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专题14.4 解题技巧专题：乘法公式(平方差公式与完全平方公式)的灵活运用之
八大考点
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目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【考点一 对乘法公式的识别问题】................................................................................................................1
【考点二 求完全平方项中的字母系数问题】................................................................................................3
【考点三 与乘法公式有关的化简求值问题】................................................................................................5
【考点四 利用乘法公式进行简便运算】........................................................................................................9
【考点五 利用乘法公式的变式求值】..........................................................................................................12
【考点六 利用完全平方配方求多项式最小/大值问题】............................................................................14
【考点七 平方差公式在几何图形中的应用】..............................................................................................18
【考点八 完全平方公式在几何图形中的应用】..........................................................................................25
【典型例题】
【考点一 对乘法公式的识别问题】
例题：（2023秋·四川巴中·八年级四川省巴中中学校考阶段练习）下列各式中不能用平方差公式进行计算
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平方差公式逐项判断即可得．
【详解】A、 ，能用平方差公式，此项不符题意；B、 ，能用完全平方公式，此项符合题意；
C、 ，能用平方差公式，此项不符题意；
D、 ，能用平方差公式，此项不符题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟记并灵活运用公式是解题关键．
【变式训练】
1．（2023春·江西赣州·七年级校考阶段练习）在下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】平方差公式的形式是 ，平方差公式的特点是两个数的和乘以两个数的差，逐一判断
四个选项，即可求解．
【详解】解：A、 ，不可以用平方差公式计算．
B、 ，可以用平方差公式计算；
C、 ，不可以用平方差公式计算；
D、 ，不可以用平方差公式计算．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的特点是解题的关键．
2．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A． B． ．
C． D．
【答案】B【分析】分别计算各选项后，即可得到答案．
【详解】解：A． ，故选项不符合题意；
B． ，故选项符合题意；
C． ，故选项不符合题意；
D． ，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了乘法公式和多项式的乘法，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
3．（2023春·河南驻马店·七年级驻马店市第二初级中学校考期中）下列各式不能用平方差公式的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可得到答案．
【详解】解：A． ，故选项不符合题意；
B． ，故选项符合题意；
C． ，故选项不符合题意；
D． ，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键．
【考点二 求完全平方项中的字母系数问题】
例题：（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）若多项式 是一个完全平方公式，则m的值为（ ）
A．3 B．6 C．-6 D．【答案】D
【分析】根据完全平方公式的特点：①三项式；②其中有两项可以写成一个数（或式）的平方的形式，且
这两项的符号相同；③另外一项可以写成这两个数的积的二倍的形式，进行解答即可．
【详解】 是一个完全平方式，
，
．
故选：D
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·山东枣庄·八年级统考阶段练习）若多项式 是一个完全平方式，则k的值为
（ ）
A．3 B． C．3或0 D．3或
【答案】D
【分析】根据完全平方公式的特征判断即可得到k的值．
【详解】解：因为多项式 是一个完全平方式，
可得： ，
解得： 或 ，
故选：D．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
2．（2023秋·四川巴中·八年级四川省巴中中学校考阶段练习）若 是完全平方式，则m的
值为 ．
【答案】5或 / 或5
【分析】本题考查的是完全平方式，这里首末两项是x和4的平方，那么中间项为加上或减去x和4的乘
积的2倍，故 ，解得m的值即可．
【详解】解：由于 ，
∴ ，解得 或 ．
故答案为：5或 ．
【点睛】本题考查了完全平方式的应用，根据其结构特征：两数的平方和，加上或减去它们乘积的2倍，
在已知首尾两项式子的情况下，可求出中间项的代数式，列出相应等式，进而求出相应数值．
3．（2023春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）若代数式 是完全平方式，则 ．
【答案】6或
【分析】根据完全平方式的特点，进行求解即可．
【详解】解：∵ ，是完全平方式，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 6或 ；
故答案为：6或 ．
【点睛】本题考查求完全平方式中的字母参数，熟练掌握完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的两
倍放中央，是解题的关键．
4．（2023秋·四川成都·八年级校考开学考试）已知 （ 为常数）是一个完全平方式，则
的值为 .
