文档内容
专题 10 动角问题压轴题的五种考法全梳理
目录
【考法一、求角度】.......................................................................................................................1
【考法二、求角的运动时间】.....................................................................................................12
【考法三、角度之间数量关系】.................................................................................................20
【考法四、角度定值问题】.........................................................................................................28
【考法五、角度中的新定义问题】.............................................................................................37
【课后练习】................................................................................................................................51
【考法一、求角度】
例．已知一副三角板按如图1的方式拼接在一起，边 与直线 重合，其中
．
(1)求图1中的 的度数；
(2)如图2，三角板 固定不动，将三角板 绕着点 按顺时针方向旋转一个角度 ，
其中 ．
①当三角板 的一边平分 时，求旋转角 的度数；
②是否存在 ？若存在，求此时 的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2)① 或 ；② 的值为 或 ．
【分析】本题考查了几何图形中的角度的计算、一元一次方程的几何应用，运用数形结合
和分类讨论思想求解是关键．
（1）根据平角的定义，即可求解；
（2）①分当 平分 时，当 平分 ，再结合角平分线的含义与角的和差运
算可得答案；②分当 在 的左侧时，当 在 的右侧时两种情况，列方程即可得
到结论．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ；（2）①如图，∵ ，
当 平分 时，
∴ ，
∴ ，
当 平分 ，
∴ ，
∴ ，
②存在 ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
当 在 的左侧时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 在 的右侧时， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴存在 ，此时 的值为 或 ．
变式1．如图， ，射线 在 内部，且 ，射线 分
别在 内部．
(1)若 ，说明： 平分 ；
(2)若 ， 平分 ，求 的度数；
(3)将 沿射线 折叠，得到 ，若 ，设 的度数为x°，
用含x的代数式表示 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) ；
(3) 的度数为 度或 度．
【分析】本题考查角平分线，几何图形中角的计算．
（1）计算求得 ， ，即可证明 平分 ；
（2）设 ，计算求得 ， ，根据 平分 ，
列式计算即可求解；
（3）分两种情况讨论，列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
（2）解：设 ，则 ， ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
解得 ，即 ；
（3）解：当 在 内部时，如图，
由折叠的性质知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 度；
当 在 内部时，如图，
由折叠的性质知 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ 度；
综上， 的度数为 度或 度．变式2．刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知
，射线 ， 分别是 和 的角平分线．
(1)如图1，若射线 在 的内部，且 ，求 的度数；
(2)如图2，若射线 在 的内部绕点 旋转，求 的度数
(3)若射线 在 的外部绕点 旋转（旋转中 ， 均指小于 的角），
其余条件不变，请借助图3探究 的大小．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角
分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用．
（1）先求出 度数，根据角平分线定义求出 和 度数，求和即可得出答
案；
（2）根据角平分线定义得出 ， ，求出
，代入求出即可；
（3）分两种情况：①射线 ， 只有1个在 外面，根据角平分线定义得出
， ，求出 ；②射线
， 个都在 外面，根据角平分线定义得出 ，
，求出 ，代入求出即可．
【详解】（1）解： 是 的平分线， ，
是 的平分线，，
；
（2）解： ，
，
，
；
（3）解： 是 的平分线， 是 的平分线，
， ，
①延长 至点 ，当 在 的内部，
；
②延长 至点 ，延长 至点 ，当 在 内部，
，
；
③延长 至点 ，当 在 内部，
，
，，
综上，度数为 或 ．
变式3．如图， ， ， 平分 ， 平分 ．
(1)求 的度数；
(2)将 绕着点 顺时针旋转，仍然分别作 ， 的平分线 ， ，能否求
出 的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由；
(3)若 （ ）， ，仍然分别作（ ）中操作，能否求出
的度数？若能，直接写出 的度数．
【答案】(1) ；
(2)能， 或 ；
(3)能 或 ．
【分析】本题考查了角的和差定义、角平分线的定义，利用分类讨论思想是解题的关键．
（1）根据题意可知， ，由 平分 ， 平分 ；推出
， ，由图形可知，
，即 ；
（2）根据（ ）的求解思路，分 在直线 的右侧、 的下方， 在直线 的右侧、
的上方， 在直线 的左侧、 的上方，当 在直线 的左侧、 的下方，
类讨论求解即可；
（3）根据（ ）的求解思路，分 在直线 的右侧、 的下方， 在直线 的右
侧、 的上方， 在直线 的左侧、 的上方，当 在直线 的左侧、 的下
方， 类讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，∴ ；
（2）解：能． 当 在直线 的右侧、 的下方时，如图 ，
设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 、 分别平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 在直线 的右侧、 的上方时，如图 ，
