾股定理、几何体的展开图．
（1）根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段 的长，求出 ， ，根据勾股
定理求出 即可．
（2）根据绕两圈到B，则展开后相当于求出 的斜边长，并且 ，根据勾股
定理求出即可．
（3）将杯子侧面展开，建立A关于 的对称点 ，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求．
【详解】解：（1）根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段 的长，
由题意得： .
在 中，由勾股定理得： ，
所以，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是
故答案为：15．
（2）如图所示，
∵从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，
∴展开后
由勾股定理得： ，
所以彩条的最短长度是 ．
（3）展开玻璃杯的侧面，如图，作点A关于 的对称点 ，连接 ，作 于点C，则
， ， ， ．
在 中， ，
所以蚂蚁爬行的最短路径长为 ．
29．（2023上·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）对于平面直角坐标系 中的图形G和图形G上的
任意点 ，给出如下定义：将点 平移到 称为将点P进行“t型平移”，点
P'称为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型
平移”．
例如，将点 平移到 称为将点P进行“1型平移”，将点 平移到
称为将点P进行“ 型平移”．
已知点 和点 ．
(1)将点 进行“1型平移”后的对应点 的坐标为 ．(2)①将线段 进行“ 型平移”后得到线段 ，点 ， ， 中，在线段 上的点
是 ．
②若线段 进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是 ．
(3)已知点 ，点M是线段 上的一个动点，将点B进行“t型平移”后得到的对应点为
，当t的取值范围是 时， 的最小值保持不变，最小值是 ．
【答案】(1)
(2)① ；② 或
(3) ，
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，“ t型平移”的定义等知识，解题的关键理解题意，
灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考创新题型．
（1）根据“1型平移”的定义解决问题即可；
（2）①画出线段 即可判断；②线段 进行“ 型平移”后与y轴有公共点，则线段 与y轴有交点，
则 ；若线段 进行“ 型平移”后与x轴有公共点，则 ；分别解不等式组和解方程即可得
到答案，
（3）如图2中，观察图象可知，当 在线段 上时， 的最小值保持不变，最小值为 ，据此求
出t的范围即可．
【详解】（1）解：由题意得，将点 进行“1型平移”后的对应点 的坐标为 ，即 ，
故答案为： ；
（2）解：①如图1中，观察图象可知，将线段 进行“ 型平移”后点A的对应点为 ，点
B的对应点为 ，即 ， ，
∵线段 上的所有点的平移方式相同，
∴线段 上的所有点经过“ 型平移”后组成的图形为线段 ，
∴点 ， ， 中，在线段 上的点是 ；
故答案为： ；
②若线段 进行“ 型平移”后与y轴有公共点，则线段 与y轴有交点，
∴ ，
解得： ，
若线段 进行“ 型平移”后与x轴有公共点，则 ，解得： ，
∴若线段 进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是 或 ；
故答案为： 或 ．
（3）解：如图2中，观察图象可知，当 在线段 上时， 的最小值保持不变（ ，平行线
间间距线段），最小值为 ，此时 ，
故答案为： ， ．30．（2024上·广东佛山·八年级校考期末）综合与实践
【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短?（计算过程中的 取3）
素材1 如图1，圆柱形纸盒的高 为12厘米，底面直径 为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只
蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物.
（1）若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是 厘米.将
圆柱沿着 将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时
最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空）
素材2 如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线
（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两
种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）：
圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小
5 11 10.3
4 10 9.85
3 a 9.49 b
（2）填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________；
（3）经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h.在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等?
