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专题 07 平方差与完全平方公式压轴题的四种考法
类型一、平方差公式逆运算
例1．计算： ．
例2．计算： = ．
【变式训练1】计算：
．
【变式训练2】．若A＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，则A－2022的
末位数字是 ．
【变式训练3】阅读：在计算 的过程中，我们可以先从简
单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一
类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】① ；
② ；
③ ；
……
(1)【归纳】由此可得： ________；
(2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：
_______；
(3)计算： ______；(4)若 ，求 的值．
类型二、完全平方公式（换元法）
例．设 ， ， ．若 ，则 的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式训练1】已知 ，则 ．
【变式训练2】已知 ，求 ．
【变式训练3】阅读理解：
已知a+b＝﹣4，ab＝3，求 + 的值．
解：∵a+b＝﹣4，
∴ ＝ ．
即 + ＝16．
∵ ＝3，
∴ + ＝10．
参考上述过程解答：
（1）已知 ＝﹣3， ＝﹣2．求式子（ ）（ + ）的值；
（2）若 ， ＝﹣12，求式子 的值．类型三、完全平方公式变形
例．已知 ，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
例2．已知 求 ．
【变式训练1】．已知x2=2y+5，y2=2x+5(x≠y)，则x3+2x2y2+y3的值为 ．
【变式训练2】已知 ，则 的值为 ； 的值为 ．
【变式训练3】．如果x2+4y2﹣2x﹣4y+2＝0，则（2x﹣3y）2﹣（3y+2x）2＝ ．
类型四、完全平方公式与几何综合
例．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为 ；
若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形
叠合部分（阴影）面积为 ．
（1）用含a、b的代数式分别表示 、 ；
（2）若 ， ，求 的值；
（3）用a、b的代数式表示 ；并当 时，求出图③中阴影部分的面积 ．【变式训练1】若x满足 ，求 的值．
解：设 ， ，则 ， ，
∴
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若x满足 ，求 的值；
(2)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且 ， ，长方
形EMFD的面积是48，分别以MF，DF作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的
面积．
【变式训练2】如图1，是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成
四个小长方形，然后按图 的形状拼成一个正方形．
(1)图 中正方形阴影部分的面积为 ；
(2)请你用两种不同的方法分别求图 中阴影部分的面积，可以得到等式是 ；
(3)若 ， ，则 = ；
(4)若 ， ，求 的值 ．【变式训练3】【阅读材料】
“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习
“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：
（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图
形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图2可得等式： ；由图3可得等式： ；
(2)利用图3得到的结论，解决问题：若 ， ，则
；
(3)如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b
的长方形纸片拼出一个面积为 长方形（无空隙、无重叠地拼接）．
①请画出拼出后的长方形；
② ；
(4)如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b的长方形纸片，5张边长
为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成
一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 ．
课后训练1．设 ， ， ．若 ，则 的值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
2．已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．若 ， 满足 ，则 的值为 ．
4．已知x满足（x﹣2020）2+（2022﹣x）2＝10，则（x﹣2021）2的值是 ．
5．如图1是一个长为 、宽为 的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，
然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
(1)观察图2，请你写出 、 、 之间的等量关系是________；
(2)利用（1）中的结论，若 ， ，求 的值；
(3)如图3，点C是线段 上的一点，分别以 、 为边在 的同侧作正方形
和正方形 ，连接 、 、 ，当 时， 的面积记为 ，当 时，
的面积记为 ，以此类推，当 时， 的面积记为 ，计算
的值．
6．知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．
例如：由图①可以得到 ，基于此，请解答下列问题：
(1)直接应用：若 ， ，直接写出 的值为___________；
(2)类比应用：填空：
①若 ，则 ___________；
②若 ，则 ___________；
(3)知识迁移：如图②，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形 ）上进行装修和扩建，先用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形用地，再以 ， 为边分别向外扩建
正方形 、正方形 的空地，并在这两块正方形空地上建造功能性花园，该功能
性花园面积和为 ，求原有长方形用地 的面积．
7．图1是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后
按图2的形状拼成一个正方形．
(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于 ．
(2)观察图2你能写出下列三个代数式 之间的等量关系 ．
(3)运用你所得到的公式，计算若 ，求：
① 的值．
② 的值．
(4)用完全平方公式和非负数的性质求代数式 的最小值．
8．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后
按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于______
（2）观察图2你能写出下列三个代数式(m+n)2，(m-n)2，mn之间的等量关系 _____
（3）运用你所得到的公式，计算若mn=-2，m-n=4，求① (m+n)2的值．② m4+n4的值．
（4）用完全平方公式和非负数的性质求代数式x2+2x+y2-4y+7的最小值．
（5）试画出一个几何图形，使它的面积等于3m2+4mn+n2
9．若（m＋48）2=654421，求（m＋38）（m＋58）的值．
10．已知 ．
(1) ______；
(2)求 的值；
(3)求 结果的个位数字．