设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 、 分别平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 在直线 的左侧、 的上方时，如图 ，设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 、 分别平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 在直线 的左侧、 的下方时，如图 ，
设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 、 分别平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上可得 的度数为 或 ；
（3）解：能． 当 在直线 的右侧、 的下方时，如图 ，∵ ， ，
∴ ，
∵ 、 分别平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 在直线 的右侧、 的上方时，如图 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 、 分别平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 在直线 的左侧、 的上方时，如图 ，∵ ， ，
∴ ，
∵ 、 分别平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 在直线 的左侧、 的下方时，如图 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 、 分别平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上可得 的度数为 或 ．【考法二、求角的运动时间】
例．如图两个形状、大小完全相同的含有 ， 的三角板如图1放置，
， 、 与直线 重合，且三角板 ，三角板 均可以绕
点 旋转．
(1)将图1中的三角板 保持不动，三角板 绕点 以每秒 的速度沿顺时针方向旋
转一周，如图2，经过 秒后， 平分 ，求此时 的值；
(2)将图1三角板 绕点 以每秒 的速度沿顺时针方向旋转一周的同时，三角板
也绕点 以每秒 的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间边 与 首次重
合；
(3)如图③，将图1三角板 绕点 以每秒 的速度顺时针旋转，同时三角板 绕点
以每秒 的速度逆时针旋转，(当 转到与 重合时，两三角板都停止转动)，在旋转
过程中， 、 、 三条射线中，得到三个角 ， ， ，当这三个角
中有一个角是另外一个角的2倍时，直接写出旋转的时间 的值．
【答案】(1) 秒
(2) 秒
(3)t的值为 或 或 或 或 或
【分析】本题考查一元一次方程的应用与角平分线，解题的关键是读懂题意，找到等量关
系列方程．
（1）由 得 ，又 平分 ，根据题意列方程求解即可．
（2）设经过m秒， 与 首次重合，，根据题意可列方程求解．
（3）分情况讨论，将N点分在三角板 内外两种情况，列出各角度的关系式，列方程
求解既可．
【详解】（1）解： 平分 ，
，
，
，
根据题意得： ，解得 ，
的值为 秒；
（2）当边 与 首次重合时， ，
，
解得 ，
经过 秒边 与 首次重合；
（3） 转到与 所需时间为 秒)； 与 经过 秒)重合；
当 时， ， ， ，
①若 ，则 ，
解得 舍去)；
②若 ，则 ，
解得 ；
③若 ，则 ，
解得 ；
④若 ，则 ，
解得 ；
⑤若 ，则 ，
解得 ；
⑥若 ，则 ，
解得 舍去)；
当 时， ， ， ，
①若 ，则 ，
解得 ；
②若 ，则 ，
解得 ；
③若 ，则 ，
解得 舍去)；④若 ，则 ，
解得 ；
⑤若 ，则 ，
解得 舍去)；
⑥若 ，则 ，
解得 ；
综上所述，当这三个角中有一个角是另外一个角的 倍时旋转的时间t的值为 或 或
或 或 或 ．
变式1．将一副三角板按图1摆放，把它抽象成几何图形，便得到图2，已知 ，
．保持三角板 不动，将三角板 绕点C以每秒 的速度顺时针转动
（即三角板 的每一条边都绕点C以相同速度顺时针转动），如图3所示，设转动时间
为t秒（ ）．
(1)当 时， 平分 ，此时 度；
(2)在三角板 转动的过程中，请判断 与 有怎样的数量关系，并说明理由；
(3)如图4，在三角板 转动的过程中，分别作 和 的平分线 和 ，请
求出当t为何值时， ．
【答案】(1)3秒，15
(2) ，理由见解析
(3) 或【分析】本题考查角度计算，角平分线性质．
（1）根据题意利用角平分线求出 ，再根据角度列式计算即可；
（2）根据题意设设运动时间为 秒，分别求出 和 ，继而求出本题答案；
（3）数形结合，分类讨论即可．
【详解】（1）解：∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵将三角板 绕点C以每秒 的速度顺时针转动，
∴ （秒），
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3秒，15；
（2）解： ，理由如下：
∵三角板 绕点C以每秒 的速度顺时针转动，
∴设运动时间为 秒，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵三角板 绕点C以每秒 的速度顺时针转动，
∴设运动时间为 秒，即 ，
①当 时，
∴ ，
∴ ，
∵ 和 的平分线 和 ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，解得： ；
②当 时，∴ ，
∵ 和 的平分线 和 ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，解得： ；
综上所述， 的值为 或 ．
变式2．如图，把一副三角尺拼在一起，其中三角形 是等腰直角三角形， ，
并且B，C，E三点在同一直线上．
(1)如图1，求 的度数；
(2)如图2，若射线 ， 分别从 ， 位置开始，同时绕点 以每秒 的速度顺时
针匀速旋转 ， 平分 ， 平分
，设旋转的时间为 秒．
①当 时， 的度数是否等于一个定值？若是，请求出这个定值；若不是，请
说明理由；
②当 为何值时， ？
【答案】(1) ；
(2)①是， ；②6秒或30秒．
【分析】本题考查了结合图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用；
（1）根据三角形 是等腰直角三角形， ，得出 ，进而即可求
解；
（2）①当 时， ， ．根据角平分线的定义可得
， ，进而求得
，根据 即可求解；
②当 时，由①可得， ， ．分别求得
，根据 建立方程，当 时，同理可得
，根据 建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵三角形 是等腰直角三角形， ，
． ．（2）① 的度数是等于一个定值为 ，理由如下．
， 旋转速度相同，
设 ，
当 时，则 ， ．
平分 ， ．
平分 ， ．
．
．
②当 时，由①可得，
， ．
．
当 时，则 ，
解得 ．
秒．
当 时，
， 旋转速度相同，
设 ，
， ， ．
平分 ，
．
平分 ，
．．
．
当 时，则 ，
解得 ．
．
综上， 秒或30秒时， ．
变式3．如图，射线 、 在 内部，且满足 ，其中
．射线 、 同时分别从射线 、 出发，射线 以每秒 的速度顺
