文档内容
专题 14.3 解题技巧专题：乘法公式(平方差公式与完全
平方公式)的灵活运用
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 对乘法公式的识别问题】........................................................................................................................1
【考点二 求完全平方项中的字母系数问题】........................................................................................................3
【考点三 与乘法公式有关的化简求值问题】........................................................................................................4
【考点四 利用乘法公式进行简便运算】................................................................................................................6
【考点五 利用乘法公式的变式求值】....................................................................................................................8
【考点六 利用完全平方配方求多项式最小/大值问题】....................................................................................10
【考点七 平方差公式在几何图形中的应用】......................................................................................................14
【考点八 完全平方公式在几何图形中的应用】..................................................................................................19
【过关检测】............................................................................................................................................................25
【典型例题】
【考点一 对乘法公式的识别问题】
例题：（24-25七年级上·上海浦东新·期中）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查整式乘法，平方差公式．根据平方差公式是两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个
数的平方差，由此进行判断即可．
【详解】解：A、 ，不能用平方差公式计算，故不符合题意；
B、 ，能用平方差公式计算，故符合题意；C、 ，不能用平方差公式计算，故不符合题意；
D、 ，不能用平方差公式计算，故不符合题意；
故选：B．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列算式能用完全平方公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了平方差公式、完全平方公式，熟练掌握平方差公式、完全平方公式的特征是解题
的关键．
根据平方差公式、完全平方公式的特征，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、 中各项不相同，不能用完全平方公式计算，不符合题意；
B、 ，能用完全平方公式计算，符合题意；
C、 中既含有相同项，也含有相反项，能用平方差公式计算，不能用完全平方公式计算，
不符合题意；
D、 中既含有相同项，也含有相反项，能用平方差公式计算，不能用完全平方公式计算，
不符合题意；
故选：B．
2．（24-25七年级上·上海·期中） 的计算结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查多项式乘多项式，将原式转化为 ，然后利用平方差公式展开，再利
用完全平方公式进行运算即可．掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：
．
故选：D．
【考点二 求完全平方项中的字母系数问题】
例题：（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果关于x的整式 是某个整式的平方，那么m的
值是 ．
【答案】 或
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式的结构特征判断，
即可求出m的值．
【详解】解：整式 是某个整式的平方，
，
或 ，
即m的值是 或 ，
故答案为： 或 ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海·期中）如果关于 的二次三项式 是完全平方式，那么 的值是
．
【答案】 或
【知识点】求完全平方式中的字母系数【分析】本题考查完全平方式，解题的关键是掌握：如果一个二次三项是完全平方式，则满足如下特征：
两项符号相同且为平方形式，第三项为前面两项（在平方的形式下）的底数积的 倍且符号不限．据此解
答即可．
【详解】解：∵关于 的二次三项式 是完全平方式，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 ，
∴ 的值是 或 ．
2．（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知二项式A和单项式B满足 ，那么 ．
