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大连市第二十四中学 2022-2023 学年度高考适应性测试（一）
数学参考答案
1．B
【详解】化简可得 ，又
所以 .
故选：B.
2．A
【详解】因为 ，所以
所以 ，
所以 ．
故选：A.
3．A
【详解】由题意知：渐近线方程为 ，由焦点 ， ，
以 为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，
则圆的半径 等于圆心到切线的距离，即 ，
又该圆过线段 的中点，故 ，
所以离心率为 .
故答案为： .
4．A
【详解】根据雷达图，可知物理成绩领先年级平均分最多，即A错误；
甲的政治、历史两个科目的成绩低于年级平均分，即B正确；
甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理，即C正确；对甲而言，物理成绩比年级平均分高，历史成绩比年级平均分低，而化学、生物、地理、政治中优势最明显的两
科为化学和地理，故物理、化学、地理的成绩是比较理想的一种选科结果，即D正确.
故选：A.
5．B
【详解】由题可得 ，
因为 是奇函数， 是偶函数，
所以 ，
联立 解得 ，
又因为对任意的 ，都有 成立，
所以 ，所以 成立，
构造 ，
所以由上述过程可得 在 单调递增，
(i)若 ，则对称轴 ，解得 ；
(ii) 若 ， 在 单调递增，满足题意；
(iii) 若 ，则对称轴 恒成立；
综上， ，
故选：B.
6．D
【详解】因为平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，所以 ，
取 中点 ，连接 ， ，
答案第2页，共2页、 分别为 、 的中点，则 ，所以 ，同理 ，
所以异面直线 和 所成角即为 或其补角.
取 中点 ，则 ， ，又 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，所以 .
在 中， ， ，所以 .
所以直线 和 所成角的正切值为 ，
故选：D.
7．A
【详解】
如图假设 ，线段 与函数 的图像有5个交点，则 ，
所以由分析可得 ，所以 ，
可得 ，
因为 所以 ，即 ，
所以 是 的对称轴，
所以 ，即 ，
，
所以 ，可令 得 ，
所以 ，当 时，令 ，则 ，
作 图象如图所示：
当 即 时 ，当 即 时， ，
由图知若 ， 与 有两个交点，则 的取值范围为 ，
故选：A
8．A
【详解】由 ， ，
得 ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
答案第4页，共2页，
故 ， ，
所以 .
故选：A.
9．BD
【详解】对于A，小王一家2021年用于饮食的支出比例与跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多，
∴小王一家2021年用于饮食的支出费用比2018年多，故A错误；
对于B，设2018年收入为a，∵相同的还款数额在2018年占各项支出的60%，在2021年占各项支出的40%，
∴2021年收入为： ，∴小王一家2021年用于其他方面的支出费用为 ，小王一家2018
年用于其他方面的支出费用为 ，∴小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍，故B正确；
对于C，设2018年收入为a，则2021年收入为： ，故C错误；
对于D，小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同，故D正确．
故选：BD．
10．ACD
【详解】由题意令 得 ，A正确；
令 得 ，所以 ，B错；
令 得 ，C正确；
由题意 均为正， 均为负，
因此a－|a|＋a－|a|＋a－|a| ，D正确．
0 1 2 3 4 5
故选：ACD．
11．ACD
【详解】正方体棱长为2，面对角线长为 ，
由题意 ， ， ， ，
旋转后 ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，
旋转过程中，正方体的顶点到中心 的距离不变，始终为 ，因此选项A中， ，2，3， 正确；
，设 ，则
，
，
，则存在实数 ，使得 ，
，
， ，∴ ，B错；
， ，
设 是平面 的一个法向量，则
，令 ，得 ，
又 ，
∴ 到平面 的距离为 ，C正确；
，设 ， ，
，
，
令 ，则 ，
答案第6页，共2页时， ， 递增， 时， ， 递减，
∴ ，又 ， ，
所以 ，
即 ， ，
夹角的最小值为 ，从而直线 与直线 所成角最小为 ，D正确．
故选：ACD．
12．BCD
【详解】 ，
∴ 上 ，即 上 递减，则 ，
∴A错误，B正确；
令 ，则在 上 ，即 递减，
∴ 时，有 ，C正确；
，则 等价于 ， 等价于 ，
令 ，则 ， ，
∴当 时， ，则 递增，故 ；
当 时， ，则 递减，故 ；
当 时，存在 使 ，
∴此时， 上 ，则 递增， ； 上 ，则 递减，
∴要使 在 上恒成立，则 ，得 .
综上， 时， 上 恒成立， 时 上 恒成立，
∴若 ，对于 恒成立，则 的最大值为 ， 的最小值为1，正确.故选：BCD
13．1
【详解】解： ，
，则 .
故答案为：1.
14．
【详解】解：因为以直角边 、 为直径的两个半圆的面积之比为3，所以 ，
所以在直角三角形 中 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故答案为： .
15．780.6
【详解】因为 54.4， 4504，
所以 ， ，
所以
，
当 时， ，
所以年销售量 780.6
故答案为：780.6.