【答案】（1）作图见解析， ，二 （2） ， （3）
【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，利用分类讨论得出是解题关键．
（1）根据勾股定理以及线段长度得出即可；
（2）利用圆柱形木块的高为 ，底面半径为6，即可得出沿 爬行的路程长并比较大小；
（3）构造方程 即可得到结论．
【详解】（1）图2中画出蚂蚁爬行的最短路径为：
展开后，半圆长为 ，
此时最短路程是 厘米，
∵
比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二，
故答案为： ，二；
（2）解： ，
∵ ，
∴表格中b表示的大小关系是 ，
故答案为： ， ；
（3）解：根据题意可得 ，
即 ，
∴ ，
故当 时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等．
【经典例题七 勾股定理的逆定理求解】31．（2024上·福建泉州·八年级统考期末）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方
式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目
中的隐含条件，是解题的有力手段之一．
例：已知 ，求a、b的值．
解： （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
(1)以上解答中从第______步出现错误，请写出正确解答的全部过程；
(2)在 中， ， ， ．
①若 是等腰三角形，且满足 ，试求 的周长；
②若 ，且 ，求 中最大边上的高．
【答案】(1)第二步，见解析
(2)①11或13；
【分析】本题考查了配方法的应用，实数的非负性的应用，等腰三角形．
（1）根据配方的基本步骤，计算判断为第二步，正确配方即可．
（2）在 中， ， ， ．
①先配方，再分类，确定三角形的存在，计算即可．
②先配方，确定三边的长，后计算即可．
【详解】（1）以上解答中从第二步出现错误，正确解答过程如下；
解： ，
．（2）①
．
∴ 的边长为3，3，5或3，5，5，
∴ C的周长为11或13．
②∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ 中最大边上的高为 ．
32．（2023上·广东广州·九年级统考期末）如图1，在 中， ， ，点 为
内任意一动点，(1)当 时，求 的度数；
(2)当点 满足 时，
①求 的度数；
②如图2，取 的中点 ，连接 ，试求 ， ， 之间的数量关系并说明理由．
【答案】(1)
(2)① ② ，理由见解析
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得到 ，然后求出 和 的度数，
利用三角形的内角和定理解题即可；
（2）①作 且使 ，连接 、 ，则有 ，然后推导出 ，
然后得到 ，进而计算解题；②延长 至 ，使 ，连接 ，得到 ，
然后得到 ， ，再证明 ，根据①中的 即可得到结论．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解：①作 且使 ，连接 、 ，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
② ，理由为：
由①知 ，
∴ ，
∴ 在一条直线上，
延长 至 ，使 ，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角
和定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
33．（2023上·辽宁丹东·八年级校考期中）在 中， ，D为 内一点．连接 ， ，
延长 到点E，使得 ．
(1)如图1，延长 到点F．使得 ．连接 ， ．求证： ；
(2)连接 ，交 的延长线于点H．依题意补全图2．若 ．判断 与 位置关系．并
证明．
【答案】(1)证明见解析
(2) ，证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆定
理．
（1）利用“ ”证明 ，即可得证结论；
（2）延长 至点M，使 ，延长 交 于G，连接 ， ，由（1）同理可得
，得到 ， ，由 ， ，可得 ，从而有
，证得 ，进而根据 得到 ，得证 ．
【详解】（1）在 和 中，∴ ，
∴
（2） ，理由如下：
延长 至点M，使 ，延长 交 于G，连接 ， ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
34．（2023上·浙江衢州·八年级统考期中）如图，在四边形 中， ， ， ，，
(1)求证： ；
(2)求证： ， ；
(3)求证： （提示：尝试用两种不同的方法表示梯形 的面积）；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理的运用，三角形的面积，梯形，等腰直角三角形．
（1）由勾股定理的逆定理可得出结论；
（2）由三角形外角的性质得到 ，由 即可证明 ，得到
；
（3）由梯形，三角形面积公式即可证明问题．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，
；
（2）证明： ，
，
，，
；
（3）证明：∵梯形 的面积 ，
梯形 的面积 ，
，
，
．
35．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）【综合与实践】
建筑工地上工人师傅经常需画直角或判定一个角是否是直角，现仅有一根绳子，请帮助工人师傅完成此项
工作．数学活动课上，小歌、小智两名同学经过讨论，在绳子 上打13个等距的绳结，做成如图①所示
