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专题 14.3 整式乘法之十四大考点
【考点导航】
目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【考点一 计算单项式乘单项式】....................................................................................................................1
【考点二 利用单项式乘法求字母或代数式的值】........................................................................................2
【考点三 计算单项式乘多项式】....................................................................................................................3
【考点四 利用单项式乘多项式求字母的值】................................................................................................4
【考点五 单项式乘多项式的应用】................................................................................................................5
【考点六 计算多项式乘多项式】....................................................................................................................8
【考点七 (x+p)(x+q)型多项式乘法】...........................................................................................................10
【考点八 已知多项式乘积不含某项求字母的值】......................................................................................12
【考点九 多项式乘多项式与图形面积】......................................................................................................14
【考点十 多项式乘法中的规律性问题】......................................................................................................17
【考点十一 同底数幂的除法】......................................................................................................................20
【考点十二 多项式除以单项式】..................................................................................................................21
【考点十三 整式的四则运算】......................................................................................................................22
【考点十四 整式运算中的化解求值】..........................................................................................................24
【过关检测】...........................................................................................................................................26
【典型例题】
【考点一 计算单项式乘单项式】
例题：（2023·上海·七年级假期作业）计算： ．
【变式训练】1．（2023春·陕西宝鸡·七年级统考期末）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·湖南益阳·七年级统考期末）计算： ．
【考点二 利用单项式乘法求字母或代数式的值】
例题：（2023春·浙江·七年级专题练习）已知单项式 与 的积为 ，那么 、 的值为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【变式训练】
1．（2023春·七年级课时练习）若 ，则 的值分别为（ ）
A．3，2 B．2，3 C．3，3 D．2，2
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）若单项式 和3xy的积为 ，则ab的值为（ ）
A．30 B．20 C．﹣15 D．15
【考点三 计算单项式乘多项式】
例题：（2023春·广东河源·七年级统考期末）计算： ．
【变式训练】
1．（2023春·广东佛山·七年级统考期末）计算： ．
2．（2023春·广西贵港·七年级统考期末）计算：
【考点四 利用单项式乘多项式求字母的值】
例题：（2023春·江苏·七年级专题练习）已知 中不含x的二次项，则 ．
【变式训练】1．（2023春·七年级课时练习）若 的结果中不含 项，则 ．
2．（2023春·七年级课时练习）若 恒成立，则 ．
【考点五 单项式乘多项式的应用】
例题：（2023春·贵州六盘水·七年级校联考阶段练习）如图，大小两个正方形边长分别为 、 ．
(1)用含 、 的代数式阴影部分的面积；
(2)若 ，求阴影部分面积．
【变式训练】
1．（2023·上海·七年级假期作业）王老师家买了一套新房，其结构如图所示（单位： ）．他打算将卧室
铺上木地板，其他地方铺地砖．
(1)木地板和地砖分别需要多少平方米？
(2)如果地砖的价格为每平方米x元，木地板的价格为每平方米 元，那么王老师需要花多少钱？
2．（2023秋·河北唐山·七年级唐山市第十二中学校考期末）如图，将边长为 的小正方形和边长为 的大
正方形放在同一平面上 ．(1)用 、 表示阴影部分的面积______．（写最简结果）
(2)计算当 ， 时，阴影部分面积．
(3)试着说明：白色部分面积与 的大小无关．
【考点六 计算多项式乘多项式】
例题：（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）计算： ．
【变式训练】
1．（2023·上海·七年级假期作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
2．（2023秋·八年级课时练习）计算下列各式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．【考点七 (x+p)(x+q)型多项式乘法】
例题：（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：
(1) (2) (3) (4)
【变式训练】
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）探索题：
(1)计算：
＝ ，
＝ ，
＝ ；
(2)发现： ＝ ；并证明你的发现．
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）在运算中，我们如果能总结规律，并加以归纳，得出数学公式，一定
会提高解题的速度．在解答下列问题中，请探究其中的规律．
(1)计算后填空： _________；
_________；
_________；
(2)归纳猜想后填空： ______ ______
(3)运用（2）中得到的结论，直接写出计算结果： ______．【考点八 已知多项式乘积不含某项求字母的值】
例题：（2023春·浙江绍兴·七年级统考期末）若 去括号后不含 的一次项，则 的值为
．
【变式训练】
1．（2023春·江西萍乡·七年级统考期末）若代数式 的结果中不含字母x的一次项，则a的值
是 ．
2．（2023春·浙江·七年级期末）已知 的展开式中不含 项和 项，那么 ，
．
【考点九 多项式乘多项式与图形面积】
例题：（2023春·安徽六安·七年级统考期末）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用
平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：
就可以用图①的面积来表示．
(1)请写出图②所表示的代数恒等式．
(2)请画图，用平面几何图形的面积来表示代数恒等式 ．
【变式训练】1．（2023春·河南开封·七年级统考期末）如图，某体育训练基地有一块长 米，宽 米的长方
形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长 米，宽 米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休
息区．（结果需要化简）
(1)求长方形游泳池的面积；
(2)求休息区的面积；
(3)休息区比游泳池的面积大多少平方米？
2．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，在某高铁站广场前有一块长为 ，宽为 的长方形
空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行
通道．
(1)求该长方形空地的面积；（用代数式表示）
(2)求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）
(3)当 ， 时，求这两个长方形喷泉池的总面积．
【考点十 多项式乘法中的规律性问题】
例题：（2023春·江西新余·八年级统考期末）观察下列各式．…
请根据你发现的规律完成下列各题：
(1)根据规律可得 ______；（其中 为正整数）
(2)计算： ．（结果保留幂的形式）
(3)计算： ．（结果保留幂的形式）
【变式训练】
1．（2023春·安徽六安·七年级统考期末）观察下列各式：
；
；
；
；
(1)根据上面各式的规律可得： ________．
(2)根据上面各式的规律可得： ________．
(3)若 ，求 的值．
2．（2023春·山东青岛·七年级统考期末）（1）计算观察下列各式填空：
第1个： ___________；第2个： ___________；
第3个： ___________；
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则 ___________．
（3）利用（2）的猜想结论计算： ___________．
（4）扩展与应用： ___________．
【考点十一 同底数幂的除法】
例题：（2023·天津河东·统考二模）计算 的结果是 .