时针旋转，射线 以每秒 的速度逆时针旋转， 所在区域为“转换区”：当
从射线 进入“转换区”，其速度变为射线 的旋转速度，当射线 从射线 进入
“转换区”，其速度变为射线 的旋转速度，出“转换区”后都分别以各自原来的速度
旋转，设旋转的时间为 秒．
(1)分别求出 的度数．
(2)当射线 与射线 重合时，求 的值及此时 的度数．
(3)当射线 与射线 重合时停止旋转，求满足 时 的值．
【答案】(1) ，
(2) ，(3) 或 或 或 ．
【分析】本题考查了角度的和差，涉及一元一次方程的应用，在解题过程中根据角度的变
化进行合适的分段讨论是解题的关键．
（1）由 ， 即可得解；
（2）分别求出射线 与射线 重合，射线 与射线 重合所需时间，射线在“转换
区”所需时间，相加即可；
（3）根据射线运动位于不同的角内分段讨论即可．
【详解】（1）解： ， ， ，
， ；
（2） ，射线 以每秒 的速度顺时针旋转，
射线 与射线 重合所需时间为 （秒）
，射线 以每秒 的速度逆时针旋转，
射线 与射线 重合所需时间为 （秒）
当射线 从射线 进入“转换区”，其速度变为射线 的每秒 的速度旋转，此时
射线 与 重合还需时间 （秒）， 射线 旋转了 ，
当射线 从射线 进入“转换区”，其速度变为射线 的每秒 的速度旋转，
重合还需时间为 ，
时间 （秒）， ；
（3） 射线 与射线 重合所需时间为 （秒），
射线 与射线 重合所需时间为 （秒），
射线 与射线 重合时所需时间为 （秒），
，根据运动分五种情况， 当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；当 时， ，解得 ；
当 时， ，无解；
当 时， ，解得 ．
当满足 时， 或 或 或 ．
【考法三、角度之间数量关系】
例．已知线段 ， ，线段 在线段 上运动，E、F分别是 、
的中点．
(1)若 ，则 ______cm．
(2)当线段 在线段 上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，请求出
的长度；如果变化，请说明理由．
(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知 在 内部转动， 、
分别平分 和 ，若 ， ，则 ______．由
此，你猜想 、 和 有怎样的数量关系．（直接写出猜想即可）
【答案】(1)11
(2) 的长度不变，
(3) ，
【分析】（1）欲求 ，需求 ．已知 ，需求 ．由E，F分别是
， 的中点，得 ， ，那么
，进而解决此题；
（2）根据（1）的原理计算 即可得到结论；
（3）欲求 ，需求 ．已知 ，需求 ．由， 分别平分 和 ，得 ， ，进而解
决此题．同法同理可得 、 和 的数量关系．
【详解】（1）解：∵E，F分别是 ， 的中点，
∴ ， ．
∴ ．
又∵线段 ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（2）不变，理由如下：
∵E，F分别是 ， 的中点，
∴ ， ．
∴ ．
∴ ，
又∵ ， ，
∴EF＝ ．
（3）∵ ， 分别平分 和 ，
∴ ， ．
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
由（1）得： ．
∵ ，∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和与差，角的平分线，角的和与差，类比的思想，
熟练掌握线段的中点，角的平分线的定义是解题的关键．
变式1．定义：从 的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将
分得的两个角中有一个角与 互为补角，则称该射线为 的“好线”．如图，点O
在直线 上， 在直线 上方，且 ，射线 是 的“好线”．
(1)若 ，且OE在 内部，求 的度数；
(2)若OE恰好平分 ，求 的度数；
(3)若OF是 的平分线，OG是 的平分线，直接写出 与 的数量关
系．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，补角的定义，角平分线的定义，角的和差关
系，根据题意，画出图形是解题的关键．
（ ）根据“好线”的定义即可求解；
（ ）根据“好线”和角平分线的定义求解即可；
（ ）分两种情况： 在 内部和 在 内部，进行解答即可求解．
【详解】（1）解：如图，
∵射线 是 的“好线”，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ；
（2）解：如图， 平分 ，
∵射线 是 的“好线”，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 恰好平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ；
（3）解： 或 ．
理由： 当 在 内部时，如图，
由（ ）可得， ，
设 ，则 ， ，
∵ 是 的平分线， 是 的平分线，
∴ ， ，
∴ ，∴ ；
当 在 内部时，如图，
由（ ）可得 ，设 ，则 ，∵ 是 的平分线， 是 的平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
综上，当 在 内部时， ；当 在 内部时，
．
变式2．定义：从 （ ）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线
将 分得的两个角中有一个角与 互为补角，则称该射线为 的“好线”．如图，点
在直线 上， 在直线 上方，且 ，射线 是 的“好线”；
(1)若 ，且 在 内部，则 ；
(2)若 恰好平分 ，请求出 的度数；
(3)若 是 的平分线， 是 的平分线，请画出图形，探究 与
的数量关系，并说明理由．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 或 ．
【分析】本题考查了补角的定义和性质，角平分线的定义，角的和差关系，根据题意，画
出图形是解题的关键．
（ ）根据“好线”的定义即可求解；
（ ）根据“好线”和角平分线的定义求解即可；
（ ）分两种情况： 在 内部和 在 内部，进行解答即可求解．
【详解】（1）解：如图，
∵射线 是 的“好线”，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：如图， 平分 ，
∵射线 是 的“好线”，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 恰好平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： 或 ．
理由： 当 在 内部时，如图，
由（ ）可得， ，
设 ，则 ， ，
∵ 是 的平分线， 是 的平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
当 在 内部时，如图，由（ ）可得 ，
设 ，则 ，
∵ 是 的平分线， 是 的平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
综上，当 在 内部时， ；当 在 内部时，
．
变式3．将一副直角三角板如图1摆放在直线 上（直角三角板 和直角三角板 ，
， ， ， ），保持三角板 不动，将
三角板 绕点O以每秒 的速度顺时针旋转直至 边第一次重合在直线 上
(1)当 秒时， 平分 ；
(2)①如图2，旋转三角板 ，使得 、 同时在直线 的异侧，则 与