的“工具绳”．他们利用此“工具绳”分别设计了以下方案：
小歌的方案：如图②，将“工具绳”拉直放置在地面上，并将绳结点C、D固定，拉直 、 分别绕绳
结点C、D旋转，使绳结点A、B在点E处重合，画出 ，则 ．
小智的方案：如图③，将“工具绳”拉直放置在地面上，并将 中点O固定，拉直 绕点O旋转一定
的角度（小于 ）到 的位置，画出 ，则 ．
问题解决：
(1)填空：在小歌的方案中， 依据的一个数学定理是 ；
(2)根据小智的方案，证明： ；
(3)工地上有一扇如图④所示的窗户，利用“工具绳”设计一个与小歌、小智不一样的方案，检验窗户横档
与竖档 是否垂直．画出简图，并说明理由．【答案】(1)勾股定理的逆定理
(2)见解析
(3)见解析，理由：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
【分析】本题主要考查直角三角形的判定，三角形内角和定理以及垂直平分线的性质等知识．
（1）由 可判断 是直角三角形，且 ，由此可知得出依据的一个数学定理是勾股
定理的逆定理；
（2）由操作得出 和 为等腰三角形，得到 ，再由三角形内角和定理可
得出 ，得 ，从而可得出 ；
（3）利用“工具绳”画出 的垂直平分线即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
依据的一个数学定理是：勾股定理的逆定理，
故答案为：勾股定理的逆定理；
（2）∵ 为 的中点，
∴ ，
由旋转得，
∴ ,
∴ 和 为等腰三角形，
∴ ，又 ，
∴
∴
∴ ；
（3）如图，
将工具绳置于 处，
1.先以P点为圆心， 为半径画一个圆 ，
2.再以Q点为圆心， 为半径画一个圆 ，
3.两圆会有两个交点，用直尺连接，
4.观察连线与 是否重合
理由：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
【经典例题八 勾股定理逆定理的实际应用】
36．（2024上·河南南阳·八年级统考期末）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方
针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给
八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．
(1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为 ， ， 时，一边的小明很快给出这块试验
基地的面积．你求出的面积为______ ．
(2)八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为 ， ， 如图），你能帮助他们求
出面积吗？【答案】(1)30
(2)
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键．
（1）利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，进而求解即可；
（2）过A作 交 于点D．设 ，则 ，利用勾股定理分别求得 、 、 即
可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴该三角形为直角三角形，其中13为斜边，
∴这块试验基地的面积为 ，
故答案为：30；
（2）解：过A作 交 于点D．
设 ，则 ．
在 和
由勾股定理得
，
解得 ，
在 中，由勾股定理得 ,
∴ ．
37．（2024上·重庆沙坪坝·八年级统考期末）为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行
小范围绿化，要在一块如图所示的 地块内进行绿化改造，点D为 内一点， ，
米， 米， 米， 米．(1)若将原来的 路段由水泥路改造成一条鹅卵石路，改造成本为每米 元，请问改造此路需要花费多少
元？
(2)若需要在阴影部分区域种植草皮，种植草皮的费用是每平方米 元，那么在阴影部分区域种植草皮共
需投入多少元？
【答案】(1) 元
(2) 元
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，有理数的乘法运算的应用．熟练掌握勾股定理，
勾股定理的逆定理的应用，有理数的乘法运算的应用是解题的关键．
（1）由勾股定理得 ，根据铺设这条鹅卵石路的最低花费为 ，计算求解即可；
（2）由 ，可得 ，则 ，根据阴影
部分区域种植草皮共需投入 ，计算求解即可．
【详解】（1）解：由勾股定理得 （米），
∴ （元），
∴铺设这条鹅卵石路的最低花费为 元；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ （平方米），
∴ （元），
∴阴影部分区域种植草皮共需投入 元．
38．（2023上·河南郑州·八年级统考期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．
在进行《勾股定理》一章《回顾与思考》时，李芳老师带领同学们进行如下的探究活动：如图①，是用硬
纸板剪成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别为 ， ，斜边长为 ）和一个边长为 的正方形，请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形．
(1)如图②，是李明拼成的示意图，请你利用图②验证勾股定理；
(2)一个零件的形状如图③，按规定这个零件中 和 都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸
（单位： ）如图④所示，这个零件符合要求吗？
【答案】(1)见解析
(2)这个零件不符合要求.