【答案】 ，
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．完全平方式：
的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央，据此求解即可．
【详解】解：∵A是二项式，
∴ 是一个二项式的完全平方，
∴ 可以写成一个二项式的完全平方，
∴ ， ．
故答案为： ， ．
【考点三 与乘法公式有关的化简求值问题】
例题：（24-25六年级上·上海·期中）先化简，再求值： ，其中 ，
．
【答案】 ，
【知识点】多项式乘多项式——化简求值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项化
简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当 ， 时，原式 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江苏南通·期中）先化简，再求值： ，其中 、
．
【答案】 ，1．
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算
【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，灵活运用整式的混合运算法则成为解题
的关键．
先运用整式的混合运算法则化简，然后将 、 代入计算即可．
【详解】解：
；
当 、 时，原式 ．
2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）先化简，再求值： ，其中， ．
【答案】 ，2025
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算
【详解】本题考查了整式的运算，先把括号内利用完全平方公式、平方差公式展开，然后合并同类项，再
计算除法，最后把m 、n的值代入计算即可．
解：
，
当 ， ，原式
【考点四 利用乘法公式进行简便运算】
例题：（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）简便计算
(1)
(2)
【答案】(1)8800
(2)12.1
【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、运用平方差公式进行运算
【分析】本题主要考查了平方差公式，运算律在有理数运算中的应用，
对于（1），先提出11，再根据平方差公式计算即可；
对于（2），逆用乘法分配律计算即可．
【详解】（1）原式 ；
（2）原式．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）用简便算法计算．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】含乘方的有理数混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，含乘方的有理数混合运算等知识点，能灵活运用平
方差公式和完全平方公式进行计算是解题的关键．
（1）先变形，再根据平方差公式进行计算即可；
（2）先变形，再根据完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．2．（24-25八年级上·四川乐山·期中）利用乘法公式计算下列各题：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)9996
(2)4
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查乘法公式，涉及平方差公式、完全平方和公式等知识，熟记乘法公式，恒等变形是解决
问题的关键．
（1）利用平方差公式变形求解即可得到答案；
（2）利用完全平方和公式变形求解即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【考点五 利用乘法公式的变式求值】
例题：（24-25七年级上·上海浦东新·期中）已知 ，求
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】通过对完全平方公式变形求值【分析】本题考查了完全平方公式，用公式法解因式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
（1）根据 ，即可解答；
（2）根据 ，即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·全国·阶段练习）已知 ，求：
(1) 的值；
(2) 的值．
【答案】(1)37
(2)
【知识点】求一个数的平方根、已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值，平方根以及完全平方公式的应用．
（1）将 变形为 ，将 ，代入求解即可．
（2）先求出 ，再求 的平方根即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
2．（24-25七年级上·上海·期中）应用完全平方公式解决下列问题：
(1)已知 ， ，求 和 的值；
(2)已知 ，求 和 的值．
【答案】(1) ，
(2) ， ．
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值：
（1）根据 ， 进行求解即可；
（2）先证明 ，再求出 ，进而得到 ，则可得到 ，据此可得
，则 ．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
；
（2）解：当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【考点六 利用完全平方配方求多项式最小/大值问题】
例题：（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很多
数学问题例如：若 ， ，求 的值．