【变式训练】
1．（2023·陕西汉中·统考二模）计算： ．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【考点十二 多项式除以单项式】
例题：（2023秋·八年级课时练习）计算：
(1) ； (2) ．【变式训练】
1．（2023秋·八年级课时练习）计算：
(1) . (2) .
2．（2023秋·全国·八年级课堂例题）计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【考点十三 整式的四则运算】
例题：（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）计算：
(1) ； (2)
【变式训练】
1．（2023春·四川成都·七年级校考阶段练习）计算
(1) ； (2) ；
(3) ． (4)
2．（2023秋·八年级课时练习）计算：(1) ； (2) ； (3) ；
(4) ； (5) ．
【考点十四 整式运算中的化解求值】
例题：（2023春·陕西西安·七年级校联考阶段练习）先化简，再求值：
，其中 ， ．
【变式训练】
1．（2023春·宁夏中卫·七年级统考开学考试）先化简，再求值： ，其中
， ．
2．（2023秋·七年级课时练习）先化简，再求值：
(1) ．已知 ．
(2) ．其中 ．
【过关检测】
一、单选题1．（2023春·陕西榆林·七年级校考期中）计算： （ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·山西阳泉·八年级校联考阶段练习）下列整式运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022春·湖南郴州·七年级校考期中）如果 ，则 的值是（ ）
A． B．1 C． D．7
4．（2023秋·山西临汾·八年级校考阶段练习）若 的乘积中不含 项，则常数a的值为
（ ）
A．3 B． C． D．－3
5．（2023春·安徽滁州·七年级校联考期中）已知图①是边长为a、b（ ）的小长方形纸片，图②是大长
方形，且边 ，将5张如图①的小长方形纸片不重叠地放在大长方形ABCD内，如图③所示，未
被覆盖两个长方形用阴影表示．设左上角的阴影面积为S，右下角的阴影面积为M， ，若BC的
长度变化时，T始终保持不变，则a，b应满足（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2022春·湖南郴州·七年级校考期中）计算： ．
7．（2022秋·甘肃平凉·八年级统考期末）已知 与一个整式的积是 ，则这个整式
是
8．（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知 的结果中不含 项和项，则 ．
9．（2022秋·甘肃平凉·八年级统考期末）试观察下列各式的规律，然后填空：
……
则 .
10．（2023秋·山西阳泉·八年级校联考阶段练习）将4个数 排成2行，2列，两边各加一条竖直线
记成 ，定义 ，上述记号就叫做2阶行列式．若 ，则 ．
三、解答题
11．（2022秋·辽宁盘锦·八年级校考期中）计算下列各式：
(1)
(2)
12．（2022春·福建漳州·七年级校考期中）化简
(1)
(2)
13．（2023秋·福建福州·八年级校考阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．14．（2023秋·四川巴中·八年级四川省巴中中学校考阶段练习）化简求值：
(1)先化简，再求值： ，其中 ， ；
(2)已知 ，求代数式 的值．
15．（2023秋·四川巴中·八年级四川省巴中中学校考阶段练习）以下关于x的各个多项式，m,n均为常数.
(1)已知 既不含二次项，也不含一次项，求 的值；
(2)已知关于x的二次三项式 有一个因式 ，且 ，试求m，n的值.
16．（2023秋·四川成都·八年级校考开学考试）某公园有一块长为 米，宽为 来的长方形地
块，规划部门计划在其内部一块正方形空地上修建一座的雕像，正方形边长为 米，左边修一条宽为
米的长方形道路，其余阴影部分为绿化场地，尺寸如图所示.
(1)用含 ，b的代数式表示绿化的面积(结果要化简)；
(2)当 ， 时，求出绿化的面积.17．（2023秋·八年级课时练习）观察以下等式：
；
；
；
；
；
；
……
(1)按以上等式的规律，填空：
；
．
(2)根据（1）的规律化简： ．
18．（2023秋·八年级课时练习）（阅读题）阅读下列材料：
因为 ，所以 ，这说明 能被 整除，同时也
说明多项式 有一个因式为 ．另外，当 时，多项式 的值为0．
(1)根据上面的材料猜想：多项式的值为0、多项式有因式 、多项式能被 整除之间存在着一种什么
样的关系呢？(2)探求规律：如果一个关于字母x的多项式M，当 时，M的值为0，那么M与式子 之间有何种
关系？
(3)应用：利用上面的结果求解．已知 能被 整除，求k的值．