数量关系为 ；
②如图3，继续旋转三角板 ，使得 、 同时在直线 的右侧，猜想 与
有怎样的数量关系？并说明理由．
(3)若在三角板 开始旋转的同时，另一个三角板 也绕点O以每秒 的速度顺时针
旋转，当 旋转至直线 上时同时停止．请直接写出在旋转过程中 与 的
关系．
【答案】(1)
(2)① ，②
(3)【分析】（1）根据 ， 平分 ，可得
，结合运动特点可得： ，解方程即可求解；
（2）①分别表示出 ， ，即有
，问题得解；
②分别表示出 ， ，即有
，问题得解；
（3）分类讨论，第一种情况： 、 同时在直线 的异侧，根据运动的特点：
， ，根据 ， ，
可得 ，即有 ；第二种情况：
、 同时在直线 的右侧，同理可求出 ，问题得解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴当 平分 时， ，
∴
∴ （秒）．
故答案为： ．
（2）解：① ，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
② ，理由如下：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解： ，理由如下：
分类讨论，
第一种情况： 、 同时在直线 的异侧，如图，
根据运动的特点： ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
第二种情况： 、 同时在直线 的右侧，如图，
根据运动的特点： ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
综上可知： ．
【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的
关系求出角的度数是解题的关键．
【考法四、角度定值问题】
例．如图1，点O在直线 上，射线 、 在直线 上方， ，．
(1)若 ，请说明射线 是 的角平分线；
(2)射线 在直线 上方， 平分 ， ，
①当 时，求 的度数
②当 时，是否存在常数k使得 的值为定值？若存在，请
求出常数k的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)① 或 ；②存在； 时， 为定值
【分析】（1）先求出 ，根据 ，求出
，求出 ，得出 ，即
可证明结论；
（2）①分两种情况：当 在 左侧时，当 在 左侧时，分别画出图形，求出结果
即可；
②根据 ， ，得出 一定在 内部，得出
，
，表示出
，得出结果即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴射线 是 的角平分线．
（2）解：设 度，则 度，
，
①当 在 左侧时，如图所示：则 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
当 在 左侧时，如图所示：
，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
综上分析可知， 或 ；
②存在；
∵ ， ，
∴ 一定在 内部，如图所示：
∵ ，，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
，
∴，
∴当 ，即 时， 为定值．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，角的倍数关系，一元
一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
变式1．如图，两条直线 ， 相交于点 ，且 ，射线 从
开始绕 点逆时针方向旋转，速度为每秒 ，射线 同时从 开始绕 点顺时针方向
旋转，速度为每秒 ，运动时间为 秒（ ，本题出现的角均不大于平角）．
(1)当 时， 的度数为________度， 的度数为________度．
(2) 为何值时， ．
(3)当射线 在 的内部时，探究 是不是一个定值？若是，请求
出这个定值．
【答案】(1)
(2)
(3)是，
【分析】（1）求出 时， 的度数，利用
，进行求解即可；
（2）分别用含 的式子，表示出 和 ，分 在 内部和 的
内部，两种情况讨论，利用 ，列式求解即可；
（3）分别用含 的式子表示出 ，计算 即可得解．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴ ，
，
故答案为： ；
（2）解：∵ ，
∴由题意得： ，
∴ ，
当 在 内部时：
∵ ，
∴ ，解得： （不符合题意，舍掉）；
当 在 内部时： ，
∵ ，
∴ ，解得： ；
∴当 时， ；
（3）解：∵ ，
当射线 在 的内部时， ，
∴ ，
∴ ，
∴射线 在 内部，
∴ ，
则：
；∴ 是一个定值：3．
【点睛】本题考查角度的计算．根据题意正确的表示出各角的度数，是解题的关键．
变式2．如图，已知 ，以O为顶点，OA为一边顺次往外画两个锐角 和
，并且 ， 平分 ， 平分 ．若设
．
(1)当射线 在 内时．
①若 ，求x的值；
②若 是 内的一条射线，且 ，判断 是图中哪个角的平分线，
并说明理由；
(2)改变 的大小，探究 的大小是否发生变化？若不变，请求
出它的值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)① ② 是 的角平分线，理由见解析(2)会发生变化，理由见解
析
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，正确识图，理清角度之间的和差关系，利用数
形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）①先求出 的度数，角平分线，求出 的度数，利用 即可
得出结果；②根据角度之间的和差关系，用含 的式子表示出 的度数，即可
得出结论；
（2）分 在 的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：①∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
② 是 的角平分线，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
（2）发生变化，理由如下：
①当 在 的内部时：
由（1）可知， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
∴
∴ ；
②当 在 的外部时，
，综上：当 在 的内部时： ，
当 在 的外部时，
故： 的值发生变化．
变式3．如图，已知 ，以O为顶点，OA为一边顺次往外画两个锐角 和
，并且 ， 平分 ， 平分 ．若设
．
(1)当射线 在 内时．
①若 ，求x的值；
②若 是 内的一条射线，且 ，判断 是图中哪个角的平分线，
并说明理由；
(2)改变 的大小，探究 的大小是否发生变化？若不变，请求
出它的值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)① ② 是 的角平分线，理由见解析(2)会发生变化，理由见解
析
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，正确识图，理清角度之间的和差关系，利用数
形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）①先求出 的度数，角平分线，求出 的度数，利用 即可