解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
得 ．
根据上面的解题思路与方法，解答下列问题：
(1)若 ， ，求 的值；
(2)若 ， ，求 的值．
(3)求代数式 的最小值，并求出此时的 的值．
【答案】(1)8
(2)
(3)最小值为 ， ，
【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查完全平方公式的变形求解，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
（1）先求得 ，即 ，再把 代入计算，即可求解；（2）根据 ，再把 ， 整体代入计算即可求解；
（3）先把 变形为 ，再根据 ， ，即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
即 ，
又 ，
，
；
（2）解： ， ，
，
（3）解：
∵ ， ，
∴当 ， 时， 有最小值，最小值为 ，
此时 ， ，
解得： ， ．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问
题．观察下列式子：
① ，
∵ ，∴ ．因此代数式 有最小值 ；② ．
∵ ，∴ ．因此，代数式 有最大值4；
阅读上述材料并完成下列问题：
(1)代数式 的最大值为________；
(2)求代数式 的最小值；
(3)如图，在四边形 中，对角线 、BD相交于点 ，且 ，若 ，求四边形
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关
键．
（1）利用材料中的方法进行求解即可；
（2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子的最小值即可；
（3） ，由面积公式，将其转化为 ，设 ，则
，代入化简计算，转化为上述求解方法计算即可．
【详解】（1）解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最大值为13，故答案为：13；
（2）解：
∵ ， ，
∴ ，
∴代数式 的最小值为 ；
（3）解： ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 面积的最大值为18．
2．（24-25八年级上·山东日照·期中）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式
及 的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，求代数式
的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解： ．
， 当 时， 的值最小，最小值是0，
当 时， 的值最小，最小值是1，
的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）当 _____时，代数式 有最小值；最小值是________________；
又如探求多项式 的最大（小）值时，我们可以这样处理：解：原式 ，因为无论 取什么数，都有
的值为非负数，所以 的最小值为0，此时 ，进而 的最小值是
，所以当 时，原多项式的最小值是-22．
解决问题：请根据上面的解题思路，探求：
（2）多项式 的最小值是多少，并写出对应的 的取值．
（3）多项式 的最大值是多少，并写出对应的 的取值．
【答案】（1）3，1；（2）当 时，原多项式的最小值是15（3） 时，原多项式的最大值是4
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查配方法、非负数的性质，能够类比题中的例子运用配方法将多项式变形，同时利用平方
的非负性确定最大值或最小值，是解题的关键．
（1）用配方法把多项式变形成 ，然后利用 是非负数，从而得出原多项式的最小值及对应
的 取值．
（2）先把 变形为 ，然后利用 是非负数，从而得出原多项式的最小值及对应
的 取值．
（3）先把 变形为 ，然后利用 是非负数，从而得出原多项式的最大值及对应
的 取值．
【详解】解：（1） ，
， 当 时， 的值最小，最小值是0，
， 当 时， 的值最小，最小值是1，
的最小值是1，
故答案为：3，1；
（2）原式 ，因为无论 取什么数，都有 的值为非负数，所以 的最小值为0，此时 ，进而
的最小值是 ，所以当 时，原多项式的最小值是15；
（3）原式 ，
因为无论 取什么数，都有 的值为非负数，所以 的最小值为0，此时 ，进而
的最大值是 ，所以当 时，原多项式的最大值是4．
【考点七 平方差公式在几何图形中的应用】
例题：（2024八年级上·全国·专题练习）【探究】（1）如图①，边长为 的大正方形中有一个边长为 的
小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分
面积，可以得到乘法公式： （用含 的等式表示）；
【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题：
①已知 ， ，则 的值为 ；
②计算： ．
【拓展】（3）计算： ．
【答案】（1） ；（2）①4；② ；（3）
【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形
【分析】本题考查平方差公式的应用．
（1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；
（2）①利用平方差公式得出 ，代入求值即可；②可将 写成 ，再利用平方差公式求值；
（3）利用平方差公式将 写成 ，以此类推，然后化简求值．
【详解】解：（1）图1中阴影部分面积 ，图2中阴影部分面积 ，
所以，得到乘法公式 ，
故答案为： ；
（2）①由 得， ，
∵ ， ，
∴ ；
故答案为：4；
②
；
（3）
．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种
图形验证“平方差公式”：(1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)；
