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2023年高考押题预测卷01【北京专用】
数学•全解全析
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求解分式不等式的解集，再由补集的定义求解出 ，再由交集的定义去求解得答案.
【详解】 或 ，所以 ，
所以得 .
故选：D
2．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据共轭复数的定义以及复数的模直接运算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查共轭复数和复数的模，属于基础题．
3．化简 结果为（ ）A．a B．b C． D．
【答案】A
【分析】根据实数指数幂的运算法则运算，即可求解.
【详解】根据实数指数幂的运算公式，可得：
.
故选：A.
4．在 的二项展开式中，奇数项的系数之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】写出展开式通项，即可求得展开式中所有奇数项的系数之和.
【详解】 的展开式通项为 ，
因此，展开式中所有奇数项的系数和为 .
故选：D.
5．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三
丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天
织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第 天所织布的尺数为
，则 的值为（ ）
A．55 B．52 C．39 D．26
【答案】B
【分析】将每天织的布构成一个等差数列，根据条件求出公差，将要求的 转化为
公差与首项来求，即可得出答案．
【详解】因为从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，
所以该女子每天织的布构成一个等差数列 ，其中 ．
所以 ．
故选：B．
6．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 (
且 )的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点 、 间的距离为 ，动
点 与 、 距离之比为 ，当 、 、 不共线时， 面积的最大值是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以经过 、 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴建系，利用 求出圆
的方程，可得圆的半径，进而可求出三角形面积的最大值.
【详解】如图，以经过 、 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴建系，如图：
则 、 ，设 ，
∵ ，∴ ，
两边平方并整理得： ，
所以圆的半径为 ，
∴ 面积的最大值是 .
故选：D．
7．下列四个结论：
①命题“若 是周期函数，则 是三角函数”的否命题是“若 是周期函数，则 不是三角函数”；
②命题“ ”的否定是“ ”；
③在 中，“ ”是“ ”的充要条件；
④当 时，幂函数 在区间 上单调递减.
其中正确命题的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】试题分析：由题意得①命题“若 是周期函数，则 是三角函数”的否命题是“若
不是是周期函数，则 不是三角函数”，所以是错误的；②中，根据全称命题与存在性命题
的关系，可得命题“ ”的否定是“ ”，是正确的；③在
中，由正弦定理得“ ”则 ，所以是正确的；④当
时，根据幂函数的性质，幂函数 在区间 上单调递减，是正确的，故选C．
考点：命题的真假判定．
8．已知 ，其中 ， ， ， ，
，将 的图象向左平移 个单位得 ，则 的单调递减区间是
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，所以函数在 处取得极值，也就是 在处取得最大值或最小值，因为 ，所以 ，又
，所以对称轴为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 的图象向左平移 个单位得 = ，令 ，故
选A
9．已知函数 ，函数 与 的图像关于直线 对称，则
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对称性先求出 的解析式，再根据单调性和一元二次不等式的解法求解不等式
.
【详解】由于 与 关于 对称，所以 是 的反函数，即 ，
，原不等式即为 ，
令 ，则 ，得 或 （舍） ，
；
故选：B.
10．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为 ， ， ，
均是边长为4的等边三角形，设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，
的最大值为（ ）
A．24 B． C． D．
【答案】B
【分析】以 为 轴， 为坐标原点建立平面直角坐标系，由圆 方程设
，写出向量的坐标，由数量积的坐标表示求出数量积，利用三角函数知识
得最大值．
【详解】骑行过程中， 相对不动，只有 点绕 点做圆周运动．
如图，以 为 轴， 为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意 ， ，
，
圆 方程为 ，设 ，
则 ， ，
，
易知当 时， 取得最大值 ．
故选：B．二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．若 ， ， ，则下列不等式对一切满足条件的 ， 恒成立的是______ （写出
所有正确不等式的编号）．① ；② ；③ ；④ ．
【答案】①③④
【分析】由基本不等式判断①；由 结合基本不等式判断②；由
结合①可判断③；由基本不等式“1”的代换判断④.
【详解】因为 ， ， ，
对于①， ，当且仅当 时等号成立， ，故①正确；
对于②， ，当且仅当 时等号成立， ，
故②错误；
对于③， ，当且仅当 时等号成立，故③正确；
对于④， ，当且仅当 ，即 时等
号成立，故④正确.
故答案为：①③④
12．双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 ________.
【答案】【详解】试题分析：双曲线 的渐近线方程为 ，故 ，其中
，因此 .