得出结果；②根据角度之间的和差关系，用含 的式子表示出 的度数，即可
得出结论；
（2）分 在 的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：①∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
② 是 的角平分线，理由如下：
∵ ， ，∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
（2）发生变化，理由如下：
①当 在 的内部时：
由（1）可知， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
∴
∴ ；
②当 在 的外部时，，
综上：当 在 的内部时： ，
当 在 的外部时，
故： 的值发生变化．
【考法五、角度中的新定义问题】
例．【新概念】如图1， 为 内一条射线，当满足 时，我们把射
线 叫做射线 的m等个性线，记作 ．（其中m为正整数）
【实际应用】已知： 为直线 上一点，过 点作射线 ．
(1)如图2，将一个三角板（含 ）直角顶点D放在 处，另两条边分别为 ，
当DE是 时， ．（填“是”或“不是”）．
(2)如图3，将三角板的 顶点E放在O处，那么当 是 时， 是否也是
?请先猜想结果，再说明理由．
(3)将图3中的射线 绕O点逆时针旋转 ，如图4，此时存在正整数m使
是 的同时， 也是 ，则 ．
【答案】(1)是；(2) 是 ，理由见解析；(3)
【分析】本题考查了新定义，角的和差运算，互余、互补关系，关键是理解新定义的含义．
（1）利用互补关系与互余关系即可判断；
（2）由题意得 ，结合平角及已知得 ，进而得
，即可得猜想结果；
（3）由题意得 ， ，则可得
，由此得 ，即 ，
根据m是正整数可得 的度数，从而求得m的值．
【详解】（1）解：∵DE是 ，∴ ；∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
即 也即 是 ；
故答案为：是；
（2）（2）解： 是 ；
理由：∵ 是 ，
∴依题意 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是 ，
∵ 与 重合的，
∴ 是 ．
（3）（3）解： ；
∵ 是 ， 是 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
另一方面， ，
即 （因为原来 ，逆时针旋转 ），
∴ ，
∵ ，且 为正整数，
∴ ，
∴ ．
故答案为：4．
变式1．如图，直线 与直线 相交于点O， ． 已知 ，
绕点O在平面内旋转，旋转前，边 与射线 重合，边 与射线 重合． 将绕点O按每秒 的速度沿顺时针方向旋转一周．
(1)如图1，从 旋转开始至 边与射线 重合时，共需多少秒？
(2) 旋转至如图2所示位置时，试说明 与 有何数量关系，并说明理由；
(3)如图3，已知 ， 绕点O在平面内旋转，旋转前，边 与射线 重
合，边 与射线 重合． 若在 旋转过程中， 绕点O以每秒 的速度绕
点O沿逆时针方向旋转，当 停止旋转时， 也停止旋转，旋转过程中，当边
所在直线恰好平分锐角 时，求出旋转时间．
【答案】(1)15
(2) 与 的数量关系是： (相等)，理由见解析
(3) 或
【分析】本题考查与角平分线有关的角度计算问题，一元一次方程方程的应用等知识，能
正确找到符合条件的情况并正确作图是解题的关键．
（1）先推导找出旋转的角度为 ，再除以旋转速度得解；
（2）利用 得到 ，从而得解；
（3）设时间为t秒，分 平分 和 的反向延长线 平分 两种情况讨论
分别列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴从 旋转开始至 边与射线 重合时，共旋转了 ，
∴所需时间是： (秒)，
答： 旋转开始至 边与射线 重合时，共需15秒．
（2） 与 的数量关系是： (相等)，理由如下：
∵ ，
∴ ，即 ；
（3）设时间为t秒，
∵将 绕点O按每秒 的速度沿顺时针方向旋转一周．
∴当 时， ，当 时， ．
又∵ 绕点O以每秒 的速度绕点O沿逆时针方向旋转，
∴ ，
①如图，当 平分 时， ， ，∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ， ，
∴ ，
解得： ；
②如图，当 的反向延长线 平分 时， ， ，
∵ 的反向延长线 平分 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，即 ，
∴解得： ；
综上所述： 或 ．
变式2．若 ，我们则称 是 的“绝配角”．例如：若 ，
，则 是 的“绝配角”，请注意：此时 不是 的“绝配角”．(1)如图1，已知 ，在 内存在一条射线 ，使得 是 的
“绝配角”，此时 ______：（直接填写答案）
(2)如图2，已知 ，若平面内存在射线 、 （ 在直线 的上方），使
得 是 的“绝配角”， 与 互补，求 大小：
(3)如图3，若 ，射线 从 出发绕点O以每秒 的速度逆时针旋转，射线
绕点O从 出发以每秒 的速度顺时针旋转， 平分 ， 平分 ，
运动时间为t秒（ ）．
①当 时， 是 的“绝配角”，求出此时t的值：
②当 时， ______时， 是 的“绝配角”（直接填写答案）．
【答案】(1)
(2) 或
(3)①4或16；②
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，补角的定义，一元一
次方程的应用：
（1）根据题意得到 ，再由 ，进行求
解即可；
（2）分当 在 下方时，当 在 内部时，当 在 外部时，三种情况
讨论求解即可；
（3）分当 时，当 时，两种情况分别求出 ，再根据“绝配角”的
定义得到 ，据此建立方程求解即可；②分当 时，当
时，种情况分别求出 ，再根据“绝配角”的定义得到
，据此建立方程求解即可。
【详解】（1）解：∵ 是 的“绝配角”，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：当 在 下方时，∵ 是 的“绝配角”，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 （舍去）；
当 在 内部时，
同（1）可得 ，
∵ 与 互补，
∴ ，
∴ ；
当 在 外部时，
∵ 是 的“绝配角”，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ 与 互补，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 的度数为 或 ；（3）解：①当 时，
由题意得，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴
∴ ，
∵ 是 的“绝配角”，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
当 时，
由题意得，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴
∴
∵ 是 的“绝配角”，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
综上所述， 或 ；
故答案为：4或16；②当 时，
由题意得，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴
