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神奇巧解高考数学选择题专题
前 言
高考数学选择题，知识覆盖面宽，概括性强，小巧灵活，有一定深度与综
合性，而且分值大，能否迅速、准确地解答出来，成为全卷得分的关键。
选择题的解答思路不外乎两条：一是直接法，即从题干出发，探求结果，这
类选择题通常用来考核考生最起码的基础知识和基本技能，这一般适用于题号
在前1~6的题目；二是间接法，即从选项出发，或者将题干与选项联合考察而
得到结果。因为选择题有备选项，又无须写出解答过程，因此存在一些特殊的
解答方法，可以快速准确地得到结果，这就是间接法。这类选择题通常用来考
核考生的思维品质，包括思维的广阔性和深刻性、独立性和批判性 、逻辑性和
严谨性 、灵活性和敏捷性 以及创造性；同直接法相比，间接法所需要的时间
可能是直接法的几分之一甚至几十分之一，是节约解题时间的重要手段。
然而，有相当一部分考生对于用间接手段解题并不放心，认为这样做“不
可靠”，以至于在用间接法做过以后又用直接法再做一遍予以验证；甚至有思
想不解放的，认为这样做“不道德”，而不明白这其实正是高考命题者的真实
意图所在，高考正是利用选择题作为甄别不同层次思维能力的考生的一种重要
手段。
解选择题常见的方法包括数形结合、特值代验、逻辑排除、逐一验证、等价
转化、巧用定义、直觉判断、趋势判断、估计判断、退化判断、直接解答、现场操
作，等等。考生应该有意识地积累一些经典题型，分门别类，经常玩味，以提高
自己在这方面的能力。下面主要就间接法分别举例说明之，并配备足够的对应
练习题，每题至少提供有一种解法。
1例题与题组
一、数形结合
画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思
维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。
【例题】、（07江苏6）设函数 定义在实数集上，它的图象关于直线
对称，且当 时， ，则有（ ）。
A、 B、
C、 D．
【解析】、当 时， ， 的
图象关于直线 对称，则图象如图所示。
这个图象是个示意图，事实上，就算画出
的图象代替它也可以。由图知，
符合要求的选项是B，
【练习1】、若P（2，-1）为圆 的弦AB的中点，则直线AB的方程
是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：画出圆和过点P的直线，再看四条直线的斜率，即可知选A）
【练习2】、（07辽宁）已知变量 、 满足约束条件 ，则 的取值
范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：把 看作可行域内的点与原点所在直线的斜率，不难求得答案 ，选
2A。）
【练习3】、曲线
与直线 有两个公共点时，
的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
（提示：事实上不难看出，曲线方程 的图象为
，表示以（1，0）为圆心，2为半径的上半圆，如图。
直线 过定点（2，4），那么斜率的范围就清楚了，选D）]
【练习4】、函数 在区间
A上是增函数，则区间A是（ ）
A、 B、
C、 D、
（提示：作出该函数的图象如右，知应该选B）
【练习5】、曲线 与直线
有两个交点，则 的取值范围是（ ）
A、 或 B、
C、 或 D、
（提示：作出曲线的图象如右，因为直线
3与其有两个交点，则 或 ，选A）
【练习 6】、（06 湖南理 8）设函数 ，集合 ，
，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：数形结合，先画出 的图象。 。当
时，图象如左；当 时图象如右。
由图象知，当 时函数 在 上递增， ，同时 的解
集为 的真子集，选C）
【练习7】、（06湖南理10）若圆 上至少有三个不同的点到
直线 的距离为 ，则直线 的倾斜角 的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：数形结合，先画出圆的图形。圆方程化为
，由题意知，圆心到直线
的距离 应该满足 ，在已知圆中画一个半
径为 的同心圆，则过原点的直线 与小圆有公共点，∴选B。）
4【练习8】、（07浙江文10）若非零向量a，b满足|a-b|=| b |，则（ ）
A、|2b| ＞ | a-2b | B、|2b| ＜ | a-2b |
C、|2a| ＞ | 2a-b | D、|2a| ＜ | 2a-b |
（提示：关键是要画出向量a，b的关系图，为此
先把条件进行等价转换。|a-b|=| b | |a-b|2=
| b |2 a2+b2-2a·b= b2 a·（a-2b）=0
a⊥（a-2b），又a-（a-2b）=2b，所以|a|，| a-2b |，
|2b|为边长构成直角三角形，|2b|为斜边，如上图，
∴|2b| ＞ | a-2b |，选A。
另外也可以这样解：先构造等腰△OAB，使OB=AB，
再构造R△OAC，如下图，因为OC＞AC，所以选A。）
【练习9】、方程cosx=lgx的实根的个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
（提示：在同一坐标系中分别画出函数cosx与lgx的图象，如图，
5由两个函数图象的交点的个数为3，知应选C）
【练习10】、(06江苏7)若A、B、C为三个集合， ，则一定有（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：若 ，则
成立，排除C、D选项，作出Venn图，可知A成立）
【练习11】、(07天津理7)在R上定义的函数 是偶函数，且 。
若 在区间[1，2]上是减函数，则 （ ）
A、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数
B、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
C、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
