文档内容
专题 13.1 轴对称与线段的垂直平分线
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 轴对称图形的识别】................................................................................................................................1
【考点二 成轴对称的两个图形的识别】................................................................................................................3
【考点三 根据成轴对称图形的特征进行判断】....................................................................................................4
【考点四 根据成轴对称图形的特征进行求解】....................................................................................................7
【考点五 利用轴对称的性质解决折叠问题】......................................................................................................13
【考点六 利用线段垂直平分线的性质求解】......................................................................................................19
【考点七 线段垂直平分线的判定定理】..............................................................................................................21
【考点八 作垂线（尺规作图）】..........................................................................................................................25
【考点九 线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】......................................................................................29
【过关检测】............................................................................................................................................................36
【典型例题】
【考点一 轴对称图形的识别】
例题：（23-24七年级下·山东济南·期末）下列图案中．是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能
够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判断即可．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·河北沧州·期末）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，靖江市积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿一条直线对折后，直线
两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【详解】解析：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：C．
2．（23-24七年级下·广东佛山·期末）下列常见的手机软件图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
根据轴对称图形的定义：在一个平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
由此问题可求解．
【详解】解：符合轴对称图形的定义只有A选项；
故选：A．
3．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图所示图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，
直线两旁的部分能够完全重合的图形．据此即可解答．
【详解】解：A、B、D均不能找到一条直线，使A、B、D沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全
重合，故A、B、D不是轴对称图形，不符合题意；
C能找到一条直线，使C沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故C是轴对称图形，符合题
意；
故选：C．
【考点二 成轴对称的两个图形的识别】
例题：（23-24七年级下·全国·课后作业）下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成轴对称的有（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】本题考查轴对称的定义，熟练掌握轴对称的定义是关键，根据轴对称的定义：“如果两个平面图
形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，则这两个图形成轴对称”，进行逐一判断即可．
【详解】解：②③是轴对称，①④不是轴对称，
故选： ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·全国·课后作业）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合中的两
个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称的定义，如果两个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，这两个图形 叫做成轴对称．根据轴对称的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：选项 图中两个字母“E”能关于某条直线成轴对称，故 选项不符合题意；