∴
，
∵ 是 的“绝配角”，
∴ ，
∴ ，
解得 （舍去）；
当 时，
由题意得，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴
∴
，
∵ 是 的“绝配角”，
∴ ，
∴ ，解得 ；
综上所述， ，
故答案为： 。
变式3．如果两个角的差的绝对值等于 ，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫
做另一个角的“伙伴角”（本题所有的角都指大于 小于 的角），例如 ，
， ，则 和 互为“伙伴角”，即 是 的“伙伴角”，
也是 的“伙伴角”．
(1)如图1．O为直线 上一点， ， ，则 的“伙伴
角”是_______________．
(2)如图2，O为直线 上一点， ，将 绕着点O以每秒 的速度逆时针
旋转得 ，同时射线 从射线 的位置出发绕点O以每秒 的速度逆时针旋转，
当射线 与射线 重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t秒，求当t何值时，
与 互为“伙伴角”．
(3)如图3， ，射线 从 的位置出发绕点O顺时针以每秒 的速度旋转，
旋转时间为t秒 ，射线 平分 ，射线 平分 ，射线 平分
．问：是否存在t的值使得 与 互为“伙伴角”？若存在，求出t值；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2)15或35；(3) 或
【分析】（1）按照“伙伴角”的定义写出式子，解方程即可求解；
（2）通过时间t把 与 表示出来，根据 与 互为“伙伴角”，列出
方程，解出时间t；（3）根据 在 的内部和外部以及 和 的大小分类讨论，分别画出对应
的图形，由旋转得出经过t秒旋转角的大小，角的和差，利用角平分线的定义分别表示出
和 及“伙伴角”的定义求出结果即可．
【详解】（1）
解：
∵两个角差的绝对值为 ，
则此两个角互为“伙伴角”，
而 ，
∴设其伙伴角为 ，
，
则 ，
由图知 ，
∴ 的伙伴角是 ．
（2）
∵ 绕O点，
每秒 逆时针旋转得 ，
则t秒旋转了 ，
而 从 开始逆时针绕O旋转且每秒4°，
则t秒旋转了 ，
∴此时
，
，
又 与 重合时旋转同时停止，∴ ，
（秒），
又 与 互为伙伴角，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
秒或15秒．
答：t为35或15时， 与 互为伙伴角．
（3）①若 在∠AOB的内部且 在 左侧时，即 ，如下图所示
∵ 从 出发绕O顺时针每秒 旋转，则t秒旋转了 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴
此时
解得：
∵射线 平分 ，
∴
∴
∵射线 平分
∴
∴
根据题意可得
即
解得： 或 （不符合实际，舍去）∴此时
，符合前提条件，
∴ 符合题意；
②若 在 的内部且 在 右侧时，即 ，如下图所示
∵ 从 出发绕O顺时针每秒 旋转，则t秒旋转了 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴
此时
解得：
∵射线 平分 ，
∴
∴
∵射线 平分
∴
∴
根据题意可得
即
解得： 或 （不符合实际，舍去）
∴此时 ，
，不符合前提条件∴ 不符合题意，舍去；
③若 在 的外部但 运动的角度不超过 时，如下图所示
∵ 从 出发绕O顺时针每秒 旋转，则t秒旋转了 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴
此时
解得：
∵射线 平分 ，
∴
∴
∵射线 平分
∴
∴
根据题意可得
即
解得： （不符合前提条件，舍去）或 （不符合实际，舍去）
∴此时不存在t值满足题意；
④若 运动的角度超过 且 在 右侧时，即 如下图所示此时 ，
解得： ，
∵ 从 出发绕O顺时针每秒 旋转，则t秒旋转了 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴
∵射线 平分 ，
∴
∴
∵射线 平分 ，
∴
∴
根据题意可得
即
解得： （不符合 ，舍去）或 （不符合 ，舍去）
∴此时不存在t值满足题意；
⑤若 运动的角度超过 且 在 左侧时，即 ，如下图所示
此时
解得：
∵ 从 出发绕O顺时针每秒 旋转，则t秒旋转了 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴
∵射线 平分 ，∴
∴
∵射线 平分
∴
∴
根据题意可得
即
解得： 或 （不符合 ，舍去）
∴此时
，符
合前提条件
∴ 符合题意；
综上：当 或 时， 与 互为“伙伴角”．
【点睛】本题考查了角的计算、旋转的性质、一元一次方程的运用及角平分线性质的运用，
解题的关键是利用“伙伴角”列出一元一次方程求解．
【课后练习】
1．已知 ， 为 内部的一条射线， ．
(1)如图1，若 平分 ， 为 内部的一条射线， ，则
；
(2)如图2，若射线 绕着O点从 开始以每秒 的速度顺时针旋转至 结束、 绕
着O点从 开始以每秒 的速度逆时针旋转至 结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当 时，求t的值；
(3)如图3，若射线 绕着O点从 开始以每秒 的速度逆时针旋转至 结束，在旋转
过程中， 平分 ，试问： 在某时间段内是否为定值？若不是，
请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时
间段．（题中的角均为大于 且小于 的角）
【答案】(1)
(2)3或
(3)当 时， ；当 时，
【分析】本题考查了角平分线的定义、角的和差倍分．
（1）先根据角平分线的定义求出 的度数，再根据角的倍差求出 的度数，最
后根据角的和差即可；
（2）先求出 的度数和t的最大值，从而可知停止运动时， 在 的右侧，因此，
分 在 左侧和右侧两种情况，再根据 列出等式求解即可；
（3）因本题中的角均为大于 且小于 的角，则需分 与 在一条直线上、 与
在一条直线上、 与 在一条直线上三个临界位置，从而求出此时t的取值范围，
并求出各范围内 和 的度数，即可得出答案．
【详解】（1）解： 平分 ，
，
故答案为： ；
（2）
由题意知，当 转到 时，两条射线均停止运动
此时 （秒）
则 停止转动时，
即 从开始旋转至停止运动，始终在OC的右侧
因此，分以下2种情况：
①当 在 左侧时，
则由 得 ，解得②当 在 右侧时，
则由 得 ，解得
综上，t的值为3或7.5；
（3）射线 从开始转动至 结束时，转动时间为 （秒）
由题意，分 与 在一条直线上（ ）、 与 在一条直线上（
）、 与 在一条直线上（ ）三个临界位置
①当 时，如图1所示
此时，
则 为定值
②当 时，如图2所示
此时，
则 不为定值
③当 时，如图3所示
此时，
则 为定值
④当 时，如图4所示
此时，则 不为定值
综上，当 或 时， 为定值．
2．对于四条具有公共顶点的射线，如果其中两条射线构成的角α位于另两条射线构成的角
β内，且α等于β的一半，那么我们把角α称为角β的内半角，这四条射线称为成内半角射
线组．
(1)如图1，已知 ， ， 是 的内半角，则 度．
(2)下列各图中，已知 ， ， ，那么其中射线 、 、
、 为成内半角射线组的是 ．
(3)如图2，已知 ，现将射线 、 同时绕顶点O以5度/秒的速度顺时针旋转，
对应得到射线 、 ．问：在旋转一周的过程中，射线 、 、 、 能否为成