D、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数
（提示：数形结合法， 是抽象函数，因此画出其简单图象即可得出结论，
如下左图知选B）
【练习12】、（07山东文11改编）方程 的解 的取值区间是（ ）
6A、（0，1） B、（1，2） C、（2，3） D、（3，4）
（提示：数形结合，在同一坐标系中作出函数 的图象，则立刻
知选B，如上右图）
二、特值代验
包括选取符合题意的特殊数值、特殊位置和特殊图形，代入或者比照选项来
确定答案。这种方法叫做特值代验法，是一种使用频率很高的方法。
【例题】、（93年全国高考）在各项均为正数的等比数列 中，若 ，则
（ ）
A、12 B、10 C、8 D、
【解析】、思路一（小题大做）：由条件有 从而
，
所以原式= ，选B。
思 路 二 （ 小 题 小 做 ） ： 由 知 原 式 =
，选B。
思路三（小题巧做）：因为答案唯一，故取一个满足条件的特殊数列
即可，选B。
【练习1】、（07江西文8）若 ，则下列命题中正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：取 验证即可，选B）
【练习2】、（06北京理7）设 ，则 （
）
A、 B、 C、 D、
7（提示：思路一：f（n）是以2为首项，8为公比的等比数列的前 项的和，
所以 ，选D。这属于直接法。
思路2：令 ，则 ，对照选项，只有
D成立。）
【练习3】、（06全国1理9）设平面向量a 、a 、a 的和a +a +a =0，如果平面
1 2 3 1 2 3
向量 b 、b 、b 满足| b |=2| a |，且a 顺时针旋转 以后与 b 同向，其中
1 2 3 i i i i
i=1、2、3则（ ）
A、-b +b +b =0 B、b -b +b =0 C、b +b -b =0 D、b +b +b =0
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
（提示：因为a +a +a =0，所以a 、a 、a 构成封闭三角形，不妨设其为正三角
1 2 3 1 2 3
形，则b 实际上是将三角形顺时针旋转 后再将其各边延长2倍，仍为封闭三
i
角形，故选D。）
【练习4】、若 ， 则 的图象是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：抓住特殊点2， ，所以对数函数 是减函数，图象往左移
动一个单位得 ，必过原点，选A）
【练习5】、若函数 是偶函数，则 的对称轴是（ ）
A、 B、 C、 D、
8（提示：因为若函数 是偶函数，作一个特殊函数 ，则
变为 ，即知 的对称轴是 ，选C）
【练习6】、已知数列{a }的通项公式为a =2n-1，其前n和为S ，那么
n n n
C 1S + C 2S +…+ C nS =（ ）
n 1 n 2 n n
A、2n-3n B、3n -2n C、5n -2n D、3n -4n
（提示：愚蠢的解法是：先根据通项公式a =2n-1求得和的公式S ，再代入式
n n
子C 1S + C 2S +…+ C nS ，再利用二项式展开式的逆用裂项求和得解，有些书上
n 1 n 2 n n
就是这么做的！其实这既然是小题，就应该按照小题的解思路来求做：令n=2，
代入式子，再对照选项，选B）
【练习7】、（06辽宁理10）直线 与曲线 （ ）的
公共点的个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
（提示：取 ，原方程变为 ，这是两个椭圆，与直线 有4个公
共点，选D）
【练习8】、如图左，若D、E、F分别是
三棱锥S-ABC的侧棱SA、SB、SC上的点，
且SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，那么平
面DEF截三棱锥S-ABC所得的上下两部分
的体积之比为（ ）
A、4：31 B、6：23
C、4：23 D、2：25
（提示：特殊化处理，不妨设三棱锥S-ABC是棱长为3的正三棱锥，K是FC
9的中点， 分别表示上下两部分的体积
则 ， ，选C）
【练习 9】、△ABC 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，
，则 的取值是（ ）
A、-1 B、1 C、-2 D、2
（提示：特殊化处理，不妨设△ABC为直角三角形，则圆心O在斜边中点处，此
时有 ， ，选B。）
【练习10】、双曲线方程为 ，则 的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、 或
（提示：在选项中选一些特殊值例如 代入验证即可，选D）
三、筛选判断
包括逐一验证法——将选项逐一代入条件中进行验证，或者逻辑排除法，即
通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定。
【例题】、设集合A和B都属于正整数集，映射f： 把集合A中的元素n
映射到集合B中的元素，则在映射f下，像20的原像是（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
【解析】、经逐一验证，在2、3、4、5中，只有4符合方程 =20，选C。
【练习1】、（06安徽理6）将函数
的图象按向量a= 平移以后的图象如图所示，则
平移以后的图象所对应的函数解析式是（ ）
A、 B、
C、 D、
10（提示：若选A或B，则周期为 ，与图象所示周期不符；若选D，则与 “按
向量a= 平移” 不符，选C。此题属于容易题）
【练习2】、（06重庆理9）如图，单位圆中 的
长度为 ， 表示 与弦AB所围成的弓形的面的
2倍，则函数 的图象是（ ）
2 2 2 2
2 2 2 2
A、 B、 C、 D、
（提示：解法1 设 ，则 ，
则S =S - S =
弓形 扇形 △AOB
，当 时，
，则 ，其图象位于 下方；当 时， ，
，其图象位于 上方。所以只有选D。这种方法属于小题大作。
解法2 结合直觉法逐一验证。显然，面积 不是弧长 的一次函数，排除
A；当 从很小的值逐渐增大时， 的增长不会太快，排除B；只要 则必然