考点：双曲线的渐近线.
13．已知 ， ，且 ，则向量 与向量 夹角的大小是______，向量 在向量
上的投影是______．
【答案】
【解析】利用 列方程，解方程求得向量 与向量 夹角；利用向量投影公式计算出向量
在向量 上的投影.
【详解】设向量 与向量 夹角为 ，由 ，得 ，
则 ，则 ，得 ，则 ．
那么 在 上的投影是 ．
故答案为：(1). (2).
【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量夹角的计算，考查向量投影的计算，属于基础
题.
14．函数 ，则 ______，若存在四个不同的实数a，b，c，d，使得
，则 的取值范围为______.
【答案】 1
【分析】代值计算即可，画出函数 的图象，根据对称性和对数函数的图象和性质即可求出．
【详解】 ， ，
，画出 的图象，如图所示，
,不妨设 ，
， ，
， 关于直线 对称，则 ，且 ，
，
，
故答案为：1， ．
【点睛】本题考查函数与方程，问题的关键在于找出对称性，利用对称性来解题，属于中档题．
15．已知 是 的前 项和， ，对于任意 ， 且 ， 的最大
值是______．
【答案】10
【分析】由题意可知， ，当 时，利用 ，
得出 ，根据二次函数图象和性质得出 的单调性，根据单调性分别求出
的最大值和最小值，从而得出 取得最大值.
【详解】解：即 ，
又当 时， ，
当 时， ，即 ，则 递减，
当 时， ，即 ，则 递增，
当 时， ，则 ，则 递减，
故 ，
若使得对任意 ， 取得最大值，
则需 且 ，
.
故答案为：10.
【点睛】本题考查利用单调性求数列前 项和的最值问题以及利用分组求和法求出数列前 项和，
根据 是解决本题的关键.
三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（13分）已知函数 .
(1)求 的最大值和最小值;
(2)设 ,求 的对称中心及单调递增区间.
【答案】(1) ;
(2)对称中心是 .单调递增区间是 .【分析】（1）利用二倍角公式将函数化为 ，令 ,配方即可求解.
（2）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数 ，然后利用正弦函数的中心
对称点以及单调递增区间即可求解.
【详解】解:(1)由题意得 ,
令 ,则 ,则 .
所以当 时,有 ;当 时, .
(2)由题得 ,
从而 .
由 ,得 .故对称中心是 .
再由 ,
得 .
所以单调递增区间是 .
【点睛】本题考查了二倍角公式、辅助角公式、含有余弦型的三角函数的最值以及三角函数的性质，
需熟记公式和性质，属于基础题.
17．（14分）如图，四边形 是直角梯形，满足 平面
为 的中点，且 .(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，进而证明四边形 是平行四边形即可得
，再根据判定定理即可证明；
（2）以 为原点， 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即
可.
【详解】（1）证明：取 的中点 ，连接 ，
为 的中点，
，
又∵ ，
，
∴四边形 是平行四边形，
，
又∵ 平面 平面 ，
平面 .（2）解：由题知， 三条直线两两相互垂直，
以 为原点， 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，则 ，故 ，
又 ，故 ，
则 ，
，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ,令 ，可得 ，
易知 为平面 的一个法向量，
，
平面 与平面 夹角的余弦值为 .18．（13分）近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其
他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市
三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表（单位：吨）.
厨余垃圾桶 可回收物桶 其他垃圾桶
厨余垃圾 60 20 20
可回收物 10 40 10
其他垃圾 30 40 170
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率 ；
(2)若处理1吨厨余垃圾需要5元，处理1吨非厨余垃圾需要8元，请估计处理这400吨垃圾所需要
的费用；
(3)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有3名女性志愿者，2名男性志愿者，现从这5名志愿
者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每名志愿者被选到的可能性相同）.
求两名男性志愿者都参加的概率.
【答案】(1)
(2)2900元
(3)【分析】（1）先利用表格得到厨余垃圾的总量和投入厨余垃圾桶的数量，再估计其概率；
（2）先计算垃圾含有厨余垃圾和非厨余垃圾的数量，再求其处理费用；
（3）先列举出所有基本事件和两名男性志愿者都参加的基本事件，再利用古典概型的概率公式进
行求解.