内半角射线组？如果能，请直接写出旋转的时间；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)55
(2)D
(3)在旋转一周的过程中，射线 、 、 、 能为成内半角射线组，旋转时间为2
秒或18秒或54秒或70秒【分析】本题属于新定义类问题，主要考查旋转中角度的表示，角度的和差运算，一元一
次方程的应用．由旋转正确表达对应的角是本题解题关键．
（1）根据“内半角”的定义，可求出 ，再根据
求解即可；
（2）根据“内半角”的定义，逐项判断即可；
（3）分四种情况讨论，结合“内半角”的定义列出一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：∵ 是 的内半角，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ；
（2）解：A：∵ ，
∴ ，
∴射线 、 、 、 不能称为成内半角射线组；
B：∵ ，
∴ ，
∴射线 、 、 、 不能称为成内半角射线组；
C：∵ ，
∴ ，
∴射线 、 、 、 不能称为成内半角射线组；
D：∵ ，
∴ ，
∴射线 、 、 、 能称为成内半角射线组．
故选D；
（3）解：分类讨论：①当射线 在 内时，如图，
∴ ， ．如果射线 、 、 、 能为成内半角射线组，则 ，
∴ ，
解得： ；
②当射线 在 外时，有以下两种情况：
ⅰ如图，
∴ ， ．
如果射线 、 、 、 能为成内半角射线组，则 ，
∴ ，
解得： ；
ⅱ如图，
∴ ，
．
如果射线 、 、 、 能为成内半角射线组，则 ，
∴ ，
解得： ；
③当射线 在 内时，如图，
∴ ，
．如果射线 、 、 、 能为成内半角射线组，则 ，
∴ ，
解得： ．
综上可知在旋转一周的过程中，射线 、 、 、 能为成内半角射线组，旋转时
间为2秒或18秒或54秒或70秒．
3．综合应用：
三角尺是我们学习数学常见的工具，同时也因它的应用广泛性，常常作为命题的素材．
【数学来源于生活】
动手实践：将一副三角尺按甲、乙、丙、丁四种不同方式摆放．
(1)在_________的摆放方式中 与 互余；在_________的摆放方式中 与 互补
(2)在哪种摆放方式中 与 相等？请说明理由．
(3)【抽象数学问题】如图1所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．若
，则 _________ ；若 ，则 _________ ．
(4)如图2所示，若两个同样的三角板，将 锐角的顶点A叠放在一起，则 与
有何数量关系，请说明理由．
【答案】(1)甲，丁
(2)在乙、丙摆放方式中两角相等
(3)155，50
(4)
【分析】本题考查的是余角和补角，角的有关计算的应用，如果两个角的和等于 ，就
说这两个角互为余角．如果两个角的和等于 ，就说这两个角互为补角，能灵活运用角的和差进行计算是解此题的关键．
（1）根据互余和互补的定义即可得出答案；
（2）根据同角的余角相等即可得出答案；
（3）先求出 ，再代入 求出即可；先求出 ，再代入
求出即可；
（4）根据 求出即可；
【详解】（1）解：甲图中， ，丁图中， ，
故答案为：甲，丁；
（2）解：在乙、丙摆放方式中两角相等，理由如下：
在乙中：
∵ ，
在丙中：
∵ ，
，
∴ ；
（3）解：∵ ，
，
，
，
故答案为：155，50；
（4）解：
理由如下：
，
4．已知 在 的内部， ， 是 补角的 ．（本题出现的角均指不大于平角的角）
(1)如图1，求 的值；
(2)在（1）的条件下， 平分 ，射线 满足 ，求 的大小；
(3)如图2，若 ，射线 绕点 以每秒 的速度顺时针旋转，同时射线 以
每秒 的速度绕点 顺时针旋转，当射线 与 重合后，再以每秒 的速度绕点 逆
时针旋转．设射线 ， 运动的时间为 秒（ ），当 时，
请直接写出 的值______．
【答案】(1) 的值为 ；
(2) 的大小为 或 ，过程见解析；
(3) 或
【分析】（1）根据角度的比例关系和补角的性质列式，即可进行求解；
（2）根据角平分线的定义及（1）问结果，可求 的大小，分射线 在 内部；
射线 在 外部，两种情况进行讨论，（3）根据题意列出 和 关于时
间 的关系式，再应用绝对值的化简规则进行求解．
【详解】（1）
；
又 是 补角的 ，
，即 ，
， ，
故 的值为 ；
（2） 平分 ， ，
， ，
当射线 在 内部时，， ，
，
，
当射线 在 外部时，
，
，
，
，
故 的大小为 或 ；
（3）当 顺时针旋转时，
，
，
代入 ，
，即 ，
去绝对值符号： 或 ，
（舍）或 ，
当 逆时针旋转时，
，
，
代入 ，
，即 ，
去绝对值符号： 或 ，（舍）或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了角度的比例关系，补角的计算，绝对值的化简，几何图形中角度的运
算，解题的关键是：（1）根据比例关系和补角的定义列式，（2）分情况讨论射线 可
能存在的位置，（3）正确列出角关于运动时间 的关系式，熟练应用绝对值的化简进行求
解．
5．如图1，如图点 为线段 上一点，一副直角三角板的直角顶点与点 重合，直角边
在线段 上， ．
(1)将图1中的三角板 绕点 沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若 ，
则 ______；猜想 与 的数量关系为______；
(2)将图1中的三角板 绕点 沿顺时针方向按每秒 的速度旋转一周，三角板 不
动，请问几秒后 所在的直线平分 ？
(3)将图1中的三角板 绕点 沿逆时针方向按每秒 的速度旋转两周，同时三角板
绕点 沿逆时针方向按每秒 的速度旋转（随三角板 停止而停止），请直接写
出几秒后 所在的直线平分 ？
【答案】(1) ，
(2) 秒或 秒后， 所在的直线平分
(3) 秒或 秒或 秒后， 所在直线平分
【分析】本题考查了几何图中角度的计算、角平分线的定义、一元一次方程的应用，理解
题意，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）根据互余关系先求出 ，再由角的和差求出结果；
（2）当旋转 或 时， 所在的直线平分 ，由此求解即可；
（3）设运动时间为 秒，分三种情况：当三角板 绕着点 沿逆时针方向旋转 到 ，
平分 时；当三角板 绕着点 沿逆时针方向旋转 到 ， 平分
时；当三角板 绕着点 沿逆时针方向旋转 到 ， 平分 时；
分别列出方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解： ， ，，
，
，
，
，
，
故答案为： ， ；
（2）解：由题意可得：当旋转 或 时， 所在的直线平分 ，
三角板 绕点 沿顺时针方向按每秒 的速度旋转，
旋转时间为： （秒）， （秒），
秒或 秒后， 所在的直线平分 ；
（3）解： 三角板 绕点 沿逆时针方向按每秒 的速度旋转两周，
三角板 在 秒后停止运动，
三角板 绕点 沿逆时针方向按每秒 的速度旋转，
三角板 最多旋转 ，
设运动时间为 秒，
当三角板 绕着点 沿逆时针方向旋转 到 ， 平分 时，
有 ，
解得： ；
当三角板 绕着点 沿逆时针方向旋转 到 ， 平分 时，
有 ，
解得： ；
当三角板 绕着点 沿逆时针方向旋转 到 ， 平分 时，
有 ，
解得： ，
综上所述， 秒或 秒或 秒后， 所在直线平分 ．
6．已知 ，过顶点O作射线 ，若 ，则称射线 为 的
“好线”，因此 的“好线”有两条，如图1，射线 ， 都是 的“好
