文档内容
专题 12.2 三角形全等的判定
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 用SAS证明两三角形全等】....................................................................................................................1
【考点二 用ASA证明两三角形全等】....................................................................................................................4
【考点三 用AAS证明两三角形全等】....................................................................................................................9
【考点四 用SSS证明两三角形全等】..................................................................................................................13
【考点五 用HL证明两直角三角形全等】...........................................................................................................16
【考点六 添一个条件使两三角形全等】..............................................................................................................20
【过关检测】............................................................................................................................................................22
【典型例题】
【考点一 用SAS证明两三角形全等】
例题：（23-24八年级下·云南红河·阶段练习）如图， ，求证：
【答案】见解析
【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据题意证
明 ，即可证明结论；
【详解】证明：在 和 中，【变式训练】
1．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，已知 ， ， ．求证：
．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定．利用 证明三角形全等即可．掌握全等三角形的判定方法，是解
题的关键．
【详解】证明： ，
，即 ，
在 和 中
，
．
2．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）如图， ， ， ， ，直线
与 交于点F，交 于点G，连接 ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据垂直的定义得到 ，由角的和差得到，即可得到结论．
【详解】证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ．
3．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图， ， ．
(1)求证： ；
(2) ，求 的度数？
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平行线的性质．
（1）由平行线的性质可得出 ，然后利用 证明 即可．
（2）由全等三角形的性质可得出 ，再利用平行线的性质得出 ．
【详解】（1）证明：∵
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【考点二 用ASA证明两三角形全等】
例题：（23-24七年级下·广东河源·期末）如图， ， ，垂足分别为 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 边上的高的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等面积法等知识点，关键是选择恰当的判定条件判定
三角形全等成为解题的关键．
（1）利用“ ”即可证明结论；
（2）由全等三角形的性质得到 ，再利用等面积法求解即．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．（2）解：∵ ，
∴ ，
设 边上的高的长度为 ，
∵
∴ ，
解得： ，
∴ 边上的高的长度为 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在 和 中，点E在 边上，
， 与 交于点G．
(1)试说明： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识点，
熟练掌握全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）根据等式的性质得 ，再利用 即可证明结论；
（2）由三角形内角和定理可得 ，根据全等三角形的性质可得 ，再根据等腰三角形的
性质可得 ，最后三角形内角和以及角的和差即可解答．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
2．（23-24七年级下·重庆大渡口·阶段练习）如图，在 中， 是 边上的高，点E在 上，
， ，连接 并延长交 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 恰好平分 ， ，求 的长
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的内角和定理．
（1）证明 即可得证结论；
（2）由 得到 ，又 ，从而 ，因此
，再由 ，即可证明 ，进而得到 ，
．
【详解】（1）证明：∵ 是 边上的高，
∴ ．
在 和 中∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）已知 ．(1)如图1， 为边 的中点，连接 并延长到点 ，使 ，连接 ，求 与 的数量和位置
关系，并说明理由；
(2)如图2，若 ， 为边 上一点，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，连接 ，若
，试说明： ．
【答案】(1) ， ；理由见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定；
（1）根据线段中点的定义得出 ，进而证明 ，根据全等三角形的性质，平行线
的判定，即可得出结论；
（2）过点 作 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，证明 ，
，根据全等三角形的性质，即可得证．
【详解】（1）解： ，理由如下：
因为 为边 的中点，
所以 ．
在 和 中，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ．（2）如图，过点 作 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．