(2)【应用】利用“平方差公式”计算： ；
(3)【拓展】计算： ．
【答案】(1)①②③
(2)
(3)
【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，
（1）用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即
可；
（2）利用平方差公式进行计算即可；
（3）将原式化为 ，再连续利用平方差公式进行计算即可；
解题的关键是掌握平方差公式 的结构特征：①左边是两个二项式相乘，且两个二
项式中有一项相同，另一项互为相反数；②右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；③
公式中的 和 可以是单项式，也可以是多项式．
【详解】（1）解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即 ，拼成的右图是底为
，高为 的平行四边形，面积为 ，∴ ，故图①可以验证平方差公式；
图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即 ，拼成的右图是长为 ，宽为
的长方形，面积为 ，
∴ ，故图②可以验证平方差公式；
图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即 ，拼成的右图是底为 ，高为
的平行四边形，面积为 ，
∴ ，故图③可以验证平方差公式；
图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即 ，拼成的右图是长为 ，宽
为 的长方形，面积为 ，
∴ ，故图④不能验证平方差公式；
综上所述，能验证平方差公式的有①②③，
故答案为：①②③；
（2）
；
（3）．
2．（24-25八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余
部分拼成一个长方形（如图②）．
(1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）．
A． B．
C．
(2)若 ， ，求 的值．
(3)计算： ．
【答案】(1)B
(2)3
(3)
【知识点】平方差公式与几何图形
【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
（1）结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可．（2）利用平方差公式计算即可．
（3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值．
【详解】（1） 边长为a的正方形面积是 ，边长为b的正方形面积是 ，图①阴影部分面积为 ；
图②长方形面积为 ；
验证的等式是 ，
故答案为：B．
（2） ，且 ，
，
解得： ；
（3）
．
【考点八 完全平方公式在几何图形中的应用】
例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期中）（1）【问题呈现】
已知 ， ，求下列各代数式的值：① ； ② ．
（2）【问题推广】
若 ，则 ________；
（3）【问题拓展】如图，已知E，F分别是正方形 的边AD， 上的点，且 ， ，长方形 的面积
是20，分别以 ， 为边长作正方形 和正方形 ，直接写出阴影部分的面积．
【答案】（1）①13；② ；（2）5；（3）
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用等知识点，
（1）①根据 恒等变形即可得解，②根据 恒等变形即可得解；
（2）设 ， ，则 ， ，由 代入计算即
可；
（3）由题意得，正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ， ，设
， ，则 ， ，根据 求出 的值，再利用
进行计算即可；
掌握完全平方公式的结构特征是正确解答此题的关键．
【详解】（1）∵ ， ，
∴① ，
②∵
∴ ；
（2）设 ， ，则 ， ，
∴；
（3）设正方形 的边长为x，
由题意得，正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，
∵长方形 的面积是20，
∴ ，
设 ， ，则 ， ，
∴
，
∴ （负值舍去），
∴
．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计
算同一个图形的面积，探索了完全平方公式： （如图1）．把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种
常用方法．
（1）观察图2请你写出 、 、 之间的等量关系是__________；
（2）根据（1）中的结论，若 ， ，且 ，则 __________；
（3）由完全平方公式： ，可得 __________
拓展应用：若 ，求 的值．
（4）拓展：如图3，在 中， ， ，点Q是边CE上的点，在边BC上取一点，M，
使 ，设 ，分别以BC，CQ为边在 外部作正方形ABCD和正方形COPQ，连
接BQ，若 ， 的面积等于 ，直接写出正方形ABCD和正方形COPQ的面积和．
【答案】（1） ；（2）3；（3） ；拓展应用： ；（4）79．
【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应
用
【分析】（1）利用等面积法求得结论即可；
（2）由完全平方公式变形为 ，代入数值求出结果即可；
（3）通过移项得出结论；
拓展应用：利用 ，整体思想求出结果；
（4）根据题意得 ，再结合 ，得出
，整体思想求出结果即可．【详解】（1）解：∵ ,
（2）由 （1）可得 ,
（3）∵
（4）设 ，
则 ,
，
,
∵ ,
,
令 ,
，正方形ABCD和正方形COPQ的面积和:
【点睛】本题考查了完全平方式的几何背景，整式的混合运算，多项式的乘法 ，熟练掌握完全平方公式
的结构特征及变形是解题的关键．
2．（24-25八年级上·海南海口·期中）在“综合与实践”课上，老师准备了如图1所示的三种卡片，甲、乙