线”．(1)已知射线 是 的“好线”，且 ，求 的度数．
(2)如图2，O是直线 上的一点， ， 分别是 和 的平分线，已知
，请通过计算说明射线 是 的一条“好线”．
(3)如图3，已知 ， ，射线 和 分别从 和 同时出发，
绕点O按顺时针方向旋转， 的速度为每秒 ， 的速度为每秒 ，当射线 旋转
到 ，立即绕点O按逆时针方向旋转，直至射线 与 重合时，两条射线同时停止．
在旋转过程中，射线 能否成为 的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求
出符合条件的所有的旋转时间．
【答案】(1) 或30°；(2)见解析；(3) 秒或 秒或 秒
【分析】本题主要考查了角的和差倍分运算以及一元一次方程的应用，根据题意，分类讨
论是解题的关键．
（1）根据“好线”的定义，可得 ，再分 在 内部时，在 外
部时，两种情况分别求值即可；
（2）根据 ， 分别是 和 的平分线，可得 ， ，
进而即可得到结论；
（3）设运动时间为t ，则 ， ，分3种情况：射线 顺时针旋转，
当 在 上方时；射线 顺时针旋转，当 在 下方时；射线 逆时针旋转时，
当 在 下方时，分别列出方程即可求解．
【详解】（1）解：∵射线 是 的“好线”，且 ，
∴ ，
∴当 在 内部时， ，
当 在 外部时， ，
∴ 或30°；
（2）∵ ， 分别是 和 的平分线
∴ (∠MOP+∠NOP)= ， ，
∴ ，∴∠BOP= ∠AOP
∴ 是 的一条“好线” ；
（3）解：设运动时间为t ，
∵ ，
∴ ，
射线 顺时针旋转，当 在 上方时， 即
， ，
∴
解得： ；
射线 顺时针旋转，当 在 下方时， 即 ，
， ，
∴ ，
解得： ；
射线 逆时针旋转时，当 在 下方时， 即 ，
， ，
∴ ，
解得： ，
综上所述：运动时间为 秒或 秒或 秒．
7．将一副直角三角板按如图1摆放（ ， ），点D，C，A都在直线
上，保持三角板 不动，将三角板 绕点C以每秒 的速度，顺时针方向旋转．
三角板 的旋转时间为t秒，旋转一周回到原位则停止．（本题中的角均大于 且小于
或等于 ）(1)当 与 重合时，求t的值；
(2)如图2， 平分 ， 为 的三等分线，且 ．
①当 时，求 的值；
②在三角板 旋转一周的过程中，若 ，直接写出t的值为______．
【答案】(1)
(2)① ；②8或17或26或29
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角三等分线的定义，几何图形中角度的计算，
一元一次方程的应用：
（1）先求出旋转前 ，则当 与 重合时，旋转的角度为
150度，即可得到 ；
（2）①先求出 ，进而得到
，则 ；②分当
时， 当 时， 当 时，分别求出 ，进
而求出 ，再根据 列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴旋转前 ，
∴当 与 重合时，旋转的角度为150度，
∴ ；
（2）解：①由题意得， ，
∴ ，
∵ 平分 ， 为 的三等分线，且 ，
∴ ，
∴ ；
②当 时，由题意得， ，
∴ ，∵ 平分 ， 为 的三等分线，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 （舍去）；
当 时，由题意得， ，
∴ ，
∵ 平分 ， 为 的三等分线，且 ，
∴ ，
∵， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 ；
当 时，由题意得， ，
∴ ，
∵ 平分 ， 为 的三等分线，且 ，
∴ ，
∵， ，
∴ ，∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 （舍去）；
综上所述， 或 或 或 ，
故答案为：8或17或26或29．
8．已知 ，且 ．
(1)填空： ， ， 与 的关系是 ；
(2)如图， 的边 与 的边 重合，将 绕点O逆时针旋转
，问旋转多少度时， ？
(3)当旋转的度数n满足 时，问旋转过程中， 与 是否一直存在某种
特殊关系？若是，请求出这种关系；若不是，请说明理由．
【答案】(1)100，80，互补
(2) 或
(3) 与 互补，说明见解析
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，补角的定义，非负数的性质：
（1）先根据非负数的性质得到 ，进而可得 ，则
与 的关系是互补；
（2）分当 时，当 时两种情况画出图形讨论求解即可；
（3）分当 时，当 时，当 时， 当 时，四种
情况求出 的结果即可得到结论．
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 的关系是互补；
故答案为：100，80，互补；
（2）解：①当 时，如图，
由题意得， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
②当 时，如图， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
∴当旋转 或 时， ；
（3）解： 与 互补：分以下四种情况说明：
①当 时，如图， ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当 时，如图， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
③当 时，如图， ，
∴ ，
∴
，
∴ ；
④当 时，如图，∴ ．
综上，旋转过程中， 与 始终互补．
9．直线 相交于点 ， ，射线 平分 ．（本题中所有角的度
数均不超过 ）
(1)若 ，
①将 绕点 旋转至图①的位置， ， ______ ．
②将 绕点 旋转至图②的位置， 与 有怎样的数量关系？请说明理由．
(2)如图③，若 ，将 绕点 顺时针旋转一周，请直接写出在整个旋转过
程中 与 的数量关系．
【答案】(1)①75；② ，理由见解析
(2) 或 ； 或
【分析】（1）①根据 ，可得 ，再由 ，可得
，然后根据角平分线的定义可得 ，即可求解；②根据
，可得 ，从而得到
，根据角平分线的定义可得
，，从而得到
，即可求解；（2）根据题意分四种情况讨论，然后利用角的和差关系求解即可．
【详解】（1）解：①∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵射线 平分 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
② ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵射线 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵射线 平分 ，
∴ ，
当 均在 的左侧时，如图，
∵ ，
∴ ，，
∴ ，
∴ ；
当 均在 的右侧时，如图，
，
，
∴ ；
当 在 的左侧， 在 的右侧时，如图，
∵
∴ ，
，
∴ ；
当 在 的上方， 在 的右侧时，如图，∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ．
综上所述， 或 ； 或 ．
【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，角的和与差．根据题意得到角与角之间的
数量关系，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