有面积 ，排除C，选D。事实上，直觉好的学生完全可以直接选D）
【练习3】、（06天津文8）若椭圆的中心点为E（-1，0），它的一个焦点为F
11（-3，0），相应于焦点的准线方程是 ，则这个椭圆的方程是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：椭圆中心为（-1，0），排除A、C，椭圆相当于向左平移了1个单位长
度，故c=2， ，∴ ，选D）
【练习4】、不等式 的解集是（ ）
A、 B、
C、 D、
（提示：如果直接解，差不多相当于一道大题！取 ，代入原不等式，成立，
排除B、C；取 ，排除D，选A）
【练习5】、（06江西理12）某地一年内的气温
Q（t）（℃）与时间t（月份）之间的关系如右图，
已知该年的平均气温为10℃。令C（t）表示时间
段[0，t]的平均气温，C（t）与t之间的函数关系
如下图，则正确的应该是（ ）
A、 B、 C、
12D、
（提示：由图可以发现，t=6时，C（t）=0，排除C；t=12时，C（t）=10，排除
D；t＞6时的某一段气温超过10℃，排除B，选A。）
【练习6】、集合 与集合 之间的关系是（
）
A、 B、 C、 D、
（提示：C、D是矛盾对立关系，必有一真，所以A、B均假； 表示全体奇
数， 也表示奇数，故 且B假，只有C真，选C。此法扣住了概念之间矛
盾对立的逻辑关系。
当然，此题用现场操作法来解也是可以的，即令k=0，±1，±2，±3，然后观
察两个集合的关系就知道答案了。）
【练习7】、当 时， 恒成立，则 的一个可能的值
是（ ）
A、5 B、 C、 D、
（提示：若选项A正确，则B、C、D也正确；若选项B正确，则C、D也正确；若
选项C正确，则D也正确。选D）
【练习8】、（01广东河南10）对于抛物线 上任意一点Q，点P（a，0）都
满足 ，则 的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：用逻辑排除法。画出草图，知a＜0符合条件，则排除C、D；又取
，则P是焦点，记点Q到准线的距离为d，则由抛物线定义知道，此时a＜d
13＜|PQ|,即表明 符合条件，排除A，选B。另外，很多资料上解此题是用的直
接法，照录如下，供“不放心”的读者比较——
设 点 Q 的 坐 标 为 ， 由 ， 得 ， 整 理 得
，
∵ ，∴ ，即 恒成立，而 的最小值是2，∴
，选B）
【练习9】、（07全国卷Ⅰ理12）函数 的一个单调增区间是
（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：“标准”答案是用直接法通过求导数解不等式组，再结合图象解得的，
选A。建议你用代入验证法进行筛选：因为函数是连续的，选项里面的各个端点
值其实是可以取到的，由 ，显然直接排除D，在A、B、C中只要计算
两个即可，因为B中代入 会出现 ，所以最好只算A、C、现在就验算A，有
，符合，选A）
四、等价转化
解题的本质就是转化，能够转化下去就能够解下去。至于怎样转化，要通
过必要的训练，达到见识足、技能熟的境界。在解有关排列组合的应用问题中
这一点显得尤其重要。
【例题】、（05辽宁12）一给定函数 的图象在下列图中，并且对任意
，由关系式 得到的数列满足 ，则该函数的图象
是（ ）
14A、 B、 C、 D、
【解析】问题等价于对函数 图象上任一点 都满足 ，只能选A。
【练习1】、设 ，且sin3 + cos3 ，则 的取值范围是（ ）
A、[- ，0） B、[ ]
C、（-1，0） ] D、（- ，0）
（提示：因为sin3 + cos3 =（sin + cos ）（sin2 - sin cos + cos2 ），而
sin2 - sin cos + cos2 ＞0恒成立，故sin3 + cos3 t＜0,选A。另解：
由 sin3 + cos3 知 非锐角，而我们知道只有 为锐角或者直角时
，所以排除B、C、D，选A）
【练习2】、 是椭圆 的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则 的最
大值是（ ）
A、4 B、5 C、1 D、2
（提示：设动点 P 的坐标是 ，由 是椭圆的左、右焦点得
， ， 则
，选D。这里利用椭圆的参数方程把问题等价转化为三角函数求
最值的问题。特别提醒：下列“简捷”解法是掉进了命题人的“陷阱”的——
15）
【练习3】、若 ，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
（提示：利用换底公式等价转化。
∴ ，选B）
【练习4】、 且 ， ，则（ ）
A、 B、
C、 D、
（提示：此题条件较多，又以符号语言出现，
令人眼花缭乱。对策之一是“符号语言图形化”，
如图 ，用线段代表 立马知道选C。当然
这也属于数形结合方法。对策之二是“抽象语言具体化”， 分别用数字1，4，
2，3代表 容易知道选C。也许你认为对策一的转化并不等价，是的，但是
作为选择题，可以事先把条件“ ”收严一些变为“ ”。
【练习5】、已知 若函数 在 上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示： 化简得 ，∵ 在 上递增，
16∴ ，而 在 上单调递增
，又 ∴选B）
【练习6】、把10个相同的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，使盒
子里球的个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：首先在编号为1，2，3的三个盒子中分别放入0，1，2个小球，则余下
的7个球只要用隔板法分成3 堆即可，有 种，选B；如果你认为难以想到在三
个盒子中分别放入只0，1，2个小球，而更容易想到在三个盒子中分别放入只
1，2，3个小球，那也好办：你将余下的4个球加上虚拟的（或曰借来的）3个小
球，在排成一列的7球6空中插入2块隔板，也与本问题等价。）
【练习7】、方程 的正整数解的组数是（ ）
A、24 B、 72 C、144 D、165
（提示：问题等价于把12个相同的小球分成4堆，故在排成一列的12球11
空中插入3块隔板即可，答案为 ，选D）
