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专题11 功和功率及动能定理的理解与应用
目录
题型一 恒力做功的分析和计算................................................................................................................................1
题型二 变力做功的分析和计算................................................................................................................................5
类型1 微元法计算变力做功.............................................................................................................................7
类型2 图像法计算变力做功.............................................................................................................................7
类型3 等效转换法求变力做功.......................................................................................................................12
类型4 平均力法求变力做功...........................................................................................................................14
类型5 应用动能定理求变力做功...................................................................................................................16
题型三 功率的分析和计算......................................................................................................................................19
类型1 功率的分析和计算...............................................................................................................................20
类型2 功率和功综合问题的分析和计算.......................................................................................................25
题型四 机车启动问题..............................................................................................................................................27
类型1 恒定功率启动.....................................................................................................................................28
类型2 恒加速度启动问题.............................................................................................................................32
题型五 动能定理的理解..........................................................................................................................................38
题型六 动能定理的基本应用..................................................................................................................................41
题型七 动能定理与图像的“数形结合”..............................................................................................................44
类型1 E－x(W－x)图像问题..........................................................................................................................45
k
类型2 F－x图像与动能定理的结合..............................................................................................................48
类型3 其他图像与动能定理的结合...............................................................................................................52
题型八 动能定理在多过程、往复运动问题中的应用..........................................................................................57
类型1 运用动能定理解决多过程问题.........................................................................................................57
类型2 动能定理在往复运动问题中的应用.................................................................................................60
题型一 恒力做功的分析和计算
【解题指导】1．判断力是否做功及做正、负功的方法判断根据 适用情况
根据力和位移方向的夹角判断 常用于恒力做功的判断
根据力和瞬时速度方向的夹角判断 常用于质点做曲线运动
根据功能关系或能量守恒定律判断 常用于变力做功的判断
2.计算功的方法
(1)恒力做的功
直接用W＝Flcos α计算或用动能定理计算。
(2)合力做的功
方法一：先求合力F ，再用W ＝F lcos α求功，尤其适用于已知质量m和加速度a的情况。
合 合 合
方法二：先求各个力做的功W、W、W…，再应用W ＝W＋W＋W＋…求合力做的功。
1 2 3 合 1 2 3
方法三：利用动能定理，合力做的功等于物体动能的变化。
【例1】质量为1kg的物块仅在水平恒力F作用下由静止沿水平方向做加速运动，已知物块从静止开始运
动了距离L后的4s内前进了16m，且物块从静止开始运动了距离9L后的4s内前进了32m，则下列说法正
确的是（ ）
A．距离L为4m
B．物块从静止开始运动距离9L时，力F对其做的功为18J
C．物块从静止开始运动距离4L时，动量大小为
D．物块从静止开始运动距离4L后的6s末的动能为60J
【答案】BC
【详解】A．由于物块仅在水平恒力作用下由静止开始运动，则其做匀加速直线运动，设其运动的加速度
为a，其从静止开始运动距离为L时用时为t，运动距离为9L时用时为T，则由匀变速直线运动规律可得解得
L=2m， ，t=2s，T=6s
故A错误；
B．由牛顿第二定律，可得水平恒力
F=ma
即
F=1N
则物块从静止开始运动距离9L时，力F对其做的功为
故B正确；
C．物块从静止开始运动距离4L时的速度为
所以物块从静止开始运动距离4L时的动量大小为
故C正确；
D．物块从静止开始运动距离4L后的6s末的速度为
对应的动能为
故D错误。故选BC。
【变式演练1】如图所示，倾角为 的斜面固定在水平桌面上，用平行斜面向上的推力 将位于斜面
底端的滑块推到斜面顶端，推力 做的功至少为 。已知物块与斜面间的动摩擦因数为 ，
， ，若用水平向左的推力 将物块推到顶端，推力 做的功至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对物块做功最少，物块应从斜面底端缓慢运动到斜面顶端，用平行斜面向上的推力将位于斜面底
端的物块推到斜面顶端，对物块受力分析如图甲所示，根据受力平衡可得
设斜面的长度为L，则