两位同学拼成了如图2、图3所示的正方形．
(1)【理解探究】
①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到 之间的等量关系式： ；
②观察图3，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到等量关系式： ；
(2)【类比应用】
根据（1）中的等量关系，解决如下问题：已知 ，求 和 的值；
(3)【拓展升华】
如图4，在 中， ， ，点 是边CE上的点，在边 上取一点， ，使 ，
设 ，分别以 ， 为边在 外部作正方形 和正方形 ，连接 ，若
， 的面积等于 ，直接写出正方形 和正方形 的面积和．
【答案】(1)① ②
(2)
(3)
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用【分析】本题考查了完全平方式的几何背景，完全平方公式变形求值；
（1）①利用等面积法求得结论即可；②利用等面积法求得结论即可；
（2）由完全平方公式变形为 ， 代入数值求出结果即可；
（3）设 ，根据题意得 ，再结合 ，
令 ，得出 ，整体思想求出结果即可．
【详解】（1）解：①根据图2可得
②根据图3可得阴影部分的面积为 或
∴ ．
（2）解：∵ ， ，
∴
∴ ，
；
（3）解：设 ，则 ，
，
，
∵ ，
，
令 ，
，
正方形 和正方形 的面积和：【过关检测】
一、单选题
1．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）下列等式，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式．根据平方差公式和完全平方公式的特征逐项分析判断即
可．
【详解】解：A、 ，正确，本选项不符合题意；
B、 ，正确，本选项不符合题意；
C、 ，正确，本选项不符合题意；
D、 ，原计算错误，本选项符合题意．
故选：D．
2．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若多项式 是关于 、 的完全平方式，则 的值
为（ ）
A．21 B．19 C．21或 D． 或19
【答案】C
【知识点】求完全平方式中的字母系数【分析】本题考查了完全平方式，先得出 完全平方式为 ，再将其展开，则有
，计算出k的值即可．
【详解】解：∵多项式 是关于 、 的完全平方式，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
故选：C．
3．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若 ，则M的最小值是（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【答案】C
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查了完全平方公式的应用等知识，利用完全平方公式将 转化为 ，
再根据 即可得到 的最小值是2019．
【详解】解：
，
∵ ，
∴M的最小值是2019．
故选：C
4．（24-25七年级上·上海·期中）老师在黑板上写了一个等式，并用手掌遮住了其中一部分（如图）．如果遮住的是一个二次三项式，那么这个式子是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了完全平方公式，整式的加减．由题意可知：所的二次三项式是个加数，根据加数
和 另一个加数，列出算式，进行化简即可．
【详解】解：由题意得：
，
所捂的多项式为： ；
故选：B．
5．（24-25八年级上·北京·期中）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其
裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．通过计算两个图形阴影部分
的面积，从左至右验证成立的公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式与几何图形
【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．分别表示出图甲和
图乙中阴影部分的面积，二者相等，即可解题．【详解】解：由图知，甲图形阴影部分的面积为 ，
乙图形阴影部分的长为 ，宽为 ，则其面积为 ，
即 ，
故选：C．
二、填空题
6．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： ．
【答案】 ．
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式计算即可．
【详解】解： ，
故答案为 ．
7．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）代数式 是一个完全平方式，则 ．
【答案】9或
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题主要考查了完全平方公式，将代数式写成 的形式，再求出k．
【详解】∵代数式 是一个完全平方公式，
∴ ，
解得 或 ．
故答案为：9或 ．
8．（24-25八年级上·广东江门·期中）已知 ， ，则 的值为 ．
【答案】48
【知识点】通过对完全平方公式变形求值【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式进行计算
即可．
【详解】解： ，
．
故答案为： ．
9．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）当 时，代数式 有最大值．
【答案】4
【知识点】有理数幂的概念理解、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算
术平方根），熟练掌握非负数的性质是解题的关键．
利用完全平方公式先进行配方，再根据任何数的偶次方是非负数，即可求解．
【详解】解：
∵
∴
∴当 时，代数式 有最大值，最大值为17．
故答案为：4.