【练习8】、从1，2，3，…，10中每次取出3个互不相邻的数，共有的取法数
是（ ）
A、35 B、56 C、84 D、120
（提示：逆向思维，问题可以等价地看作是将取出的三个数再插入余下的7
个数的 8 个空中，那么问题转化为求从 8 个空位中任意选 3 个的方法数，为
，选B）
【练习9】、（理科）已知 ，则 = （ ）
17A、4 B、-5 C、-4 D、5
（提示：逆向思维，分母（ ）一定是存在于分子的一个因式，那么一定有
， ∴ 必 然 有 ， 且
，∴ ∴ ，选B）
【练习10】、异面直线 所成的角为 l，
l
2
1
过空间一点O的直线 与 所成的角等于 ，
则这样的直线有（ ）条
A、1 B、2 C、3 D、4
（提示：把异面直线 平移到过点O的位置，记他们所确定的平面为 ，则问
题等价于过点O有多少条直线与 所成的角等于 ，如图，恰有3条，选C）
【练习 11】、不等式 的解集为 ，那么不等式
的解集为（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：把不等式 化为 ，其结构与原
不等式 相同，则只须令 ，得 ，选A）
五、巧用定义
定义是知识的生长点，因此回归定义是解决问题的一种重要策略。
【例题】、某销售公司完善管理机制以后，其销售额每季度平均比上季度增
长7%，那么经过 季度增长到原来的 倍，则函数 的图象大致是（ ）
18A、 B、 C、 D、
【解析】、由题设知， ，∵ ，∴这是一个递增的指数函数，
其中 ，所以选D。
【练习 1】、已知对于任意 ，都有 ，且
，则 是（ ）
A、奇函数 B、偶函数 C、奇函数且偶函数 D、非奇且非偶函数
（提示：令 ，则由 得 ；又令 ，代入条件式可得
，因此 是偶函数，选B）
【练习2】、点M为圆P内不同于圆心的定点，过点M作圆Q与圆P相切，则
圆心Q的轨迹是（ ）
A、圆 B、椭圆 C、圆或线段 D、线段
（提示：设⊙P的半径为R，P、M为两定点，那
么|QP|+|QM|=|QA|+|QP|=R=常数，∴由椭圆定义知圆
心Q的轨迹是椭圆，选B）
【练习3】、若椭圆 内有一点P（1，-1），F为右焦点，椭圆上有一点
M，使|MP|+2|MF|最小，则点M为（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：在椭圆中， ，则 ，设点M到右准线的距离为|
19MN| ， 则 由 椭 圆 的 第 二 定 义 知 ， ， 从 而
，这样，过点P作右准线的垂直射线与椭圆的交点即为
所求M点，知易M ，故选A）
【练习4】、设 是双曲线 的左、右焦点，P为双曲线右
支上任意一点，若 的最小值为 ，则该双曲线的离心率 的取值范围是（
）
A、[2，3] B、（1，3] C、 D、
（提示： ，当且仅当 ，即
， 时取等于号，又 ，得 ，∴ ，选B）
【练习5】、已知P为抛物线 上任一动点，记点P到 轴的距离为 ，对
于给定点A（4，5），|PA|+d的最小值是（ ）
A、4 B、 C、 D、
（提示： 比P到准线的距离（即|PF|）少
1，∴|PA|+d=|PA|+|PF|-1，而A点在抛物线外，
∴|PA|+d的最小值为|AF|-1= ，选D）
【练习6】、函数 的反函数 ，则 的图象（ ）。
A、关于点(2, 3)对称 B、关于点(-2, -3)对称
C、关于直线y=3对称 D、关于直线x = -2对称
20（提示：注意到 的图象是双曲线，其对称中心的横坐标是-3，由
反函数的定义，知 图象的对称中心的纵坐标是-3，∴只能选B）
【 练 习 7 】 、 已 知 函 数 是 R 上 的 增 函 数 ， 那 么 是
的（ ）条件。
A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、不充分不必要
（提示：由条件以及函数单调性的定义，有
，而这个过程并不
可逆，因此选A）
【练习8】、点P是以 为焦点的椭圆上的一点，过焦点 作 的外角
平分线的垂线，垂足为M，则点M的轨迹是（ ）
A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线
（提示：如图，易知 ，M是 的中点，
∴OM是 的中位线，∴ ，由椭圆的定
义知， =定值，∴ 定值（椭圆的长半轴长a），∴选A）
【练习9】、在平面直角坐标系中，若方程m（x2+y2+2y+1）=（x-2y+3）2表示的
是双曲线，则ｍ的取值范围是（ ）
A、（0，1） B、（ 1， ） C、（0，5） D、（5， ）
（提示：方程m（x2+y2+2y+1）=（x-2y+3）2可变形为 ，即得
，∴ ，这表示双曲线上一点 到定点（0，-
1）与定直线 的距离之比为常数 ，又由 ，得到 ，∴
21选C。若用特值代验，右边展开式含有 项，你无法判断）
六、直觉判断
数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式，逻辑思维严格遵守概念和逻
辑规则，而直觉思维不受固定的逻辑规则约束，直接领悟事物本质，大大节约
思考时间。逻辑思维在数学思维中始终占据着主导地位，而直觉思维又是思维
中最活跃、最积极、最具有创造性的成分。两者具有辨证互补的关系。因此，作
为选拔人才的高考命题人，很自然要考虑对直觉思维的考查。
【例题】、已知 ，则 的值为（ ）
A、 B、 或 C、 D、
【解析】、由题目中出现的数字3、4、5是勾股数以及 的范围，直接意识到
，从而得到 ，选C 。
【练习1】、如图，已知一个正三角形内接于一个边长为 的正三角形中，
问 取什么值时，内接正三角形的面积最小（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：显然小三角形的边长等于大三角形的边长之半时面积最小，选
A。）
【练习 2】、（课本题改编）测量某个零件直径的尺寸，得到 10个数据：
如 果 用 作 为 该 零 件 直 径 的 近 似 值 ， 当 取 什 么 值 时 ，
最小？（ ）
A、 ，因为第一次测量最可靠 B、 ，因为最后一次测量最可靠
C、 ，因为这两次测量最可靠 D、
（提示：若直觉好，直接选D。若直觉欠好，可以用退化策略，取两个数尝试
便可以得到答案了。）
【练习3】、若 ，则 （ ）