对物块受力分析如图乙所示，根据受力平衡可得
解得
则故选C。
【变式演练2】一质点在恒力F的作用下做直线运动，前一半路程从静止开始在粗糙水平面上运动，后一
半路程进入光滑水平面继续运动，两阶段末速度分别为v、v，所用时间分别为t、t，恒力F的冲量分别
1 2 1 2
为I、I，恒力F做的功分别为W、W，则（ ）
1 2 1 2
A． B． C． D．W = W
2 1
【答案】CD
【详解】A．设质点的总路程为2x，在粗糙水平面上所受摩擦力为f，质点在第一阶段有
在第二阶段有
可得
解得
A错误；
B．质点在第一阶段有在第二阶段有
可得
即
解得
B错误；
C．根据 得
C正确；
D．根据 得
D正确。
故选CD。
【变式演练3】某人（视为质点）在空乘逃生演练时，从倾斜滑垫上端A点由静止滑下，经过转折点B后
进入水平滑垫，最后停在水平滑垫上的C点，A点在水平地面上的射影为 点，该过程简化示意图如图所
示。已知人与倾斜滑垫和水平滑垫间的动摩擦因数均为 ， 、B两点间的距离为 ，B、 两点间的距离为 ，人的质量为 ，重力加速度大小为 ，不计人通过转折点B时的机械能损失，下列说法正确的是
（ ）
A．人与倾斜滑垫间因摩擦产生的热量大于
B．人与倾斜滑垫间因摩擦产生的热量为
C．人从A点运动到 点的过程中克服摩擦力做的功为
D．因为倾斜滑垫的倾角未知，所以不能求出人从A点运动到C点的过程中克服摩擦力做的功
【答案】C
【详解】AB．设倾斜滑垫的倾角为 ，对人分析有
故 错误；
CD．人从A点运动到C点的过程中克服摩擦力做的功
故C正确；D错误。
故选C。
题型二 变力做功的分析和计算
【解题指导】求变力做功的五种方法
方法 以例说法微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩
擦力做功W＝F·Δx＋F·Δx＋F·Δx＋…＝F(Δx＋Δx＋Δx＋…)＝F·2πR
f f 1 f 2 f 3 f 1 2 3 f
等效
恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝
转换法
F·(－)
图像法
一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x，图线
0
与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x
0
平均
当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，代入功的公式
值法
得W＝·Δx
应用动
用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为W ，则有：
能定理 F
W －mgL(1－cos θ)＝0，得W ＝mgL(1－cos θ)
F F
类型1 微元法计算变力做功
【例1】水平桌面上，长6m的轻绳一端固定于O点，如图所示（俯视图），另一端系一质量m=2.0kg的小
球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F=10N，F拉着物体从M点运动到N点，F的方向始终与小球
的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2，不计空气阻力，取g=10m/s2，sin37°=0.6，
cos37°=0.8，则下列说法正确的是（ ）A．拉力F对小球做的功为16π（J） B．拉力F对小球做的功为8π（J）
C．小球克服摩擦力做的功为16π（J） D．小球克服摩擦力做的功为4π（J）
【答案】A
【详解】AB．将圆弧分成很多小段l，l，…，l，拉力F在每小段上做的功为W，W，…，W，因拉力
1 2 n 1 2 n
F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以
W=Flcos37°
1 1
W=Flcos37°
2 2
W=Flcos37°
n n
故
故A正确，B错误；
CD．同理可得小球克服摩擦力做的功
故CD错误。
故选A。
【变式演练1】过去人们通常用驴来拉磨把谷物磨成面粉，如图甲所示。假设驴拉磨可以看成做匀速圆周
运动，示意图如图乙所示，驴对磨杆末端的拉力 ，拉力沿圆周切线方向，磨杆的半径 ，
驴拉磨转动一周的时间为7s， ，则下列说法正确的是（ ）
A．磨杆上各点的线速度均相等 B．驴转动一周拉力所做的功为1680J
C．驴转动一周拉力的平均功率为480W D．磨杆末端的线速度大小为0.3m/s【答案】C
【详解】A．磨杆上各点的角速度相等，根据 可知，半径不同，则线速度不同，故A错误；
B．驴转动一周拉力所做的功为
故B错误；
C．驴转动一周拉力的平均功率为
故C正确；
D．磨杆末端的线速度大小为
故D错误。
故选C。