D．图中两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称，故D不符合题意．故选：D．
2．（23-24八年级上·广东湛江·期中）下列的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查轴对称的定义，根据轴对称的定义（如果两个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部
分能够互相重合，则这两个图形成轴对称）进行逐一判断即可：
【详解】解：根据轴对称的概念，A、B、C都不成轴对称，不符合题意；
只有D成轴对称，符合题意．
故选：D．
3．（23-24八年级上·河南安阳·期中）下列各组图形中，两个图案是轴对称的有（ ）
A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①②③④
【答案】B
【分析】此题考查轴对称的定义：两个图形，沿着一条直线翻折后，去其中的一个图形与另一个图形完全
重合，则这两个图形关于这条直线成轴对称，根据定义依次判断即可．
【详解】解：①③是轴对称，②④不是轴对称，
故选：B．
【考点三 根据成轴对称图形的特征进行判断】
例题：（23-24八年级上·河北唐山·期末）下列图形中， 与 成轴对称的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对
称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
根据成轴对称的性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不成轴对称，故本选项错误；
B、成轴对称，故本选项正确；
C、不成轴对称，故本选项错误；
D、不成轴对称，故本选项错误．
故选：B．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图， 与 关于直线l对称，连接 ， ， ，其
中 分别交 ， 于点D， ，下列结论：① ；② ；③直线l垂直平分
；④直线 与 的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点
所连线段的垂直平分线是解题的关键．
根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可．
【详解】解： 和 关于直线 对称，
∴ ，故①正确，和 关于直线 对称，点D与点 关于直线 对称的对称点，
∴ ，故②正确；
和 关于直线 对称，
线段 、 、 被直线 垂直平分，
直线 垂直平分 ，故③正确；
和 关于直线 对称，
线段 、 所在直线的交点一定在直线 上，故④错误，
∴正确的有①②③，
故选：A．
2．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线 是
其对称轴．下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． 平分 D． 垂直平分
【答案】D
【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全
等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形
关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此分析即可．
【详解】解：如图是一个轴对称图形，直线 是其对称轴，
A． ∵ 与 是一组对应边，
∴ ，故此选项不符合题意；
B．∵ 与 是一组对应角，
∴ ，故此选项不符合题意；C．∵ 与 是一组对应角，
∴ 平分 ，故此选项不符合题意；
D．∵直线 是对称轴，
∴ 垂直平分 ，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图， 与 关于直线 对称，P为 上任一点（ ，
P， 不共线），下列结论中不正确的是（ ）
A．
B． 垂直平分线段
C． 与 面积相等
D．直线 ， 的交点不一定在直线 上
【答案】D
【分析】本题考查轴对称的性质，掌握轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，轴对称的
三角形全等由此面积相等是解题的关键．
【详解】解： 与 关于直线 对称， 为 上任意一点，
垂直平分 ，
∴ ， 与 面积相等，故A，B，C选项不符合题意；
直线 ， 关于直线 对称，因此交点一定在 上，故D选项符合题意．
故选：D．
【考点四 根据成轴对称图形的特征进行求解】
例题：（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P在四边形 的内部，且点P与点M关于 对称，
交 于点G，点P与点N关于 对称， 交 于点H， 分别交 于点 ．(1)连接 ，若 求 的周长；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)12cm
(2)134°
【分析】本题主经考查了轴对称与多边形综合．熟练掌握轴对称性质，多边形内角和公式，是解决问题的
关键．n边形内角和公式 ．
（1）根据轴对称性质得到， ， ，得到 的周长等于线段 的长度，为 ．
（2）根据轴对称性质得到， ， ， ， ，根据四边形 内角
和为 与 ，得到 ，根据五边形 内角和为 ，得到
．
【详解】（1）解：如图，∵点P与点M关于 对称，
∴ ，
∵点P与点N关于 对称，
∴ ，
∵ ，
∴ 的周长为 ．
（2）解：∵点P与点M 关于 对称，∴ ，
即 ，
∵点P 与点N 关于 对称，
∴ ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图， 与 关于直线 l对称，若 ，
求 的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查对称的性质和三角形内角和定理，根据对称得到 ，利用三角形内角和定
理即可求得答案．
【详解】解 与 关于直线 l对称，
∵ ，
．
2．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图， 和 关于直线 对称， 和 的交点 在直
线 上．(1)若 ， ，求 的长；
(2)若 ， ， ，求 的度数；
(3)连接 和 ，则 和 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)6
(2)
(3) ；理由见解析
【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，熟练掌握轴对称的性质是银题的
关键．
（1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可；