【分析】本题考查了勾股定理的证明及其逆定理：
（1）根据大正方形的面积等于四个小三角形的面积与小正方形的面积之和为数量关系即可求解；
（2）利用勾股定理的逆定理判断 不是直角三角形， 不是直角，进而可求解；
熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【详解】（1）解：正方形面积表示为： ，
根据图②，正方形面积可以表示为： ，
所以， ，
即 ．
（2）在 中， ，
所以 是直角三角形， 是直角，
在 中， ， ，
，
所以 不是直角三角形， 不是直角，
因此，这个零件不符合要求．
39．（2023上·山东威海·七年级威海经济技术开发区皇冠中学校联考期中）台风是一种自然灾害，它以台
风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向
由 向 移动，已知点 为一海港，且点 与直线 上的两点 ， 的距离分别为 ，
，又 ，以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域．试问：(1)海港 受台风影响吗？为什么？
(2)若台风的速度为 千米/小时，当台风运动到点 处时，海港 刚好受到影响，当台风运动到点 处时，
海港 刚好不受影响，即 ，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】(1)海港 受台风影响，理由见解析
(2)台风影响该海港持续的时间为7小时
【分析】本题考查的是勾股定理的运用；
（1）利用勾股定理的逆定理得出 是直角三角形，进而利用三角形面积得出 的长，进而得出海港
是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出 以及 的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】（1）海港C受台风影响，理由如下：
， ， ，
，
是直角三角形，
；
过点 作 ，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域，
海港 受台风影响．
（2）当 ， 时，正好影响 港口，，
，
台风的速度为 千米/小时，
（小时）
答：台风影响该海港持续的时间为 小时．
40．（2024上·广东深圳·八年级统考期末）【项目式学习】
【项目主题】合理规划，绿色家园
【项目背景】某小区有4栋住宅楼： 栋， 栋， 栋， 栋， 处为小区入口．为方便小区居民传递爱
心，物业管理处准备在小区的一条主干道 上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心
衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活
动．
任务一实地测绘
小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），
进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道 与 交于点 ， ．小组成员又借助电子角度
仪测得 ．
道路 长度（米）
40
30
30
18
32
25任务二 数学计算
根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算：
(1)求道路 的长；
(2)道路 __________米；
(3)任务三方案设计
①根据以上探究，请你在主干道 上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点 表示），并画出需要
增设的小路 ；
②“爱心衣物回收箱”到4栋住宅楼的距离之和的最小值为_______米．（保留根号）
【答案】(1) 米
(2)
(3)①见解析；②
【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件得出 ，进而根据等角对等边，即可求解；
（2）勾股定理的逆定理证明 ，勾股定理求得 ，证明 ， ，进而根据等面积
法，即可求解．
（3）①由（2）可得 垂直平分 ，根据两点之间线段最短可得 的交点到 的距离之和
最小，又 ，则到4栋距离最小的点即为点 ；
②先证明 ，根据①的结论可得 ，勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴
∵
∴ ．
∴ ，故道路 的长为25米；
（2）解：∵
∴ ，
∴
又∵
在 中，
∵
∴ ， ，
∵
∴
故答案为： ；
（3）①由（2）可得 垂直平分 ，根据两点之间线段最短可得 的交点到 的距离之和
最小，又 ，则到4栋距离最小的点即为点 ，如图所示：
②解：∵ ，
∴
∴
∵ 在 上，即 的垂直平分线上，
∴ ，
∴
又∵ ，
∴
∴∴
∴
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形
内角和定理，两点之间线段最短，平行线的性质；综合运用以上知识是解题的关键．
【经典例题九 勾股定理中的新定义问题】
41．（2024上·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校联考期末）定义：若 是 的三边，且