【变式演练2】如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从A点沿
圆弧运动到B点的过程中空气阻力的大小f不变，则下列说法正确的是（ ）
A．重力做功为0 B．悬线的拉力做功为mgL
C．空气阻力做功为 D．摆球克服空气阻力做功为fL
【答案】C
【详解】A．摆球所受重力竖直向下，摆球位移有竖直向下的分量，故重力做功不为零，故A错误；B．悬线的拉力始终与v垂直，不做功，故B错误；
CD．将圆弧路径分成若干小圆弧（尽量小），每一段小圆弧上可认为f是恒力，所以f所做的总功等于每
个小弧段上f所做功的代数和，即
W＝－（fΔx＋fΔx＋…）＝- fπL
f 1 2
故C正确，D错误。
故选C。
类型2 图像法计算变力做功
【例2】如图甲所示，一物块放置在水平台面上，在水平推力F的作用下，物块从坐标原点O由静止开始
沿x轴正方向运动，F与物块的位置坐标x的关系如图乙所示。物块在 处从平台飞出，同时撤去
F，物块恰好由P点沿其切线方向进入竖直圆轨道，随后恰能从轨道最高点M飞出。已知物块质量
，物块与水平台面间的动摩擦因数为 ，轨道圆心为O，半径为 ，MN为竖直直径，
，重力加速度 ，不计空气阻力。求：
（1）水平推力F做的功；
（2）物块运动到P点时的速度大小；
（3）物块在圆轨道上运动时摩擦力做的功。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）根据 图像与横轴围成的面积表示功，可知水平推力F做的功为（2）设物体从水平台面飞出时的速度为 ，根据动能定理可得
解得
物块恰好由P点沿其切线方向进入竖直圆轨道，则有
（3）物体刚好从轨道最高点M飞出，重力刚好提供向心力，则有
解得
物块从P点到M点，根据动能定理
解得物块在圆轨道上运动时克服摩擦力做的功为
【变式演练1】木匠师傅用铁锤把钉子砸进木梁，每次砸击对铁钉做功相同。已知钉子所受阻力与其进入
木梁中的深度成正比，木匠砸击4次，就把一枚长为 的钉子全部砸进木梁，那么他第1锤将铁钉砸进木
梁的深度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】作出钉子所受阻力与进入深度的关系图，可知前一半深度与后一半深度过程中，阻力做功之比为
，由题意可知，每次砸锤，锤对钉做功相同，将钉全部砸进木梁需要砸4次，则第1锤将铁钉砸进木
梁的深度是 。
故选B。
【变式演练2】放在粗糙水平地面上一物体受到水平拉力的作用，在0~6 s内其速度与时间的关系图象和该
拉力的功率与时间的关系图象分别如图甲、乙所示。下列说法中正确的是（ ）
A．0~6 s内拉力做的功为140 J
B．拉力在0~6 s内做的功与0~2 s内拉力做的功相等
C．物体质量为0.8kg
D．物体在0~2 s内所受的拉力为6 N
【答案】ACD
【详解】A．功率与时间的关系图象中，图线与坐标轴所围图形的面积，在数量上等于功，所以0~6s内拉
力做的功为
故A正确；
B．拉力在0~6s内做的功大于0~2s内拉力做的功，故B错误；C．由图乙可知2~6s内拉力的功率
由图甲可知2~6s内物体的速度为
所以拉力的大小为
这段时间内物体做匀速运动，则摩擦力的大小为
在0~2s内，由动能定理可得
即
解得
故C正确；
D．物体在0~2s内的加速度为
由牛顿第二定律有
解得
故D正确。故选ACD。
类型3 等效转换法求变力做功
【例3】如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以恒定的拉
力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升。若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做
的功分别为W 和W，图中AB＝BC，则 ( )
1 2
A．W>W
1 2
B．W＜W
1 2
C．W＝W
1 2
D．无法确定W 和W 的大小关系
1 2
【答案】 A
【解析】 轻绳对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力做功转化为恒力做功；因轻绳
对滑块做的功等于拉力F对轻绳做的功，而拉力F为恒力，W＝F·Δl，Δl为轻绳拉滑块过程中力F的作用
点移动的位移，大小等于定滑轮左侧绳长的缩短量，由题图及几何知识可知，Δl ＞Δl ，故W>W ，A正
AB BC 1 2
确。
【变式演练1】如图所示，边长为 、重力为 的均匀正方形薄金属片 ，悬挂在 处的水平光滑轴
上，若施力使其 边沿竖直方向，则此力至少做功（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】若规定 点所在水平面为零势能参考平面，图示位置的均匀正方形薄金属片的重心位置与零势能
