专题15.1分式的混合运算与化简求值（压轴题专项讲练）（人教版）（学生版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_压轴题专项-V5_2024版

专题 15.1 分式的混合运算与化简求值 【典例1】阅读理解： 1 x 材料1：已知x+ =3，求分式 的值． x x2−4x+1 x2−4x+1 1 1 解：活用倒数，∵ =x−4+ =x+ −4=3−4=−1． x x x x 1 1 = = =−1 ∴x2−4x+1 x2−4x+1 −1 ． x x2−x+3 材料2：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． x+1 解：由分母 ，可设 ，则 x+1 x2−x+3=(x+1)(x+a)+b ． x2−x+3=(x+1)(x+a)+b=x2+ax+x+a+b=x2+(a+1)x+a ∵对于任意x上述等式成立， {a=−2,) ∴¿解得 b=5. x2−x+3 (x+1)(x−2)+5 5 ∴ = =x−2+ ． x+1 x+1 x+1 根据材料，解答下面问题： 1 a （1）已知a+ =5，则分式 的值为 ． a 2a2+2 （2）已知 1 ，求分式 b2 的值 ． b− =−3 b 3b4−4b2+3 1 7 x−2 （3）已知x+ =− ，则分式 的值为 ． x−2 3 3x2−9x+9 【思路点拨】 （1）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值；（2）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值； （3）根据材料1和材料2，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值． 【解题过程】 1 （1）解：∵a+ =5 a 2a2+2 2 ( 1) ∴ =2a+ =2 a+ =2×5=10 a a a a 1 1 = = ∴2a2+2 2a2+2 10 a 1 故答案为： ； 10 1 （2）∵b− =−3 b ∴ ( b− 1) 2 =9，即：b2+ 1 −2=9， b b2 1 ∴b2+ =11 b2 则：3b4−4b2+3 =3b2+ 3 −4=3 ( b2+ 1 ) −4=3×11−4=29 b2 b2 b2 b2 1 1 = = ∴ 3b4−4b2+3 3b4−4b2+3 29 b2 1 故答案为： ； 29 （3）3x2−9x+9 3(x2−3x+3) = x−2 x−2 由分母x−2，可设x2−3x+3=(x−2)(x+a)+b， 则：x2−3x+3=(x−2)(x+a)+b=x2+ax−2x−2a+b=x2+(a−2)x−2a+b 对于任意x上述等式成立， {a−2=−3 ) {a=−1) ∴ ，解得， ， −2a+b=3 b=1∴3x2−9x+9 3(x2−3x+3) 3[(x−1)(x−2)+1) [ 1 ) = = =3 x−1+ x−2 x−2 x−2 x−2 1 7 1 7 10 又∵x+ =− ，即：x−1+ =− −1=− x−2 3 x−2 3 3 3x2−9x+9 [ 1 ) ( 10) ∴ =3 x−1+ =3× − =−10 x−2 x−2 3 x−2 1 ∴ =− ， 3x2−9x+9 10 1 故答案为：− ． 10 1 1 1 7 z x y 1．（2022秋·八年级课时练习）已知实数x，y，z满足 + + ＝ ，且 + + ＝ x+ y y+z z+x 6 x+ y y+z z+x 11，则x+y+z的值为（ ） 72 A．12 B．14 C． D．9 7 2．（2022秋·八年级课时练习）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=3，则 1 1 1 + + 的值为（ ） ab+c−1 bc+a−1 ca+b−1 1 2 A．-1 B．− C．2 D．− 2 3 1 1 1 3．（2022·福建·九年级统考竞赛）若正数a，b，c满足abc1，a+ =3,b+ =17，则c+ =______． b c a 4．（2022秋·上海徐汇·七年级上海市田林第三中学校考阶段练习）（1）计算：a2−3ab+2b2 a2−4b2 + a2−2ab+b2 a2−ab (2x−4 ) x−2 （2） −x+2 ÷ x+2 x2+4x+45．（2022·广东深圳·统考一模）先化简：（ 2 a2−4 ）÷a2−2a，再从 ， ，0，1中选出合 + −2 −1 a+2 a2+4a+4 a+2 适的数代入求值． 6．（2022春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考自主招生）先化简，后求值： ( x3+x y2+1 )( x2y−x y2 ) ( x2y+x y2 )( x2y+ y3+1 )，其中x，y + x3+x y2−x2y−y3 x3+x y2−x2y−y3 x3+x y2+x2y+ y3 x2y+ y3−x3−x y2 满足|x−2)+ y2+9=6 y． 7．（2023春·八年级单元测试）先阅读，再答题： 1 3−2 1 1 = = − ， 2×3 2×3 2 3 1 4−3 1 1 = = − ， 3×4 3×4 3 4 …… 1 1 1 一般地，有 = − . n(n+1) n n+1 1 1 （1）计算： + ； (x+1)(x+2) (x+2)(x+3)1 1 1 1 （2）计算： + + +…+ ． x(x+2) (x+2)(x+4) (x+4)(x+6) (x+2020)(x+2022) xy yz zx 8．（2022秋·全国·七年级期末） =1， =2， =3，求x+ y+z x+ y y+z z+x 9．（2022春·八年级课时练习）已知3x−2y−4z=0，2x+ y−5z=0且xyz≠0，求 1( z2 2x2z+4xyz+2y2z)的值． x+ y+z+ − z x+ y−z x2+2xy+ y2−z2 10．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知 为整数，且满足 (1 1)( 1 1 ) 2( 1 1 ) ， x,y + + =− − x y x2 y2 3 x4 y4 求 x+ y 的值． 11．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=16，求 1 1 1 + + 的值． ab+3c+3 bc+3a+3 ca+3b+3(1 1) (1 1) (1 1) 12．（2022·福建·九年级专题练习）已知x=a + ，y=b + ，z=c + ． b c a c a b 1 1 （1）当a=1，b=1，c=2时，求 + 的值； x−1 y−1 1 1 1 （2）当ab+bc+ac≠0时,求 + + 的值． x+1 y+1 z+1 13．（2022·七年级单元测试）已知a、b、c为实数，且满足下式： ①a2+b2+c2=1； (1 1) (1 1) (1 1) ②a + +b + +c + =−3. b c c a a b 求a+b+c的值. 14．（2023春·江苏·八年级专题练习）S(n)为n的各位数字之和，例S(2019)=2+0+1+9=12． n （1）当10≤n≤99时，求 的最小值； S(n) n （2）当100≤n≤999时，求 的最小值； S(n) n （3）当1000≤n≤9999时，求 的最小值． S(n)|a| |b| 15．