【答案】 或
【分析】利用完全平方公式的结构判断即可求出n的值．
【详解】】解：∵ （n为常数）是一个完全平方式，
∴ ．
解得： 或 ；
故答案为： 或 ．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【考点三 与乘法公式有关的化简求值问题】
例题：（2023春·山东枣庄·七年级统考期中）先化简，再求值： ，其
中 ．【答案】
【分析】利用整式的混合运算法则先化简，再代值计算即可．
【详解】解：原式
．
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查整式的混合运算．注意计算的准确性．
【变式训练】
1．（2023春·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）先化简，后求值： ，
其中 ， ．
【答案】
【分析】根据完全平方公式、平方差公式，合并同类项法则运算化简为最简形式，代值运算．
【详解】解：
当 ， 时，
原式 ．
【点睛】本题考查整式的运算及求值；掌握整式乘法公式是解题的关键．
2．（2023春·安徽宣城·七年级校考期中）先化简，再求值：
，其中 ， ．
【答案】 ，4．
【分析】利用完全平方公式和平方差公式先计算括号内的，再按照多项式除以单项式的法则进行计算，最
后再代入求值即可．
【详解】解：原式当 ， 时，原式
【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（2023春·河南郑州·七年级校联考阶段练习）先化简，再求值： ，
其中a，b满足 ．
【答案】
【分析】先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，再利用非负数的
性质求解a，b的值，再代入化简后的代数式进行计算即可．
【详解】解：
；
∵ ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴原式 ．
【点睛】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的应用，化简求值，非负数的性质，掌握整式的混合运
算的运算顺序是解本题的关键．
4．（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）先化简，再求值
(1) ，其中 ， ．
(2) ，其中 ．【答案】(1) ， ；
(2) ，
【分析】（1）先利用乘法公式和积的乘方、单项式的除法法则计算，再代入数据即可求解；
（2）先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，再整体代入数据计
算即可．
【详解】（1）解：
，
当 ， 时，原式 ；
（2）解：
，
由于 ，即 ，
∴原式 ．
【点睛】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的灵活运用，化简求值，熟记运算法则与乘法公式是解
本题的关键．
5．（2023春·山东枣庄·七年级统考阶段练习）先化简，再求值：
(1) ，其中(2) ，其中 ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）先根据完全平方公式和平方差公式去掉中括号内的小括号，再合并同类项，然后计算多项
式除以单项式，最后代值计算即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式去掉中括号内的小括号，再合并同类项，然后计算多项式除以单
项式，最后代值计算即可．
【详解】（1）解：原式
，
当 ， 时，
原式
；
（2）解：原式
，
当 ， 时，
原式
．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算和化简求值，解题的关键是对相应的运算法则的掌握．【考点四 利用乘法公式进行简便运算】
例题：（2023春·广西北海·七年级统考期中）用简便方法计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把原式变形为 ，然后利用平方差公式求解即可；
（2）把原式变形为 ，然后利用完全平方公式进行求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键：
．
【变式训练】
1．（2023春·北京海淀·七年级校考期末）用简便方法计算： ．
【答案】
【分析】利用完全平方公式进行变型，计算即可．【详解】
．
【点睛】本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，当所求的式子有三项，且满足完全平方公式的特点，
运用完全平方公式进行求值可简化运算．
2．（2023春·江苏常州·七年级统考期中）用简便方法计算：
(1)
(2)
【答案】(1)9999
(2)400
【分析】（1）根据平方差公式简化运算即可；
（2）根据同底数幂的乘法公式简化运算即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了平方差公式，同底数幂的乘法，熟练掌握这些知识是解题的关键．
3．（2023春·四川成都·七年级校考阶段练习）用简便方法计算．
(1)
(2)
(3) ；(4) ．
【答案】(1)
(2)1
(3)
(4)
【分析】（1）先变形，再利用完全平方公式展开计算；
（2）先变形为 ，再利用平方差公式计算即可；
（3）根据完全平方公式将原式化为 即可；
（4）配上因式 ，连续使用平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；（4）
．
【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的
前提．
【考点五 利用乘法公式的变式求值】
例题：（2023春·湖南怀化·七年级校考期中）已知： ， ．
(1)求 ；
(2)求 ．
【答案】(1)9
(2)1
【分析】（1）先运用完全平方公式 分别计算，然后联立即可解答；
（2）先运用完全平方公式 分别计算，然后联立即可解答．
【详解】（1）解： ①， ②
则 得： ，解得 ．（2）解： ①， ②
则 得： ，解得 ．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式 是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021春·广东深圳·七年级校考期中）已知： ， ，求下列代数式的值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将已知完全平方公式展开，再代入计算即可得到答案；
（2）将所求完全平方式展开后，整体代入计算可得答案．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
2．（2023春·安徽安庆·八年级安庆市石化第一中学校考期末）已知 ， ，求下列代数式
的值．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出 的值，再根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；（2）先算出 的值，再根据平方差公式把原式变形，代入计算，得到答案．
【详解】（1）解： ， ，
，
；
（2） ， ，
．
【点睛】本题考查了代数式求值，涉及平方差公式和完全平方公式运算的应用，算出 和 的值代
入变形的原式是解答本题的关键．
3．（2023春·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习）已知 ， ，求：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）原式 变形为 ，然后把 ， ，代入计算即可求出结果．
（2） 变形为 ，然后把 ， ，代入计算即可求出平方根即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ；（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了完全平方公式，求一个数的平方根，熟练地运用公式进行变形是解答本题的关键．
【考点六 利用完全平方配方求多项式最小/大值问题】
例题：（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）阅读材料：数学课上，老师在求代数式 的最小值时，
利用公式： ，对式子作如下变形： ，
因为 ，所以 ，
当 时， ，
因此 有最小值 ，即 的最小值为 ．
通过阅读，解下列问题：
(1)代数式 的最小值为___________，此时 的值为___________
(2)试比较代数式 与 的大小，并说明理由．
【答案】(1) ，
(2) ，见解析
【分析】（1）根据材料提示，运用配方法配成完全平方公式，即可求解；
（2）运用作差法化简两个代数式，运用配方法配成完全平方公式，比较结果的正负，即可求解．
【详解】（1）解： ，
∵ ，
∴ ，∴当 时， 的最小值为 ，
故答案为： ， ．
（2）解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查乘法公式，作差法比较两个多项式的大小的综合，掌握配方法配成完全平方公式判
定代数式的最值，运用作差法比较结果的正负判断代数式的大小等知识是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式
或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中
的隐含条件，是解题的有力手段之一．
例如，求代数式 的最小值．
解：原式 ．
， ． 当 时， 的最小值是 ．
(1)请仿照上面的方法求代数式 的最小值．
(2)代数式 的最大值为______．
【答案】(1)当 时，原式有最小值
(2)
【分析】（1）直接将代数式化成 的形式，然后求解即可；
（2）先把负号提出来，再将代数式化成 的形式，然后求解即可．
【详解】（1）解： ，，
，
当 时原式有最小值 ；
（2）
，
，
，
代数式 的最大值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握利用完全平方公式对多项式变形是解答本题的关键．
2．（2023春·浙江·七年级统考期末）在学习了乘法公式“ ”的应用后，王老师提出
问题：求代数式 的最小值．同学们经过探究、合作、交流，最后得到如下的解法：
解： ，
∵ ，∴ ，
当 时， 的值最小，最小值为1．
∴ 的最小值是1，
请你根据上述方法，解答下列问题：
(1)求代数式 的最小值；
(2)求代数式 的最小值；
(3)若 ，求 的最小值．【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，利用平方的非负性求出最小值即可；
（2）原式利用完全平方公式配方后，利用平方的非负性求出最小值即可；
（3）由 ，可得 ，代入 中利用完全平方公式配方后，利用平方的非负性求出最小
值即可．
【详解】（1）解： ，
，
．
的最小值是2．
（2） ，
，
．
的最小值是 ．
（3） ，
，
，
，
．
的最小值 ．
【点睛】此题考查了运用完全平方公式进行计算，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．（2023春·广东茂名·七年级统考期末）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的
非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广
泛的应用.如利用配方法求最小值，求 的最小值．
解： ，因为不论a取何值， 总是非负数，即 ．
所以 ，所以当 时， 有最小值 ．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： _____________；
(2)将 变形为 的形式，并求出 的最小值；
(3)若代数式 ，试求N的最大值．
【答案】(1)
(2) ，2
(3)17
【分析】（1）根据完全平方公式求解；
（2）利用配方法求最小值；
（3）先对式子进行配方化成完全平方式，求出最大值即可．
【详解】（1）解：∵ ，
故答案为： ．
（2）解：∵ ，
其中， ，
的最小值是2；故答案为：2．
（3）解：
，
的最大值是17．
【点睛】本题主要考查完全平方式的变换，根据式子进行变换化成完全平方式是解题的关键.
【考点七 平方差公式在几何图形中的应用】
例题：（2023春·广东揭阳·七年级统考期中）长为 的正方形中剪掉一个边长为 的正方形（如图 ），然
后将剩余部分拼成一个长方形（如图 ）
(1)上述操作能验证的等式是___________（请选择正确的一个）
A．
B．
C．
(2)应用你从（ ）选出的等式，完成下面习题：①已知 ， ，求 的值；
②计算
【答案】(1)B
(2)① ；②
【分析】（1）根据图形可知，图 中阴影部分的面积为： ，图 的面积为长方形的长 乘以长
方形的宽 ，即可；
（2） 由（1）得， ，则 ，再根据 ，即可；
根据 ，则 变形为
，根据第二项的分子和第三项的分母约分，第
二项的分母与第三项的分子约分，最后得 ，进行计算，即可．
【详解】（1）∵大正方形的边长为： ，小正方形的边长为： ，
∴阴影部分的面积为： ；
由图 可知，长方形的长为： ，长方形的宽为： ，
∴组成的长方形的面积为： ，
∴ ，
故选：B．
（2） 由（1）得， ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴
．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景与应用，解题的关键是掌握平方差公式并能灵活运用．
【变式训练】
1．（2023秋·河北邢台·八年级校联考期末）乘法公式的探究及应用．
【探究】（1）将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的长方形，通过比较图1、图2阴影部
分的面积，可以得到整式乘法公式_________；
【应用】（2）运用你所得到的乘法公式，完成下列齐题：
①若 ， ，求 的值；
②计算： ．【拓展】（3）计算： ．
【答案】（1） ；（2）①3；②9996；（3）
【分析】（1）根据图1与图2面积相等，则可列出等式即可得出答案；
（2）①由（1）可知 ，进而代入相对于的值即可求解；
②将 变形为 ，再应用平方差公式进行计算即可；
（3）根据平方差公式将每个括号变形，即可求出答案．
【详解】解：（1）大的正方形边长为 ，面积为 ，小正方形边长为 ，面积为 ，
∵图1阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，
∴图1阴影部分面积 ，
图2阴影部分面积 ，
∵图1的阴影部分与图2面积相等，
∴ ，
故答案为： ；
（2）①∵ ， ，
即： ，
∴ ；
②
；
（3）．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，灵活运用平方差公式是解题的关键．
2．（2023春·广东河源·七年级统考期末）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，
将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．
(1)请你表示出图①中阴影部分的面积_________________________；
请你表示出图②中阴影部分的面积_________________________；
(2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_________________________；
(3)请应用公式计算： ．
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【分析】（1）图①中阴影部分的面积是两个正方形面积的差，图②中阴影部分的面积是长为 ，宽为
的长方形面积；
（2）易得两图的阴影部分面积相等，即可列出式子；
（3）各项都应用公式计算即可抵消，得到结果．【详解】（1）在图①中，
∵大正方形的面积为 ，小正方形的面积为 ，
∴阴影部分的面积为 ，
在图②中，
∵阴影部分为长方形，长为 ，宽为 ，
∴阴影部分的面积为 ；
故答案为： , ；
（2）∵两图的阴影部分面积相等，
∴可以得到乘法公式 ；
（3）应用乘法公式得：
．
【点睛】本题考查平方差公式的几何意义和平方差公式的应用，解题的关键是数形结合思想的运用及熟练
掌握平方差公式．
3．（2023春·山东潍坊·七年级校联考阶段练习）如图，在边长为 的正方形中挖去一个边长为 的小正方
形 ，把余下的部分剪拼成一个矩形．(1)通过计算两个图形的面积 阴影部分的面积 ，可以验证的等式是______ ； 请选择正确的一个
A.
B.
C.
D.