参考平面的高度差 ，当 边沿竖直方向时的重心位置与零势能参考平面的高度差 ，薄金
属片的重心升高
重力势能增加量
所以外力做功至少应为 ；故C正确，ABD错误。
故选C。
【变式演练2】如图所示，某人用定滑轮提升质量为 的重物，人拉着绳从滑轮正下方 高的 处缓慢走
到 处，此时绳与竖直方向成 角，重力加速度为 ，不计绳的质量以及绳与滑轮间的摩擦。则此过程中
人对重物所做的功 是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】全过程人拉着绳缓慢运动，认为重物的动能不变，人对重物所做的功等于重物重力势能的增加，
根据几何关系知重物上升的高度
则
A正确，BCD错误。
故选A。
类型4 平均力法求变力做功
【例4】如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，一轻质弹簧下端固定在斜面底端挡板上，上
端与质量为1kg的小滑块A相连，A上叠放另一个质量为2kg的小滑块B，弹簧的劲度系数为k=50N/m，初
始时系统处于静止状态。现用沿斜面向上的拉力F作用在滑块B上，使B开始沿斜面向上做加速度大小为
2m/s2的匀加速直线运动。重力加速度大小为10m/s2，不计空气阻力。从开始运动到A、B分离瞬间，拉力
F做功为（ ）
A．1.76J B．1.6J C．1.4J D．1.12J
【答案】B
【详解】初始时系统处于静止状态，设此时弹簧压缩量为x，对小滑块A和B组成的系统，根据胡克定律
0和平衡条件得
解得弹簧压缩量
小滑块A、B分离瞬间，两者之间的弹力恰好为零，且有相同的加速度a，设此时弹簧的压缩量为x，则对
1
小滑块A由牛顿第二定律得
解得
在小滑块A、B分离之前，设A、B的位移为x，对A、B整体，根据胡克定律和牛顿第二定律有
解得
则拉力做功
将各量代入上式可解得
故B正确。
故选B。
【变式演练1】某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F与深度h的关系为 （k， 已知），石头沿竖直方向做直线运动，当 时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】所受的阻力F与深度h的关系为线性关系，则有
故选C。
【变式演练2】静止于水平地面上质量为 的物体，在水平拉力 （式中F为力的大小、x为位
移的大小，力F、位移x的单位分别是N、m）作用下，沿水平方向移动了 。已知重力加速度
，则在物体移动 的过程中拉力所做的功为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意可知，水平拉力与位移的关系式为
则物体移动 过程中拉力的平均值为
则拉力做的功
故选B。
类型5 应用动能定理求变力做功
在一个有变力做功的过程中，当变力做功无法直接通过功的公式求解时，可用动能定理，W ＋W ＝mv2
变 恒 2
－mv2，物体初、末速度已知，恒力做功W 可根据功的公式求出，这样就可以得到W ＝mv2－mv2－W ，
1 恒 变 2 1 恒
就可以求变力做的功了．【例5】图1所示是一种叫“旋转飞椅”的游乐项目，将其结构简化为图2所示的模型。长 的钢绳
一端系着座椅，另一端固定在半径 的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。转盘静止
时，钢绳沿竖直方向自由下垂；转盘匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角
。将游客和座椅看作一个质点，质量 。不计钢绳重力和空气阻力，重力加速度 。
（ ， ）
（1）当转盘匀速转动时，求游客和座椅做圆周运动
a．向心力的大小 ；
b．线速度的大小v。
（2）求游客由静止到随转盘匀速转动的过程中，钢绳对游客和座椅做的功W。
【答案】（1）a． ，b． ；（2）
【详解】（1）对游客和座椅一起受力分析如下图所示
a．根据受力分子可知游客和座椅做圆周运动所需要的向心力为
b．根据几何关系可知游客和座椅zuo2圆周运动的半径为由
代入数据得
（2）游客和座椅由静止到随转盘匀速转动得过程，根据功能关系有
代入数据解得
【变式演练1】是利用人体全身的力量，将一定重量的铅球从肩上用手臂推出的田径运动项目之一。运动
员某次投掷铅球时，先将质量为4kg的铅球从地面上捡起，然后将铅球抛出，铅球出手时距离水平地面的
高度为2.25m，出手时的速度方向斜向上与水平面夹角为37°，铅球落地点到抛出点的水平距离为12m，重
力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力。则运动员从地面上捡起铅球到将铅球抛出
的过程中，运动员对铅球做的功为（ ）
A．200J B．290J C．110J D．90J
【答案】B