22A、-1 B、1 C、0 D、
（提示：直觉法，系数取绝对值以后，其和会相当大，选D。或者退化判断法
将 7 次改为 1 次；还有一个绝妙的主意：干脆把问题转化为:已知
，求 ，这与原问题完全等价，此时
令 得解。）
【练习 4】、已知 a、b 是不相等的两个正数，如果设 ，
， ，那么数值最大的一个是（ ）
A、 B、 C、 D、与a、b的值有关。
（提示：显然p、q、r都趋向于正无穷大，无法比较大小，选D。要注意，这里
似乎是考核均值不等式，其实根本不具备条件——缺乏定值条件！）
【练习5】、（98高考）向高为H的水瓶中注水，注满为止。如果注水量V与水
深h的函数关系如下列左图，那么水瓶的形状是（ ）。
O
A B C D
（提示：抓住特殊位置进行直觉思维，可以取OH的中点，当高H为一半时，
其体积过半，只有B符合，选B）
23【练习6】、（07江西理7文11）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自不
同的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图，盛
满酒好他们约定：先各自饮杯中酒的一半。设剩余酒的高度从左到右依次为
则它们的大小关系正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：选A）
【练习7】、（01年高考）过点A（1，-1）、B（-1，1）且圆心在直线 上
的圆的方程是（ ）
A、 B、
C、 D、
（提示：显然只有点（1，1）在直线 上，选C）
【练习8】、（97全国理科）函数 的最小正周期是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：因为总有 ，所以函数 的周期只与 有
关，这里 ，所以选B）
24【练习9】、（97年高考）不等式组 的解集是（ ）
A、 B、
C、 D、
（提示：直接解肯定是错误的策略；四个选项左端都是0，只有右端的值不同，
在这四个值中会是哪一个呢？它必定是方程 的根！，代入验证：2
不是，3不是， 2.5也不是，所以选C）
【练习10】、△ABC中，cosAcosBcosC的最大值是（ ）
A、 B、 C、1 D、
（提示：本题选自某一著名的数学期刊，作者提供了下列 “标准”解法，
特抄录如下供读者比较：
设y=cosAcosBcosC，则2y=[cos（A+B）+ cos（A-B）] cosC，
∴cos2C- cos（A-B）cosC+2y=0，构造一元二次方程x2- cos（A-B）x+2y=0，
则cosC是一元二次方程的根，由cosC是实数知：△= cos2（A-B）-8y≥0，
即8y≤cos2（A-B）≤1，∴ ，故应选B。
这就是“经典”的小题大作！事实上，由于三个角A、B、C的地位完全平
等，直觉告诉我们：最大值必定在某一特殊角度取得，故只要令A=B=C=60゜即
得答案B，这就是直觉法的威力，这也正是命题人的意图所在。）
【练习11】、（07浙江文8）甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2
胜”，即以先赢2局者为胜，根据以往经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，
则本次比赛中甲获胜的概率为（ ）
A、0.216 B、0.36 C、0.432 D、0.648
25（提示：先看“标准”解法——甲获胜分两种情况：①甲：乙=2：0，其概率为
0.6×0.6=0.36，②甲：乙=2：1，其概率为 ，所以甲获胜的
概率为0.36+0.288=0.648，选D。
现在再用直觉法来解：因为这种比赛没有平局，2人获胜的概率之和为1，
而甲获胜的概率比乙大，应该超过0.5，只有选D。）
【练习12】、 ，则 （ ）
A、1 B、2 C、-1 D、-2
（提示：显然 ，选B）
七、趋势判断
趋势判断法，包括极限判断法，连同估值法，大致可以归于直觉判断法一类。
具体来讲，顾名思义，趋势判断法的要义是根据变化趋势来发现结果，要求化
静为动，在运动中寻找规律，因此是一种较高层次的思维方法。
【例题】、（06年全国卷Ⅰ，11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根
细木棍围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大
面积为多少？
A、8 cm2 B、6 cm2 C、3 cm2 D、20 cm2
【解析】、此三角形的周长是定值20，当其高或底趋向于零时其形状趋向于
一条直线，其面积趋向于零，可知，只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时
也就是形状接近于正三角形时面积最大，故三边长应该为7、7、6，因此易知最
大面积为 cm2，选B。）
【练习1】、在正n棱锥中，相邻两侧面所成二面角的平面角的取值范围是（
）
A、 B、 C、 D、
（提示：进行极限分析，当顶点无限趋近于底面正多边形的中心时，相邻两
26侧面所成二面角 ，且 ；当锥体 且底面正多边形相对固定不变
时，正n棱锥形状趋近于正n棱柱， 且 选A）
【练习2】、设四面体四个面的面积分别为它们的最大值为S，记 ，则
一定满足（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：进行极限分析，当某一顶点A无限趋近于对面时，S=S ，不妨设
对面
S=S ，则S +S +S 那么 ，选项中只有A符合，选A。当然，我们也可以进
1 2 3 4
行特殊化处理：当四面体四个面的面积相等时， ，凭直觉知道选A）
【练习3】、正四棱锥的相邻两侧面所成二面角的平面角为 ，侧面与底面
所成角为 ，则 的值是（ ）
A、1 B、 C、0 D、-1
（提示：进行极限分析，当四棱锥的高无限增大时， 那么
，选D）
【练习4】、在△ABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c，若c-a等于AC边
上的高，那么 的值是（ ）
A、1 B、 C、 D、-1
(提示：进行极限分析， 时，点 ，此时高 ，那么