，则称 为“方倍三角形”．
(1)若 是“方倍三角形”，且斜边AB= ，则该三角形的面积为____．
(2)如图， 是“方倍三角形”，且 ，求证： 为等边三角形．
(3)如图， 中， ， ， 是 边上一点，将 沿 进行折叠，点 落在
点 处，连接 ， ，若 为“方倍三角形”，且 ，求 的长．【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质：
（1）设 其余两条边为a，b，满足 ，根据“方倍三角形”定义，还满足： ，
即可得a和b的值，进而可得直角三角形的面积；
（2）利用“方倍三角形”的定义即可解决问题；
（3）根据题意可得 ，根据“方倍三角形”定义可得 为等边三角形，从而证明
为等腰直角三角形，可得 ，延长 交 于点E，根据勾股定理求出 的长，根据
为等腰直角三角形，可得 ．
【详解】（1）解：设 其余两条边为a，b,
则满足 ，
根据“方倍三角形”定义，还满足： ，
联立方程组得，
解得 ，则 的面积为： ；
故答案为： ；
（2）证明：∵ 是“方倍三角形”，且 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形；
（3）解：由翻折可知： ，
∴ ，
根据“方倍三角形”定义可知： ，
∴ ，
∴ 为等边三角形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
由翻折可知： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
延长 交 于点E，如图，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
42．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）【问题背景】教材阅读材料告诉我们，全等三角形的三个基本
事实是进行演绎推理的重要依据．它们是从静态的角度探索发现的判定方法，其本质与动态的全等三角形
定义是一致的，即在这些条件下，两个三角形一定可以通过图形的基本变换（轴对称、平移与旋转）而相
互重合．
利用动态的全等三角形定义，上图中的两个三角形可以看作通过轴对称变换得到的全等的是______，可以
看作通过平移变换得到的全等的是______，可以看作通过旋转变换得到的全等的是______．（填序号即
可）
【问题呈现】在 中， 为边 上一点（不与 重合），连接 ，过点
作 于点 ，延长 交 于点 ，过点 作 延长线于点 ，点 为 中点，连接
．（1）求证： ；
（2）若将（1）中两个全等三角形看作动态变化的两个三角形，那么其中一个三角形可以看作是由另一个
三角形通过图形的______基本变换而相互重合（填：“轴对称”、“平移”或“旋转”），简述变换的主
要过程______（包含变换的基本要素）；
（3）直接写出 和 之间的数量关系．
【答案】问题背景：③，②，①；问题呈现：（1）见解析；（2）旋转， 绕着点 顺时针旋转
与 完全重合；（3）
【分析】【问题背景】根据几何变换的定义即可得到结论；
【问题呈现】（1）根据垂直的定义和全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据平移和旋转的定义即可得到结论；
（3）连接 ，根据等腰直角三角形的性质得到 ，求得 ，
， ，根据平行线的性质得到 ，根据全等三角形的
性质得到 ， 根据勾股定理即可得到结论．
【详解】【问题背景】图 中的两个三角形可以看作通过轴对称变换得到的全等的是③，可以看作通过平
移变换得到的全等的是②，可以看作通过旋转变换得到的全等的是①；
故答案为: ③，②，①；
【问题呈现】（1）证明: 于点 ， 交直线 于点 ，
，
，
在 和 中,，
；
（2）其中一个三角形可以看作是由另一个三角形通过图形的平移和旋转基本变换而相互重合，
变换的主要过程为将 沿着 方向平移到点 与点 重合，再绕着点 将 逆时针旋转 得到
；
故答案为：平移和旋转，将 沿着 方向平移到点 与点 重合，再绕着点 将 逆时针旋转
得到 ；
，
证明: 如图 ，连接 ，
，
，
∵点 为 中点，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中,
，
∴ ,∴ ， ， ，
∴ ，
，
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，
平移的定义，旋转的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
43．（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角
形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的仁智线，这个三角形叫做仁智三
角形．
(1)如图1，在仁智三角形 中， ， 为该三角形的仁智线， ， ，则 的度
数为______．
(2)如图2， 为等腰直角三角形， ，F是斜边 延长线上一点，连接 ，以 为直角
边作等腰直角三角形 （点A，F，E按顺时针排列）， ， 交 于点D，连接 ．
当 时，求证： 是 的仁智线．