10．（24-25八年级上·全国·期中）【新考法】为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某学
校在校园开辟了劳动教育基地，图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为m，n的正方形，
其中重叠部分B为池塘，阴影部分 ， 分别表示八年级和九年级的实践活动基地面积．若 ，，则 ．
【答案】16
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由图得 ，由 求出 ，
即可求解；掌握 、 、 之间的关系，能表示出面积是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
，
， ，
，
，
，
；
故答案： ．三、解答题
11．（22-23八年级上·海南三亚·期中）利用乘法公式进行简便计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)1
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，关键是能把原式化成符合平方差公式和完全平方
公式的形式．
（1）将103转化为 ，利用完全平方公式进行解答．
（2）把 化成 ，根据平方差公式展开，再合并即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
12．（22-23七年级下·湖南永州·期中）已知 ， ，求下面各代数式的值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)(2)
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，代数式求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）利用完全平方公式将已知的式子展开，再利用两个式子左右相加即可求解；
（2）利用完全平方公式将已知的式子展开，再利用两个式子左右相减得到 ，即可求解．
【详解】（1）解： ， ，
得： ，
；
（2） ， ，
得： ，
解得： ，
．
13．（24-25八年级上·全国·期中）（1）先化简，再求值： ，其中
．
（2）先化简，再求值． （其中 满足
）．
【答案】（1） ； ；（2） ；2022
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算
【分析】本题主要考查了整式化简求值，二次根式的非负性和二次方的非负性，解题的关键是熟练掌握运
算法则，准确计算．
（1）根据整式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可；
（2）先根据整式混合运算法则进行计算，再根据非负数的性质求出x、y的值，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：（1），
把 代入得：
原式 ．
（2）
，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴原式 ．
14．（24-25八年级上·河南南阳·期中）代数推理：
例题：求 的最小值．
解：
无论 取何值， 总是非负数，
即 所以 ，
所以：当 时， 有最小值，最小值为5．阅读材料：利用完全平方式，将多项式 变形为 的形式，然后由 就可以求
出多项式 的最小值．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空： ______ ______ ；
(2)仿照例题的方法求出 的最小值；
(3)若一个长方形的长和宽分别为 和 ，面积记为 ，另一个长方形的长和宽分别为5a和
，面积记为 ，试比较 和 的大小，并说明理由．
【答案】(1)36，6
(2)
(3) ，理由见解析
【知识点】整式四则混合运算、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，理解并掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．
（1）根据完全平方公式的结构特征，即可获得答案；
（2）根据完全平方公式对原式进行整理，根据完全平方公式的非负性求值即可；
（3）首先根据题意得 ， ，进而计算 并整理，然后根据完全平方公式
的非负性可得 ，即可获得答案．
【详解】（1）解：由完全平方公式可得 ，
故答案为：36，6；
（2）
无论 取何值， 总是非负数，即 ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ；
（3）由题意得 ， ，
∴
，
无论 取何值， 总是非负数，即 ，
∴
∴ 的最小值为11，
∴ ，
∴ ．
15．（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料：
已知： 满足 ，求 的值．
设 ， ，
则 ， ，
因此 ．
用上面的方法解下列问题：(1)已知： ，求 的值；
(2)如图，已知正方形 的边长为 ， 、 分别是边 、 上的点， 、 ，分别以
、 为边作正方形．
① ______， ______（用含 的式子表示）；
②若长方形 的面积是48，试求阴影部分的面积．
【答案】(1)5
(2)① ；②
【知识点】平方差公式与几何图形、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，平方差公式．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式
的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
（1）设 ，则 ，再根据 进行求解
即可；
（2）①正方形 边长为x，则 ，再由 结合图形可以表示出 与 ；
②设 ，则 ，据此可得 ，则 ，阴影
部分面积 ，据此代值计算即可．
【详解】（1）解：设 ，
∴ ，
∴；
（2）解：①∵四边形 是长方形、 、四边形 是正方形、
，
， ，
故答案为： ．
②∵长方形 的面积是4 8 ，
，
设 ，
∴ ，
，
，
又 ，
，
∴阴影部分面积
即阴影部分的面积是 ．
16．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表
示一些代数恒等式．例如图1可以得到 ，基于此，请解答下列问题；
(1)【直接应用】若 ， ，求 的值；(2)【类比应用】填空：
①若 ，则 ______；
②若 ，则 ______；
(3)【知识迁移】两块形状和大小完全相同的特制直角三角板（ ）如图2所示放置，其中
A，O，D在一直线上，连接 ， ．若 ， ，求一块直角三角板的面积．
【答案】(1)
(2)①7；②5
(3)
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，熟练的运用完全平方公式的几
个变形是解本题的关键．
（1）把 ， 代入 从而可得答案；
（2）①由完全平方公式的变形可得 ，再代入求值即可；
②利用完全平方公式变形可得 ，再求值即可；
（3）先证明 三点共线， ，可得 ，结合
已知条件可得 ， ，再利用 ，求解
2ab，从而可得答案．
【详解】（1）解： ， ，而解得： ；
（2）解：① ，
；
② ， ，
；
（3）解： 三点共线，且
三点共线，
， ，
，
