数学试卷答案
1. C【详解】A= { x1<x<2} ,所以C A=(-3,1 ] [ 2,3),故正确答案为C.
U
2. A【详解】令z=a+bi，根据题意可得：a2 +b2 -2a-2bi=1+2 2i
ìa2 +b2 -2a=1 ì a=1
\í ，\í ，则z=1+ 2i，所以复数z对应的点位于第一象限，
î -2b=2 2 îb=- 2
故正确答案为A.
p
3.C【详解】AB+AC= AB-AC,\ÐBAC= ,BC=4,AB=2
2
®
® p AB 1 ®
.\投影向量为AOcos = AB，故答案选C.
3 ® 2
AB
4.B【详解】PA= PC2 -1 ，所以当PC^l时，PA的长最小，C到l的距离为
2+3
d= = 5，所以PA = 5-1=2，故答案选B.
5 min
5.B【详解】根据题意，设n个超导量子比特共有2n种叠加态，
所以当有66个超导量子比特共有 种叠加态。
66
两边取以10为底的对数得， N= 2
66
lgN= lg2 =66lg2≈ 66×0.3010=19.866
所以 = × ，由于 ，
19.866 0.866 19 0 0.866 1
N= 10 10 10 10 <10 <10
故N是一个20位的数.故选：B
1
6.D【详解】图像关于原点对称，所以B错误，xÎ(0,1)，ln( x2 +1-x)=ln <0
，
x2 +1+x
x x=kp（kÎZ)
所以排除C选项，A选项函数图像与 轴的交点为 ,交点间距离相等，不符
合题意，所以正确答案为D.
p
7.A解 ：已知c=csinC,\C= ,DABC为直角三角形且外接圆半径R为 2
2
1
\c=2 2.\a2 +b2 =c2 =8,设内切圆半径为r,则S = cr.
DABI 2
a+b-c a+b-2 2 1 a+b-2 2 a2 +b2
r= = ,\S = .2 2. £ 2×( - 2)=2 2-2
2 2 DABI 2 2 2
（当且仅当a=b时等号成立），故答案选A
1
8.B【详解】在 xÎ(0,1) 时， x>x>ln(x+1)>1- ，所以，当 x=0.1 时，
x+11 11 1
>ln >1- ，故答案选B
10 10 x+1
9.
BC【详解】A选项根据命题的否定可知该命题为真命题.B选项中当n为偶数，q=-1时，
S =0，S -S =0,S -S =0，等比数列的项不可为0，所以该命题为假命题.C选项
n 2n n 3n 2n
中当a=-1时，两条直线重合，所以该命题为假命题.D选项的命题为真命题，故答案选BC.
c
10. ABD【详解】DPFF的周长为2a+2c，而 =e，所以周长是2a(1+e)，A选项正
1 2 a
c b2 b
确.e= = 1- ，当e越接近 1， 的值越小，所以椭圆越扁平，B 选项正
a a2 a
y -a y +a y2 -a2
确 . A(0,a),B(0,-a) ， 设 P(x,y) ， 则 k ×k = 0 × 0 = 0 ， 而
0 0 PA PB x x x2
0 0 0
x2 a2
y2 =a2(1- 0 )代入可得：k ×k =- ，C选项错误.当P点在短轴端点时ÐFPF 最
0 b2 PA PB b2 1 2
p 2
大，若PF ^PF ,则ÐFPF ³ ，所以c³b，有c2 ³b2，c2 ³a2 -c2，故eÎ [ ,1)，
1 2 1 2 2 2
D选项正确，故正确答案为ABD.
p 2p 1
11. BD【详解】由倍角公式降幂可得：f(x)=cos(2wx- )，T= =2p，可知：w= ，
3 2w 2
p wp p
所以A选项错误，将f(x)图像向右平移 得到y=cos(2wx- - )，该函数图像关于
6 3 3
wp p p 1 1
原点对称，则 + =kp+ (kÎZ)，所以w=3k+ ，当k=0时，w= 满足题意，
3 3 2 2 2
1 p p p p
B选项正确.当w= 时， f(x)=cos(x- )，所以x- Î(- , )，则f(x)的值域为
2 3 3 3 6
( 1 ,1 ] ，所以C选项错误，xÎ [ 0,p ] ，则2wx- p Î
ê
é - p ,2pw- p
ú
ù ，因为函数有且仅有
2 3 ë 3 3û
7p p 9p é23 29ö
4个零点，所以 £2pw- < ，解得wÎ
ê
, ÷，D选项正确.故正确选项为BD.