(3)如图3， 中， ， ．若 是仁智三角形，且 为仁智线，请同学们把
图形补充完整，并求 的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)满条件的 的面积为64或 ．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可求解；
（2）证明 ，结合定义可得结论；（3）如图3中，过点 作 于点 ．有两种情形：当 时，或当 时， ，
是仁智三角形．
【详解】（1）解：∵ 是仁智三角形， ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
故答案为： ；
（2）证明：如图2中，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ 是直角三角形，
∴ 是仁智三角形；
∴ 是 的仁智线；
（3）解：如图3中，过点 作 于点 ．有两种情形：当 时， 是仁智三角形．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时， 是仁智三角形．
设 ， ，
∴ ， ，即 ，
解得： ，
．
综上所述，满条件的 的面积为64或 ．
【点睛】本题考查了仁智三角形的定义，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题
的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
44．（2023上·江苏扬州·八年级统考期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角
形．(1)【初步尝试】如图1，已知 中， ， ， ，P为 上一点，当
__________时， 与 为积等三角形；
(2)【理解运用】如图2， 与 为积等三角形，若 ， ，且线段 的长度为正整数，
求 的长；
(3)【综合应用】如图3，已知 和 为两个等腰直角三角形，其中 ， ，
，F为 中点．请根据上述条件，回答以下问题．
① 的度数为__________°．
②试探究线段 与 的数量关系，并写出解答过程．
【答案】(1)3
(2)2或3
(3)① ；② ，理由见解析
【分析】（1）求出 ，根据新定义“积等三角形”可得出答案；
（2）延长 至 ，使 ，连接 ，证明 ，得出 ，根据三角
形三边关系可得出答案；
（3）①由周角的定义可得出答案；
②延长 至 ，使 ，连接 ，证明 ，由全等三角形的性质得出
，证明 ， 由全等三角形的性质得出 ，则可得出结论.
【详解】（1）如图中，在 上截取 ，
中， ，∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ 与 不全等，
∴ 与 为积等三角形，
当 时， 与 为积等三角形．
（2）解：如图，延长 至E，使 ，连接 ，
∵ 与 为积等三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 为正整数，
∴ 或3，
∴ 的长为2或3．
（3）①∵ ，
∴ ．
② ，理由如下：延长 至G，使 ，连接 ，如图所示：∵F为 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
由①得： ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三
角形的性质，倍长中线的问题，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时
添加适当辅助线构造三角形.
45．（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）定义：有一条中线和一条角平分线互相垂直的三角形称为“垂美三角形”．
(1)如图， 中，角平分线 和中线 相交于点 ， ．
①求证： 是垂美三角形；
②直接写出边 与 的数量关系：______．
(2)在（1）的条件下，若垂美三角形 是直角三角形，求 的值．
【答案】(1)①见解析；②
(2) 的值为 或
【分析】（1）①证 和 全等得 ，再根据等腰三角形的性质可得 ，然后根据
“垂美三角形”的定义可得出结论；
②先由 为 的中线得 ，再由①可知 ，据此可得出 与 的数量关系；
（2）由（1）可知 ，因此在（1）的条件下， 为直角三角形时，有以下两种情况：
①当 时，过点 作 于 ， 于 ，由三角形的面积公式得
，然而 ，则 ，再由（1）②得 ，则
， ，证 为等腰直角三角形，则 和 均为等腰直角三角形，设 ，
则 ，分别求出 ， ， ， ， ， ，据此
可求出 的值；
②当 时，先证 为等边三角形，进而得 ， ，设 ，进而分
别求出 ，分别求出 ， ， ， ， ， ，据此可求出的值．
【详解】（1）①证明： 平分 ，
，
在 和 中，
，
，
，
又 平分 ，
，
为 的中线，
由“垂美三角形”的定义得 为垂美三角形；
②解： 为 的中线，
，
又 ．
；
（2）由（1）可知： ，
因此在（1）的条件下， 为直角三角形时，有以下两种情况：
①当 时，过点 作 于 ， 于 ，如图1所示：
平分 ，
，
， ，
，又 的边 上的高和 的 边上个的高相同，
，