（2）根据轴对称的性质：对应角相等，以及三角形内角和等于180度，求解即可；
（3）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得 ， ，即可由平行线的判
定即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ 和 关于直线 对称，
∴点 与点 关于直线 对称，
∴
．
（2）解：∵ 和 关于直线 对称，
∴ ， 与 关于直线 对称，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解： ，
理由：如图，
∵ 和 关于直线 对称，
∴点 与点 关于直线 对称，点 与点 关于直线 对称，
∴ ， ，
．
3．（22-23八年级上·吉林·阶段练习）如图，点 在 的内部，点 和点 关于 对称，点 关于
的对称点是点 ，连接 交 于点 ，交 于点 ．
(1)①若 ，求 的度数；
②若 ，则 __________°（用含 的代数式表示）；
(2)若 ，则 的周长为__________．
【答案】(1) ；
(2)4 ① ②
【分析】本题考查轴对称的性质与运用，
（1）根据轴对称的性质，可知 ， ，可以求出 的度数；（2）根据轴对称的性质，可知 ， ，根据周长定义可以求出 的周长．
熟知轴对称的性质是关键．
【详解】（1）解： 点 和点 关于 对称，
， ①
点 关于 对称点是 ，
，
；
点 和点 关于 对称，
② ，
点 关于 对称点是 ，
，
，
故答案为： ；
（2） 点 和点 关于 对称，
，
点 关于 对称点是 ，
，
，
，
，
即 的周长为4，
故答案为：4．【考点五 利用轴对称的性质解决折叠问题】
例题：（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在 中， ， ，点D是 边的中
点，点E在 边上（不与点B、C重合），连结 ，将 沿 翻折得到 ，点B的对应点为
点F．
(1)当 时， 的大小为 度．
(2)当 时，求 的大小．
(3)当 时，直接写出 的大小．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】本题考查了轴对称，三角形的内角和定理与外角的性质，平行线的性质．
（1）由三角形的内角和定理求出 ，进而由翻折可求出 ，根据三角形外角的性质即可求出
，从而根据角的和差即可解答；
（2）当 时， ，从而由折叠可得 ，由三角形的内角和定理与翻
折求出 ，根据三角形外角的性质即可求出 ，从而根据角的和差即可解答；
（3）分两种情况讨论， 向下翻折或向下翻折，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 沿 翻折得到 ，
∴ ，
∵
∴ ．
故答案为：100（2）解：当 时， ，
由折叠可得 ，又
∴ ，
∴ ，
∴由折叠可得 ，
∵ ，
∴ ．
（3）解：∵ ， ，
∴ ．
①如图，若 向下翻折时，
当 时， ，
由折叠可得 ，又
∴ ，
∴ ，
∴由折叠可得 ，
∵ ，
∴ ；
②如图，若 向上翻折时，当 时， ，
∴ ，
∴
由折叠可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴由折叠可得 ，
∴ ；
综上所述， 或 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）有一条纸带 ，现小慧对纸带进行了下列操作：
(1)为了检验纸带的两条边线 与 是否平行，小慧按如图①所示画了直线l，后量得 ，则
，理由为________；
(2)将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图②所示，设 ，请求出 的度数．
【答案】(1)内错角相等，两直线平行
(2)
【分析】本题考查了平行线判定与性质，翻折的性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据平行线的判定方法即可解决问题．
（2）如图②中，证明 即可解决问题．【详解】（1）解：如图①中， ，
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
（2）解：如图②中，
由翻折的性质可知， ，
，
，
，
，
．
2．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在 中，点 分别在边 上，将 沿直线
折叠，使点 落在点F处， 向右平移若干单位长度后恰好能与边 重合，连结 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求四边形 的周长．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）根据折叠的性质，平移的性质和平行线的性质即可求解；
（ ）由折叠的性质，平移的性质即可求解；
本题考查了折叠的性质，平移的性质和平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：由折叠性质可知， ，∴ ，
由平移性质可知： ，
∴ ；
（2）由折叠性质可知， ，
由平移性质可知： ， ，
则四边形 的周长为 ．
3．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）（1）如图1，在一张直角三角形纸片 中， ，点E
在 边上，把纸片沿 折叠，使点B落在 边上的点D处，过点D作 交 于点F，若
，则求 的度数．
（2）如图2，在一张三角形的纸片 中， ， ，点E在 边上，把纸片沿 翻折，
使点B落在 边上的点D处，过点D作 交 于点F
①求证： ．
②若 ，探究 与β之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1） ；①见解析；②
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，折叠的性质，解决本题的关
键是熟练掌握平行线的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，折叠的性质，，
（1）设 ，由折叠的性质可得 ，再由平行线的性质可得 ，
，从而得出 ，再
，列出方程 ，求解即可；
（2）①由折叠的性质可得 ，再由平行线的性质可得 ，从而得出
，即 ，再求得 ，而由三角形内角和定理可得 ，从而证得结果； ②由平行线的性质可得 ，再
由 ， ，可得出 ，再求解
即可．
【详解】解：（1）设 ，
把纸片沿 折叠，使点B落在 边上的点D处，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
；
（2）① 把纸片沿 折叠，使点B落在 边上的点D处，
，
， ，
，
，
，
在 中， ， ，
，
，
；
② ，
，
， ，
，
.