，所以 ，选A。）
【练习5】、若 则（ ）
27A、 B、 C、 D、
（提示：进行极限分析，当 时， ；当 时， ，从而 ，
选A）
【练习6】、双曲线 的左焦点为F，
点P为左支下半支异于顶点的任意一点，则直
线PF的斜率的变化范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
（提示：进行极限分析，当P 时，PF的斜率 ；当 时，斜率不存
在，即 或 ；当P在无穷远处时，PF的斜率 。选C。）
【练习7】、（06辽宁文11）与方程 的曲线关于直线 对
称的曲线方程为（ ）
A、 B、
C、 D、
（提示：用趋势判断法：显然已知曲线方程可以化为 ，是个增
函数。再令 那么 那么根据反函数的定义，在正确选项中当
时应该有 只有A符合。当然也可以用定义法解决，直接求出反函
数与选项比较之。）
【练习8】、若 ，则对任意实数n， （ ）
A、1 B、区间（0，1） C、 D、不能确定
（提示：用估值法，由条件 完全可以估计到 中必定有
28一个的值是1，另一个等于0，则选A。另外，当n=1，2时，答案也是1）
【练习9】、已知 ，且 ， ，则 之间的大小关系
是（ ）
A、 B、 C、 D、与c的值有关
（提示：此题解法较多，如分子有理化法，代值验证法，单调性法，但是用趋
势判断法也不错：当 时， ；当 时， ，可见函数
递减，∴选B）
八、估值判断
有些问题，属于比较大小或者确定位置的问题，我们只要对数值进行估算，
或者对位置进行估计，就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间。
【例题】、已知 是方程 的根， 是方程 的根，则 （
）
A、6 B、3 C、2 D、1
【解析】、我们首先可以用图象法来解：如图，在同一
坐标系中作出四个函数， ， ， ，
的图象，设 与 的图象交于点A，其
横坐标为 ； 与 的图象交于点C，其横坐标
为 ； 与 的图象交于点B，其横坐标为 。因为 与 为反
函数，点A与点B关于直线 对称，所以 2× =3，选B。
此属于数形结合法，也算不错，但非最好。现在用估计法来解它：因为 是
方程 的根，所以 是方程 的根，所以 所以
29选B。
【练习1】、用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶
数共有（ ）
A、24个 B、30个 C、40个 D、60个
（ 提示：如果用直接法可以分两步：先排个位，在两个偶数中任取一个有
种方法；第二步在剩下的4个数字中任取两个排在十位与百位有 种，由乘法
原理，共有 =24个，选B。用估计法：五个数字可以组成 个三位数，其
中偶数不到一半，选B。）
【练习2】、农民收入由工资性收入和其它收入两部分组成，2003年某地农
民人均收入为3150元，其中工资性收入为1800元，其它收入1350元。预计该
地区农民自2004年起工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年
增加160元，根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（ ）元
A、（4200，4400） B、（4400，4600）C、（4600，4800）D、（4800，5000）
（ 提 示 ： 由 条 件 知 该 地 区 农 民 工 资 性 收 入 自 2004 年 起 构 成 以
的 等 比 数 列 ， 所 以 2008 年 工 资 性 收 入 为
元；其它收入构成以1350为首项，公差
为160的等差数列，所以所以2008年其它收入为1350+160×5=2150元，所以
2008年该地区农民人均收入约为2340+2150=4490元，选B。）
【练习3】、已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一
半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
30（提示：用估计法，设球半径R，△ABC外接圆半径为 ，
则S = ，选D）
球
【练习4】、如图，在多面体ABCDEF中，
四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，
，EF与平面ABCD的距离为2，则
该多面体的体积为（ ）
A、 B、5 C、6 D、
（提示：该多面体的体积比较难求，可连接BE、CF，问题转化为四棱锥E-
ABCD与三棱锥E-BCF的体积之和，而 =6，所以只能选D）
【练习5】、在直角坐标平面上，已知A（-1，0）、B（3，0），点C在直线
上，若∠ACB ＞ ，则点C的纵坐标的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
（提示：如图，M、N在直线 上，且∠AMB=∠ANB= ，要使∠ACB ＞
，点C应该在M、N之间，故点C的纵坐标应该属于某一开区间，而点C的纵坐标
是可以为负值的，选D）
【练习6】、已知三棱锥P-ABC的侧面与底面所成二面角都是 ，底面三角
形三边长分别是7、8、9，则此三棱锥的侧面面积为（ ）
A、 B、 C、 D、
31（提示：你可以先求出 的面积为 ，再利用射影面积公式求出侧面
面积为 ；你也可以先求出 的面积为 ，之后求出P在底面的射影
到个侧面的距离，都是三棱锥P-ABC的高的一半，再利用等体积法求得结果，
但好象都不如用估值法：假设底面三角形三边长都是8，则面积为 ，
这个面积当然比原来大了一点点，再利用射影面积公式求出侧面面积为 ，
四个选项中只有 与之最接近，选B）
【练习7】、（07海南、宁夏理11文12）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测
试中个射箭20次，三人测试成绩如下表
甲的成绩
环数 7 8 9 10
频数 5 5 5 5 乙的成绩
环数 7 8 9 10
频数 6 4 4 6 丙的成绩
环数 7 8 9 10
频数 4 6 6 4
分别表示三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：固然可以用直接法算出答案来，标准答案正是这样做的，但是显然时间