，
，
，即 ，
，
，
为等腰直角三角形，
又 ，
和 均为等腰直角三角形，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，即 ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
；
②当 时，如图2所示：
是 的中线， ，，
为等边三角形，
，
平分 ，
，
，
，
设 ，
在 中， ，
由勾股定理得： ，
在 中， ，
，
由勾股定理得： ，
，
在 中， ， ，
由勾股定理得： ，
．
综上所述： 的值为 或 ．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，
含有 角的直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和
性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用含有 角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问
题的关键，分类讨论思想的应用是解决问题的难点，也是易错点．
【经典例题十 勾股定理的综合问题】
46．（2023上·四川巴中·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，若E是 延长
线上一点，连接 ，以 为腰作等腰直角三角形 ，且 ，连接 ．(1)求证： ；
(2)试探究 、 和 之间的数量关系，并说明理由；
(3)把点E是 延长线上一点改成点E是直线 上一点，其它条件不变，连接 ，若 ，
，直接写出 的值．
【答案】(1)见解析
(2) ．理由见解析
(3) 的值为 或3或 或1
【分析】（1）根据等腰直角 得出 ， ，结合 可证 ，
然后根据“ ”证明 即可得出 ；
（2）由（1）知 ，则 ，由 可得
，可知 ，由勾股定理可得
， ，即可得证；
（3）分四种情况：①当点 在 的延长线上，且等腰直角 在 上方时，②当点 在 的延长线
上，且等腰直角 在 下方时，③当点 在 的延长线上，且等腰直角 在 上方时，④当
点 在 的延长线上，且等腰直角 在 下方时，结合全等三角形的性质及勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
又∵ ，则 ，
∴ ，在 和 中，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
由勾股定理可得： ，
又∵ 是等腰直角三角形，则 ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵ ， ，
∴ ， ， ，
①当点 在 的延长线上，且等腰直角 在 上方时，连接 ，
由（1）（2）可知， ， ，设 ，则 ，
∴ ，
解得： （负值舍去），即： ，
∴ ；
②当点 在 的延长线上，且等腰直角 在 下方时，连接 ，
∵ ，则 ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
即 ，
∴ ，
则 ，可得 ；
③当点 在 的延长线上，且等腰直角 在 上方时，连接 ，同理，可得 ， ， ，
则 ，可得 ；
④当点 在 的延长线上，且等腰直角 在 下方时，连接 ，
同理，可得 ， ， ，
则 ，可得 ，
∴ ；
综上所述， 的值为 或3或 或1．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理等，
通过“ ”证明三角形全等是解题的关键．
47．（2023上·山东滨州·九年级统考期末）在 中， ．
(1)特例证明：如图1，点D，E分别在线段 上， ，求证： ；
(2)探索发现：将图1中的 绕点C逆时针旋转 （ ）到图2位置，（1）中的结论还成立
吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展运用：如图3，点D在 内部，当 时，若 ， ， ，求线段
的长（直接写出答案）．
【答案】(1)证明见解析
(2)成立，理由见解析(3)3
【分析】（1）根据题意利用平行线性质及等腰三角形性质即可得到 ，继而得到本题答案；
（2）利用旋转性质再利用全等三角形判定及性质即可得到本题答案；
（3）根据题意把线段 绕点C逆时针旋转 至 ，连接 ，证明 ，再利用勾股
定理即可得到本题答案．
【详解】（1）解：证明： ，
∴ ， ，
，
，
，
，
，
；
（2）解： 成立，理由如下：
证明：由旋转可知， ，
，
，
；
（3）解： ，理由如下：
把线段 绕点C逆时针旋转 至 ，连接 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
【点睛】本题考查等腰三角形性质及判定，平行线判定及性质，全等三角形判定及性质，勾股定理，旋转
性质．综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
48．（2023上·四川成都·八年级校考期中）如图，已知在 中， ，
是 上的一点， ，点 从 点出发沿射线 方向以每秒 个单位的速度向右运动，设点 的运
动时间为 ，连接 ．
(1)当 秒时，求 的面积；