【考点六 利用线段垂直平分线的性质求解】例题：（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在 中， 边的垂直平分线 ，分别交 ，
于点D，E两点，连接 ， ， ，则 的度数是 ．
【答案】85
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据线段垂直平分线的性质得出
，再根据角的和差关系即可得出 ，最后根据三角形内角和
定理即可得出 的度数．
【详解】解：∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：85．
【变式训练】
1．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在 中， 是 的垂直平分线，若 ， ，则
的周长是 ．
【答案】13
【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质可得 ，进而可得 ，
即可求解．
【详解】解：∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，∴ ，
故答案为：13．
2．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在等腰 中， ， 的垂直平分线交 于
点 ，交 于点 ，若 的周长为50，则底边 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线性质知， ． 的周长
，解方程得解．
【详解】解：∵ 垂直平分 ，
∴ ．
又 的周长 ，
即 ，
∴ ．
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点 ，边 的
垂直平分线 交 于点 ．已知 的周长为 ，则 的长为 ；
【答案】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质．利用线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到
线段两个端点的距离相等”可得 ，然后利用 的周长为 和等量代换可得
，即可解答．
【详解】解：∵ 的垂直平分线 交 于点 ，边 的垂直平分线 交 于点 ．∴ ，
∵ 的周长为 ，
，
，
，
∴ 的长为 ；
故选： ．
【考点七 线段垂直平分线的判定定理】
例题：（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在 中， ， 的垂直平分线分别交 ，
于点E，F， 的垂直平分线分别交 ， 于点M，N，直线 ， 交于点P．
(1)求证：点P在线段 的垂直平分线上；
(2)已知 ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知
识点是解题的关键．
（1）连接 、 ，根据线段垂直平分线的性质和判定即可；
（2）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解．
【详解】（1）证明：连接 、 ，
垂直平分 ， 垂直平分 ，
， ，点P在线段 的垂直平分线上；
（2）解： 垂直平分 ， 垂直平分 ，
， ， ，
， ，
在 中， ， ，
，
即， ，
在四边形 中， ，
【变式训练】
1．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，四边形 的对角线 与 相交于点 ，
， ．
求证：
(1) ；
(2) 垂直平分 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，垂直平分线的判定，掌握相关图形的判定方法是解决问题的关键；
（1）根据 直接证明 ；
（2）根据 ， ，即可得证 垂直平分 ．
【详解】（1）证明：在 与 中，∴ ；
（2）∵ ， ，
∴点 、点 在 的垂直平分线上，
∴ 垂直平分 ．
2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知 中， ，点 ， 分别为 ， 上的点，
．
(1) 与 全等吗？为什么？
(2)连接 ，求证： 垂直平分 ．
【答案】(1) ，见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据 ， 可得 ，利用 ，进而证明 ；
（2）由 则 在 的中垂线上，再证明 可得 ，故 在 的中垂线上，
则 垂直平分 ．
本题考查三角形全等的判定和性质定理、中垂线的判定定理，理解题意是解决问题的关键．
【详解】（1）解： 与 全等；
理由： ， ，
即 ，
在 与 中，，
；
（2）解：如图：连接 ，
，由（1） ，
在 的中垂线上，
，
，
在 与 中，
，
，
，
在 的中垂线上，
垂直平分 ．
3．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图， 是 的角平分线， 分别是 和 的
高．
(1)试说明 垂直平分 ；(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)详见解析
(2)4
【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明
是解题的关键．
（1）利用角平分线的性质证明 ，证明 ，则 ，即可证明结论；
（2）根据 列式计算即可．
【详解】（1）证明：∵ 是 的角平分线， 分别是 和 的高．
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【考点八 作垂线（尺规作图）】
例题：（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在M、N处参加
植树活动，要在道路 的交叉区域内设 一个茶水供应点P，使P到 两条道路的距离相等，
而且要使 ，请你用尺规作图的方法找出P点． （不写作法，但保留作图痕迹）【答案】见解析
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，作垂线：因为使P到 两条道路的距离相等，所以点P
应在 的平分线上；而且要使 ，所以点P还应在 的中垂线上，即 的平分线和
的中垂线的交点，即为点P．
【详解】解：如图所示，点P即为所求．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·广西桂林·期中）要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．
已知：如图， 和A，B两点．
(1)作 的平分线 ；
(2)求作一点Q，使Q点在 上，且 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图 复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