因为 ，
所以 ．
在 和 中，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ， ．
因为 ，
所以 ．
因为 ， ，
所以 ，
所以 ．
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
在 和 中，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
【考点三 用AAS证明两三角形全等】
例题：（2024·四川达州·模拟预测）如图，在梯形 中， ， ， 于点E，
，求证 ．【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
根据题意证明 ，根据 即可得到答案．
【详解】证明： ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，B、C、E三点在同一条直线上，
(1)求证：
(2)若 ,求 的度数．
【答案】(1)详见解析(2)
【分析】本题考查了平行线性质和全等三角形的性质和判定的应用，证得 是解题的关键．
（1）根据平行线求出 ，再说明 ，最后结合 运用
即可证明结论；
（2）根据全等三角形性质得出 ，进而根据平角定义即可解答．
【详解】（1）证明∶ ∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，已知 中， ，将 沿射线 方向平移至 ，
使E为 的中点，连接 ，记 与 的交点为O．
(1)求证： ；
(2)若 平分 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质，全等三角形的判定：
（1）由平移得， ， ，则由平行线的性质得到 ，再由线段中点
的定义得到 ，据此可证明结论；
（2）由平行线的性质得到 ，再由角平分线的定义得到 ，据此由平行线的性质可得答案．
【详解】（1）证明：由平移得， ， ，
∴ ，
∵E为 中点，
∴ ，
∴ ．
（2）解：由（1）得， ，
∴
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
3．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知点 、 、 、 在直线 上，点 、 在直线 的
异侧，连接 、 、 、 、 、 ，且 ， ， ．
(1)试说明： ；
(2)试说明： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质与判定，熟练掌握知识点、推理证明是解题
的关键．
（1） 根据“两直线平行，内错角相等”，得出 ，再结合 ， ，利
用 证明 即可；
（2）由 ，得 ，推出 ，根据“两直线平行，内错角相等”，得出
，推出 ，利用 证明 ，得出 ，根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明 ．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【考点四 用SSS证明两三角形全等】
例题：（2024·云南红河·一模）如图， ， ， ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题
的关键．直接证明 根据性质可证明结论．
【详解】证明：在 与 中，
，，
．
【变式训练】
1．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，C，D是 上的两点，且 ．
求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明 ，即可得出结论．
【详解】证明：在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图所示，已知 ， ， ，且 ， ， ，
在同一条直线上．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)9【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和与差．熟练掌握全等三角形的判
定与性质，平行线的判定，线段的和与差是解题的关键．
（1）证明 ，则 ，进而可证 ；
（2）由题意得， ，由 ，可得 ，根据 ，计算求解
即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长度为9．
3．（2024·四川内江·中考真题）如图，点 、 、 、 在同一条直线上， ， ，
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键.
（1）先证明 ，再结合已知条件可得结论；
（2）证明 ，再结合三角形的内角和定理可得结论.
【详解】（1）证明：∵
∴ ，即
∵ ，
∴
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
【考点五 用HL证明两直角三角形全等】
例题：（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知：如图， ， ， ，E、F是垂足，
．求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，找出全等三角形是解题关键．利用“ ”证明
，即可得出结论．
【详解】证明： ， ，
，
在 和 中，
，
，
．【变式训练】
1．（23-24七年级下·四川甘孜·期末）如图，已知 ， ， ， ，
与 交于点 ．
(1)求证： ．
(2)求 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，
（1）根据 证明两个三角形全等即可；
（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论；
解题的关键是掌握三角形全等的判定．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
由（1）知： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ．2．（23-24七年级下·福建福州·期末）已知 和 位置如图所示， ， ，
．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，能够正确证明三角形全等是解题的关键．
（1）证明 ，得出对应边相等即可；
（2）证出 ，然后证明 ，得出对应角相等即可．
【详解】（1）证明：在 和 中，
，
，
；
（2）证明： ，
，
，
，
即 ，
在 和 中，，
，
．
3．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，等腰 中， 是腰 上的高，在底边 上截取
，过点E作 交 于F．
(1)求证：
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，
（1）直接利用 证明 ，根据全等三角形的性质可得结论；
（2）先根据直角三角形的性质求出 ，再根据全等三角形的性质求出 ，然后根据等边对等角
得 ，进而求出 ，可得答案.
【详解】（1）证明：∵ 是腰 上的高， ，
∴ .
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ .∵ 是等腰三角形，
∴ .