16．
【详解】根据题意, 点 为 的费马点， 的三个内角均小于 ,
答案第8页，共2页所以 ，
设 ，
所以在 和 中， ，且均为锐角，
所以
所以由正弦定理得： ， ，
所以 ， ，
因为
所以
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以
故实数 的最小值为 .
故答案为：
17．(1) ， .(2)
【分析】（1）由 判断出数列 为等比数列，求出 的通项公式；利用累加法求出 的通项公
式；（2）先得到 ，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）当 时，由 可得： ；
当 时，由 ①， ②
则 得：
所以 .
因为 ， ，所以数列 为等比数列，所以 .
因为 ， ， ，…， ，…是首项、公差均为2的等差数列，
所以 ， ， ，…… ，
累加得： ，
所以 .n=1成立
综上所述： ， .
（2） .
所以数列 的前 项和
答案第10页，共2页所以 .
18．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）将正切化成正弦，化简整理，再利用正弦定理即可得证；
（2）结合（1）及余弦定理化简，再利用基本不等式可求得 的最大值，进而得解.
【详解】（1） ， ，
，
由正弦定理可得
（2）由（1）知 ，则
由余弦定理可得
，当且仅当 时，即 为正三角形时，等号成立，
由 知， 为锐角，
所以 的最大值为 ， 的最大值为
19．(1)不能认为比赛的“主客场”与“胜负”有关
(2)见解析
【分析】（1）写出列联表，根据公式求出 ，对照临界值表判断即可；
（2）根据题意得到 队除第五场外，其他场次获胜的概率为 ，然后分情况求概率，写分布列即可.
【详解】（1）根据题意可得列联表如下：
客场 主场 合计
获胜场次 20 25 45
负的场次 10 5 15
合计 30 30 60，
所以不能认为比赛的“主客场”与“胜负”有关，即认为比赛的“主客场”与“胜负”无关.
（2）由题意得 队除第五场外，其他场次获胜的概率为 ，
， ， ，
，
所以 的分布列如下，
0 1 2 3
20．(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）证明 平面PAB即可;
（2）由异面直线BM和CE所成角的余弦值为 可得M坐标，后可得答案.
【详解】（1）证明：在 中，
∵ ， ， ，
由余弦定理可得： ，
即 ，
∴ ，
从而
∵ ，∴
∵平面 平面PAD，平面ABCD 平面PAD ，AB 平面ABCD.
∴ 平面PAD，
∴ 平面PAD，
∴ .
∵ ，AB 平面PAB，PA 平面PAB，
答案第12页，共2页∴ 平面PAB.
∵ 平面PAB，
∴ ．
（2）以A为原点，以AD为y轴，建系如图所示，则 ， ， ，
，
则 ， ，
， .
设 ，则
设异面直线BM和CE所成角为 ，则
得 .此时，
设面MAB的一个法向量为 ，
有
令 ，则 ， ，取 .
设面PCD的一个法向量为 ，
有令 ，则 ， ，取
设面MAB与面PCD的夹角为 ，
则 .
即面MAB与面PCD夹角的余弦值为 .
21．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由题意可得 ，再由 结合三角形面积公式可求得 ，由此可得双曲线E的标准方程；
（2）由向量的坐标表示求得 ，代入双曲线方程得 ，同理可得
，再由韦达定理即可得到 ，得证；
（3）由 得到 ，结合（2）中结论可将式子化简为 ，再利用
换元法与双勾函数的单调性即可求得m的取值范围.
【详解】（1）由题意得 ， ，
则当l与x轴垂直时，不妨设 ，
答案第14页，共2页由 ，得 ，
将 代入方程 ，得 ，解得 ，
所以双曲线E的方程为 ．
（2）设 ， ， ，
由 与 ，得 ，
即 ， ，将 代入E的方程得： ，
整理得： ①，
同理由 可得 ②．
由①②知， ， 是方程 的两个不等实根．
由韦达定理知 ，所以 为定值．
（3）又 ，即 ，
整理得： ，
又 ，不妨设 ，则 ，
整理得 ，又 ，故 ，
而由（2）知 ， ，故 ，
代入 ，
令 ，得 ，由双勾函数 在 上单调递增，得 ，
所以m的取值范围为 ．
.
22．(1)①是;②不是
(2)不是,理由见解析
(3)证明见解析
【分析】(1)利用作差法,结合 函数的定义即可逐个判定;
(2) 不是定义域上的 函数,由反函数的性质及 函数的定义即可证明;
(3)假设 ,则 ,利用 函数的定义化简即可得证.
【详解】（1）①当 时,
，所以①是定义域上的 函数;
②当 时,
,所以②不是定义域上的 函数.
（2） 不是定义域上的 函数,理由如下:
因为 是定义域上的严格增函数,
所以当 时, ,即 ,
若原函数为增函数,则反函数也是增函数,即若 ,则 ,
又因为 是定义域上的 函数,即当 时,总有 ,
所以 ,即当 时, ,
答案第16页，共2页综上所述, 不是定义域上的 函数.
（3）证明:若对于任意的 , 和任意的 ,假设 ,则 ,
因为函数 为区间 上的 函数,所以 ,
化简得 ,
∵ ,∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ .答案第18页，共2页