（1）根据角平分线的作法作 的平分线 即可；（2）作 的垂直平分线交 于 点，即可得 ．
【详解】（1）解：如图，点 即为所求；
（2）解：如图，点 即为所求．
．
2．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在 中，
(1)作 的垂直平分线 ， 交 于E，交 于点D，连接AD（保留作图痕迹，不用写作法）；
(2)若 ， 的周长为15，求 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，垂直平分线的性质．
（1）根据尺规作图—垂直平分线的作法和步骤，即可作出 ；
（2）根据垂直平分线的性质得出 ，则 的周长
．
【详解】（1）解：如图 为所求；（2）解：连接 ．
点D在 的垂直平分线上，
， ，
周长=
．
3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图， 是 的角平分线．
(1)尺规作图：作线段 的垂直平分线 ，分别交 、 于点E、F；（标明字母，保留作图痕迹，不
写作法．）
(2)连接 、 ，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质；
（1）根据尺规作线段垂直平分线的方法作图即可；
（2）连接 ， 与 交于点O，证明 ，可得 ，根据线段垂直平分线的性
质可得 ，等量代换可得结论．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）证明：如图，连接 ， 与 交于点O，
∵ 平分 ，∴ ，
∵ 垂直平分线段AD，
∴
∴在 和 中 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 垂直平分线段 ，
∴ ，
∴ ．
【考点九 线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】
例题：（23-24八年级下·山东威海·期末）如图， 中， 的角平分线 和 边的中垂线
交于点D， 的延长线于点M， 于点N．若， ， ，则 的长为？
【答案】2.5
【分析】连接 、 ，由 可证 ，则可得 、 ，由 可证
，则可得 ，设 ，则 ， ，由此得 ，
求出x的值即可得解．
【详解】解：如图，连接 、
∵ 是 的角平分线，且 、 ，， ，
又 ，
，
， ，
∵ 垂直平分 ，
，
，
，
， ，
设 ，则 ， ，
，
解得 ，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些
性质解决问题是本题的关键．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图， 中， 的平分线 与边 的垂直平分线 交
于点D， ，垂足为点G，H．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)1
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和判定，熟练掌握
各定理是解题的关键：（1）根据题意连接 ，利用线段垂直平分线的性质可得 ，依据角平分线的性质得
，依据 证明 ，根据全等三角形的性质可得出结论；
（2）由题意可得 ，得出 ，进而得出答案．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵D是 垂直平分线上的点，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ， ，
在 和 中
∴
∴ ；
（2）在 和 中
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
2．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在 中， 是边 上的高， 为 的角平分线，
且 ， 是 的中线，延长 到点 ，使得 ，连接 ， 交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ．
(1)试说明： ；
(2)若 ，试说明： ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（ ）证明 得到 ，进而由 即可求证；
（ ）证明 得到 ，进而由平行线的性质得到 ，即可由三
角形内角和定理得到 ，即可求证；
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰
三角形的性质，垂直的定义，从图形中找到全等三角形是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ 是 的中线，
∴ ，
∵
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
（2）证明：∵ 是边 上的高，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的垂直平分线，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图， 的外角 的平分线交 边的垂直平分线于P点，
于D， 于E．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质：
（1）连接 、 ，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得 ，根据角平分线上的
点到角的两边距离相等可得 ，然后利用“ ”证明 和 全等，根据全等三角形对
应边相等证明即可；
（2）利用“ ”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ，再根据 、
的长度表示出 、 ，然后解方程即可．
【详解】（1）证明：连接 、 ，点 在 的垂直平分线上，
，
是 的平分线，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解：在 和 中，
，
，
，
， ，
，
即 ，
解得 ．
4．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）在 中， 和 的角平分线 相交于点G．
(1)如图1，若 ，求 的度数；
(2)如图2，H是 边上一点，连接 恰好是 的垂直平分线，延长 至点N，过点N作 的平行线 交 于于点M，且 ，若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分
线的定义：
（1）先由三角形内角和定理得到 ，再由角平分线的定义可得
，则 ；
（2）连接 ，证明 ，得到 ，则 ，再证明