会花得多。你可以用估计法：他们的期望值相同，离开期望值比较近的数据越
多，则方差——等价于标准差会越小！所以选B。这当然也可以看作是直觉法）
【练习8】、（07全国Ⅱ理 12）设F为抛物线 的焦点，A、B、C为该抛物线上
的三点，若 ，则 等于（ ）
32A、9 B、6 C、4 D、3
（提示：很明显（直觉）三点A、B、C在该抛物线上的图
形完全可能如右边所示（数形结合），可以估计（估值法）
到， 稍大于 （通径，长为4），
∴ ，选B。
当然也可以用定义法：由 可知 ，由抛物线定义
有 ，所以 =6）
【练习9】、（07福建理12）如图，三行三列的方阵 中有 9 个
数 ，从中任取三个数，则至少有 两个数位
于同行或同列的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：用估值法，至少有两个数位于同行或同列的反面是三个数既不同行也
不同列，这种情况仅有6种，在总共 种取法数中所占比例很小，∴选D）
【练习10】（07湖北理9）连续投掷两次骰子的点数为 ，记向量b=（m，n）
与向量a=（1，-1）的夹角为 ，则 的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：用估值法，画个草图，立刻发现在
范围内（含在OB上）的向量b的个数
超过一半些许，选C，完全没有必要计算）
33【练习11】（05年四川）若 ，则（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：注意到 ，可知不能够用单调性法去判断。问题等价于
的时候比较a、b、c的大小，∵lg2=0.3010，lg3=0.4771，
lg5=0.6990，∴ a=0.1505，b=0.1590， c=0.1398，选B。
当然，直接用作差比较法也是可以的。）
九、直接解答
并不是所有的选择题都要用间接法求解，一般来讲，高考卷的前5、6道选
择题本身就属于容易题，用直接法求解往往更容易；另外，有些选择题也许没
有间接解答的方法，你别无选择；或者虽然存在间接解法，但你一下子找不到，
那么就必须果断地用直接解答的方法，以免欲速不达。当然要记得一个原则，
用直接法也要尽可能的优化你的思路，力争小题不大作。
【例题】、（07 重庆文 12）已知以 为焦点的椭圆与直线
有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）
A、 B、 C、 D、
【解析】、设长轴长为 ，则椭圆方程为 ，与直线方程联立消去
得 ，由条件知 ，即
，得 （舍）， （舍），
∴ ，选C 。
【练习1】、函数
的部分图象如右，则 =（ ）
A、0 B、 C、2+ D、2-
（提示：直接法。由图知，A=2， ， ，∴ ，由图
34象关于点（4，0）以及直线 对称知： ，由
2009=251×8+1知， =0+ = ，选B）
【练习3】、正方体 中，E为棱AB的中点，则二面角C- -B的正切值为（
）
A、 B、 C、 D、2
（提示：用直接法。取 的中点F，连接AF、CF、CE。过点B做A E的延长线
1
的垂线于M，连接CM，由CB 面ABB A ，得CM AE，所以 就是二面角C-
1 1
A E-B 的平面角，现在设 CB=2，则 ，在 Rt△CMB 中，
1
，选B）
【练习4】、设 是椭圆
的两个焦点，以 为圆心，且过椭圆中心的圆与
椭圆的一个交点为M，若直线 与圆 相切，
则该椭圆的离心率是（ ）
35A、 B、 C、 D、
（提示：用直接法。由已知可得 ，又 ，∴ ，又直
线 与圆 相切，∴ ，∴ ，即 ，解
得 ，∵ ，∴ ，选B）
【练习5】、函数 的图象关于原点成中心对称，
则 在[-4，4]上的单调性是（ ）
A、增函数 B、 在[-4，0]上是增函数， [0，4]上是减函数
C、减函数 D、 在[-4，0]上是减函数， [0，4]上是增函数
（提示： 的图象关于原点成中心对称， 为奇函数，∴ ，∴
，易知 上 ，∴ 递减，选B）
【 练 习 6 】 、 ， 则
=（ ）
A、-3 B、3 C、2 D、-2
（提示：令 得 ，令 可得 ，选A）
【练习7】、（06重庆文10）若 ， ， ，则
（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：∵ ，∴ ，∴ ；同理 ，∴
（舍）或 ，所以选B）
【练习8】、（06全国Ⅰ理8）抛物线 上的点到直线 的距离
的最小值是（ ）
36A、 B、 C、 D、3
（提示：设直线 与 相切，则联立方程知 ，令
，有 ，∴两平行线之间的距离 ，选A）
【练习9】、（06山东理8）设 则p是q的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
（提示：分别解出p： 或 ；q： 或 或 ，则显然p是q
的充分不必要条件，选A。另外，建议解出p以后不要再解q，以p中的特殊值代
入即可作出判断）
【练习10】、（广东05理10）已知数列 满足 ， ，
，若 ，则 =（ ）
A、 B、3 C、4 D、5
（ 提 示 ： 由 条 件 有 ， ∴
， 累 加 得
，代入 得 ，两边同取极限得，
，即 ，选B）
十、现场操作
又叫做原始操作法，有别于直接法，一 是指通过现场可以利用的实物如三
角板、铅笔、纸张、手指等进行操作或者利用纸上模型进行演算演绎得到答案
的方法；二是指根据题目提供的规则演算最初的几个步骤，从而发现规律，归
纳出答案的方法。
37【例题】、（据93年全国高考题改编）如图ABCD
是正方形，E是AB的中点，将△DAE和△CBE分别
沿虚线DE和CE折起，使AE和BE重合于P，则面
PCD和面ECD所成的二面角为（ ）度。
A、 15 B、30
C、 45 D、60
【解析】、你当然可以用三垂线定理来解，但不如现场操作更快：用正方形纸
片折叠出三棱锥E-PCD，不难看出PE⊥面PCD，设二面角大小为 ，则由射影面
积公式有 ， ，选B。
【练习1】已知 ，则 的值（ ）
A、必为奇数 B、必为偶数 C、与 的奇偶性相反 D、与 的奇偶性相同
（提示：原始操作：令n=1、2，再结合逻辑排除法，知选A；也可以展开看）