∵ 是 的外角，
∴ ，
∴ ．
【考点六 添一个条件使两三角形全等】
例题：（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图， D， E是边 上的两点， ，
现要直接用“ ”定理来证明 ， 请你再添加一个条件： ．
【答案】
【分析】在 与 中，已知 ， ，即已知一角及角的一边对应相等，根据
“ ”的判定方法，可以添加已知边的对角对应相等即可．本题考查了全等三角形的判定定理： ：
两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有： 、 、
、 、 ．根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
【详解】解：可添加一个条件： ，使 ．
理由：
在 与 中，
，
．
故答案为
【变式训练】
1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知四边形 中， ，要使
，可添加一个条件为： ．【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： 、 、 、 、
．注意： 、 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边
一角对应相等时，角必须是两边的夹角．已知这两个直角三角形的一条边与一个角相等，所以再添加一条
对应边或者另一个对应角相等即可．
【详解】解：添加 ．理由如下：
在 与 中，
，
．
故答案为： ．
2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图， 中，D是 上一点， ，D、E、F三点共线，
请添加一个条件 ，使得 ．（只添一种情况即可）
【答案】 或 （答案不唯一）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．
根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一．
【详解】解：∵
∴ ， ，∴添加条件 ，可以使得 ，
添加条件 ，也可以使得 ，
∴ ；
故答案为： 或 （答案不唯一）．
3．（2024·山东济南·一模）如图，点 在 上， ，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形．
我所添加条件为 ．
【答案】 （答案不唯一）．．
【分析】本题考查三角形全等的判定方法；根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
已知 ， ，可以从添加角或者边的条件，得到全等三角形．
【详解】解：添加 ，理由如下：
在 和 中，
，
，
故答案为： （答案不唯一）．
【过关检测】一、单选题
1．（23-24八年级上·四川眉山·期中）如图，在 和 中，已知 ，还需要添加两个条件
才能使 ，不能添加的一组条件是（ ）．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法依次判定即可．
本题主要考查了全等三角形的判定．全等三角形的判定方法有： 、 、 和 ，注意没有
和 ．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：A. 已知 ，若添加 ， ，则可根据 得到 ，故A选
项不符合题意；
B. 已知 ，若添加 ， ，则可根据 得到 ，故B选项不符合题意；
C. 已知 ，若添加 ， ，则不能得到 ，因为没有 ，故C选项符
合题意；
D. 已知 ，若添加 ， ，则可根据 得到 ，故D选项不符合题
意；
故选：C．
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，已知 垂直于河
岸 ，现在 上取两点C、D，使 ，过点D作 的垂线 ，使点A、C、E在一条直线上，若
米，则 的长是（ ）
A．6 B．6 C．6 D．6【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由 均垂直于 ，即可得出 ，
结合 、 即可证出 ，由此即可得出 ，此题得解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ （米）．
故选：D．
3．（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点 绕原点O逆时针旋转 得到点B，
点B关于x轴对称的点为C，则点C的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关
知识成为解题的关键．
如图：过点A作 轴于点E，过点B作 轴于点D，根据旋转的性质及已知条件可证
得 ，即 ，最后再根据点关于x轴对称的坐标特点即
可解答．
【详解】解：如图：过点A作 轴于点E，过点B作 轴于点D，∵点 绕原点O逆时针旋转 得到点B，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵关于x轴对称点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，点B关于x轴对称的点为C，
∴ ．
故选：A．
4．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知 于点 ，交 于点 ， 于点 ，且
．若 ，则 的大小为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的内角和定理，先由 、 得
到 ，然后结合 ， 得证 ，进而得到 ，再利
用 求得 的大小，最后求得 的大小．
【详解】解： ， ，
，
， ，
，
，
， ，
，
．
故选：B．
5．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在 中，分别延长 ， 边上的中线 ， 到 ，
，使 ， ，则下列说法：① ；② ；③ ；④四边形 的
面积是 面积的 倍．其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握三角形全等的
判定和性质是解题的关键；
由 ， ， ，根据“ ”证明 ，得 ，，所以 ，可判断②正确；同理 ， ，所以 ，
， ，则 ， ，可判断①正确，③正确；由 ， ，
证明 、 、 三点在同一条直线上，则 ，设两条平行线 与 之间的距离为 ，则
，可证明 ，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【详解】
解： 是 的中线，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
故②正确；
同理 ，
， ，
， ，
故①正确；
， ，
、 、 三点在同一条直线上，
，
设两条平行线 与 之间的距离为 ，
，
，
，
，
故④正确；在 和 中，
，
，
，
故③正确，
故选：D．
二、填空题
6．（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图， ， ，要使得 ，若以“
”为依据，需添加条件 ．
【答案】
【分析】本题考查直角三角形全等的判定内容．“ ”的内容是：斜边和一条直角边对应相等的两个直
角三角形全等，根据题目中的已知条件只需添加两条斜边相等即可．
【详解】解： ， ，
，
和 是直角三角形，
和 有公共直角边 ，
以“ ”为依据判定 需要添加斜边相等，即 ，
故答案为： ．
7．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在 的上方有一点 ，连接 ，
， ，则 的度数为 ．
【答案】25
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意直接证明 ，即可得出，即可求解．
【详解】解：在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
故答案为：25．
8．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知 ， ， 在同一条直线上， ，
， ．则 的度数为 ．
【答案】90°/90度
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据
全等三角形的判定证明 ，即可得到答案．
【详解】解： ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，故答案为： ．
9．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在 中， ， ， ，在
上取一点 ，使 ，过点 作 交CD的延长线于点 若 ，则
．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据直角三角形的性质证明得到 是解题的关
键．
根据直角三角形的两锐角互余的性质求出 ，然后利用“角边角”证明 和 全等，
根据全等三角形对应边相等可得 ，再根据 ，代入数据计算即可得解．
【详解】解： ，
，
，
，
，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
≌ ，
，
．
故答案为：
10．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图， 中， ， D 为 延长线上一点， ， 且 ， 与 的延长线交于点 F， 若 ， 则 的值为
.