，得到 ．可得 ．由 ，的 ．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 和 的角平分线 相交于点G，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，连接 ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ， ．
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∵CE平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【过关检测】
一、单选题
1．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）下列图形不是轴对称图形的有（ ）个
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两
旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】根据轴对称图形的定义可知：
是轴对称图形，共 个，
∴不是轴对称图形有 个，
故选： ．
2．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，在 中， 边上的垂直平分线DE交 于点
，交 于点 ， ， 的周长为 ，则AB的长为（ ）．
A． B．10 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得 ，进而可得 的
周长 ，据此即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的
关键．
【详解】解：∵DE是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ 的周长 ，
∴ ，
故选： ．
3．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）如图， 中，点D在 边上，做点D关于直线 的对称点
E，连接 ，做点D关于直线 的对称点F，连接 ． ，则 的度数为
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查轴对称的性质，由点E和点F分别是点D关于 和 的对称点，得
，再根据 ，所以
，即可求出答案．
【详解】解： 点E和点F分别是点D关于 和 的对称点，
，
，
，
，
故选：A．
4．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）将 沿着平行于 的直线折叠，点A落到点 ，若 ，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，先由三角形内角和定理和平行
线的性质得到 ，再由折叠的性质可得 ，据此根据平角的定义可得
答案．
【详解】解： ， ，
∵ ，
∴ ，
∵，
∴由折叠的性质可得 ，
，
∴故选：C．
5．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在 中， ， ，边 的垂直平
分线 交 的外角 的平分线于点D，垂足为E， 于点F， 于点G，连接
．则 的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，添加适
当的辅助线构造全等三角形是解此题的关键．
连接 ，证 ，得出 ，再证 ，得 ，然后证
，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接 ，
垂直平分 ，
，
平分 ， ， ，
，
在 和 中
，，
在 和 中，
，
，
，
， ， ，
，
， ，
．
故选：A．
二、填空题
6．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）已知点 关于x轴的对称点为 ，则 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反
数是解题的关键．根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求出m、n的值即可得到答案．
【详解】∵点 关于x轴的对称点为 ，
∴
故答案为：5．
7．（22-23八年级上·广西南宁·期中）如图，在 中， 、 的垂直平分线分别交 于点 、 ，
若 的周长为 ，则 的长为 ．
【答案】9
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质．直接根据线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等”即可得出结论．
【详解】解： 、 的垂直平分线分别交 于点 、 ，
， ，
．
故答案为：9．
8．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在 的内部有一点 ，点 、 分别是点 关于 ，
的对称点， 分别交 ， 于 ， 点，若 的周长为 ，则线段 的长为 ．
【答案】30
【分析】本题考查轴对称的性质，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．利用对称性得到
， ，把求 的长转化成 的周长，问题得解．
【详解】解：∵点 关于 、 的对称点分别为 、 ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
9．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在 和 中， 相交于点E，
．将 沿 折叠，点D落在点 处，若 ，则 的大小为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质等知识点，解决本题的关键是
掌握翻折的性质．证明 ，得 ，然后由翻折的性质和三角形内角和定理即可解决
问题．
【详解】解：在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由翻折可知： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
10．（23-24七年级上·四川达州·期末）如图，长方形纸片 ，点P在边 上，点M，N在边 上，
连接 ， ．将 对折，点D落在直线 上的点 处，得折痕 ；将 对折，点A落在
直线 上的点 处，得折痕 ．若 ，则 ．【答案】 或
【分析】本题考查角的计算，翻折性质，分两种情形：如图1中，当点N在点M的上方时．当点N在点M
的下方时，分别求解即可．
【详解】解：如图1中，当点N在点M的上方时．
，
，
由翻折变换的性质可知 ，
，
；
如图2，当点N在点M的下方时， ，
由翻折变换的性质可知 ，
；
综上所述，满足条件的 或 ．故答案为： 或 ．
三、解答题