(1)由题表可得厨余垃圾共有60+20+20=100吨，
其中投入厨余垃圾桶的有60吨，
所以 ；
(2)由题表可得这400吨垃圾含有100吨厨余垃圾和300吨非厨余垃圾，
则处理费用为5×100+8×300=2900元，
所以估计处理这400吨垃圾需要2900元；
(3)用a,b,c表示3名女性志愿者，m,n表示2名男性志愿者，
随机选取3人，共有：(a,b,c)、(a,b,m)、(a,b,n)、(a,c,m)、(a,c,n)、(b,c,m)、
(b,c,n)、(a,m,n)、(b,m,n)、(c,m,n)这10种，
其中两名男性志愿者都参加的有：(a,m,n)、(b,m,n)、(c,m,n)这3种，
所以两名男性志愿者都参加的概率为 .
19．（15分）在平面直角坐标系xOy中，顺次连接椭圆C： 的四个顶点恰好
构成一个边长为 且面积为4的菱形.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆D： ，M为椭圆C上的任意一点，N为椭圆D上任意一点，且
，过点M的直线l(l不与x袖垂直)与椭圆D交于A，B网点，求 面积的最
大值.
【答案】（1） ；（2）最大值为 .【分析】（1）根据四个顶点恰好构成一个边长为 且面积为4的菱形，由 ， 求
解；
（2）易知椭圆D的方程为 ，设 ，由 得到 ，分
别代入椭圆C和椭圆D的方程得到 ，设 ，与椭圆D方程联立，结合韦达定理，
得到 的面积为 ，再由 ，得到 的面积为3S.
【详解】（1）因为四个顶点恰好构成一个边长为 且面积为4的菱形，
所以 ， ，
， ，
所以椭圆C的方程为 .
（2）椭圆D的方程为 ，
设 ，则
又 ， ，
即 ，
设 ， ， ，
代入椭圆D方程得 ，
由 ，可得 ，①
则有 ， ，所以 ，
由直线 与y轴交于 ，
则 的面积为 ，
，
设 ，则 ，
将直线 代入椭圆C的方程，
可得 ，
由 可得 ，②
由①②可得 ，则 在 递增，
即有 取得最大值，
即有 ，即 ，取得最大值 ，
因为 ，
所以 的面积为3S，
即 面积的最大值为 .
【点睛】方法点睛：1、解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联
立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用
“点差法”解决，往往会更简单．
2、解决直线与曲线的弦长时，往往设直线与曲线的交点坐标为A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则 (k为直线斜率)．
注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．20．（15分）若 .
（1）求 在 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【分析】（1）先求解 在 处的切线方程，然后可求它与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）把 转化为 ，然后构造函数，求解函数的最小值即可.
【详解】（1） ， ，
又 ，故 在 处的切线方程为 ，
即 ，它交两坐标轴于 ， ，
所以 .
（2）先证明 ， 恒成立，
设 ，则 ，
当 时， ， 为减函数；
当 时， ， 为增函数；
所以 ，即 ， 恒成立.
由题意得 对 恒成立.
设 ，则
所以 .
【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数应用，切点处的导数值是切线的斜率，这是求解切线
问题的关键；恒成立问题一般是先分离参数，然后构造函数，求解函数的最值即可，适当的放缩能
简化解题过程，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.
21．（15分）给定数列 . 对 ，该数列前 项的最大值记为 ，后 项
的最小值记为 ， .
（1）设数列 为3,4,7,1. 写出 的值；
（2）设 是公比大于 的等比数列，且 ，证明 是等比数列；
（3）若 ，证明 是常数列.
【答案】（1） ， ， ；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据 的定义，求得 的值.
（2）根据数列 的单调性，确定 ，根据等比数列的定义，证得 是等比数
列；
（3）先证得 后面的项，都不小于 ，然后证得 后面的项，都不大于 ，由此证得 后面的项，
和 都相等，即证得数列 的每一项和 都相等，也即证得 是常数列.
【详解】（1） ， ，
（2）因为 是公比大于 的等比数列，且
所以 .
所以当 时，所以当 时，
所以 是等比数列.
（3）因为 即 ，故 ，使 ，且对
，都有 ……①.
若 ，则 ；
若 ，因为 ，所以 ，
所以对 ，都有 ……②.
由①②知，对 ，都有 .
综上， .
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，使 .
同上可证 .
以此类推，由于 仅有有限项，所以 是常数列.
【点睛】本小题主要考查新定义 的理解和运用，考查等比数列的定义，考查分析思考与
解决问题的能力，综合性很强，属于难题.