【答案】 /
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与与性质、灵活运用全等三角形的判定与性质成为解题的关键．
作 于M，通过证明 得到 ，再根据已知条件证明 ，从而
得到 ，设 ，找出 和 与x的关系即可得解答．
【详解】解：如图：作 于M，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题
11．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，点E为 上一点， ．求证：
．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，平行线性质，先根据两直线平行内错角相等得到
，再证明 ，根据全等三角形性质即可求出答案．
【详解】证明： ，
，
在 与 中，
，
，
．
12．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图， ， ， ， ．(1)求 的度数；
(2)若 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性
质，平行线的性质．
（1）由 ， ，可得 ，结合 ，即可求解；
（2）证明 ，即可求解．
【详解】（1）解： ， ，
，
，
；
（2）证明：在 和 中，
，
，
．
13．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在 与 中，点 在线段 上，且 ，
， ， ．
(1)求证： ；(2)求 的角度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
（1）证明 ，由全等三角形的性质得出 ；
（2）由全等三角形的性质得出 ，则可得出答案．
【详解】（1）证明： ， ，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
．
14．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点A、D、B、E在同一条直线上， ， ，
．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）先根据 得 ，由此可依据“ ”判定 和 全等；
（2）由 得 ，进而根据三角形内角和定理可得 的度数．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关
键．
【详解】（1）证明： ，
，
即 ，
在 和 中，
，
；
（2）解： ， ，
由（1）可知： ，
，
．
15．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在 和 中， ，
分别交 于点F，G．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，证明 是解题的关键．
（1）由 ，推导出 ，而 ，即可根据“ ”证明
，得 ；
（2）因为 ，且 ，所以 ．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的度数是 ．
16．（2024八年级上·江苏·专题练习）在 中， ， ，直线 经过点C，且
于D， 于E．
(1)当直线 绕点C旋转到图1的位置时，求证：
① ；
② ；
(2)当直线 绕点C旋转到图2的位置时， ， ，求线段 的长．
【答案】(1)①见解析，②见解析(2)3
【分析】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的
条件是解此题的关键．
（1）①由已知推出 ，因为 ， ，推出
，根据“ ”即可得到答案；
②由①得到 ， ，即可求出答案；
（2）与（1）证法类似可证出 ，能推出 ，得到 ， ，代入
已知即可得到答案．
【详解】（1）证明：① ， ，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
（ ）；
②由（1）知： ，
， ，
，
；
（2）解： ， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，，
（ ）；，
， ，
．
17．（2024八年级上·全国·专题练习）已知 ，点 ， 分别为线段 ， 上两点，连接 ，
交于点 ．
(1)若 ， ，如图1所示， ______度；
(2)若 平分 ， 平分 ，如图2所示，试说明此时 与 的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若 ，试说明： ．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形全等的判定及性质，正
确构造辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．
（1）利用同角的余角相等可以得到 ，根据 ，即可求出度数；
（2）根据角平分线的定义可以得到 ， ，利用三角形的内角和定理可以
得到 ，结合角平分线的定义转化角度即可得到 ；
（3）作 的平分线 交 于点 ，由 ，可得 ，利用ASA可得到
，从而得到 ，同理可得： ，即可得到结论；
【详解】（1）解：∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，
即： ，
故答案为：
（2）解：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
即：
∴ ；
（3）如图，作 的平分线 交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
即： ．
18．（2024八年级上·全国·专题练习）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形 以
为顶点作 ，交边 、 于 、 ．
(1)若 ， ，当 绕点 旋转时， 、 、 三条线段之间有何种数量关
系？证明你的结论；
(2)当 时， 、 、 三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；
(3)如图③，在（2）的条件下，若将 、 改在 、 的延长线上，完成图3，其余条件不变，则 、
、 之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）
【答案】(1) ，理由见解析
(2) ，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类
比推理的方法．
（1）延长 到 ，使 ，证 ，推出 ， ，证
，推出 即可；（2）延长 到 ，使 ，证 ，推出 ， ，证
，推出 即可；
（3）在 截取 ，连接 ，证 ，推出 ， ，证
，推出 即可．
【详解】（1）解： ，
证明：延长 到 ，使 ，
， ，
， ，
在 和 中
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解： ，
证明：延长 到 ，使 ，连接 ，由（1）知： ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解： ，
证明：在 截取 ，连接 ，
， ，
，
，
，
，，
，
， ，
，
，
，
，
，
．