【详解】设实心球出手时的速度大小为v，规定竖直向上为正方向，出手后，竖直方向做匀减速直线运动
0
有
水平方向做匀速直线运动有解得
，
所以运动员对铅球做的功为
故选B。
【变式演练2】如图所示，一质量为 的质点在半径为 的半球形容器中（容器固定）由静止开始自边缘
上的A点滑下，到达最低点 时，它对容器的正压力为 。重力加速度为 ，则质点自A滑到 的过程中，
摩擦力所做的功为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设在B点的速度为 ，由牛顿第二定律，有
则质点在B点的动能为
质点从A滑到B的过程中，由动能定理得
解得故选C。
【变式演练3】如图，轻质弹簧上端固定在O点，下端与质量为m的圆环相连，圆环套在水平粗糙的固定
细杆上。现在将圆环从A点静止释放，当圆环运动到B点时弹簧竖直且处于原长，到达C点时速度减为零；
在C点使得圆环获得一个沿杆向左的速度v，其恰好能回到A点。弹簧始终在弹性限度之内，下列说法正
确的是（ ）
A．从A到C的过程中，圆环经过B点速度最大
B．从C回到A的过程中，弹力最终做正功
C．从A到C克服摩擦力做功为
D．从A到C弹簧弹性势能减少了
【答案】CD
【详解】A．圆环从A到C过程中，合力是0时圆环的速度最大，A错误；
B．A到C过程中，根据能量守恒，弹性势能减少，转化为摩擦力做功产生的热量，所以由C回到A的过
程中，弹性势能增大，弹力最终做负功，B错误。
CD．从A到C再由C回到A，根据对称特点可知，摩擦力做功相等，弹性势能变化相同，根据动能定理，
有
求得CD正确。
故选CD。
题型三 功率的分析和计算
1．公式P＝和P＝Fv的区别
P＝是功率的定义式，P＝Fv是功率的计算式。
2．平均功率的计算方法
(1)利用＝。
(2)利用P＝Fv cos α，其中v为物体运动的平均速度。
3．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度。
(2)P＝Fv ，其中v 为物体的速度v在力F方向上的分速度。
F F
(3)P＝Fv，其中F 为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。
v v
类型1 功率的分析和计算
【例1】一只苹果从楼上某一高度自由下落，苹果在空中依次经过三个完全相同的窗户1、2、3。图中直线
为苹果在空中的运动轨迹。若不计空气阻力的影响，下列说法正确的是（ ）
A．苹果经过第三个窗户所用的时间最长B．苹果经过第三个窗户重力做的功最多
C．苹果经过第一个窗户重力做功的平均功率最小
D．苹果经过第一个窗户下端时，重力做功的瞬时功率最大
【答案】C
【详解】A．苹果做自由落体运动，速度逐渐增加，越来越快，通过相同距离用时越来越少，故通过第一
个窗户用时最长，故A错误；
B．重力的功 ，故苹果通过3个窗户重力做的功一样多，故B错误；
C．功率 ，通过第一个窗户用时最长，故通过第1个窗户重力的平均功率最小，故C正确。
D．根据 可知苹果经过第三个窗户下端时，速度最大，根据 重力做功的瞬时功率最大，故D
错误。
故选C。
【变式演练1】一个音乐喷泉喷头出水口的横截面积为 ，喷水速度约为10m/s，水的密度为
kg/m3，则该喷头喷水的功率约为（ ）
A．10W B．20W C．100W D．200W
【答案】C
【详解】设 时间内从喷头流出的水的质量为
喷头喷水的功率等于 时间内喷出的水的动能增加量，即
联立解得
故选C。【变式演练2】如图所示，倾角为37º、长度为4m的粗糙固定斜面，一质量为1kg的小物块从斜面顶端由
静止开始下滑至斜面底端，小物块与斜面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度g=10m/s2，则（ ）
A．整个过程中重力做功24J
B．整个过程中合外力做功24J
C．整个过程中重力做功的平均功率是24W
D．小物块滑到斜面底端时重力做功的瞬时功率是24W
【答案】AD
【详解】A．根据公式可得，重力做功为
故A正确；
B．根据公式可得，合外力做功为
故B错误；
C． 对小物块受力分析，根据牛顿第二定律
解得
根据解得
整个过程中重力做功的平均功率是
故C错误；
D．小物块滑到斜面底端时重力做功的瞬时功率是
故D正确。
故选AD。
【变式演练2】在距离地面4m的某楼层的墙外侧，以1m/s的速度竖直向上抛出一个质量为50g的小石子
（小石子可看成质点），忽略空气阻力，g取 。求：
（1）石子落地时速度大小v；
（2）石子经过多长时间t落地；
（3）从抛出到落地这段时间内重力做功的平均功率P。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）由机械能守恒定律可知
解得
（2）设竖直向上为正方向，则有
解得（3）重力做功为