2 3 2 ë12 12ø
12.BCD【详解】过P点作PO垂直与底面ABCD，垂足为O，过O作OH^AD,垂足为H，
连接OB,PH,PB,则ÐPHO=a,ÐPBO=b，所以OH=OB,而O为P点在底面的投影，所以P到AD的距离等于PB，而P是在底面上，所以P点的轨迹是抛物线的一部分，A
1 1
选项错误，当P点在AB的中点时PB最短，此时PB=3，所以B选项正确，PA与CD
1 1 1
p
所成的角即PA与CD所成的角，当PA与该段抛物线相切时，角最大为 ，所以C选项
1 1 1 1 4
正确，V =V ，当P点在AB的中点时，P点到AC距离最大，三角形PAC
P-ABC B-PAC 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 2 2 2
面积最大，三棱锥P-ABC体积最大，V =V = × ×2 2× ×2 2 = ，
1 1 P-A 1 BC 1 B-PA 1 C 1 3 2 2 3
所以D选项正确.故正确答案为BCD.
1
13.y=- 【详解】根据抛物线的定义可直接得出答案.
4
14. 202 【详解】由S =17a =17得a =1
17 9 9
又S =S \a +a ++a +a =0 即a +a =0
5 13 6 7 12 13 9 10
\a =-1，公差d=-2. \a =a +(n-9)×d=19-2n
10 n 9
17+19-2n
\S = ×n=( 18-n )×n
n 2
\ { a }的前n项和为 a +a +a +a ++a =(a ++a )-(a ++a )
n 1 2 9 10 n 1 9 10 20
= 2S -S = =162+40=202
9 20
15.12p【详解】正三棱锥中对边相互垂直，所以PC^AB,而 PM⊥PC ，所以
PC^平面PAB,故PC^PA,所以三条侧棱互相垂直，该三棱锥是一个正方体的一个角，
所以外接球与正方体相同，所以R= 3，表面积为12p.
1
16. 【 详 解 】 由 x+lnx=lnt2 可 知 ex 1 +lnx 1 =t2 ， 且 由 xlnx =t2 可 知
2e 1 1 2 2
xex 1 =xlnx =lnxelnx 2
1 2 2 2
lnt lnt lnt lnt 1-2lnt
所以x=lnx 所以 = = 。令h(t)= (t>0)，则h'(t)= ，
1 2， xx xlnx t2 t2 t3
1 2 2 2
1 1 1 1
所以h(t)在（0，e2)(e2,+¥)¯，所以h(t) =h(e2)=
max 2e17.(1)方案一：选条件①.
3
由 3b- 3ccosA=asinC，可得b-ccosA= asinC，
3
3
由正弦定理得sinB-sinCcosA= sinAsinC， …………………2分
3
因为B=p-(A+C)，所以sinB=sin(A+C) ，
3
所以sinAcosC+cosAsinC-sinCcosA= sinAsinC，
3
3
故sinAcosC= sinAsinC，
3
又sinA=/ 0，于是sinC= 3cosC，即tanC= 3， …………………4分
p
因为CÎ(0,p)，所以C= . …………………5分
3
方案二：选条件②．
sinA-sinC sinA-sinB a-c a-b
= ，由正弦定理得 = ， …………………2分
b a+c b a+c
即a2 -c2 =ab-b2，\a2 +b2 -c2 =ab，
a2 +b2 -c2 1
\由余弦定理得cosC= = . ……………………4分
2ab 2
p
又CÎ(0,p)，所以C= . …………………5分
3
1 1
（2）S= CA×CB×sinC= 3,\CA×CB=4又AD= AB,…………………6分
2 3
1 1 2 1
\CD=CA+AD=CA+ AB=CA+ (CB-CA)= CA+ CB …………………7分
3 3 3 3
2 4 2 1 2 4 4 2 1 2 2
\CD = CA + CB + CA·CB= CA + CB + CACB
9 9 9 9 9 9
…………………9分
4 2 2 8
³ CACB+ CACB= CACB=
9 9 3 32 1
当且仅当 CA= CB时，等号成立
3 3
2 6
\CD的最小值为 . …………………10分
3
18.（1）过点M作MG//PD交DC于点G，连接BG，PM=2MC
\BG//AD,BGMG=G,\平面MGB//平面PAD
又BMÌ平面BGM,\BM//平面PAD. …………………5分
（2）以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，令
K ， ， ， =
C(0,3,0),P(0,0,b),B(2,2,0)
则
® ® ® ® 2 ® b
DB=(2,2,0),PC=(0,3,-b),DM=DP+ PC=(0,2, ) …………………7分
3 3
设平面 的法向量为
=( , , )
ì® ® ì ® 6
\í n×DB=0 ,í 2x+2y=0,令x=1,则n= (1,-1,- )
® ® b
în×DM=0 î2y+ z=0 b
3 ，
m=(0,0,1) …………………9分
易知平面CBD的法向量为
6
\sinq=|cosám ® ,n ® ñ|= b = 6 ,可得b=3
36 3
1× 1+1+
b2
\PD=3 …………………12分
19 (1) n=1时a =s =22 -1=3
1 1
( ) ( )
n³2时a =s -s = 2n+1-1 - 2n-1 =2n …………………2分
n n n-1
经验证n=1时a=3¹21
1
\a = …………………5分
n 32,n 且 =N1*,
, n≥2 n∈
2 4
(2) T = < …………………6分
n=1时 1 3 32n+1 1 1
b = = - …………………8分
n 时， n (2n-1)(2n+1-1) 2n-1 2n+1-1
≥2
2 æ 1 1 1 1 1 1 ö
T = +2ç - + + ++ - ÷
n 3 è22 -1 23 -1 23 -1 24 -1 2n-1 2n+1-1ø
4 2 4
- < …………………11分
= 3 2n+1-1 3
4
\T < . …………………12分
n 3
1 3
20. （1）S=3xy+ x2sin60°=3xy+ x2 = 39，
2 4
3
39- x2
4 4 13-x2
y= =
故 3x 4 3x . …………………3分
3 4 13-x2 3
y> x，即 > x，解得x< 2 13.
