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第 01 讲 函数的概念与性质
1．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为__________．
【答案】
【解析】
由 解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为：
2、设函数 ，若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线斜率为
（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】C
【解析】
因为 为奇函数，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以曲线 在点 处的切线斜率为1．故选：C．
3．函数 的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由 ，得 ，
令 ，则 ，
在 上递增，在 上递减，
因为 在定义域内为增函数，
所以 的单调递减区间为 ，
故选：A
4．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】
对于A选项， ， 两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；
对于B选项， 的定义域为 ，而 的定义域为 ，两个函数的定义域不同，
不是同一函数；
对于C选项， ， 的定义域为 ， ， 的定义域为 ，定义域和对应关
系都不相同，所以两个函数不是同一函数；对于D选项， ， ，定义域、值域和对应关系都相同，所以两个函数是同一函数.
故选：D.
5．函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：由题意得： 解得 ，即 的定义域为 .
故选：C.
6．函数 的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 ，
所以 的定义域是 ，
又 ，
所以 是奇函数，图象关于原点对称，且 .
故选：C
7．已知函数 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：由已知得 ,即 ，解得 ，
又 ，所以 ，
故选：C.
8．已知函数 在区间 上单调递增，则 ， 的取值可以是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】AC
【解析】
在 上单调递增,则满足: ,即 ,故 ， 满足， ，
满足，
故选:AC
9．已知函数 ，则不等式 的解集为__________．
【答案】【解析】
当 时， ，解得 ，于是得： ，
当 时， ，解得 ，于是得 ，
所以 的解集为 ．
故答案为：
10．定义在 上的单调增函数 满足：对任意 都有 成立
(1)求 的值；
(2)求证： 为奇函数；
(3)若 对 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】
(1)
解：由题意，函数 满足：对任意 都有 成立
令 ，则 ，所以 ．
(2)
解：由题意，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
令 ，可得 ，
因为 ，所以
所以函数 为奇函数.
(3)解：因为 对 恒成立，
即 对 恒成立，
即 对 恒成立，
因为 是 上的单调递增函数，所以 ，即 ，
即 对 恒成立，
因为函数 为单调递增函数，所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围是 .
11．已知函数 是定义在 上的函数，且对任意 ，都有 ，
，求 .
【答案】 ， .
【解析】
因为,对任意 ，都有 ， ，
所以， ，
．
1、已知 是定义在 上的偶函数，且 ，若当 时， ，则
（ ）
A．0 B．1
C．6 D．216
【答案】C【解析】
根据题意，偶函数 满足 ，即 ， 是周期为6的周期函数，则
，当 时， ，则 ，故
故选：C
2、已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 __________.
【答案】3
【解析】
解：因为函数 是定义在 上的奇函数，故 ，
，故 .
故答案为：3.
3． 是定义在 上的以 为周期的奇函数，且 ，则方程 在区间 内解的个数的
最小值是_______.
【答案】13
【解析】
是定义在 上的以 为周期的奇函数，
，且 ，
则 ，则 ，
， ，
， ， ，
方程的解至少有0，3，6， ， ，2，5， ， ， ，1，4， ，共13个．
故答案为：13
4．对任意实数 ，均满足 且 ， 则 _______.【答案】
【解析】
令 ，得 ，
令 ，得
令 ，得 ，
，
，
当 时，设 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
因此 ，
，即 ，
故答案为：
5、设函数 ，若 ， 满足不等式 ，则当 时，
的最大值为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为 ,所以函数 为奇函数,又因为
为单调减函数,且 所以 为 上减函数,因此
,因为 ,所以可行域为一个三
角形 及其内部,其中 ,因此直线 过点 时取最大值 ,选B.6、已知函数 ，若 ，
其中 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：因为 ，
所以
，
令
则 所以
所以 ，所以 ，其中 ，则 .
当 时
当且仅当 即 时等号成立；当 时
，
当且仅当 即 时等号成立；因为 ，所以 的最小值为 .故选：A.
7、已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（a-x），若函数y=|x2-ax-5|与y=f（x）图象的交点为（x，
1y），（x，y），…，（x，y），且 =2m，则a=（ ）
1 2 2 m m
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】∵f（x）=f（a-x），∴f（x）的图象关于直线x= 对称，又y=|x2-ax-5|的图象关于直线x=
对称，
当m为偶数时，两图象的交点两两关于直线x= 对称，∴x+x+x+…+x= •a=2m，解得a=4．
1 2 3 m
当m奇数时，两图象的交点有m-1个两两关于直线x= 对称，另一个交点在对称轴x= 上，
∴x+x+x+…+x=a• + =2m．解得a=4．故选：D．
1 2 3 m
8、若函数 是 上的奇函数，又 为偶函数，且 时，
，比较 ， ， 的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
函数 是 上的奇函数，又 为偶函数， ， ，
，即函数 的周期 ， 时， ， ，
即 ，函数 在 上为增函数，
， ，
， .
故选：D.
1．（2022·全国·高考真题（理））函数 在区间 的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
令 ，
则 ，
所以 为奇函数，排除BD；
又当 时， ，所以 ，排除C.
故选：A.
2．（2022·全国·高考真题（文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数
是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设 ，则 ，故排除B;
设 ，当 时， ，
所以 ，故排除C;
设 ，则 ，故排除D.
故选：A.
3．（2022·全国·高考真题）已知函数 的定义域为R，且 ，则
（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】
因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得，
，即有 ，从而可知 ，
，故 ，即 ，所以函数 的一个周期为 ．
因为 ， ， ，
， ，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．
故选：A．
4．（2020·山东·高考真题）已知函数 的定义域是 ，若对于任意两个不相等的实数 ， ，总有
成立，则函数 一定是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
【答案】C
【解析】
对于任意两个不相等的实数 ， ，总有 成立，
等价于对于任意两个不相等的实数 ，总有 .
所以函数 一定是增函数.
故选：C
5．（2021·全国·高考真题（理））设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路一：从定义入手．
所以 ．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 的周期 ．
所以 ．
故选：D．
6．（2022·北京·高考真题）设函数 若 存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【解析】
解：若 时， ，∴ ；
若 时，当 时， 单调递增，当 时， ，故 没有最小值，不符合
题目要求；
若 时，
当 时， 单调递减， ，
当 时，
∴ 或 ，
解得 ，
综上可得 ；
故答案为：0（答案不唯一），1
7．（2022·全国·高考真题（文））若 是奇函数，则 _____， ______．
【答案】 ； ．
【解析】
因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为
，再由 可得， ．即 ，在定义域
内满足 ，符合题意．
故答案为： ； ．8．（2022·浙江·高考真题）已知函数 则 ________；若当 时，
，则 的最大值是_________．
【答案】 ##
【解析】
由已知 ， ，
所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
等价于 ，所以 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： ， .
9．（2022·北京·高考真题）函数 的定义域是_________．
【答案】
【解析】
解：因为 ，所以 ，解得 且 ，
故函数的定义域为 ；
故答案为：10．（2010·江苏·高考真题）若函数 ，则不等式 的解集合是
______________
【答案】
【解析】
函数 在 上单调递增，且 ，
则 化为： 或 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集合是 .
故答案为：
11．（2014·安徽·高考真题（文））若函数 是周期为4的奇函数，且在 上的解析式为
，则 ___________
【答案】
【解析】
根据题意，函数 是周期为4的奇函数，
则 ， ，
又由函数 在 ， 上的解析式为
则 ， ，
则 ，故答案为：