【练习2】如果 的定义域为R， ，且 ，
，则 =（ ）
A、1 B、-1 C、 D、-lg3-lg5
（提示：2008是个很大的数，所以立即意识到这应该是一个周期函数的问题！
关键是求出周期值。现在进行现场操作：f（1）=lg3-lg2，f（2）=lg3+lg5，f（3）
=f（2）-f（1）=…=1，f（4）= f（3）-f（2）=…lg2-lg3，f（5）= f（4）- f（3）=…-
lg5-lg3，f（6）=f（5）- f（4）=…-1，f（7）=f（6）- f（5）=…lg3-lg2= f（1），所
38以周期是6。 =f（334×6+4）= f（4）= lg2-lg3，选C。当然你如果演算能
力好，可以这样做：
= =
，所以周期是6。其实凡属于抽象函数、抽象
数列、抽象不等式问题，解题诀窍都不过是不断利用题目所给的规则而已）
【练习3】、如图所示是某城市的网格状道路，中
间是公园，公园四周有路，园内无公路。某人驾车从
城市的西南角的A处要到达东北角的A处，最短的
路径有多少条？（据加拿大数学竞赛题改编）
A、210 B、110 C、24 D、206
（提示：原始操作：先假设已经到达了与B共线的各交叉点，标注上此时的
走法数（都是1）；再退回至离B最近的对角顶点处，标注上此时的走法数是
2；……，这样步步回退，直到A处，就知道答案了！这有点类似于杨晖三角的
规律。当然也可以用公式法：先求出没有公园时的走法数 ，再求出经过公园
中心的走法数 ，所以答案是 - =110，选B）
【练习4】、如上图所示是一个长方体
骨架，一只蚂蚁在点M处得到信息：N处
有糖！为了尽快沿着骨架爬行到N处，该
蚂蚁可走的最短路径有（ ）
A、10 条 B、20 C、30 D、40
39（提示：原始操作：假设从点N处逆着
往点M方向退回来，则在所经过的交点处的
走法数都容易写出，如图。所以从点M处出
发时一共有4+4+12=20种走法。选B）
【练习5】、有编号为1、2、3、4的四个小球放入有同样编号的四个盒子中，
每盒一球，则任意一球的编号与盒的编号不同的放法种数共有（ ）
A、9 B、16 C、25 D、36
（提示：这道高考题是典型错位排列问题，思维清晰的时候，你可能这样考
虑：完成这件事情即每个盒子都按要求放入小球，应该用乘法原理，1号盒可以
选2、3、4号球，有3种选择；2号盒可以选1、3、4号球，也有3种选择；此时3、
4号盒都只有唯一选择，3×3×1×1=9，因此答案是9。也可用现场操作之法破
解，如图，每一列对应一种放法，一共有9种，选A）
球的编号
1号盒 2 2 2 3 3 3 4 4 4
2号盒 1 3 4 1 4 4 3 3 1
3号盒 4 4 1 4 1 2 1 2 2
4号盒 3 1 3 2 2 1 2 1 3
【练习6】、如图A、B、C是固定在桌面上的三根立柱，其中A柱上有三个大小
不同的圆片，下面的直径总比上面的大，现将三个圆片移动到B柱上，要求每
次只移动一片（叫移动一次），被移动的圆片只能放入A、B、C三个柱子之一，且
大圆片不能叠在小圆片的上面，那么完成这件事情至少要移动的次数是（ ）
A、3 B、5 C、7 D、9
40（提示：现场操作，选C）
【练习7】、如左图，正方体容器 中，棱长为1，E，F分别是所在棱的中点，
G是面 的中心，在E、F、G三处各开有一小孔，则最大盛水量是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：你可以看着图现场想象一下，怎样才能使盛水量最大呢？你首先难
免考虑由E、F、G确定一个水平面，如中图，经计算发现盛水量是 ，此时DD/着
地；难道不考虑只有点D着地的情形吗？…使水平面如右图那样呢？计算得盛
水量是 ，原来点F并不在水平面内！选D）
【练习8】、一个正四棱锥的底面边长与侧棱长都是a，现用一张正方形的包装
纸将其完成包住（不能裁剪但可以折叠），那么包装纸的边长最小应该是（
）
41P
A、 B、 2
P P
C、 D、 1 3
（提示：现场用纸做一个正四棱锥，
P
4
先如图放样，其实不待你做成就知
道思路了——这已经相当于把正四
棱锥展开了，那么包装纸的边长就是正方形 的边长，选B）
【练习9】、一直线与直二面角的两个面所成的角分别是 和 ，则 的范围
是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：你可以拿一本书竖立在桌面上，拿一支笔代表直线去比划，会发现当
中有一个角等于 的时候，另一个角等于0， 可以取到 ；当直线与二
面角的棱重合时， 可以取到0，所以选C）
【练习10】、（05全国）不共面的四个定点到平面 的距离都相等，这样的平
面共有（ ）个。
A、3 B、4 C、6 D、7
（提示：先画一个三棱锥，然后想象用一个平面以各种方式置于四个顶点之间，
发现四个顶点有被平面分成2+2或者1+3两类情形，分别有3，4种可能，如图。
选D）
42【练习11】、（07高考模拟）若一个三位正整数如“a a a ”满足a ＜a 且a
1 2 3 1 2 3
＜a ，则称这样的三位数为凸数（如343、275、120等），那么所有凸数个数为（
2
）
A.240 B.204 C.729 D.920
（ 提示：进行原始操作以发现规律：第二位数字不可能为1，若为2，则左边
有1，右边有0、1可选，此时有1×2个凸数；若为3，则左边有1、2，右边有0、
1、2可选，此时有2×3个凸数；若为4，则左边有1、2、3，右边有0、1、2、3可选，
此时有 3×4 个凸数；……若为 9，则……此时有 8×9 个凸数，所以一共有
1×2+2×3+3×4+……+8×9=240个凸数，选A）
结 语
以上就10类方法对如何快速正确解答选择题给予了简要论述，凡所选用之
115道例题和习题，基本上是近年高考真题或者高考模拟题中灵活性相对较大
者，意在解放思想，开阔视野，提高能力，服务读者。需要说明的是，以上各种方
法其实有时是互相交织难以难以截然分开的，因此分类方面也只能是相对合理，
不能穷究。事实上，在分别熟悉以上方法以后，学生要学会联合采用多种方法
协同作战，以期收到最大实效。下面以一首小诗总结全文——
人生选择，选择人生，用兵之道，奇正相生，数学解题，其理相同。迂回曲径，
直捣黄龙，审时度势，天佑功成。
43