平均功率为
【变式演练3】一质量为0.5kg的质点静止于光滑水平面上，从 时刻开始，受到水平外力F作用，如
图所示。下列判断正确的是（ ）
A．0~2s内外力的平均功率是18W
B．第2s内外力所做的功是36J
C．第4s末外力的瞬时功率最大
D．第1s末与第3s末外力的瞬时功率之比为9:7
【答案】AD
【详解】前两秒匀加速直线运动的加速度
后两秒匀加速直线运动的加速度
第1秒末的速度第2秒末的速度
第3秒末的速度
第4秒末的速度
前两秒的位移
第2秒内的位移
A．0~2s内外力做的功
0~2s内外力的平均功率
A正确；
B．第2s内外力所做的功
B错误；
C．第2秒末的外力的瞬时功率
第4s末外力的瞬时功率第4s末外力的瞬时功率不是最大。C错误；
D．第1s末与第3s末外力的瞬时功率分别为
第1s末与第3s末外力的瞬时功率之比
D正确。
故选AD。
类型2 功率和功综合问题的分析和计算
【例2】(多选)运动场上，某同学将篮球竖直向上抛出，到最高点又竖直落回到抛出点，若篮球所受的空气
阻力大小恒定，下列判断正确的是( )
A．篮球上升过程中的加速度大于下降过程中的加速度
B．篮球上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重力做的功
C．篮球下落到抛出点的速度大小大于篮球抛出时向上的初速度大小
D．篮球上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力的平均功率
【答案】 AD
【解析】 上升过程a ＝＝g＋，下降过程a ＝＝g－可知，a>a ，故A正确；由W ＝W ＝mgh可知，
1 2 1 2 克G G
篮球上升过程中克服重力做的功等于下降过程中重力做的功，故 B错误；取上升和下降的全过程，由能量
守恒可知，重力势能不变，初动能等于内能和末动能之和，故落回到抛出点的速度大小小于抛出时的初速
度大小，故C错误；上升过程用逆向思维有h＝at2，下降过程有h＝at2，因a>a ，则tP ，故D正确．
G 克G G【变式演练1】套圈是我国民众喜爱的传统游戏，小孩和大人在同一条竖直线上的不同高度分别水平抛出
相同的圆环，结果恰好都套中前方同一物体，不计空气阻力。若大人和小孩抛出圆环的高度之比为 ，
圆环及被套物体均可视为质点，则下列说法正确的是（ ）
A．大人和小孩抛出的圆环初速度之比为1︰
B．大人和小孩抛出的圆环在空中飞行的时间之比为
C．大人和小孩抛出的圆环落地时重力的瞬时功率之比为1︰2
D．大人和小孩抛出的圆环在空中运动过程中动量的变化量之比为1︰
【答案】AB
【详解】B．圆环做平抛运动，竖直方向上根据
可得
大人和小孩抛出圆环的高度之比为 ，则运动时间之比为 ，故B正确；
A．圆环在水平方向上有
可得水平位移相等，则平抛初速度之比为时间的反比，即为 ，故A正确；
C．圆环落地时重力的瞬时功率为
落地时重力的瞬时功率之比等于时间之比，为 ，故C错误；
D．根据动量定理，可得合力的冲量等于动量的变化量，即
动量的变化量之比也为时间之比 ，故D错误。
故选AB。
【变式演练2】如图甲质量 的物体在拉力F作用下由静止开始沿着水平路面加速运动，5s后撤去拉
力，物体运动的v-t图像如图乙所示，不计空气阻力， ，求：
（1）摩擦力f，拉力F，分别是多少N？
（2）撤去拉力后的运动过程中，摩擦力对物体做的功？
（3）加速过程中物体所受拉力的平均功率？
【答案】（1）50N；70N；（2） ；（3）
【详解】（1）撤去拉力后由图像可知轮胎的加速度大小为根据牛顿第二定律有有
由图像可知前5s内的加速度为
根据牛顿第二定律有
代入数据得
（2）5s至7s内，即2s内位移为
摩擦力做的功为
（3）拉力F作用的位移
拉力F做的功
全过程中拉力的平均功率为题型四 机车启动问题
1．两种启动方式
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P－t图像
和v－t
图像
过程
a＝不变 F不变⇒P＝Fv↑直到P
v↑⇒F＝↓ a＝↓ ⇒
⇒ ＝P ＝Fv
OA 分析 额 1
段 运动
加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，持续时间t＝
0
性质
过程
F＝F
阻
a＝0⇒v
m
＝ v↑⇒F＝↓ a＝↓
⇒ ⇒
AB 分析
段 运动
以v 做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
m
性质
F＝F
阻
a＝0⇒以v
m
＝做匀速直
BC段 ⇒
线运动
2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v ＝.
m
(2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝