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知 ， ，求 的值．
②计算：
【答案】(1)B
(2)①3；②
【分析】（1）分别表示左图和右图中阴影部分的面积，根据面积相等得出结论；
（2） 由（1）中规律，利用平方差公式整体代入即可解得；
通过观察，此题数字具有一定规律，可用运算定律把原式变为：
，
再运用平方差公式，解决问题．
【详解】（1）解：左图中，阴影部分为正方形，面积为： ，
右图阴影是拼成的长方形，长是： ，宽是： ，
所以右图阴影部分面积为： ，
由于左右两图面积相等，
所以有： ，
故答案为：B．（2）解： 由（1）中规律，利用平方差公式可得：
，
， ，
．
故答案为： ．
通过观察，此题数字具有一定规律，可用运算定律将原式写成：
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查平方差的几何背景和应用，代数式求值，有理数混合运算及数式规律问题，利用平
方差公式将代数式变形是关键．
【考点八 完全平方公式在几何图形中的应用】
例题：（2023春·浙江绍兴·七年级校联考期中）图1是一个长为 、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀
均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．(1)观察图2，请你写出下列三个代数式 ， ， 之间的等量关系为________________．
(2)运用你所得到的公式，计算：若 为实数，且 ， ，试求 的值．
(3)如图3，点C是线段 上的一点，以 为边向两边作正方形，设 ，两正方形的面积和
，求图中阴影部分面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由阴影部分的面积可得面积为 或 ，从而可得答案；
（2）把 ， 代入 ，再利用平方根的含义可得答案；
（3）设 ， ，而 ， ，可得 ， ，可得 ，
从而可得答案．
【详解】（1）解：由阴影部分的面积可得： ，
或 ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）设 ， ，而 ， ，
∴ ， ，而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是完全平方公式及其变形与几何图形的面积，利用完全平方公式的表示求解代数式的
值，熟记完全平方公式的变形是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考期中）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中
虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)图②中阴影部分的正方形的边长是 ；
(2)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1： ；方法2： ；
(3)观察图②，请写出代数式 ， ， 之间的等量关系： ．
(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：已知： ， ，求： 的值；
【答案】(1)
(2) ，
(3)
(4)13
【分析】（1）由图可知，图②中阴影部分的正方形的边长是小长方形长与宽的差；（2）用正方形面积公式可表示阴影部分面积，根据阴影部分面积等于大正方形面积减去四个小长方形面
积可表示阴影部分面积；
（3）根据（2）中两种方法表示的阴影部分面积相等，即可得出等量关系；
（4）由（3）可得 ，将 ， 代入即可求解．
【详解】（1）解：由图可知：
图②中阴影部分的正方形的边长是： ，
故答案为： ；
（2）解：方法一：阴影部分面积 ，
方法二：阴影部分面积 ，
故答案为： ， ；
（3）解：由（2）可得：阴影部分面积 ，
∴ ，
故答案为： ；
（4）解：由（3）可得： ，
把 ， 代入得： ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，用不同的方法表示图形面积，以及熟知完全
平方公式是解题的关键．
2．（2023春·山东潍坊·七年级统考期末）图1是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀
平均裁成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．(1)图2中的阴影部分正方形的边长是 （用含a，b的代数式表示）；
(2)观察图1，图2，能验证的等式是： （请选择正确的一个）；
A．
B．
C．
(3)如图3，C是线段 上的一点，以 为边向上分别作正方形 和正方形 ，连结 ．
若 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)C
(3)
【分析】（1）根据图2中的信息即可得出阴影部分正方形的边长；
（2）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，进行求解即可；
（3）设正方形 的边长为x，正方形 的边长为y，根据图形中的关系得出 ，
再求解，最后利用三角形面积公式即可得出答案；
另解：设正方形 的边长为x，正方形 的边长为y，根据图形中的关系得出 ，
利用（2）的结论直接代入即可 ，最后根据三角形面积公式即可得出答案．
【详解】（1）图2中的阴影部分正方形的边长是 ；
故答案为：
（2） 之间的等量关系是： ，
故选：C.（3）设正方形 的边长为x，正方形 的边长为y
∴ ，
解得 ，
；
另解：设正方形 的边长为x，正方形 的边长为y，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
3．（2023春·山东烟台·六年级统考期中）如图1是长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成
四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于多少？___________．
(2)观察图2，请你写出 、 、 之间的等量关系是___________；
(3)若 ， ，求 的值；
(4)拓展：若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)(3) ；
(4)
【分析】（1）由图2可知，阴影部分的正方形的边长为 ；
（2）根据图2可知，大正方形面积等于内部小正方形与4个小长方形的面积之和，分别用含a和b的代数
式表示可得出答案；
（3）由（1）可得出 ，整体代入数据即可得出答案；
（4）设 ， ，则 ， ，利用完全平方公式即可求解．
【详解】（1）解：由图2可知，阴影部分的正方形的边长为 ；
故答案为： ；
（2）解：大正方形的边长为 ，阴影部分的正方形的边长为 ，小长方形的长为b，宽为a，
∴大正方形的面积为 ，小正方形的面积为 ，小长方形的面积为 ，
由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和，
即 ．
故答案为： ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ；
（4）解：设 ， ，
∵ ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，理解图形中各部分面积之间的关系是解题关键．