（2022秋·全国·八年级专题练习）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求x= + a b 的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母a，b的正负作出讨论，又注意到a，b在问题中 的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况． 解：①当两个字母a，b中有2个正，0个负时， ②当两个字母a，b中有1个正，1个负时， ③当两个字母a，b中有0个正，2个负时． |a| |b| （1）根据小明的分析，求x= + 的值． a b |a+b| |b+c| |c+a| （2）若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，求代数式 + + 的值． c a b 16．（2023春·浙江·七年级专题练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和 x+1 x−1+2 x−1 2 2 的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： = = + =1+ ， x−1 x−1 x−1 x−1 x−1 2x−3 2x+2−5 2x+2 −5 −5 x+1 2x−3 = = + =2+ ，则 和 都是“和谐分式”． x+1 x+1 x+1 x+1 x+1 x−1 x+1 （1）下列分式中，不属于“和谐分式”的是 （填序号）．①2x+3 ②3+x ③x+4 ④y2+5 x 3 x+3 y2 a2−4a−5 （2）将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． a−2 （3）应用：先化简3x+6 x−1 x2−1 ，并求 取什么整数时，该式的值为整数． − ÷ x x+1 x x2+2x 17．（2023春·八年级课时练习）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M−N=MN，则称分 式N是分式M的“关联分式”． 2 2 2 （1）已知分式 ，试说明 是 的“关联分式”； a2−1 a2+1 a2−1 1 （2）小聪在求分式 的“关联分式”时，用了以下方法： x2+ y2 1 1 1 设 的“关联分式”为N，则 −N= ×N， x2+ y2 x2+ y2 x2+ y2 ∴( 1 ) 1 ，∴ 1 ． +1 N= N= x2+ y2 x2+ y2 x2+ y2+1 x+ y 请你仿照小聪的方法求分式 的“关联分式”． 2x−3 y a （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 的“关联分式”：______． b−a n−2 m+2 ②若 是 的“关联分式”，则m+n的值为______． mx+m2+n mx+n2 18．（2023春·八年级课时练习）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为x2 x−1 “假分式”，例如： ⋅ 这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为 x+1 x+1 1 2 “真分式”，例如： ，− 这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数.例如： x+1 x+1 8 3×2+2 2 − = =2 类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： 3 3 3 x2 x(x+1)−(x+1)+1 1 = =x−1+ ． x+1 x+1 x+1 （1）参考上面的方法，将下列分式化为带分式：−x2−2x .3x3−3x+2 ． = = x2+2x+1 x2−1 （2）解分式方程：x2−x−8 3x2−12x+10； +2= x2−x−6 x2−4x+4 （3）当x取什么整数值时，分式x4+4x2+2的值为整数． x2+1 （4）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数n．十位数字与m的百位数字相同，个位 数字与m的十位数字相同，若这个三位数的平方能整除这个两位数，求满足条件的三位数m．19．（2023春·八年级课时练习）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要 方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到 简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式 (x2+2x)(x2+2x+2)+1 解：将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x= y 原式 = y(y+2)+1= y2+2y+1=(y+1) 2=(x2+2x+1) 2 =(x+1) 4 1 1 例2：已知ab=1，求 + 的值． 1+a 1+b 1 1 ab 1 b 1 解： + = + = + =1 1+a 1+b ab+a 1+b 1+b 1+b 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： （1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式 进行因式分解； (x2−6x+8)(x2−6x+10)+1 （2）计算：(1−2−3−⋯−2021)×(2+3+⋯+2022)−(1−2−3−⋯−2022)×(2+3+⋯+2021)= ______ 1 1 （3）①已知ab=1，求 + 的值； 1+a2 1+b2 5a 5b 5c ②若abc=1，直接写出 + + 的值． ab+a+1 bc+b+1 ca+c+120．（2022·全国·九年级专题练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解 答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形 式，从而运用约分化简，以达到计算目的． x 1 1 例：已知： = ，求代数式x2+ 的值． x2+1 4 x2 x 1 x2+1 x2 1 解：∵ = ，∴ =4即 + =4 x2+1 4 x x x ∴ x+ 1 =4 ∴ x2+ 1 = ( x+ 1) 2 −2=16−2=14 x x2 x 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可 以通过适当变形解决问题． x 例：若2x=3 y=4z，且xyz≠0，求 的值． y+z 1 1 k k k k x 2 2 6 解：令2x=3 y=4z=k(k≠0)则x= ，y= ，z= ，∴ = = = 2 3 4 y+z 1 1 7 7 k+ k 3 4 12 根据材料回答问题： x 1 1 （1）已知 = ，求x+ 的值． x2−x+1 5 x a b c 3b+4c （2）已知 = = (abc≠0)，求 的值． 5 4 3 2a （3）若 yz zx xy x2+ y2+z2， ， ， ，且 ，求 的值． = = = x≠0 y≠0 z≠0 abc=5 xyz bz+cy cx+az ay+bx a2+b2+c2