(2)若 平分 ，求 的值；
(3)过点 作 于点 ．在点 的运动过程中，当 为何值时，能使 ？
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 或 ．
【分析】（ ）根据动点的运动速度和时间先求出 ，再利用三角形的面积计算公式解答即可求解；
（ ）作 于 ，利用角平分线的性质分别求得 ，再利用勾股定理 ，解得 ，最后利用 ，求得 的值即可；
（ ）根据动点运动的不同位置利用勾股定理解答即可求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理，三角形的面积，根据题意，正确作出辅助线是解题的关
键．
【详解】（1）解：由题意可得， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴当 秒时，求 的面积为 ；
（2）解：当线段 恰好平分 时，作 于 ，如图，
∵线段 平分 ， ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，解得 ；
（3）解： 点 在线段 上时，过点 作 于 ，连接 ，如图，
则 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得 ；
点 在线段 的延长线上时，过点 作 于 ，如图，
同 得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得 ；
综上所述，在点 的运动过程中，当 的值为 或 时，能使 ．
49．（2022上·浙江宁波·八年级校考期中）如图1，在等边 中，线段 为 边上的高线．动点
在线段 （点 与点 重合除外）上时，以 为一边且在 的下方作等边 ，连接 ．
(1)若 ，则 ＝ 度， ＝ 度；
(2)判断 与 是否相等，请说明理由；
(3)如图2，若 ， 、 两点在直线 上,且满足 ，试求 的长．
【答案】(1)15，15
(2) ，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得 ， ，由 ， 可得
，由此可求出 和 的度数；
（2）根据 证明 ，即可得 ．
（3）过点 作 于点 ，由等腰三角形的性质得 ，根据全等三角形对应高相等可得
，再由勾股定理求出 ，即可求解．
【详解】（1）∵ 是等边三角形，
，， ，
，
，
∵ 是等边三角形，
，
，
故答案为：15，15；
（2） ．
∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴
（3）如图，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形， 是中线，
∴ ， ， ，
，
∴ （全等三角形对应边上的高相等），
∵ ，
∴ ，
∴ ；【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形
的判定与性质、勾股定理的应用等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质和等腰直角三角形的
判定与性质，证明 是解题的关键．
50．（2024上·浙江金华·八年级校考阶段练习）学完勾股定理后，小宇碰到了一道题：如图 ，在四边形
中， ，垂足为 ，若 ， ， ，则 的长为 ．
他不会做，去问同桌小轩，小轩通过思考后，耐心地对小宇讲道：“因为 ，垂足为 ，那么在四
边形 中有四个直角三角形，利用勾股定理可得 ，
， ”小轩话没讲完，小宇就讲道：“我知道了，原来 与
之间有某种数量关系．”并对小轩表示感谢．
(1)请你直接写出 的长．
(2)如图 ，分别在 的边 和边 上向外作等腰 和等腰 ，连接 ．
若 ， ，连接 ，交 于点 ，当 时，求 的长；
如图 ，若 ， ， ，当 时，求 的面积．【答案】(1) ；
(2)① ；② ．
【分析】（ ）由 与 垂直，得到四个直角三角形，利用勾股定理可得 ，代入
已知即可求解；
（ ） 根据 可证明 ，得 ，进而得到 ，即可求出 的长；
连接 交 于点 ，延长 ，作 的延长线于点 ，同 可证 ，则
， ，求出 的长，即可求出 的面积；
本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积，掌握等腰直角
三角形性质和勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）解：∵四边形 中， ，垂足为 ，
∴ ， ， ， 都为直角三角形，
∵ ， ， ，
根据勾股定理得： ， ，
， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2） 如图 ，
∵ 和 都是等腰直角三角形，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
由（ ）可得： ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
连接 交 于点 ，延长 ，作 的延长线于点 ，如图 ，
同 可证 ， ， ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