12 4 3x 12
4 13-x2 ( )
y= , 0<x< 2 13
故 4 3x .…………………6分
（2）如图所示：作OF^CD交CD于F，交AB于E，连接OC.
1 3 3
故OE= ´ x= x，
3 2 6
æxö 2 æ 3 ö 2 x2 3 x2
故R2 =OC2 =CF2+OF2 =ç ÷ +ç ç y+ x÷ ÷ = +y2+ xy+
è2ø
è
6
ø
4 3 12
13 13 13 132 13 13 13
= x2+ + ³ 2 + = +
48 3x2 6 48´3 6 6 6 ，
…………………10分
13 13
当 x2 = ，即x=2时等号成立.
48 3x2
13+ 13
故当x=2时，面积最小值 pcm2. …………………12分
6
1 mx-1
21. （1）函数f(x)的定义域为(0,+¥)，f¢(x)=m- = ………………1分
x x
①当m£0时，f¢(x)<0，所以f(x)在(0,+¥)上为单调递减函数 …………………3分1 1
②当m>0时，xÎ(0, )时， f¢(x)<0；xÎ( ，+¥)时，f¢(x)>0
m m
1 1
所以f(x)在(0, )上为单调递减函数，在( ，+¥)为单调递增函数. …………………5分
m m
x2
（2）由f(x)>g(x)得，mx-lnx-1>
ex
lnx+1 x
\m> + ， …………………7分
x ex
lnx+1 x -lnx 1-x
令F(x)= + ， F¢(x)= + …………………8分
x ex x2 ex
当xÎ(0,1)时F¢(x)>0,xÎ(1，+¥)时，F¢(x)<0、
所以F(x)在(0,1)单调递增，在(1，+¥)单调递减， …………………10分
1
\F(x) =F(1)=1+
max e
1
故m>1+ …………………12分
e
y y
22.（1）令M(x,y)，根据题意可知： × =3，
x+1 x-1
y2
化简，可得：x2 - =1(y¹0) ……………3分（范围还可以是：x¹ ±1无范围扣1分）
3
（2）设P(x,y)，Q(x,y)，可设直线l:x=my+2，联立方程
1 1 2 2
ìx=my+2
ï
í y2 可得：(3m2 -1)y2 +12my+9=0
x2 - =1
ï
î 3
ì
ï
D>0
ï
则ï
íy+y =-
12m ， …………………5分
1 2 3m2-1
ï
9
ï y×y = <0
ï î 1 2 3m2-1
1 3
故m2 < 且my×y =- (y+y)
3 1 2 4 1 2y
1
k x+1 y(my +1) myy +y
① 1 = 1 = 1 2 = 1 2 1
k y y(my+3) myy +3y
2 2 2 1 1 2 2
x -1
2
3 1 3
- (y+y)+y y- y
4 1 2 1 4 1 4 2 1
= = =- . …………………7分
3 3 9 3
- (y+y)+3y - y+ y
4 1 2 2 4 1 4 2
② QH^x轴 ， \H(x,-y) ， 由 两 点 式 方 程 可 得 PH 的 直 线 方 程 为 ：
2 2
y+y
y+y = 1 2 (x-x)，
2 x-x 2
1 2
\(x-x)y+xy +xy =(y+y)x，将x=my+2,x =my +2代入可得：
1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2
m(y-y)y+2myy +2(y+y)=(y+y)x， …………………8分
1 2 1 2 1 2 1 2
3
将my×y =- (y+y)代入上式，得到：
1 2 4 1 2
1
m(y-y)y+ (y+y)=(y+y)x，
1 2 2 1 2 1 2
1
所以直线PH过定点( ,0) …………………10分
2
1 3 3 3 12m 9
\S = ´ ´ y - y = y+y = =
DPHF 2 2 1 2 4 1 2 4 3m2 -1 2
1
\m2 = 或m2 =1（舍）
9
9
所以存在直线l，使得DPFH的面积为
，
2
直线l的方程为： 3x+y-6=0 或 3x-y-6=0 . …………………12分