11．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图，已知： ， ， ， 相交于点
M，有 ．
(1)试说明： ；
(2)若 平分 ，试说明： 垂直平分 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的性质、垂直平分线的判定．熟知平行线的性质、垂直平分线的判定是解答此
题的关键．
（1）先根据 得出 ，再由 可知 ，故可得出结论；
（2）先由 平分 得出 ，再根据 可知 ，得
，再由 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ．
又∵ ，则
∴ ，
∴ ；
（2）∵ 平分 ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．又∵ ，
∴ 垂直平分 ．
12．（22-23八年级上·河南漯河·开学考试）作图题：如图所示，
(1)在 中：画出 边上的高 和中线 ．
(2)如图，已知点M、N和 ，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到 的两边的距离相
等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，作角平分线，掌握相关作图步骤和方法是解题的关键．
（1）以A为圆心， 为半径画弧，交 延长线于点F，作 的垂直平分线，交 于点D，连接 ，
即为 边上的高；作 的垂直平分线交 于点E，连接 ， 即为中线；
（2）连接 ，作 的垂直平分线和 的角平分线，相交于点P，点P即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求：（2）解：如图所示，点P即为所求：
13．（22-23八年级上·广西贵港·期末）如图，在 中， ， 分别垂直平分边 和边 ，交边
于 、 两点， 与 相交于点 ．
(1)若 ，求 的周长．
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握线段垂直平分线上的点到
线段两端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到 ， ，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理求出 ，进而求出 ，结合图形计算即可．
【详解】（1）解： 、 分别垂直平分 和 ，
， ，
的周长 ，
故 的周长为 ；
（2） ，
，
， ，
，，
， ，
， ，
，
故 的度数为 ．
14．（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）如图，在 中，点E是 边上的一点，连接 ， 垂直平
分 ，垂足为F，交 于点D．连接 ．
(1)若 的周长为19， 的周长为7，求 的长．
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先证明 ， ，结合 的周长为19， 的周长为7，可得
，从而可得答案；
（2）先求解 ，证明 ，再利用全等三角形的性质可得答
案．
【详解】（1）解：∵ 是线段 的垂直平分线，
∴ ， ，
∵ 的周长为19， 的周长为7，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，
三角形的外角的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键．
15．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图1，在 中， ， ， 平分 ．
(1)①若 ， ，则 ________度；
②判断 ， ， 三者之间的数量关系，并证明；
(2)如图2，若M是边 上的一点，将 ， 折叠，使点B，C的对应点 ， 落在线段 的延长线
上，折痕分别为 ， ．当M与D重合时，则 ；当M与E重合时，则
．求 的度数．
【答案】(1)①35；② ，理由见解析
(2)
【分析】（1）①先求解 ，再利用三角形的内角和定理可得答案；②分别求解
， ，再利用角的和差关系可得答案；
（2）由题意得， ， ，如图，当M与D重合时， ，证明 ；如图，
当M与E重合时， 平分 ，证明 ．再建立方程组解题即可；【详解】（1）解：①∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
② ，理由如下：
∵ 平分 ，
，
∵ ，
∵ ，
，
，
（2）解：由题意得， ， ，
如图，当M与D重合时， ，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴
，∴ ；
如图，当M与E重合时， 平分 ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴
，
∴ ．
联立 ,
解得： ．
【点睛】本题考查的是与三角形的角平分线相关的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，三角形的高
的含义，二元一次方程组的解法，轴对称的性质，理解题意是解本题的关键.
16．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图①，在 中， ， ，在 上取点P，连
结 ，将 沿 折叠，使点B的对应点E恰好落在射线 上．
(1)当 时， _______， _______．
(2)如图②，延长 至点D，连结 ，在 上取点Q，连结 ，将 沿C折叠，使点D的对应点F恰好落在射线 上， ．
①当点F在线段 上且不与点A重合时，求 （用含 的代数式表示）．
②当 ， 时， ______________（用含 、 的代数式表示）．
③当 时，若 ，则 _________．
【答案】(1) ，
(2)① ；② ；③ 或
【分析】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，折叠的性质，外角的性质，利用分类讨论思想
解决问题是解题的关键．
（1）由直角三角形的两锐角互余可求 的度数，由折叠的性质可得 ，由外角的性
质可求解；
（2）①由直角三角形的两锐角互余可求 的度数，由折叠的性质可得 ，由外角的性
质可求解；
②由 ， ，可得点E，点F都在点A上方，由①同样方法可求 ，
，即可求解；
③先求出 的度数，再分当点F在点A上方和当点F在点A下方两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：如图， ， ，
，
∵将 沿 折叠，
，
，
故答案为： ， ；
（2）解： ，
，
，，
由折叠可知 ，
又 ， ；
， ，
∴点E，点F都在点A上方，
如图③，
，
，
，
，
由折叠可知 ，
又 ，
，
同理可得： ，
，
故答案为： ；
，
，
，
，
当点F在点A上方时， ，
，
当点F在点A下方时， ，，
故答案为： 或 ．
